7d_eaiee_fusione_nucleare_tokamak_multi-fisiche
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7d_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK (ultima modifica 24/11/2016) MULTI-FISICHE DEL TOKAMAK M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 1 Fisica del plasma Quando la corrente del plasma attraversa il campo magnetico le singole particelle sono vincolate nel loro movimento. Esse si muovono parallelamente al campo magnetico, ruotando nelle orbite di Larmor perpendicolari al campo. M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 2 Fisica del plasma La concentrazione delle particelle in un Tokamak è circa 1020 [particelle/m-3]. I plasmi Tokamak tipicamente raggiungono temperature di diversi keV, (1keV corrisponde a 10 milioni di gradi Kelvin). Il campo Magnetico Toroidale Bp prodotto dalle bobine esterne al plasma è di circa 12T (si cercherà di portarlo a 13 T) attraversate da una corrente di 68 kA. Il campo Magnetico Poloidale Bp prodotto dalla stessa corrente del plasma toroidale è tipicamente 10 volte più piccolo e la corrente indotta nel plasma Ip è di 10MA Le forze dovute alla pressione del plasma sono equilibrate dal campo magnetico esterno e la stessa corrente del plasma che attraversa il campo magnetico, da origine essa stessa a una forza magnetica che può bilanciare il gradiente di pressione del plasma, imprimendo alle cariche un movimento elicoidale . M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 3 Fisica del plasma Molti processi nel plasma sono determinati dalle collisioni delle particelle. Le collisioni tra ioni ed elettroni causano una resistenza elettrica, che induce un riscaldamento ohmico del plasma. Si definisce resistività elettrica ρ del plasma : E ρJ La densità di potenza ohmica puntuale o locale p(r) è: a a p(r ) ρ(r) J 2 (r ) P 2R ρ(r) J 2 (r )dr R 0 essendo P la potenza totale di riscaldamento R raggio del toro e a raggio del plasma M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 4 Fisica del plasma La resistività del plasma cresce con la temperatura e la densità di corrente che sono limitate dalla stabilità magnetoidrodinamica per cui non è utilizzato il riscaldamento ohmico per portare il plasma alle condizioni di ignizione. Le collisioni producono trasporto di particelle ed energia che possono causare la perdita di ioni e di elettroni dal plasma. All’aumentare delle temperatura i tempi di collisione degli elettroni e degli ioni diminuiscono e la frequenza di collisione aumenta e conseguentemente aumentano le perdite per collisione e anche il riscaldamento ohmico. M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 5 Fisica del plasma Le instabilità sono classificate in relazione agli effetti prodotti sul plasma, per esempio • a) instabilità sui profili di pressione ( pression driven) e • b) instabilità sulle linee di corrente ( current driven). Plasma Plasma Un’altra classificazione è fatta rispetto allo spostamento della superficie del plasma: fixed boundary (instabilità che hanno effetto all’interno della colonna del plasma e non incidono sui movimenti della superficie del plasma) e free-boundary (instabilità che comportano lo spostamento dell’interfaccia plasma-vuoto) M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 6 Analisi Fisica del Plasma Lo studio del plasma è molto complesso e comporta l’analisi di fenomeni di natura fisica diversa. I principali campi della fisica da analizzare per studiare il plasma sono: • Elettromagnetismo, • Fluidodinamica e • Magnetoidrodinamica (dinamica dei fluidi elettricamente conduttori) • Trasmissione di energia termica (nei solidi, nei liquidi, nei gas, nei plasmi) • Cinetica dei gas (al variare della pressione e della temperatura) • Criogenia (studia come ottenere basse temperature e il comportamento dei materiali alle basse temperature) M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 7 Elettromagnetismo Le equazioni fondamentali relative ai campi elettrici e magnetici sono le Equazioni di Maxwell. in forma differenziale vettoriale e in forma integrale vettoriale δB E δt Legge di Faraday δD H J δt Legge di Ampere D C H dl S J t ds D Legge di Gauss D ds ρ dv dB ds dt S E dl C S B 0 M. Usai V Bds 0 S 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 8 Elettromagnetismo Le equazioni di Maxwelli in forma differenzi ale vettoriale in funzione di B e E δB δ B E E δt δt 1 δE B μ J δ D 0 H J c2 δ t δt B 0 B 0 ρ E D ρ ε0 con : D ε 0 E 1 μ 0c 2 E B μ0 H 1 H F m μ 0 4 10 7 ; 0 8,854 10 12 ; c 2,998 108 μ 0 0 m m s M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 9 Elettromagnetismo Il vettore E può essere espresso in funzione del potenziale scalare elettrico V e del potenziale vettorial e magnetico A, per cui : B A δA E V δt dai i valori dei potenziali V e A si possono ottenere le grandezze di campo elettrico e magnetico B e d E M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 10 Elettromagnetismo La densità d' energia elettromagnetica è uguale alla somma della densità di energia elettricae densità di energia magnetica : w 1 1 B2 2 we wm ε 0 E 2 2 0 dalle relazioni di Maxwell si trova l' espressione della variazione della densità di energia nel tempo EB w EJ t 0 1 δ E B μ0 J 2 c δ t Il primo termine è la divergenza del flusso della energia elettromagnetica, δB E δt espresso dal vettore di Poynting : P EB 0 Il termine E J rappresenta il trasferimento di energia alle particelle cariche. M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 11 Elettromagnetismo w 1 2 1 E 2 H 2 E H 2 E H t t 2 2 t 2 t 2 sostituendo i valori delle derivare di E e di H e tenendo conto che per le equazioni di Maxwell : 1 δ E B μ0 J 2 c δt poichè vale l' uguaglianz a : δB E δt EB w EJ t 0 H E E H E H w EH EJ t che equivale alla relazione che esprime il Teorema di Poynting EH M. Usai 1 2 1 2 E H E t 2 2 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 12 Elettromagnetismo Per i campi statici, scegliendo A tale che A 0, calcolando il rotore della relazione : B A si ottiene che A 0 J e 2 calcolando la divergenza della relazione : E V δA si ottiene che δt 2 V- . 0 Questo modello matematico consente note le " cause": ρ e J di calcolare i potenziali V e A e da questi gli " effetti" o le grandezze di campo B ed E. M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 13 Equazioni della teoria cinetica L'energia cinetica è l'energia posseduta da un corpo a causa del suo movimento. Le equazioni della teoria cinetica descrivono il plasma in movimento in termini di funzione di distribuzione f(x,v,t) , che è una funzione di 7 variabili. Per diversi scopi è adatta per descrivere il plasma in termini di variabili del fluido come la densità delle particelle n(x,t), la velocità del fluido v(x,t) e la pressione p(x,t) che sono funzioni di sole 4 variabili. Le equazioni richieste sono derivate per ciascuna specie di particella dalla equazione cinetica di collisione del plasma o equazione di Fokker- Plank: ej f f E v B f f v t x m j v t c e j carica della particella j m j massa della particella j e indicando con F e j E v B la forza di campo elettrico e magnetico che agisce sulla particella : f f F f f v ' t x m j v ' t c con v velocità della particella v' velocità del fluido. M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 14 Le equazioni cinetiche e quelle più complesse e specifiche che da queste possono essere derivate, risultano valide solo se sufficientemente localizzate, ossia se il percorso libero medio delle particelle è sufficientemente piccolo rapportato alle lunghezze macroscopiche del sistema in esame. M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 15 Magnetoidrodinamica MHD La Magnetoidrodinamica o MHD studia la dinamica dei fluidi elettricamente conduttori. Essa descrive il comportamento dinamico del fluido del plasma come unico fluido, senza considerare gli ioni e gli elettroni come due entità separate. Idea di base e le condizioni della Magnetoidrodinamica MHD consistono nel considerare la corrente che trasporta il plasma complessivamente neutra, ma costituita da: - ioni che trasportano massa, quantità di moto ed energia e - elettroni che trasportano corrente ed energia termica. M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 16 Magnetoidrodinamica MHD M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 17 Magnetoidrodinamica MHD Le equazioni della Magnetoidrodinamica sono basate su: • • • • equazione di conservazione della massa , dalla equazione del moto e dalle equazioni di Maxwell e dalla equazione delle trasformazioni adiabatiche, considerando il plasma resistivo. Quindi da tali equazioni si possono ottenere: le Equazioni dell’ MHD ideale, che legano l’effetto (velocità) alla causa ( campi elettro-magnetici) M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 18 Magnetoidrodinamica MHD Equazioni dell’ MHD ideale ρ ρ v t J v JB p t p γ p v t ρ B μ0 B E t E vB 0 essendo p la forza dovuta al gradiente di pressione (presente tra due punti quando si verifica una differenza di pressione) M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 19 Plasma in equilibrio Le equazioni dell’ MHD ideale, che legano l’effetto (velocità) alla causa ( campi elettro-magnetici) possono essere utilizzate anche per determinare le condizioni e configurazioni di equilibrio del plasma, imponendo le condizioni di regime stazionario, per le quali le grandezze non variano nel tempo ossia si trascurano i termini delle derivate temporali dove compare l’operatore . t v Quindi considerando la velocità del plasma costante 0 , si ottengono le t equazioni del plasma in equilibrio. v ρ t J B p B J μ0 B 0 M. Usai p JB B μ0 J 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 20 Plasma in equilibrio Nella prima equazione, p JB p è la forza agente sul fluido dovuta al gradiente di pressione, stabilisce l’equilibrio delle forze. Essa afferma che quando una corrente fluisce perpendicolarmente al campo magnetico, essa esercita una forza sull’elemento fluido. In condizioni di equilibrio questa forza bilancia la pressione cinetica del plasma, ossia in ogni punto nel plasma, il gradiente puntuale o locale della pressione è bilanciato dalla forza di Lorenz. In particolare , per p 0 quando i campi J e B sono paralleli (giacciono sulla stessa linea retta) si verifica una condizione di force free region ( regione libera dalle forze) M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 21 Plasma in equilibrio per una configurazione cilindrica lineare ( Linear Pinch) Si consideri un settore del toro del plasma rettificato (equivalente a un cilindro di lunghezza pari alla lunghezza dell’asse del settore), riportando lo studio al caso semplice in cui la corrente fluisce in un cilindro nella direzione del suo asse, coincidente con l’asse di riferimento z. Questa configurazione semplifica lo studio dell’effetto pinch (effetto di compressione del plasma) z p J Bp z a r per a > 0: J = 0 → p = 0 p(r) per a<0: J ≠ 0→ p ≠ 0 J J Bp Bp I 2 r 2 p(r ) 1 2 2 a 2 a r a M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 22 Plasma in equilibrio per una configurazione cilindrica lineare ( Linear Pinch) In regime stazionario la velocità non varia nel tempo e la forza di campo dovuta alla corrente del plasma bilancia la forza dovuta al gradiente di pressione . p J Bp J Bp p M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 23 Plasma in equilibrio per una configurazione cilindrica lineare ( Linear Pinch) Il campo magnetico è puramente azimutale ( tangente alle linee di forza ossia alle circonferenze di raggio r, perpendicolari a z) per cui Jz e B sono sempre perpendicolari e il bilancio delle forze è espresso da: p JB p p J z B p r Per calcolare come varia p(r) occorre definire come varia Jz(r). Supponendo che la densità di corrente Jz= J0 sia costante nel plasma di raggio a e nulla all’esterno per r > a, risolvendo l’equazione per una geometria cilindrica si ha: o I B r p 2 p 2a J z B p r B o I p 2r per r a 2 dove I J 0a è la corrente che fluisce nel plasma M. Usai per r a I 2 r 2 p(r ) 1 2 2 a 2 a 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 24 Plasma in equilibrio per una configurazione cilindrica lineare ( Linear Pinch) p J z Bp r a p(r) J z B p dr r I a I 2 r dr r dr 2 2 4 r 2 a a 2a a I p(r ) 2 r a I I r 2 I I a 2 I I r 2 p(r ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2a r a 2a a 2a I 2 r 2 p(r ) 1 2 2 4 a a M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 25 Plasma in equilibrio per la configurazione toroidale del Tokamak Se si piega il cilindro per formare un toro si ottiene la geometria del tokamak. Per un rapporto R/a grande, il Tokamak può essere approssimato a una sequenza di tronchi cilindrici collegati uno di seguito all’altro. Le proprietà delle linee di flusso risultante sono caratterizzate dal rapporto di sicurezza q: q z a numero di rotazioni toroidali * a BT numero di rotazioni polidali* * R B p R q rappresenta il numero di giri toroidali che la particelladel plasma deve fare per compiere un giro poloidalecompleto * Le rotazioni toroidali sono impresse dal campo toroidale BT ** Le rotazioni poloidali sono impresse dal campo poloidale BP M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 26 Dalle condizioni di stabilità poiché deve essere BT >B p risulta che → q >1. In generale i valori più elevati di q portano ad una maggiore stabilità Per es. per il Tokamak ASDEX Upgrade con dimensioni tipiche: a=0.5m R=165m , q = 3 comporta che BT =10 Bp. z a M. Usai R 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 27 Plasma in equilibrio per la configurazione toroidale del Tokamak Pertanto, se una linea di campo magnetico ritorna alla sua posizione iniziale dopo esattamente una rotazione attorno al toro, quindi q = 1. Se si muove più lentamente nel direzione poloidale ha un valore maggiore di q. I valori razionali di q svolgono un ruolo importante nella stabilità. Se q = m / n, dove m e n sono numeri interi, la linea di campo si unisce su se stessa dopo m rotazioni toroidale e n rotazioni poloidali toro. La condizione relativa a q = 2 linea è illustrato nella seguente figura: a) linea di campo superficiale (sulla superficie del toro) per q=2, b) percorso di integrazione poloidale, c) anello di flusso contenente il flusso toroidale e poloidale. M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 28 The Grad-Shafranov Equation Le superfici di flusso per la configurazione del Tokamak sono costituite da un insieme di tubi di flusso toroidali nidificati che rappresentano la soluzione dell'equazione Grad-Shafranov, che è una equazione differenziale in termini di una funzione di flusso poloidale Bp. Le equazione Grad Shafranov possono essere numericamente risolte con ipotesi geometriche semplificative (come: plasma circolare e grande formato, cioè grande rapporto tra raggio maggiore e raggio minore raggio), per la ricostruzione delle linee di flusso in condizioni di equilibrio. Poiché il plasma racchiuso nella camera da vuoto (vessel) elettricamente conduttivo, l'effetto più importante associato con il fatto che il plasma tende ad espandersi verso l'esterno, è che le linee di campo risultano compresse nel lato esterno. Questa compressione richiede un aumento della pressione magnetica per contrastare la tendenza del plasma di espandersi. M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 29 The Grad-Shafranov Equation La stato di equilibrio risultante viene quindi caratterizzato da uno spostamento del fluido verso l'esterno rispetto al centro geometrico della sezione trasversale circolare del plasma, che quindi nella configurazione del nuovo stato di equilibrio, non corrisponde più alla posizione dell’asse magnetico del toro. La deviazione del centro geometrico della sezione del plasma è definita come lo Spostamento Shafranov (Shafranov shift) ∆: M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 30 The Grad-Shafranov Equation Per un sistema asimmetrico come il Tokamak il modello matematico che descrive il bilancio delle forze, deve essere adattato e modificato, tenendo conto dei seguenti concetti: Essendo p J B pJ pB 0 Quindi le linee di campo di J e B giaciono su superfici a pressione costante. Gli integrali del flusso B dA, J dA hanno un valore sulle superfici con pressione costante per una arbitraria curva C su questa superficie , poichè J e B giaciono su questa superficie ogni parte degli integrali si annulla. Queste superfici sono chiamate superfici di flusso e possono essere etichettat e con valori di flusso scalari. Poichè J B 0, ogni intergrale di flusso B dA, J dA, ha un valore costante se la superficie arbitraria A è delimitata dalla stessa curva C e quindi la scelta di A può essere arbitraria . Ciò comporta che a ciascuna superficie di flusso può essere assegnato un unico valore di flusso, indipenden temente dalla geometria nella quale il flusso è stato calcolato. M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 31 The Grad-Shafranov Equation Sul toro si distinguono due tipi di curve di campo: quelle che si avvolgono sul toro in senso toroidale e quelle si avvolgono sul toro in senso poloidale. Considerando una curva che si avvolge nella direzione toroidale, integrando l’induzione nel dominio o superficie delimitato da questa curva, si ottiene il flusso magnetico poloidale ψ e la corrente totale poloidale Ipol. Entrambe le funzioni sono costanti sulla superficie di flusso le componenti del campo magnetico poloidale e la corrente poloidale z possono essere calcolate come: ϕ R μ 0 I pol 1 ψ 1 ψ Br ; Bz ; B pol ; 2r z 2π z 2r Vs con flusso poloidale per unità di lunghezza m in direzione toroidale. Con queste espressioni il bilancio delle forze diventa l’equazione di Grad-Shafranov : 1 ψ 2 ψ 2 2 ' - * R 2 0 2R p(ψ)' 0 I pol (ψ)I pol (ψ) R R R z M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 32 The Grad-Shafranov Equation Attraverso l’equazione di Grad−Shafranov che esprime l’effetto del flusso magnetico poloidale sulle superfici magnetiche del plasma, è possibile ↓ definire le modalità di controllo dello stesso, ossia ↓ i valori delle correnti delle bobine poloidali e ↓ delle correnti delle bobine di correzione (Corretions Colis ), che mantengono il plasma confinato e centrato nella camera da vuoto o vessel. M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 33 The Grad-Shafranov Equation M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 34 The Grad-Shafranov Equation M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 35 The Grad-Shafranov Equation Il bilancio delle forze risulta espresso dalle equazione di Grad-Shafranov: 1 ψ 2 ψ 2 2 ' - * R 2 0 2R p(ψ)' 0 I pol (ψ)I pol (ψ) R R R z L’equazione è non lineare e per risolverla 1. si possono specificare p(ψ) e Ipol(ψ) e quindi calcolare ψ(R,z) e inoltre 2. dovranno essere definite le condizioni al contorno. • Se il plasma è circondato da un contenitore vuoto perfettamente conduttore, esso costituisce una superficie di flusso e quindi ψ=cost nel contenitore, determina la forma e la posizione del contorno del plasma. • Per soddisfare queste condizioni, si deve aggiungere una soluzione della equazione omogenea cioè una funzione con - ext 0 Tale campo è prodotto da un avvolgimento esterno, cioè la soluzione della equazione di Grad-Shafranov con un contorno fissato e funzioni profilo che ci dicono come definire le correnti esterne di controllo per mantenere il plasma in equilibrio. M. Usai 7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak 36
