quaderno matematica

Le pagine che seguono costituiscono un ripasso degli argomenti del programma di
matematica della scuola media necessari per affrontare la scuola superiore. Se non
hai svolto qualcuno degli argomenti che ti proponiamo, approfitta di questo ripasso
per farlo.
Ogni argomento è introdotto da una breve sintesi di teoria; leggila con attenzione
prima di svolgere gli esercizi che troverai nella seconda parte. Durante i primi giorni
di scuola il lavoro che hai svolto verrà corretto e approfondito con l’insegnante.
Gli esercizi vanno svolti su un quaderno, tranne quelli con i puntini (……), che
possono essere svolti negli appositi spazi. Fai attenzione all’ordine, perché è
importante che quello che scrivi venga compreso anche dagli altri!
Se non riesci a eseguire qualche esercizio scrivi un punto interrogativo ? accanto
all’esercizio e chiedi spiegazioni in classe durante la correzione nei primi giorni di
scuola.
Questa dispensa, con i primi argomenti che verranno trattati in classe, sarà oggetto
di verifica scritta, con valutazione, dopo qualche settimana di lezione.
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GLI INSIEMI NUMERICI
Unità 1: L’insieme N dei numeri naturali
L’insieme N dei numeri naturali è costituito dallo zero e dai numeri interi positivi:
N  0,1,2,3,...
Il successivo di un numero naturale n è il numero n+1, il precedente invece è n-1.
Esercizio 1
Indica i numeri naturali che soddisfano le seguenti disuguaglianze:
2<𝑛<5
𝑛 = 3, … … ….
2≤𝑛<5
𝑛 = 2, … … ….
0≤𝑛<3
𝑛=⋯
𝑛<5
𝑛 = 0, … … ….
PARAGRAFO 1.1 : OPERAZIONI E LORO PROPRIETA’
ADDIZIONE
I termini dell’addizione si dicono addendi.
E’ un’operazione interna all’insieme N dei numeri naturali(cioè la somma di due numeri naturali è
ancora un numero naturale).
Proprietà dell’addizione:
Commutativa
ab  ba
3 2  23
Associativa
a  b  c   a  b  c
3  7  8  3  7  8
a + b = a + (x+y) se b=x+y 12 + 14 =12 + 8 + 6
Dissociativa
L’elemento neutro dell’addizione è lo zero; infatti: a  0  0  a  a ; 3  0  0  3  3
SOTTRAZIONE
E’ l’operazione inversa dell’addizione.
Non è interna all’insieme N dei numeri naturali (cioè la differenza di due numeri naturali non è
sempre un numero naturale, come nel caso della sottrazione 5-7, il cui risultato NON E’ un numero
naturale)
Proprietà della sottrazione:
Invariantiva: la differenza di due
a  b  a  m  b  m 15  7  15  5  7  5
numeri non cambia se ad essi si
aggiunge o si sottrae uno stesso
a  b  a  m  b  m 45  13  45  5  13  5
numero:
La sottrazione NON gode della proprietà commutativa; infatti: 7  5  5  7 e non ha un elemento
neutro (infatti 16 − 0 = 16 , ma 0 − 16 non fa 16).
Esercizio 2
Trova il valore della x :
56 + 𝑥 = 92  𝑥 = 92 − 56 =..
𝑥 + 38 = 72  𝑥 =..
− .. =..
69 + 𝑥 = 98  𝑥 =..
− .. =..
𝑥 + 49 = 78  𝑥 =..
− .. =..
𝑥 − 36 = 42  𝑥 = 42 + 36 =..
𝑥 − 43 = 97  𝑥 =.. + .. =..
72 − 𝑥 = 23  𝑥 = 23 + 72 =..
95 − 𝑥 = 27  𝑥 =.. + .. =..
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MOLTIPLICAZIONE
I termini della moltiplicazione si dicono fattori.
E’ un’operazione interna all’insieme N dei numeri naturali.
Proprietà della moltiplicazione:
Commutativa
Associativa
Dissociativa
Distributiva rispetto all’addizione
(o alla sottrazione)
ab  b a
a  b  c   a  b  c
a  b  a  x  y  se b  x  y
a  b  c   a  b  a  c
3 2  2  3
3  2  4  3  2  4
18  50  18 10  5
3  4  5  3  4  3  5
L’elemento neutro della moltiplicazione è l’uno; infatti: a 1  1 a  a .
Legge di annullamento del prodotto:
0 × 𝑎 = 0, 𝑎 × 0 = 0, 0 × 0 = 0 quindi se uno almeno dei fattori è uguale a zero, allora il
prodotto è zero.
E viceversa, se il prodotto a  b è uguale a zero, allora almeno uno dei fattori è zero (a oppure b,
oppure entrambi) è uguale a zero
DIVISIONE
I termini della divisione a : b si dicono dividendo ( a ) e divisore ( b ), il risultato si dice quoto o
quoziente esatto.
La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione e si definisce proprio a partire dalla
moltiplicazione: 6 : 3  2 perché 2  3  6 .
La divisione esatta non è un’operazione interna all’insieme N dei numeri naturali.
RUOLO DELLO ZERO NELLA DIVISIONE
 3:0=OPERAZIONE IMPOSSIBILE (senza risultato)
Dovremmo trovare un numero che moltiplicato per 0 dia come prodotto 3; ciò non è possibile
perché qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0!
 0:0=OPERAZIONE INDETERMINATA
infatti dobbiamo trovare un numero che moltiplicato per 0 dia come prodotto 0; ma dato che
ogni numero moltiplicato per 0 dà come prodotto 0, come risultato potremmo dire che:
0:0 = 0, oppure che 0:0 = 1, oppure che 0:0 = 2,……Si dice allora che questa operazione è
indeterminata, cioè che non è possibile determinare un solo risultato per l’operazione poiché ne
ha infiniti.
 0:3=0
infatti 0  3  0 .
In generale:
 a : 0  operazione impossibile (se a  0 )
 0 : 0  operazione indeterminata
 0 : a  0 (se a  0 )
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Proprietà della divisione:
Invariantiva:
Il quoziente non cambia se si
moltiplicano o se si dividono dividendo e
divisore per uno stesso numero (diverso
da zero)
Distributiva a sinistra della divisione
rispetto all’addizione o alla sottrazione:
ADDIZIONE: Per dividere una somma
per un numero, si può dividere ciascun
termine della somma per quel numero e
sommare i risultati così ottenuti
SOTTRAZIONE: Per dividere una
differenza per un numero, si può dividere
ciascun termine della differenza per quel
numero e sottrarre i risultati così ottenuti
a : b  a  c  : b  c 
24 : 6  24  2 : 6  2
a : b  a : c  : b : c 
c  0
105 : 15  105 : 5 : 15 : 5
a  b : c  a : c  b : c 24  6 : 3  24 : 3  6 : 3
a  b : c  a : c  b : c 63  21 : 7  63 : 7  21 : 7
Esercizio 3
Trova il valore della x :
5 × 𝑥 = 460  𝑥 = 460: 5 =..
7 × 𝑥 = 461  𝑥 =.. ∶ .. =..
𝑥 × 6 = 402  𝑥 =.. ∶ .. =..
𝑥 × 4 = 332  𝑥 =.. ∶ .. =..
Esercizio 4
Scrivi il risultato di ciascuna operazione:
0: 5 = ..
0 × 5 =..
0 × 0 =..
5: 0 =..
0: 0 =..
5 × 0 =..
Esercizio 5
Semplifica le seguenti espressioni contenenti le 4 operazioni con i numeri naturali N:
5A)
75  30 : 2  3  14 : 5  1: 24  29  17  : 4 
R : 6 
5B)
27 : 3  1 : 5  28  12  3  5  1 : 4 3: 2 
R : 4
5C)
24 : 4  2 50  35 : 5  2 : 9  7  21 : 7  1  5 : 9 5 
R : 0
5D)
19  72 : 8 : 3  2  3  12  15  7  2  15  11 : 4 
R : 8
ELEVAMENTO A POTENZA
I termini dell’elevamento a potenza a n si chiamano base ( a ) ed esponente ( n ).
Definizione:
a n  a 
a 
......
 a (prodotto di n fattori uguali alla base a):

n
fattori
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Stesso esponente
Stessa base
Proprietà dell’elevamento a potenza:
Il prodotto di due potenze aventi la
stessa base è uguale ad una potenza
avente per base la stessa base e per
esponente la somma degli esponenti
Il quoziente di due potenze aventi la
stessa base è uguale ad una potenza
avente per base la stessa base e per
esponente la differenza degli
esponenti
Il prodotto di due potenze aventi lo
stesso esponente è uguale ad una
potenza avente per base il prodotto
delle basi e per esponente lo stesso
esponente
Il quoziente di due potenze aventi lo
stesso esponente è uguale ad una
potenza avente per base il quoziente
delle basi e per esponente lo stesso
esponente
La potenza di una potenza è uguale a
una potenza avente per base la stessa
base e per esponente il prodotto degli
esponenti

a n : a m  a nm
 39 :  35   34
 39   59   159
a n : b n  a : b
 219 :  79   39
n
n
a 
m n
 a mn
 2 
3 5
  2
15
IL RUOLO DELLO ZERO NELLA POTENZA
30  1
Per dimostrarlo non possiamo usare la definizione di potenza, che non vale se l’esponente è zero.
30 =
3
⏟5 : 35
= (3: 3)5 = 15 = 1
𝑞𝑢𝑖𝑧𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑧𝑒
𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑡𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
0 0  operazione indeterminata
Come prima:
00 =
0
⏟5 : 05
=
𝑞𝑢𝑖𝑧𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑧𝑒
𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑡𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒

 35   37   312
a n  b n  a  b
Potenza
di
potenza

a n  a m  a nm
(⏟
0: 0)5
0:0 è 𝑢𝑛′ 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒
𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑎
03 = 0
Per definizione di potenza 03  0  0  0  0
In generale:
 a 0  1 , se a  0
 0 0  operazione indeterminata
 0 n  0 , se n  0
Esercizio 6
Scrivi il risultato di ciascuna operazione:
70 =....
07 =…..
00 =….
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= 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑎
Esercizio 7
Semplifica le seguenti espressioni contenenti le 4 operazioni con i numeri naturali N:
6A) {(242 : 32 − 53 : 5 − 23 ∙ 3): (32 + 23 − 12) + [(102 − 52 ∙ 3): 5 − 230 ] ∙ 32 }: 13= [R: 3]
6B) [(542 : 92 − 28 : 23 + 73 : 72 ) − (24 − 5 ∙ 22 − 80 )]5 : (20 − 23 ∙ 2)5 − 33 =
[𝑅: 5]
6C) {[(25 )2 : (23 )2 − (42 − 4): (6 − 24 : 22 )]: (22 + 32 − 23 ) + 23 : 23 }3 − (30 − 25)2 = [𝑅: 2]
6D) {[40 − (67 : 65 )4 : (18: 3)6 + 4]: 4 ∙ [1 + (5 − 242 : 122 ) ∙ (272 : 92 − 7)]}2 − 35 =
[𝑅 = 1]
PARAGRAFO. 1.2: Scomposizione in fattori primi; MCD e mcm.
Si dice che il numero a è divisibile per il numero b se il quoziente a:b è un numero intero.
Un numero si dice primo se è ha solo due divisori: 1 e se stesso.
Quindi il numero 1, avendo un solo divisore, non è un numero primo!
I numeri primi minori di 100 sono:
2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47-53-59-61-67-71-73-79-83-89-97
Criteri di divisibilità:
Un numero è
divisibile per…
2
3
9
5
25= 5 2
se….
10=2x5
100 = 2 2  5 2
Se è pari
Se la somma delle cifre è divisibile per 3
Se la somma delle cifre è divisibile per 9
Se termina con 0 o con 5
Se termina con 00, 25, 50, 75
Se la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e la
somma delle cifre di posto dispari è zero oppure un
multiplo di 11
Se termina con 0
Se termina con 00
1000 = 2 3  53
Se termina con 000
11
Il massimo comun divisore (MCD) tra due o più numeri naturali è il più grande tra i divisori comuni
ai numeri dati. Se il MCD tra due numeri è 1 i due numeri si dicono primi tra loro.
Dal punto di vista pratico, per calcolare il MCD bisogna
1. scomporre in fattori primi i numeri dati
2. moltiplicare i fattori comuni con l’esponente più piccolo
Esempi:
180  2 2  32  5  MCD168,180  2 2  3  12
 168  23  3  7

12  2 2  3
65  5 13
 MCD12,65  1
Il minimo comune multiplo (mcm) tra due o più numeri naturali è il più piccolo tra i multipli comuni
ai numeri dati.
Dal punto di vista pratico, per calcolare il mcm bisogna
1. scomporre in fattori primi i numeri dati
2. moltiplicare i fattori comuni e non comuni con l’esponente più grande
Esempi:
180  2 2  32  5  mcm168,180  23  32  5  7  2520
 168  23  3  7
 12  2 2  3
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65  5 13
 mcm12,65  2 2  3  5  13  780
Esercizio 8:
Scomponi in fattori primi i seguenti numeri
a) 12; 36; 900; 1000
b) 49; 48; 432; 3006
d) 45; 40; 361; 1400
e) 20; 32; 185; 5040
c) 64; 99; 896; 2260
f) 58; 63; 958; 3250
Esercizio 9
Nelle seguenti uguaglianze sostituire al posto dei puntini un numero in modo che l’uguaglianza
risulti verificata:
M.C.D.(8, …..) = 2;
m.c.m.(8, …..) = 24;
M.C.D.(15, …..) = 5;
m.c.m.(…..,30) = 60;
M.C.D.(16, …..) = 8
m.c.m.(3, 9, …..) = 90
Esercizio 10:
Calcola M.C.D. e il m.cm. dei seguenti gruppi di numeri:
a) 12, 15
d) 20, 70
g)15, 21
l) 32, 48, 72
b) 15, 21
e) 18, 24
h) 13, 26
m) 240, 560, 800
c) 55, 77, 121
f) 16, 24, 40
i) 15, 30, 45
n) 36, 120, 450
Esercizio 11
Risolvi i seguenti problemi usando il MCD e il mcm:
a) Un negoziante ha 140 palline rosse, 120 gialle e 100 bianche. Volendo fare tanti sacchetti,
ciascuno formato dallo stesso numero, il maggiore possibile, di palline di uguale colore, calcolare
il numero di palline di ciascun sacchetto e il numero dei sacchetti.
b) Lo spago di tre gomitoli deve essere tagliato in parti uguali e della maggiore lunghezza possibile.
Calcolare la lunghezza di ciascuna parte e il numero delle parti, sapendo che i tre gomitoli sono
lunghi 180 m, 240 m, 300 m.
c) Tre viaggiatori di commercio ritornano nella stessa città uno ogni 12 giorni, l’altro ogni 18 giorni
ed il terzo ogni 28 giorni. Se oggi si sono trovati insieme nella città, dopo quanti giorni si
troveranno nuovamente insieme?
d) Tre fari si accendono ad intervalli regolari, il primo ogni 4 secondi, il secondo ogni 6 ed il terzo
ogni 12 secondi. Se ad un certo istante si accendono contemporaneamente, dopo quanti secondi
si accenderanno nuovamente insieme?
e) Una famiglia va in vacanza in una località della Toscana ogni 3 anni, un’altra si reca nello stesso
luogo ogni 6 anni. Se si sono incontrate durante le vacanze del 1987, in quale anno si ritroveranno
nella stessa località?
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Capitolo 2: L’insieme Z dei numeri interi relativi
PARAGRAFO 2.1: I numeri interi relativi e le operazioni interne all’insieme Z.
L’insieme dei numeri interi relativi è costituito dai numeri interi positivi, interi negativi e dallo zero,
cioè:
Z  .....  3,2,1,0,1,2,3,....
Quindi l’insieme Z costituisce un ampliamento dell’insieme N, perché l’insieme N è contenuto
nell’insieme Z.
Nell’insieme Z anche l’operazione di sottrazione è interna (oltre all’addizione e alla
moltiplicazione).
Due numeri relativi si dicono concordi se hanno lo stesso segno, discordi se hanno segno diverso. Per
esempio:
+4 e +2 sono concordi mentre +3 e -6 sono discordi
I numeri -2 e +2 sono opposti. In generale l’opposto di a è -a.
Esercizio 12
Indica i numeri naturali che soddisfano le seguenti disuguaglianze:
−3 < 𝑛 ≤ +4
𝑛 = −3, … … ….
𝑛 ≥ +7 𝑛 = +7, … … ….
0 ≤ 𝑛 < +3
𝑛=⋯
𝑛 < −5
𝑛 =….
Per quanto riguarda la moltiplicazione (e la divisione) vale la seguente “regola dei segni”:
 se i numeri sono concordi il risultato ha segno positivo
 se i numeri sono discordi il risultato ha segno negativo
Riassumiamola nella seguente tabella:
+

+
+
+
La regola dei segni è una conseguenza delle proprietà delle operazioni. Infatti:
 Prodotto di due numeri DISCORDI:  5   3   5   5   5  15
 Prodotto di due numeri NEGATIVI:
(⏟−5) × (+3) + (−5) × (−3) =
0 = (−5) × 0 = (⏟−5) × (+3 − 3) =
𝑝𝑒𝑟𝑐ℎè (+3−3) 𝑓𝑎 𝑧𝑒𝑟𝑜
𝑝𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑡à 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒
= (−15) + (−5) × (−3)
Quindi (−5) × (−3) fa +15 perché è l’opposto di −15.  (−5) × (−3) = +15
Per quanto riguarda l’elevamento a potenza, dalla regola dei segni del prodotto segue che:
 esponente PARI: (+2)4 = +16 ; (−2)4 = +16 (sempre positivo)
 esponente DISPARI : (+2)3 = +8 ; (−2)3 = −8 (stesso segno della base)
ATTENZIONE: L’esponente di una potenza si riferisce solo al numero al quale è accostato, quindi:
 32  9 , mentre  32  9 perché la potenza non comprende anche il segno meno.
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Esercizio 13
Semplifica le seguenti espressioni con i numeri interi relativi:
13A) [3 − (−3)2 ]4 : (−22 − 2)3 − [(−4)3 − (−3)3 + (−2)3 ]: [−30 + (−2)4 ] =
[R: − 3]
13B) 7 ∙ (−2)3 : [7 + (6 + 6 ∙ 72 : 14): (−3)] − 2 ∙ [(−12)2 : 62 ∙ 2 − 2 ∙ 3]4 =
[R: − 4]
Esercizio 14
Traduci le seguenti frase in espressioni e semplificale:
14A) “Sottrai dal cubo di -3 il quadrato della differenza tra +3 e +2; dividi poi la differenza così
ottenuta per l’opposto del quadrato di -2.” [𝑅: +7]
14B) “Moltiplica la somma di +10 con il cubo di -2 per la differenza tra il quadrato dell’opposto di +5
[𝑅: − 22]
e il quadrato di +6 .”
PARAGRAFO 2.2: Approfondimento sull’uso delle proprietà delle potenze:
1) Se le basi non sono uguali ma OPPOSTE:
Esponente PARI: la moltiplicazione (−3)2 ∙ (+3)3 non si può eseguire direttamente con le proprietà
delle potenze perché le basi non sono uguali. Però si può ragionare così:
dato che (−3)2 = (+3)2  (−3)2 ∙ (+3)3 = (+3)2 ∙ (+3)3 = (+3)5 = +243
Esponente DISPARI: la moltiplicazione (−2)3 ∙ (+2)5 non si può eseguire direttamente con le
proprietà delle potenze perché le basi non sono uguali. Però si può ragionare così:
dato che (−2)3 = −(+2)3  (−2)3 ∙ (+2)5 = −(+2)3 ∙ (+2)5 = −(+2)8 = −256
Esercizio 15:
Risolvi con le proprietà delle potenze:
15A) (−2)13 : (+2)10 = (−2)11 : (−2)10 = ………………………………
[𝑅: − 8]
15B) (+2)13 : (−2)10 = (+2)11 : (… . )10 = ………………………………
[𝑅: + 8]
15C) (−10)20 : (+10)17 = ………………..………………………………
[𝑅: 1000]
15D) (−2)3 ∙ (+2)5 = ……………………………………………………
[𝑅: − 64]
15E) (33 )5 : (−3)12 = ……………………………………………………
[𝑅: + 27]
Esercizio 16:
Semplifica le seguenti espressioni:
16A) [(+2)2 ∙ (−2)5 ]3 : (−2)17 + (−12): (−2)2
[R: +13]
16B) [(−2)2 + (−3)] ∙ (−1) + [(+3)3 ∙ (−3)8 ]: (−3)9 + [(−2)3 ]2 : (+2)4 + (−1)0
[𝑅: − 5]
2) In altri casi si può ricorrere alla scomposizione in fattori delle basi:
  : 3 
27 4 : 95  33
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4
2 5
 312 : 310  32  9
Esercizio 17:
Esegui con le proprietà delle potenze:
𝟏𝟕𝐀) 48 : 212 = (22 )8 : 212 =…………………….
[𝑅: 16]
𝟏𝟕𝐁) 1253 : 254 = …………..…………………….
[𝑅: 5]
𝟏𝟕𝐂) (−81)4 : (+3)3 : (−3)16 = ……..…………………….
[𝑅: 27]
Esercizio 18:
Semplifica le seguenti espressioni:
18A) [(+25)2 : (−125)]4 : [(−5)9 ]3 − (−5)2 − (−5)3 =
[𝑅: 95]
18B) {[(−16)4 : (−32)3 ]5 − (−2)3 }2 : (−6)2 =
[𝑅: 16]
PARAGAFO 2.3: Modulo o valore assoluto di un numero relativo
Il modulo del numero a si indica con a . Iniziamo con degli esempi:
3  3
3 3
0 0
Si può quindi osservare che:
 i valori assoluti di due numeri opposti coincidono
 l’unico numero che ha valore assoluto nullo è lo zero.
Esercizio 19:
Completa la seguente tabella inserendo per ogni numero 𝑛 l’opposto −𝑛 e il valore assoluto |𝑛| :
+4
-7
+2
0
-1
𝑛
+4
−𝑛
|𝑛 |
Esercizio 20:
Semplifica le seguenti espressioni con valori assoluti:
|−8| − |3 − 1| =……………………………………………
[𝑅: 6]
|24 ∙ 3| − |−23 | − |−52 | =………………………………………………
[𝑅: 15]
|−2|3 − |−2|2 =………………………………………………….
[𝑅: 4]
Esercizio 21:
Trova i numeri interi, se esistono, che soddisfano le seguenti uguaglianze e disuguaglianze:
|𝑎| = 8 [→: 𝑎 = 8 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 𝑎 = −8];
ES:
|𝑎| = −1 [→ 𝑛𝑒𝑠𝑠𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑠𝑜𝑑𝑑𝑖𝑠𝑓𝑎 𝑙′𝑢𝑔𝑢𝑎𝑔𝑙𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎]
|𝑎| = 10  …………………………..
|𝑎| = −4 ……………………………………..
|𝑎| = 0  ……………………………
2 ≤ |𝑎| < 6  …………………………………
|𝑎| ≤ 3  …………………………….
|𝑎| < 0  ……………………………………..
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Capitolo 3: L’insieme dei numeri razionali Q
PARAGRAFO 3.1: I numeri razionali
7
Le scritture
5
,
−5
,
3
1
−3
si chiamano frazioni e indicano il risultato delle divisione tra due
numeri (numeratore e denominatore della frazione); quindi in generale una frazione è data dalla
a
scrittura , dove a e b sono numeri relativi e b  0 .
b
FRAZIONI PROPRIE, APPARENTI E IMPROPRIE:
3
 La frazione  si dice propria e rappresenta un numero minore di 1 (il numeratore è minore
5
del denominatore).
15
 La frazione   3 si dice apparente rappresenta un numero intero (il numeratore è multiplo
5
del denominatore)
7
 La frazione  si dice impropria e rappresenta un numero non intero maggiore di 1 (il
6
numeratore è maggiore e non multiplo del denominatore)
10 10 : 5 2

 (cioè numeratore e denominatore
15 15 : 5 3
vengono divisi per tutti i loro divisore comuni e sono primi tra loro)
Un frazione può essere ridotta ai minimi termini:
Esercizio 22:
Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni:
22A)
14 30 27 60 90
88
48
78
48 10 50 60 9 12 20 60 44 60
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
; 22B)
21 40 72 70 320 121 108 208
32 15 150 70 12 36 24 18 24 80
FRAZIONI EQUIVALENTI:
2
5
Le frazioni e
si dicono equivalenti perchè rappresentano lo stesso numero. Infatti se le
6
15
2
1
5
1
riduciamo ai minimi termini: 6 = 3 e anche 15 = 3 .
2 5 1 100
Tutte le frazioni
; ; ;
; …….. rappresentano lo stesso numero, che si dice numero
6 15 3 300
razionale.
Tra i numeri razionali Q troviamo anche
relativi).
𝟏𝟎
𝟓
𝟐𝟎
= 𝟐 ( i numeri naturali) e −𝟓 = −𝟒 (i numeri interi
Esercizio 23:
Completa, quando è possibile, le seguenti uguaglianze:
4

;
5 20
2

;
7 28
4 8
 ;
5
4

;
12 15
2

;
13 23
7
 ;
21 9
Liceo Farnesina Roma
2
 ;
7 21
6

;
9 30
3

;
8 16
2

;
7 10
3

;
11 33
10

;
15 27
2

;
5 10
4

;
24 10
3 15

;
8
24

;
32 20
5

9 36
8 6

16
PARAGRAFO 3.2: Le operazioni interne all’insieme Q.
Le operazioni interne all’insieme Q sono le operazioni di addizione, di moltiplicazione, di
sottrazione (come per l’insieme Z) e anche la divisione.
Infatti la divisione tra due numeri razionali dà sempre per risultato un numero razionale:
 5 :  3 dà come risultato il numero razionale  5 .
3
PARAGRAFO. 3.3 Dalla frazione al numero decimale e viceversa
1.
2.
Per passare dalla frazione al numero che essa rappresenta si deve eseguire la divisione; possiamo
ottenere:
10 5
  5 un numero intero

2 1
7
 0,35 un numero decimale limitato

20
13
 0,86666....  0,86 un numero decimale illimitato periodico

15
Per passare dal numero decimale alla frazione generatrice:
496 124

 numero decimale limitato: 4,96 
100 25
̅ = 0, 25
̅ = 258−25 = 233
 numero decimale periodico: 0,258
⏟ ⏟
8
⏟
9 00
⏟
900
𝑑𝑢𝑒 𝑢𝑛𝑎
𝑐𝑖𝑓𝑟𝑒 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎
caso particolare: 1,9 

𝑢𝑛 𝑑𝑢𝑒
𝑛𝑜𝑣𝑒𝑧𝑒𝑟𝑖
19  1 18

 2 Quindi 1,9  2 !! E anche 0,9  1 , 9,9  10 .
9
9
Esercizio 24:
24A)Trasforma le seguenti frazioni in decimali:
15

9
29

24
90

60
125

66
10

3
81

120
50

15
24B)Trasforma i seguenti decimali in frazioni:
31,2 
0 ,5 
4 ,2 =
5,21 
1,1 
1, 9 
1,3 
0 ,3 
PARAGRAFO 3.4: Ordinamento in Q.
3
8
< 5 (quindi per ordinare due frazioni con lo stesso denominatore basta confrontare i
numeratori)
43
17
b) 20 e 8 invece non hanno lo stesso denominatore,
a)
5
li riporto allo stesso denominatore 
confrontando i numeratori vedo che
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43
=
86
20
40
86
85
40
>
40
e
17
8
85
= 40
, quindi posso ordinare le frazioni iniziali 
43
20
>
17
8
Esercizio 25:
Confronta le seguenti coppie di frazioni (metti <, >, =):
5
4
...... ;
3
7
7
5
...... ;
8
8
8
99
......
;
4
100
5
5
...... ;
6
9
11
11
...... ;
15
17
1
1
...... ;
3
5
12
9
...... ;
3
10
5
7
...... ;
3
3
1
1
......
2
7
1
33
......
2
66
Esercizio 26:
Risolvi i seguenti problemi con le frazioni:
26A) In una gara di tiro a segno Aldo ha fatto 9 centri su 12, Bruno ne ha fatti 11 su 18 e Carlo 10 su
15. Chi è stato il più bravo?
26B) Dario ha mangiato
1
2
di torta e Franco . Chi ne ha mangiata di più?
3
5
Esercizio 27:
Disponi in ordine crescente le frazioni di ciascuno dei seguenti gruppi:
1 2 3
, , ;
3 5 4
5 3 8 5
, , ,
;
6 2 7 14
3 2 1
, , ;
8 5 2
2 3 7
, , ;
3 4 7
7 5 7 9
, , , ;
8 3 6 8
15 6 3 8
, , ,
;
8 5 2 15
4
5
, 1,
5
4
PARAGRAFO 3.5: Operazioni in Q e loro proprietà
Le proprietà delle operazioni sono le stesse che abbiamo già visto in N e in Z .
Esercizio 28:
Calcola:
1
3
2
del doppio di 20 (R=10); 28B) del doppio di 10 (R:15) ; 28C) del triplo di 7 (R:14);
4
4
3
1
2
3
28D) del doppio di 16 (R:2) 28E) del quadruplo di 14 (R:16); 28F) del doppio di 24 (R:18);
7
8
16
28A)
28G)
1
della metà di
5
4
8 (𝑅: 5);
28H)
1
7 3
di .
(𝑅:
4 5
3
7
20
)
Esercizio 29:
Traduci ciascuna delle seguenti frasi in espressione aritmetica e calcolane il valore:
a)
b)
c)
d)
7
2
1
il cubo di . (𝑅: 200)
5
2
233
3
2
1
Addizionare al quoziente fra e il quadrato di . (𝑅: 200)
4
3
5
25
1
1
12
Elevare al cubo la somma di e di e moltiplicare il risultato ottenuto per
. (𝑅: 18)
2
3
5
11
1
2
1
Sottrarre dal quadrato della somma di e la differenza tra 1 e
(𝑅: 30)
2
3
5
Sottrarre dal quadrato di
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Esercizio 30:
Calcola il valore delle seguenti espressioni sul ruolo dello zero nelle operazioni:
0
 30  …………….. (R:1)
10 3 

5  3  2  : 7  …………………..


2

  0 ,6   …………………… (R: indeterminata)
3


 14 2

(R:0)
6 :  :  7   ………………………. (R: impossibile)
5 5

5
1

  0 ,3   …………………………..(R:0)
3


0  6  6   …………………….. (R:0)
3 40 

   5  ……………………….. (R:0)
4 
10
3 

Esercizio 31:
Semplifica le seguenti espressioni:
3 2 5
13
31A)     :  
2
2 4
2
2
[R:1]
 4 
2
2
1 2
3
1 9
31B)     :  2   
6
15
10 

4
5
[𝑅:
16
9
]
2
31C)
31D)
2
2
2
 3 1 1  
3
1  
1 5


   : 1    1    :  3   
5
2  
4 2
 20 4 5  


2
3
2
 4 1  2 
1 1   3  3
   :  2         :     1
4 2   2  2
 3 6  

5

 R : 54 


2
1 3   1 3
 1
 
 
 5 10   10 2 
1
3 2
1
2
1 3
1 2
[𝑅: 0]
5 2
31E) {[(2 + 4) − (2 − 4) ] : (2 − 2) } : (1 − 9)
[R:
64
]
729
Esercizio 32
Calcola il valore delle seguenti espressioni letterali sostituendo alla lettera il valore indicato:
32A)
32B)
a2
2

2
a
a a
a2
2

2
a
a a
a
1

R :  7  ;


3
4
R : espressione priva di significato 
a  1
2
32C)
4  x 2  1 

 x2
3  x  1 
32D)
4  x 2  1 

 x2
3  x  1 
x
3
2
2
x  1
4

R :  3 


;
R : espressione priva di significato 
Esercizio 33:
3
1
33A) Il proprietario di un terreno di 12500𝑚2 ne utilizza 10 per coltivare grano, 5 per la vigna e il
rimanente per la frutta; quanti 𝑚2 sono destinati alla frutta? [𝑅: 6250𝑚2 ]
3
33B) Giovanni ha acquistato un terreno pagando alla consegna 6000 euro, cioè i 10 del prezzo, e il
restante in rate da 1750 euro l’una. Con quante rate estinguerà il suo debito ? [𝑅: 8]
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PARAGRAFO 3.6: Il reciproco e le potenze con esponente negativo
RECIPROCO:
3
5
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒓𝒆𝒄𝒊𝒑𝒓𝒐𝒄𝒐
5
−
;
3
4
7
7
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒓𝒆𝒄𝒊𝒑𝒓𝒐𝒄𝒐 −
1
; 5 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒓𝒆𝒄𝒊𝒑𝒓𝒐𝒄𝒐
4
0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒓𝒆𝒄𝒊𝒑𝒓𝒐𝒄𝒐 𝑛𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒 ; 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒓𝒆𝒄𝒊𝒑𝒓𝒐𝒄𝒐 1
𝑎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒓𝒆𝒄𝒊𝒑𝒓𝒐𝒄𝒐
5
1
;
𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 1: 𝑎
𝑎
Se moltiplichi un numero per il suo reciproco ottieni 1.
POTENZA CON ESPONENTE NEGATIVO:
2
2
3
2
    
2
3
Per dimostrarlo non possiamo ricorrere alla definizione di potenza, perché la definizione di potenza
vale solo se l’esponente è positivo. Però si può ragionare così:
2
2
0
3
3
3
       1
2
2
2
3 −2
Quindi (2)
3 2
3
× (⏟
) = 1, quindi il numero  
2
2
9
2
4
3
 
2
Quindi:
Esercizio 34
2 −2
(− 3)
5 −3
(− )
2
3 …..
= (− 2)
= (
1−3 = (
…..
)
=
…..
)
9
4
= −
= 1 ;
;
8
125
1 −3
(+ 2)
3
deve essere il reciproco di 4, cioè  
2
9
2
…..
= (+ )
1 −5
; (− )
3
(−1)−2 = (
= (
…..
)
....
)
1 …..
;
3−4 = (+ )
= −32 ;
5−3 = (+ )
= 8
= 1 ; 0−5 = (
…..
…..
)
3
3 
2
3
3
2
 9 3
 1  2  1
     1  2  :  1  4   : 3  3    1 
      :  
5 
5  
 7  
 3
 2  5  5 

 

35B)
2 
1
3
2 


 10 
 4
 4 
2  3 





3






:












 2    3 
 3
 3 



35C)
3
26 2
2 5
1
2
2 −4
(− 3) : [(− 13) ∙ (45) ] ∙ [(− 3) ∙ (− 3) ]
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4
9
2
35A)
15 2

2
  .
3
=
=
= operaz. imp
Esercizio 35
Semplifica le seguenti espressioni contenenti potenze con esponenti negativi:
2 4
2
15 

R :  2 


12 

 R :  11 


[𝑅: 1]
1
81
1
125
PARAGRAFO 3.8: Approfondimento sull’utilizzo delle proprietà delle potenze.
5
2
1 5
2 −2
(3) ∙ 37 = 3….. ∙ 37 = 3…. = 9 ; (− 5)
2
2
5
 5  7
 5  5
 Se le basi sono reciproche:               
 7  5
 7  7
Esercizio 36
Completa:
5 3
…..
∙ (− 2) = (− )
2
 5
  
 7
3
….
….
∙ (− ) = (− )
2
2
2
=−
3125
32
2
4
 3
 2
 5  2 
5 2 
2
 Se gli esponenti sono opposti                       
81
 5
 15 
 3   15 
 3 15 
9
Esercizio 37
Semplifica le seguenti espressioni contenenti potenze con esponenti opposti:
3
3  
2 
 14 3
7
4
1
11
37A)   :       :   5    
 9 
37B)
 3 3
  2 
2
4
4
3
 4
  3  
 1 
  2       :  2 4 :    
 5
  5   
 2  
1

 R : 16 



3
R : 1
1
Capitolo 4: Proporzioni e percentuali
PARAGRAFO 4.1:Proporzioni.
La scrittura a : b  c : d si chiama proporzione. Per esempio : 10: 5 = 6: 3 e significa che il rapporto
tra 10 e 5 è uguale al rapporto tra 6 e 3 (infatti valgono 2 entrambi).
Una proporzione in cui i medi siano uguali si dice continua. Per esempio, la proporzione 3:9=9:27 si dice
continua. Il medio che si ripete si chiama medio proporzionale.
PROPRIETA’ FONDAMENTALE DELLE PROPORZIONI:
In una proporzione a:b=c:d il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, cioè:
a  d  bc
Esempio: 6 : 8  x : 32  x 
6  32
, e semplificando x  24 .
8
Esempio: 20 : x  x : 5  x 2  20  5 , quindi x 2  100 , quindi x = 10.
Esercizio 38
Risolvi le seguenti proporzioni:
[𝑅: 𝑥 = 4]
a)𝑥: 9 = 1: 2,25
c) 0,25:
3 5
5
12
̅ [𝑅: 𝑥 =
= 𝑥: 0, 4
2 4
2
5 1
4
15
5 10
b) 3 :
]
4
6
[𝑅: 𝑥 = ]
7
= 𝑥: 7
7 2
1 3
2
4
2
5
d) (2 − ) : (1 − ) = : 𝑥
3
11
e) (2 : 2 + 3 : 9) : 𝑥 = (3 − 2 ∙ 4): (2 − 14)
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9
[𝑅: 𝑥 = 36]
4
[𝑅: 𝑥 = ]
5
Esercizio 39
Risolvi i seguenti problemi utilizzando le proporzioni:
39A) In un triangolo la lunghezza della base sta a quella dell’altezza come 7 sta a 5; sapendo che
[𝑅: 280𝑐𝑚2 ]
la base è lunga 28 cm, calcola l’area del triangolo.
39B) La distanza tra i punti A e B sta alla distanza tra i punti B e C come 4 sta a 5; sapendo che
BC=15cm, calcola AB. [𝑅: 12𝑐𝑚]
5
39C) La somma di due numeri è 156 e il rapporto è 8 ; Trova i due numeri. [𝑅: 78 𝑒 24]
PARAGRAFO 4.1: Le percentuali
Le frazioni e le proporzioni possono essere utilizzate per calcolare percentuali e risolvere problemi con
le percentuali.
Esempio: calcoliamo il 40% del numero 60.
40%
di 60 =
40
 60  24
100
Esempio: in una scuola sono stati promossi 448 studenti su un totale di 560; qual è la percentuale dei
promossi rispetto al totale degli studenti?
448  100
 80 , cioè l’80% del totale.
560
80
448
 80%
Oppure con le frazioni: x 
 0 ,8 quindi x  0 ,8  0 ,80 
100
560
Con le proporzioni: 448 : 560  x : 100 , che risolta dà: x 
Esercizio 40:
Risolvi i seguenti problemi sulle percentuali:
[𝑅: 7,2]
40A) Calcolare il 20% di 36
40B) calcolare il 60% di 24.000 [𝑅: 14.400]
40C) Se 180 è il 90% di un numero, qual è il numero? [𝑅: 200]
40D) La primo tappa di un viaggio di 650 km è pari al 13% dell’intero percorso; calcola la
[𝑅: 84,5 𝑘𝑚]
lunghezza dell’intero percorso.
40E) Ho comprato una bicicletta e ho pagato 312 euro di acconto, cioè il 60% del prezzo intero;
quanto costa la bicicletta? [𝑅: 520 𝑒𝑢𝑟𝑜]
40F) In un seggio elettorale hanno votato 714 elettori su 850 iscritti alle liste; qual è stata la
[𝑅: 84%]
percentuale dei votanti?
40G) Una ditta pratica lo sconto del 15% sull’acquisto del materiale edile; qual è lo sconto per una
[𝑅: 216,90 𝑒𝑢𝑟𝑜]
fornitura di 1446 euro?
40H) Ho percorso il 50% di una strada; il 20% del tratto percorso è alberato. Che percentuale
[𝑅: 10%]
dell’intera strada rappresenta il tratto alberato che ho percorso?
40I) In un acquario ci sono120 pesci; il 30% sono rossi e di questi il 50% ha una pinna dorsale
[𝑅: 18]
nera. Quanti pesci rossi con pinna dorsale nera ci sono nell’acquario?
Liceo Farnesina Roma
Capitolo 5: Calcolo letterale: monomi e polinomi
Monomio:−3a2 b (coefficiente= −3 ; parte letterale= 𝑎2 𝑏 ) ; è un’espressione letterale senza
addizioni e sottrazioni
3
7
Esempi: −𝑥 3 (coefficiente=-1 ; parte letterale = 𝑥 3 ); − 2 𝑏 (coefficiente=− 5 ; parte letterale = b)
𝑎
3𝑎−2
oppure 2 𝑏 non sono monomi (sono frazioni algebriche)
PARAGRAFO 5.1 OPERAZIONI TRA MONOMI.
ADDIZIONE : 3a + 2a = (3 + 2)a = 5a (i monomi simili, cioè con la stessa parte letterale, si
possono sommare e sottrarre)
SOTTRAZIONE: 6x − (+2x) = 6x + 2x = 8x
Esercizio 4
3
1
3
….
……− …..
7
41A) 2 𝑥𝑦 − 3 𝑥𝑦 = (2 − ….) 𝑥𝑦 = 6 𝑥𝑦 = 6 𝑥𝑦
7
3
2
1
4
1
[𝑅: + 𝑥 − 𝑦]
5
3
[𝑅: 2𝑎 − 𝑎2 𝑏]
41B) + 𝑥 − (+ 𝑥) + (− 𝑦) − (− 𝑦)
5
5
3
3
41C) +6𝑎2 𝑏 − (−5𝑎 + 3𝑎) + (2𝑎2 𝑏 − 9𝑎2 𝑏)
MOLTIPLICAZIONE: (2x 2 y) ∙ (−3xz) = −6x 3 yz
Esercizio 42
42A) (−𝑎𝑏2 ) ∙ (−3𝑎) = ⋯ 𝑎2 𝑏..
3
4
42C) 𝑎(3𝑎3 − 8𝑎3 ) − 4𝑎3 (−7𝑎 + 3𝑎) + 𝑎2 (−𝑎2 )
1
3
4
…
42B) (− 2 𝑎) ∙ (+ 21 𝑎𝑏) = (− 2 ∙ 21) 𝑎…𝑏 = − … … …
[𝑅: 10𝑎4 ]
2
42D) 2 𝑥 (−6𝑦 + 4𝑦) − 3 (−9𝑥𝑦 + 3𝑥𝑦)
[𝑅: 3𝑥𝑦]
DIVISIONE: (−12a5 ) ∙ (6𝑎2 ) = (−12: 6)𝑎3 = −2𝑎3
Esercizio 43
43A) (−8𝑎𝑥 7 ) ∙ (4𝑎𝑥 5 ) = (−8: 4)𝑥 .. = − ⋯ 𝑥 2
2
1
2 1
2
43B) (+ 3 𝑎𝑥 2 ) : (+ 9 𝑥) = (+ 3 : 9) 𝑎𝑥 = (− 3 ∙ 9) 𝑎𝑥 = −6 …
1
3
2
43C) (− 2 𝑎5 ): (− 4 𝑎3 ) = ……………………………………………
[𝑅: 𝑎2 ]
3
43D) −25𝑥 5 : (−5𝑥 3 )— 16𝑥 5 + 4𝑥 5 : (−4𝑥 3 )
[𝑅: 2𝑥 2 ]
POTENZA: (−2a3 )2 = (−2)2 (a3 )2 = 4a6
Esercizio 44
2
3
… …
44A) (− 3 𝑎) = (− …) 𝑎3 ……….
1
2
1
8
2
2
2
44B) (−2𝑥 2 )2 ∙ (+ 2 𝑦) − (− 3 𝑥 2 𝑦) − (−3𝑥 2 ) (3 𝑥𝑦)
44C) [(−6𝑥 3 )2 : (18𝑥 4 ) − (−4𝑥 )2 − 7𝑥 ∙ (−8𝑥 )]: (−8𝑥 + 2𝑥 )
Liceo Farnesina Roma
[𝑅: − 𝑎3 ]
27
20
[𝑅: 𝑥 4 𝑦 2 ]
9
[𝑅: − 7𝑥 ]
MOLTIPLICAZIONE DI UN POLINOMIO PER UN MONOMIO:
2a ∙ (−5 + 6𝑎) = 2𝑎 ∙ (−5) + 2𝑎 ∙ (6𝑎) = −10𝑎 + 12𝑎2
Esercizio 45
45A) −3𝑥 (−8𝑥 + 10𝑥𝑦) =
45B)
[𝑅: 24𝑥 2 − 30𝑥 2 𝑦]
−3𝑎(𝑎2 − 2𝑎 − 1) + 2𝑎(4𝑎2 − 3𝑎 − 2)
[𝑅: 5𝑎3 − 𝑎]
45C) 𝑎2 (−3𝑎 − 10𝑎2 ) + 3𝑎 (−𝑎2 − 4𝑎 − 1) − 2(−5𝑎4 − 6𝑎2 − 6𝑎)
[𝑅: − 6𝑎3 + 9𝑎]
MOLTIPLICAZIONE DI DUE POLINOMI:
(a + b) ∙ (𝑥 + 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦 (si moltiplicano tutti i termini del primo per tutti i termini
del secondo)
Esercizio 46
46A) (5 + 𝑎)(1 − 𝑎2 ) =
[𝑅: − 5𝑎2 + 𝑎]
46B) (𝑎 + 2)(𝑎 + 8) =
[𝑅: 𝑎2 + 10𝑎 + 16]
46C) (𝑥 − 3)(2 − 𝑥 ) =
[𝑅: − 𝑥 2 + 5𝑥 − 6]
46D) (𝑥 2 + 3)(2𝑥 − 4𝑥 2 ) − 6(𝑥 − 2𝑥 2 ) + (𝑥 2 + 1)(4𝑥 2 − 2𝑥 ) =
[𝑅: 4𝑥 2 − 2𝑥 ]
Esercizio 47
Scrivi l’espressione che traduce la seguente frase:
47A)Moltiplica la somma del doppio di x col triplo di y per la differenza tra x e y .
[𝑅: (2𝑥 + 3𝑦)(𝑥 − 𝑦)]
[𝑅: 3𝑎 − (𝑏 + 4𝑎)]
47B) Sottrai dal triplo di a la somma di b col quadruplo di a.
Esercizio 48
Risolvi i seguenti problemi con i polinomi (fai anche le figure):
7
48A) In un triangolo isoscele la base misura a e ogni lato obliquo misura 4 𝑎 . Quanto misura il
9
[𝑅: 𝑎]
perimetro?
2
3
48B) In un rettangolo la base misura 2a e l’altezza è 4 della base. Determina il perimetro. [𝑅: 7𝑎]
7
48C) In un triangolo la base è 3a e l’altezza è 6b; determina l’area. Se la base viene aumentata di 2 𝑎
[𝑅: 9𝑎𝑏; 4𝑎𝑏]
e l’altezza viene diminuita di 2b, di quanto varia l’area?
9
48D) In un rettangolo il lato minore misura b , quello maggiore è 4 del minore aumentato di 3;
determina il perimetro.
Liceo Farnesina Roma
[𝑅:
13
2
𝑏 + 6]
Capitolo 6: Le equazioni di primo grado
PARAGRAFO. 6.1: Le identità numeriche e letterali.
Date le due espressioni numeriche 3  7  2  5 e 28  5  3  4 , eseguendo le operazioni indicate si può
verificare che le due espressioni danno come risultato 20 ; si può quindi porre l’uguale tra le due
espressioni 3  7  2  5  28  5  3  4 . La precedente espressione è un’identità numerica.
Esercizio 49:
Verifica se le seguenti espressioni sono delle identità
49A) 13  23  20  40 
e
4   1  5   9   1
49B)  5  1  6   3   1  9  5
[𝑅: 𝑠ì]
1  2  10  8   10  7  4   6
e
[𝑅: 𝑛𝑜]
Consideriamo ora le due espressioni letterali 3  4a  2 e 12a  6 , è evidente che eseguendo i calcoli
indicati nella prima espressione si ottiene la seconda, si può quindi porre l’uguale tra le due espressioni
3  4a  2  12a  6 . L’espressione ottenuta è un’identità letterale.
Esercizio 50:
Verifica se le seguenti espressioni sono delle identità
50A) x  1x  1  21  3x  x  2x  3  3
50B) 2x  3  41  2 x  3x  1
e
e
3x  1  2 x  5  4x  2  3
3x  2  2 x  1  9  3x  1  3 x
[𝑅: 𝑛𝑜]
[𝑅: 𝑠ì]
PARAGRAFO. 4.2: Le equazioni.
La forma normale di una equazione è ax  b .
Dividendo b (termine noto) per a (coefficiente dell’incognita x ), si ottiene la soluzione
b
dell’equazione: x  .
a
5
7
Esempi: a) 7 x  5  x  ;
b) 10 x  2  x  
2
10
semplifico la frazione ed ottengo il risultato (soluzione o radice
dell’equazione)  x  
1
5
Per risolvere un’equazione si può trasportare un termine da sinistra dell’uguale a destra (o viceversa),
ricordandosi di cambiare il segno.
Esempi: a) 9 x  7  11  3x
trasporto i termini da una parte all’altra dell’uguale  9 x  3x  11  7
sommo i termini simili  6 x  18
 x
18
6
Liceo Farnesina Roma
semplifico la frazione ed ottengo il risultato  x  3 ;
b)  2x  3  4 x  31  x
tolgo le parentesi  2 x  6  4 x  3  3x
trasporto i termini da una parte all’altra dell’uguale  2 x  4 x  3x  3  6
sommo i termini simili  3x  3
 x
3
 x 1
3
Sostituendo alla x , nel testo dell’equazione, la soluzione ottenuta si deve ottenere un’identità (verifica
dell’equazione)
Esempio: data l’equazione  2x  3  4 x  31  x verifico se ottengo una identità per x  1
 21  3  41  31  1
svolgo i calcoli ed ottengo  0  0 . Ho ottenuto un’identità.
Esercizio 51
Risolvi le seguenti equazioni:
2
51B)+3𝑥 = 0
[𝑅: 𝑥 = 0]
3
51D) −3𝑥 = +3
[𝑅: 𝑥 = −1]
51A) −10𝑥 = +4
[𝑅: 𝑥 = − ]
5
51C) +8𝑥 = 6
[𝑅: 𝑥 = + ]
4
51E)−7𝑥 + 6 = −𝑥 + 2
[𝑅: 𝑥 = + ]
3
2
51F) 4𝑥 + 1 = 3𝑥 − 12
[𝑅: 𝑥 = −13]
51G) −2𝑥 + 4 − 1 + 5𝑥 = −3𝑥 + 2 − 5
[𝑅: 𝑥 = −1]
51H) −2𝑥 + 1 + 2(−3 + 𝑥 ) = 𝑥 − 1
[𝑅: 𝑥 = −4]
51I) (−2 − 𝑥 + 1)(−3) − 𝑥 = −2(𝑥 − 4)+1
[𝑅: 𝑥 = + ]
2
51L) (−4𝑥 − 𝑥 − 3)(−1) − (𝑥 − 1)(−3) = −2
[𝑅: 𝑥 = − ]
4
5
51M) 19 − 6 𝑥 = 4
[𝑅: 𝑥 = +18]
𝑥
4
51P) 3𝑥 − 4 = 1 + 2𝑥 [𝑅: 𝑥 = − 3]
3
1
𝑥
51N) 3 + 4 = 𝑥 + 6
51Q)
1−𝑥
3
1
+2=
3𝑥−1
6
[𝑅: 𝑥 = −4]
6
[𝑅: 𝑥 = + ]
5
Esercizio 52
Verifica se il valore indicato al fianco dell’equazione è soluzione dell’equazione, se non lo è
calcola la soluzione dell’equazione:
52A) 19𝑥 − 4(3 + 5𝑥 ) = 21 − 2(3 − 𝑥 )
52B)
52C)
52D)
4
9
1
2
(𝑥 − 1) + 𝑥 = 𝑥 − 1
3
(2𝑥 − 1) = 𝑥 − (
3
2𝑥
3
𝑥
− (1 − 4 ) = −
Liceo Farnesina Roma
10
𝑥 = −5
2
− 𝑥)
3
3
3𝑥−2
1
12
𝑥 = −9
+ 2 (𝑥 − 1)
𝑥=3
𝑥=1