Energia potenziale e potenziali elettrici
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Energia potenziale elettrica e potenziale elettrico ENERGIA POTENZIALE DI UN SISTEMA DI CARICHE ELETTRICHE Nel mondo atomico è molto importante conoscere la quantità di energia che è necessaria per disporre delle cariche in una certa configurazione. Per ottenere una espressione matematica che permetta di calcolare tale energia, si consideri il sistema più semplice: una coppia di cariche elettriche. Le due cariche elettriche sono +Q1 e +Q2, che per semplicità sono state considerate entrambe positive, però il calcolo e le conclusioni sono di validità generale. Si supponga che la carica Q1 stia ferma, mentre la seconda carica, Q2, venga spostata da un punto iniziale, A, ad un punto finale, B. Nella situazione iniziale la carica +Q1 è fissa e la carica +Q2 si trova in A. B Nella situazione finale la carica +Q1 si trova nella +Q2 stessa posizione, mentre la carica +Q2 si trova in B. Lo A spostamento, R , subita dalla carica +Q2 è dovuto alle +Q2 R forze del campo elettrico. RB Il problema consiste nel calcolare il lavoro che bisogna compiere sul sistema per dare ad alcuni corpi carichi RA elettricamente una certa disposizione, ovvero nel passare +Q1 dalla prima situazione alla seconda. Il lavoro che le forze del campo elettrico devono compiere per portare la carica +Q2 dalla posizione iniziale, A, alla posizione finale, B, è: LAB = F s dove F è la forza di Coulomb di interazione tra le due particelle caricate elettricamente, e s è lo spostamento s R R B R A subito dalla carica +Q2. Sostituendo i relativi valori si ha: 1 Q Q LAB = F s = 1 2 2 R R 4 0 Per spostamenti molto piccoli la quantità R2 può essere sostituita dal prodotto RARB (il procedimento non è molto rigoroso, però i risultati sono coretti). Pertanto, elaborando la precedente, si ha: 1 Q Q LAB = 1 2 RB R A 4 0 R A RB 1 1 Q Q Q Q = 1 2 RB 1 2 R A 4 0 R A RB 4 0 R A RB 1 Q Q 1 Q Q Q Q 1 1 1 Q Q Q Q 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 R A 4 0 RB 4 0 R A RB 4 0 RB 4 0 RA 4 0 Le quantità che compaiono nell’ultima coppia di parentesi: Q1 Q2 1 U B 4 R 0 B Q Q 1 U 1 2 A 4 0 RA 1 Energia potenziale elettrica e potenziale elettrico rappresentano l’energia potenziale del sistema di coppie di cariche, rispettivamente, nella configurazione finale ed iniziale. (La definizione di energia potenziale sarà data successivamente.) L’espressione finale, pertanto, non è altro che la variazione dell’energia potenziale subita dal sistema di cariche: (, ovvero il lavoro compiuto è l’energia potenziale elettrica del sistema.) LAB = -(UB - UA) = - UAB Dall’espressione finale si nota che il lavoro, LAB, compiuto dalle forze del campo elettrico per portare la carica dal punto A al punto B non dipende dal percorso compiuto ma solo dalla posizione finale e da quella iniziale. Questo significa che il campo elettrico è un campo conservativo e che l’energia potenziale è una funzione di stato. Per dare una definizione più adeguata di energia potenziale elettrostatica della carica Q2 in un punto del campo elettrico generato dalla carica Q1, si supponga di portare la carica Q2 dal punto iniziale, A, fino all’infinito. Il lavoro da compiere, in questa situazione, è: LA = Q1 Q2 1 1 Q1 Q2 1 = UA 4 0 R A R 4 0 R A quindi l’energia potenziale elettrostatica di un sistema di due cariche elettriche, di cui una, +Q2, si trova nel punto A del campo elettrostatico generato da una carica puntiforme Q1, è il lavoro compiuto dalle forze del campo per spostare la carica Q2 dal punto A fino all’infinito. In questa definizione si è supposto che il valore dell’energia potenziale all’infinito sia zero. In genere l’energia potenziale è definita tenendo conto di una costante additiva che sta indicare rispetto a quale punto essa viene calcolata (UA = U’A + costante). Adesso si svolgeranno alcune considerazioni sul valore di LAB = - UAB = - (UB - UA) Q Q2 1 1 LAB = - 1 4 0 R B R A Nella tabella sono riassunti i vari casi circa il lavoro che viene compito su di un sistema di particelle caricate elettricamente. R = RB - RA > 0 (RB > RA) 1 1 RB RA <0 < 0 (RB < RA) Q1 Q2 (fissa) (mobile) + + >0 + + > 0 (RB > RA) <0 + - < 0 (RB < RA) >0 + - 1) +Q1 3) ) +Q1 1) Positivo: fatto dalle forze repulsive del campo elettrico sull’ambiente circostante. 2) Negativo: fatto dall’ambiente circostante sul sistema, per vincere le forze di repulsione del campo elettrico. 3) Negativo: fatto dall’ambiente circostante sul sistema per vincere le forze di attrazione del campo elettrico. 4) Positivo: fatto dalle forze attrattive del campo elettrico sul sistema di cariche. R RA +Q2 RB RA -Q2 RB Lavoro 2) +Q2 +Q1 R 4) ) -Q2 +Q1 2 R RB +Q2 RA R RB -Q2 +Q2 RA -Q2 Energia potenziale elettrica e potenziale elettrico p o t e n z ia le E n e r g ia p o te n z ia le e le ttr ic a 0 ,0 0 E + 0 0 1 ,0 0 E -1 0 -5 ,0 0 E -1 9 4 ,0 0 E -1 0 7 ,0 0 E -1 0 -1 ,0 0 E -1 8 E n e r g ia E n e g ia p o t e n z ia le ( J ) ( J ) Una rappresentazione grafica dell’andamento dell’energia potenziale in funzione della distanza è data dalle due seguenti figure. Nella fig. 1 è rappresentata l’energia potenziale di attrazione di un sistema di due cariche di segno opposto. Al diminuire della distanza, R, l’energia potenziale diminuisce, ovvero, all’aumentare della distanza l’energia potenziale aumenta. Ciò significa che l’ambiente circostante deve compiere un lavoro per separare le due cariche. Nella fig. 2 è rappresentata l’energia potenziale di repulsione di un sistema di due cariche di uguale segno. Al diminuire della distanza, R, l’energia potenziale aumenta, ovvero all’aumentare della distanza l’energia potenziale diminuisce. Ciò significa che l’ambiente circostante deve compiere un lavoro per avvicinare le due cariche. -1 ,5 0 E -1 8 -2 ,0 0 E -1 8 -2 ,5 0 E -1 8 E n e r g ia p o te n z ia le e le ttr ic a 2 ,5 0 E -1 8 2 ,0 0 E -1 8 1 ,5 0 E -1 8 1 ,0 0 E -1 8 5 ,0 0 E -1 9 0 ,0 0 E + 0 0 1 ,0 0 E -1 0 4 ,0 0 E -1 0 7 ,0 0 E -1 0 D is ta n z a , R (m ) D is ta n z a , R (m ) Figura A Figura B Per comprendere meglio il significato dell’energia potenziale, si considera un sistema formato da tre cariche elettriche, Q1, Q2 e Q3 (i segni delle tre cariche sono arbitrari). Q3 R13 R23 R12 Q1 Q2 In un primo momento, la carica Q1 si trova in un certo punto dello spazio. Successivamente la carica Q2 viene portata dall’infinito fino ad una distanza R12 dalla carica Q1. Il lavoro, L12, compiuto è: Q Q 1 L12 1 2 U12 4 0 R12 dove U12 è l’energia potenziale del sistema. Adesso si porta la carica Q3 nel campo elettrico prodotto dalle due cariche Q1 e Q2. Il lavoro, L3, che si deve compiere per portare la carica Q3 dall’infinito fino al punto considerato, è dovuto alla somma dei lavori, L13 e L23, che bisogna compiere contro le forze del campo dovuto alle cariche Q1 e Q2. Pertanto: 1 Q Q 1 Q Q L 3 L13 L 23 = 1 3+ 2 3 = U13 + U 23 4 0 R13 4 0 R23 dove U13 è l’energia potenziale del sistema di cariche elettriche Q1 e Q3, mentre U23 è l’energia potenziale del sistema di cariche Q2 e Q3. L’energia potenziale totale del sistema delle te cariche è: Q Q Q Q 1 Q Q 1 1 U Tot = U13 + U 23 + U12 = 1 3+ 2 3+ 1 2 4 0 R13 4 0 R23 4 0 R12 3 Energia potenziale elettrica e potenziale elettrico Dall’espressione dell’energia totale del sistema di cariche, si deduce che l’energia potenziale elettrica dipende solo dalla disposizione finale delle cariche ma non dall’ordine con cui le cariche sono state unite. POTENZIALE ELETTRICO Il campo elettrico, E , è una grandezza vettoriale che fornisce le caratteristiche di una regione di spazio in cui si trova una carica elettrica. Una alternativa al campo vettoriale è quello di utilizzare una grandezza scalare: il potenziale elettrico o tensione elettrica. Si consideri la prima figura disegnata all’inizio. Adesso la carica Q2 è una carica positiva il cui valore è molto piccolo. Il lavoro che le forze del campo elettrico compiono per portare una carica unitaria dal punto A al punto B si chiama differenza di potenziale, V = VB - VA. Quindi: 1 L A B Q Q Q Q 1 V = VB - VA = = - 1 2 1 2 Q2 4 0 R A Q2 4 0 R B Q2 1 1 Q 1 Q 1 Q 1 Q Q1 1 VB VA V = - 1 1 1 1 4 R 4 R 4 R 4 R 4 R R 0 A 0 B 0 B 0 A 0 B A V = VB VA Se Q è una generica carica elettrica positiva, il lavoro compiuto dalla forze del campo elettrostatico è: LAB = - QV = - Q(VB - VA) = Q(VA - VB) dove A è la posizione iniziale e B è la posizione finale. Se la posizione finale si trova all’infinito (RB= ) allora il lavoro, LA, è: LA = QVA pertanto il potenziale del campo elettrostatico nel punto A è: L U Q 1 VA A A 1 Q Q 4 0 R A dove UA è l’energia potenziale del sistema quando la carica Q si trova nel punto A. Adesso si metteranno in relazione il campo elettrico con il potenziale elettrico. Il lavoro delle forze elettriche è: L F s Q E s Inoltre il lavoro e la differenza di potenziale sono collegati dalla seguente relazione: L Q V Uguagliando le due espressioni si ottiene: E s V In conclusione, il potenziale associato al campo elettrostatico, E , in un punto dello spazio è uguale al lavoro compiuto dalle forze elettriche del campo per spostare una carica unitaria positiva da un certo punto, A, del campo fino all’infinito. Il potenziale è anche numericamente uguale al lavoro compiuto dalle forze esterne (contro le forze del campo elettrico) per spostare una carica positiva unitaria dall’infinito ad un certo punto, A, del campo. È bene non confondere il potenziale, V, associato al campo elettrostatico E con l’energia potenziale, U, associato ad un sistema di cariche elettriche. Infatti l’energia potenziale, U, di un sistema di cariche è il lavoro totale che è necessario compiere per realizzare la configurazione del sistema di cariche elettriche (un esempio è il sistema di tre cariche elettriche). Invece il potenziale elettrico, V, associato ad un campo elettrico, E , è il lavoro per unità di carica elettrica necessario per trasportare una carica di prova positiva unitaria dall’infinito al punto A. 4 Energia potenziale elettrica e potenziale elettrico La regione dello spazio in cui il potenziale elettrico è costante si chiama superficie equipotenziale. Inoltre, in ogni punto di una superficie equipotenziale, la direzione del campo elettrico è perpendicolare alla superficie; cioè, le linee di forza sono perpendicolari alle superficie equipotenziali. Se si sposta una carica elettrica su di una superficie equipotenziale, cioè le posizioni iniziale e finale si trovano sulla stessa superficie equipotenziale, allora il lavoro che le forze del campo elettrostatico compiono per spostare la carica è zero. La ragione risiede nel fatto che la forza e lo spostamento hanno direzioni perpendicolari fra di loro, formando un angolo retto il cui coseno e zero. Nella figura, la superficie rappresenta una superficie equipotenziale. Ciò significa che in tutti i punti del piano il valore del potenziale elettrico è costante. Le linee di forza del campo elettrico sono perpendicolari alla superficie. Linea di forza Si supponga di avere una carica elettrica, Q, nel punto A e si voglia trasportala nel punto B. Quanto vale il E lavoro che bisogna compiere per trasportare la carica? A Il vettore campo elettrico e il vettore spostamento B s sono perpendicolare fra di loro. Pertanto: L A B F s QE s Q E s cos 90 0 Oppure, poiché i potenziali elettrici nei punti A e B sono uguali (VA = VB), si ha L AB Q V Q VB VA 0 Per una carica puntiforme le superficie equipotenziali sono delle sfere F L = F S = F S cos = 0 2 S 5
