S_060308-MO

MISURE OTTICHE
mercoledì 8 marzo 2006
Prof. Cesare Svelto
Tempo a disposizione 2h15min
Quarto appello AA 2004/2005
Aula B.2.4 ore 16.15
COGNOME: ____________________________ Nome: ________________________
(stampatello)
CdLS e anno: ___________ Matricola e firma __ __ __ __ __ __ _______________ (firma leggibile)
CROCETTARE
Esercizi svolti (almeno parzialmente)
Compito intero : 1 2 3 4
PUNTEGGI:
(11+9+8+6=34 p)
N.B. gli esercizi non crocettati non saranno corretti; quelli crocettati ma neanche iniziati comporteranno una
penalità. Si chiede, se possibile, di spuntare anche le domande parziali a cui si è risposto [e.g. 1a), 1b), 1c) etc.].
SOLUZIONI
(45 min)
Esercizio 1
(svolgere su questo foglio e sul retro)
1) Con un telemetro laser a onda continua (con modulazione sinusoidale della potenza ottica) si vuole
misurare la distanza tra due case, in vista reciproca e a distanza L500 m, edificate nella pianura padana. La
sorgente laser impiegata è un diodo a semiconduttore (lunghezza d'onda s=670 nm, divergenza s=2 mrad, e
potenza Ps=20 mW). Per ipotesi il bersaglio è cooperativo e riflette tutta la potenza incidente verso il
trasmettitore-ricevitore del telemetro. L’ottica di raccolta ha un diametro Dr=10 cm e il ricevitore è costituito
da un fotodiodo al silicio seguito da un amplificatore a transimpedenza con guadagno G=4 k. Una prima
misura viene effettuata in una giornata con aria limpida (1=0.1 km-1) e una seconda misura in una giornata di
nebbia (2=6 km-1).
1a) Si indichino le espressioni delle potenze ottiche ricevute nelle due misurazioni. Si calcolino tali valori
esprimendoli sia in watt che in dBm e si valuti il loro rapporto in dB.
1b) Si valutino i due livelli di fototensione all’uscita del ricevitore.
1c) Si indichi, motivando la risposta, come deve essere scelto il periodo Tm della modulazione per non avere
ambiguità nella misura della distanza tra le due case. Si valuti la migliore risoluzione ottenibile per la misura
se al ricevitore è possibile rilevare uno sfasamento minimo min=1°.
1d) Si dimensioni, almeno come ordine di grandezza, l’area circolare del fotodiodo in ricezione
(esprimendola in m2) e si indichi un valore tipico di responsivity per questo tipo di fotorivelatore alla
lunghezza d'onda di lavoro.
1e) OPZIONALE Disponendo di diverse frequenze di modulazione possibili, come si potrebbe misurare la
distanza con una risoluzione migliore di quella calcolata al punto 1c)?
1a) La potenza ottica ricevuta per un telemetro con bersaglio cooperativo è
Dr2
Pr  ToptTatm 2 2 Pt
 s 4L
dove Topt e Tatm sono le trasmissioni in potenza delle ottiche impiegate e dell’atmosfera attraversata,
rispettivamente, e L e la distanza tra il telemetro e il bersaglio.
Nel nostro caso, in assenza di informazioni specifiche, la trasmissione delle ottiche di lancio e ricezione può
essere considerata unitaria (Topt1: ottiche ideali) mentre dobbiamo considerare Tatm,1,2=exp(-1,22L) dove il
pedice “1,2” tiene conto delle due condizioni di misura considerate.
Pertanto,
(0.1) 2
Pr,1,2  exp( 1, 2  2L)
 20 mW  exp( 1, 2  2L)  50 W
2
2 10 3  2  500
con Pr,1=exp(-0.1)50 W0.950 W=45 W=-13.5 dBm


_______
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e Pr,2=exp(-6)50 W2.510-350 W=125 nW=-39 dBm
Il rapporto tra le due potenze ricevute è (Pr,1/Pr,2)dB=[(-13.5 dBm)-(-39 dBm)]=25.5 dB (355).
1b) La fototensione all’uscita del ricevitore è Vr=GIr=GPr con =Si,670nm0.5 A/W. Le due fototensioni
sono quindi Vr,1=90 mV e Vr,2=0.25 mV.
1c) Per evitare l’ambiguità nella misura di fase sul segnale ricevuto, occorre che il periodo della
modulazione sia superiore al tempo di volo (di andata e ritorno o di round-trip) della radiazione ottica:
TmodTround-trip=2L/c3.33 s3.5 s e quindi fmod=1/Tmod300 kHz.
c 1
 che fornisce la risoluzione spaziale del telemetro in funzione della
Dalla relazione L 
2 2f mod
risoluzione
sullo
sfasamento,
si
ricava
la
migliore
risoluzione
8
c
1
3 10
1
1
Lmin 
 min 
2   m
3
2 2f mod, max
2 2  300 10 360
con una risoluzione relativa Lmin/L=1.4/500=0.28 %.
1d) Poiché la modulazione sul segnale a onda continua tipicamente è “piuttosto lenta” (tipicamente
<10 MHz), non occorre impiegare un fotodiodo “veloce” e ad area stretta. Si potrebbe dunque impiegare un
diodo al silicio con diametro dell’area sensibile di circa 1 mm. Se il diametro del fotodiodo è DPD=1 mm
allora la sua area è APD=(DPD)2/40.7510-6 m2 (non vi è alcuna difficoltà a focalizzare tutto il fascio raccolto
su questa area sensibile). La responsivity (sensibilità della corrente d’uscita al variare della potenza ottica
incidente) per un fotodiodo al silicio vale circa 0.7 A/W nel visibile e quindi, per comodità di calcolo,
possiamo assumere Si,670nm0.5 A/W.
1e) Con una prima misura a fmod,1=300 kHz si determina “grossolanamente” la distanza L, ricavandone un
valore L1L, noto per difetto entro un errore L11.4 m. Quindi aumentando la frequenza di modulazione si
effettua una seconda misura “in maniera più fine” e si elimina l’ambiguità grazie alla conoscenza ricavata
dalla prima determinazione. Se ad esempio, si utilizza per la seconda misura fmod,2=100fmod,1=30 MHz, si
avrà una risoluzione L2=(1/100)L11.4 cm.
ESEMPIO: si immagini di dover misurare L=495.11 m
1a misura con fmod,1=300 kHz e L1=1.388889 m
L1=n1L1  n1=L1/L1=356.479 e dunque <n1>=356, per cui la misura vale L1=<n1>L1=494.444 m
avendo indicato con <x> la parte intera del numero x.
2a misura con fmod,2=30 MHz e L1=1.388889 cm
L2=L-L1=0.665555 m=n2L2  n2=L2/L2=47.92 e dunque <n2>=47, per cui la misura parziale vale
L2=<n2>L2=0.652778 m ed infine la misura totale è *L2=494.444 m+0.653 m=495.097 m (L e in difetto di
meno di L21.4 cm).
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(35 min)
Esercizio 2
(svolgere su questo foglio e sul retro)
2) È dato un interferometro di Mach-Zender (disegnato in figura), in cui la sorgente è un laser a
semiconduttore che emette 1 mW di potenza a  = 650 nm, e si ha: L1 = 0.5 m, L2 = 0.3 m. L’interferometro
è utilizzato per misurare le variazioni di cammino ottico che vengono generate in un cristallo di Niobato di
Litio (LiNbO3) tramite effetto elettro-ottico, o tramite variazioni di temperatura. Per T = 20 °C la lunghezza
del cristallo vale X = 10 cm. Le superfici terminali del cristallo presentano un trattamento anti-riflesso.
L’indice di rifrazione del cristallo (per la specifica polarizzazione lineare considerata) vale n = 2.20.
FD 1
misurando
FD 2
X
L2
LASER
L1
2a) Si specifichi quale tipo di fotodiodo conviene impiegare, e il guadagno di transimpedenza che consente
di avere segnali elettrici all’uscita dei singoli fotodiodi dell’ordine di 1 V
2b) Sapendo che il coefficiente di dilatazione termica del LiNbO3 vale  = 1510-6 °C-1, si determini il
numero di frange interferometriche (Nfrange) che si misurano tramite i fotodiodi allorché la temperatura del
cristallo varia da T1 = 20 °C a T2 = 50 °C, supponendo che l’indice di rifrazione rimanga costante al variare
della temperatura. Quante frange si osserverebbero, a pari condizioni, se la distanza L1 fosse pari a 1 m?
2c) A temperatura costante, applicando ai capi del cristallo una differenza di potenziale pari a 100 V, si
sviluppano N = 10 frange interferometriche complete. Valutare la variazione dell’indice di rifrazione che è
stata così indotta tramite effetto elettro-ottico.
2d) Quante frange interferometriche si osservano se il cristallo viene spostato longitudinalmente di 1 cm ? E
quante se esso viene traslato trasversalmente di 2 mm?
2e) Il laser ha una larghezza di riga  = 20 MHz. Si valuti il rumore di fase generato a causa di questa
larghezza di riga. Tale rumore di fase può influenzare negativamente la misura delle frange interferometriche
generate nei casi precedenti? Perché?
OPZIONALE: Se si considera una incertezza standard di misura pari a 200 volte il limite imposto dal rumore
di fase, si esprima la misura di Nfrange del punto 2b) con l’adeguato numero di cifre significative.
2a) Fotodiodi al Silicio sono perfettamente adeguati. Supponendo una  = 0.5 A/W, un valore opportuno per
il guadagno di transimpedenza è:
Z = Vout / Iph = Vout / (P) = 1 / (0.50.001) = 2 k
2b) Nfrange =  / 2 = 2knX / 2 = 2(2/) n(XT) / 2 = (2/) n(XT) =
= (2/65010-9) 2.20(0.11510-6 30) = 304.61
Se la distanza L1 fosse pari a 1 m, il numero di frange osservate non cambierebbe.
2c) Nfrange =  / 2 = 2(2/)|n|X / 2

|n| = (Nfrange) / (2X) = (1065010-9) / (20.1) = 3.2510-5 = 0.0000325
2d) Se il cristallo viene spostato longitudinalmente oppure trasversalmente non si osserva alcuna frangia
interferometrica, poiché non si ha alcuna variazione del cammino ottico.
2e) L’interferometro è geometricamente bilanciato (ossia, i bracci di misura e di riferimento sono di uguale
lunghezza). Però, esiste uno sbilanciamento di cammino ottico, causato dalla presenza nel braccio di
misura del cristallo, che ha n = 2.20.
Tale sbilanciamento vale: L = (n - 1)X = (2.20 - 1)0.1 = 0.11 m
Il rumore di fase vale quindi: n =2L / c = 20.1120106 / 3108 = 20.0073 = 0.0461 rad.
Il rumore di fase risultante è inferiore al valore di sfasamento equivalente all’1% di una singola frangia, e
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quindi non è sufficientemente grande da compromettere la misura del numero di frange
(Nfrange=n/2=7.310-3 frange).
OP) Per ipotesi l’incertezza standard è u(Nfrange)=200Nfrange=14.610-1 frange1.5 frange.
Quindi, ricordando la risposta data al punto 2b), la misura del numero di frange è Nfrange = 304.61.5
oppure Nfrange = 3052, con evidenti problemi di conteggio del numero di frange.
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(30 min)
Esercizio 3
(svolgere su questo foglio e sul retro)
3a) Si illustri il funzionamento di un dithered-RLG (Ring Laser Gyro).
3b) Un aereo trasporta un RLG a cavità quadrata (installato con il piano del risonatore parallelo al pavimento
dell’aeromobile), con mezzo attivo a Nd:YAG, assimilabile per la nostra analisi ad una cavità circolare di
raggio R = 0.5 m. Si ricavi:
- l’espressione e il valore della sensibilità di frequenza (f = fsagnac/rot);
- il valore di fsagnac,0 quando l’aereo è fermo all’aeroporto di Milano Malpensa (latitudine 45° Nord);
- il valore di fsagnac,volo che si misura quando l’aereo vola sopra l’aeroporto di Milano Malpensa, a
10000 m di altitudine e con una velocità di crociera di 1000 km/h, muovendosi esattamente nella
direzione da Ovest a Est e parallelamente alla crosta terrestre.
3c) Il RLG del punto 3b) ha una frequenza di aggancio flock = 0.3 MHz.
Illustrare la tecnica da utilizzare per eliminare la zona morta tramite un dither meccanico, fornendo valori
numerici plausibili per il moto alternato da imporre al giroscopio.
3d) Utilizzando il RLG del punto 3b) con il metodo di conteggio di frange, si determini il valore dell’angolo
di rotazione minimo misurabile.
3a) Vedi Libro di testo e lucidi e appunti del Corso.
3b) f = 2R/ = 20.5/106410-9 = 939.85 kHz/(rad/s).
terra = (360°)/(24 h)=15 °/h = 7.2710-5 rad/s;
Ad aereo fermo all’aeroporto, la velocità di rotazione è rot = terrasin(45°) = 5.1410-5 rad/s e pertanto
fsagnac = f rot = 48.3 Hz.
Ad aereo in volo sull’aeroporto, la velocità di rotazione è rot = terrasin(45°) + v/[(RT+10 km)cos(45°)]
dove v=1000 km/h277.778 m/s è la velocità lineare dell’aeromobile e RT il raggio terrestre.
Ricordando che un metro è circa la quarantamilionesima parte del meridiano terrestre, si può scrivere
2RT40106 m
e
ricavare
dunque
RT6370 km.
Si
ottiene
dunque
-5
-5
-4
rot = ( 5.1410 + 6.1610 ) rad/s 1.1310 rad/s da cui infine fsagnac = f rot = 106.3 Hz.
3c) Imponiamo una oscillazione angolare alternata del tipo: dither(t) = 0cos(2fdithert). La velocità angolare
massima è: dither,max = 02fdither. Occorre imporre che tale velocità angolare risulti maggiore della
velocità angolare di sganciamento del giroscopio, data da: rot,lock = flock/f = 0.32 rad/s.
Scegliendo ad esempio fdither = 1 Hz, l’escursione angolare deve essere 0 > flock/(f2fdither) = 50 mrad.
3d) Il minimo angolo di rotazione misurabile è: min = 1/f = 1.064 rad.
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(25 min)
Esercizio 4
(svolgere su questo foglio e sul retro)
4a) Si elenchino le tipologie di sorgenti laser indicando per ciascuna le caratteristiche di maggiore
importanza per le applicazioni di sensoristica e metrologia.
4b) Si discutano brevemente le tecniche di stabilizzazione attiva della frequenza di un laser in continua
rispetto a un riferimento atomico/molecolare.
4c) Se un laser a Nd:YAG, duplicato in frequenza, viene agganciato a una riga spettrale della molecola di I2
ottenendo una stabilità assoluta di 2 kHz (sulle 24 h) a 532 nm, quanto vale la corrispondente stabilità in
lunghezza d'onda, relativa e assoluta, valutata in fondamentale (a 1064 nm)?
4a) Vedi lucidi e appunti del Corso.
4b) Vedi lucidi e appunti del Corso.
4c) A una lunghezza d'onda =532 nm frequenza è =c/=(3108 m/s)/(53210-9 m)564 THz, per cui la
stabilità di frequenza ottenuta sulla seconda armonica del Nd:YAG vale /(2 kHz)/(564 THz)3.510-12.
Questa è la stessa stabilità che si ha in fondamentale (a 0=1064 nm e 0282 THz).
Pertanto la stabilità relativa di frequenza a 1064 nm è 0/03.510-12 con una stabilità assoluta di 1 kHz.
Valutando le stabilità in lunghezza d'onda, occorre ricordare che /=-/ e dunque, considerando
fluttuazioni positive (e.g. valori di picco o efficaci delle fluttuazioni considerate), si ottiene immediatamente
la stabilità relativa 0/03.510-12 e la corrispondente stabilità assoluta 03.710-18 m3.7 am.
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