Fondamenti di Teoria dei Campi - Digilander
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Fondamenti di Teoria dei Campi (di Fazzi Federico) Introduzione Consideriamo nello spazio due particelle (masse o cariche o qualsiasi altre particelle), tra queste si instaurerà una interazione che obbedirà a particolari leggi (es. la legge della gravitazione universale se si parla di masse, la legge di coulomb se si parla di cariche ecc.). La natura di queste interazioni può essere spiegata con la meccanica di Newton, giustificando una certa forma di interazione a distanza. Si consideri ora una particella; evidentemente non noterò nulla, poiché non vi sono condizioni necessarie per assistere ad una interazione. Mi sorge spontanea una domanda: il fatto di non poter osservare nessuna interazione, implica necessariamente l’assenza di ogni forza potenzialmente applicabile ad una generica particella di prova? La quiete del moto implica necessariamente l’assenza dell’interazione? Rispondiamo a queste introducendo una grandezza fisica E (campo): F E (1) Dove α è la generica particella di prova e F la forza d’interazione generata tra la particella generatrice del campo e quella di prova. E’ evidente che la presenza di una singola particella nello spazio dà a quest’ultimo delle proprietà riassunte nella formula (1). DEF: il campo è la proprietà dello spazio che associa localmente, in un punto P, una forza agente su una qualunque particella (di natura coerente con quella del campo) tale che: F = αE. A questo punto abbiamo abbastanza informazioni per definire il campo generato da una generica particella (massa e carica) in un punto P a distanza r dall’origine: GM E gravitazionale 2 rˆ r Q Eelettrostatico 2 rˆ r Per loro natura il campo gravitazionale ed elettrostatico sono conservativi. Conservativi sono tutti quei campi vettoriali tali che: E E _ conservativo rotE 0 (2) Dom E aperto _ semplicemente _ connesso Questa definizione equivale a dire che il lavoro compiuto dal campo su una carica di prova lungo un circuito chiuso è nullo. Vediamo alcune conseguenze importanti di questa definizione: 1) Si viene a definire così una grandezza scalare φ (potenziale) tale che: 1 GM r Q E dr r gravitazionale E dr elettrostatico 2) Dal sistema deriva che il lavoro compiuto dal campo si può scrivere come meno la differenza di potenziale (ammesso che il campo sia opposto in verso al sistema di riferimento scelto). 3) Ricordando il teorema dell’energia cinetica, in un modello fisico in cui compiono lavoro le sole forze conservative l’equazione del lavoro totale può essere riarrangiata in modo che risulti il principio di conservazione di energia meccanica (Ea=Eb). Teoremi di Gauss in forma integrale e locale: in forma integrale ( Eelettrostatico ) E ds 4qint s ( E gravitazionale ) E ds G 4M int s in forma locale Eelettrostatico 4qint E gravitazionale G 4M int Mint e qint sono la massa contenuta in una superficie gaussiana e la carica contenuta in una superficie gaussiana. Nota: la scelta positiva o negativa del campo e del potenziale elettrico/gravitazionale è dettata dal sistema di riferimento; bisogna sapere a priori come sarà diretto il campo (forza attrattiva o repulsiva) e agire di conseguenza nella scelta del segno. Quanto detto sin’ora spiega e descrive elementarmente i campi ma non ci dice nulla su quella che è la loro natura intrinseca: non possiamo rispondere alla domanda “cos’è il campo?” ma possiamo tranquillamente descriverlo. 2 Vediamo alcuni esempi di derivazione di campi e potenziali: Derivazione della teoria gravitazionale del campo generato da una distribuzione piana omogenea di masse A Si consideri una distribuzione piana infinita di massa di densità σ. Data la simmetria le linee di forza del campo saranno perpendicolari il piano. Considerata una superficie gaussiana parallelepipeda si ha dal teorema di Gauss: 2 E dA G 4A A E rˆ 2G Il potenziale del campo sarà: Edr r 2G L’asse di riferimento su cui misurare r è perpendicolare al piano è uscente ed ha lo 0 sul piano. Sia dato un corpo di massa m all’interno del campo E. La forza F e l’energia potenziale U associate sono: F mE m2Grˆ U m mr 2G Se si considera la F come l’unica forza che compie lavoro, si ha che il lavoro totale compiuto per portare il corpo m dal punto A al punto B sarà -ΔU=m(ri – rf)2Gπσ. Per il teorema dell’energia cinetica si avrà: v f vi2 4G (ri r f ) Considerazioni Questo è solo un esercizio! La fisica sta nelle prime due pagine in cui si generalizza la teoria dei campi elettrostatici e gravitazionali qualunque sia la distribuzione di carica; la difficoltà che si può incontrare nel descrivere il campo di una distribuzione di particelle più complicata possibile sta in disquisizioni prevalentemente matematiche (la difficoltà di trovare le primitive). La bellezza di questa trattazione è la generalizzazione (e universalità) del concetto di campo: ogni campo conservativo può essere descritto dal sistema (2) e dall’equazioni di Gauss. Da queste formule, ad esempio, deriva la descrizione del campo gravitazionale nei pressi della crosta terrestre dove g è considerato costante e diretto in verso opposto al sistema di riferimento (questo consente di scrivere algebricamente il principio di conservazione dell’energia). 3 Derivazione del campo elettrostatico di un guscio cilindrico Potrei continuare ad annoiarvi con la descrizione di campi elettrici e gravitazionali relativamente semplici e dotati di simmetrie (come il caso precedente) tali da cavarsela con una matematica ordinaria (campo di una distribuzione sferica, lineare, ecc.); invece procedo con la derivazione del potenziale e del campo elettrostatico sull’asse di simmetria di una distribuzione (σ) di cariche posta sulla superficie laterale di un guscio cilindrico (il cilindrico è privo di basi). 0 R A P α x r H Ho considerato un sistema ‘sì fatto: 0 è il punto di riferimento coincidente con il centro della circonferenza base del cilindro; A individua l’elemento infinitesimo di carica; R la distanza tra il generico punto P appartenente all’asse di simmetria e l’elemento di carica; x è la distanza di P dall’origine. In questo caso è difficile pretendere una simmetria del campo; per quello che è il nostro intento risulta inutile il Teorema di Gauss (utile per descrivere campi simmetrici). Il procedimento che seguo è considerare il contributo al potenziale dato dall’infinitesima distribuzione di carica (individuata da A) ed applicare il principio di sovrapposizione. Risulta: dq rd dh dh 2r 2 2 R r 2 x h r 2 x h 0 H R è scritto con il teorema di Pitagora, ricordando che ogni punto della superficie (ogni carica) dista r dall’asse X. La quantità rdαdh è l’infinitesimo elemento di superficie (evidentemente bisogna integrare su tutta la circonferenza e poi su tutta la lunghezza del cilindro). Per integrare sostituisco a (x-h) la quantità r.senh(y) (senh è il seno iperbolico) si avrà: x h r sinh y dh r cosh( y )dy Da cui: h 0 h H 2 xh r cosh y xh xh 2r dy 2r sett sinh 2r ln 1 r r cosh y r h 0 r h H 2r ln x x2 2 1 r r xH xH 1 r r 2 Ricordando che il settsenh(y) può essere scritto come ln(y+(y2+1)0.5) 4 Il campo elettrico è E= -▼φ: E E xH r d 2r ln dx x r xH 1 x H 2 r 2 2r x H x H 2 r 2 2 xH 1 r xˆ x2 1 2 r x 1 2 2 x r xˆ 2 2 x x r Sull’asse X si ha il seguente andamento del Campo e del Potenziale: Posto H = 3cm, r = 1cm, σ = 1/(2π) si ha: x = H/2 Si noti la bellezza di questo grafico: la curva rossa descrive il potenziale, quella blu il campo elettrico. L’area compresa tra le due rette è interna al cilindro. Il potenziale è minimo a metà del cilindro. Il campo elettrico è nullo a metà del cilindro; questa condizione era prevedibile a priori: il contributo che ogni carica dà al campo nel punto centrale dell’asse di simmetria è annullato da quello fornito dalla carica diametralmente opposta. Considerando che (data la geometria del sistema) ogni carica possiede una carica diametralmente opposta, risulta che il campo elettrico al centro è nullo. E’ IMPORTANTE RICORDARE CHE QUESTE FUNZIONI DESCRIVONO IL CAMPO E IL POTENZIALE NELL’IPOTESI DI UNA CARICA DI PROVA CONCORDE CON QUELLA GENERATRICE (qσ > 0). 5
