Elementi di aritmetica

Elementi di aritmetica
Roberto Dvornicich
Dipartimento di Matematica
Università degli studi di Pisa
LEZIONE 1
Elementi di Aritmetica
1.2
Il metodo forse più usato per ottenere il massimo
comune divisore fra due numeri è quello di usare la
fattorizzazione.
1
k
Se
a = p1 .... pk
1
k
b = p1 .... p k
sono le fattorizzazioni in primi di a e b (dove gli
esponenti possono essere anche nulli), allora


p
....
p
k
d= 1
,
dove i = min {  i ,  i }, è un massimo comune
divisore.
1
k
Elementi di Aritmetica
1.3
Per esempio, se a = 78 e b = 33, le divisioni
euclidee sono le seguenti:
78 =
33 =
12 =
9 =
2 · 33 + 12
2 · 12 + 9
1· 9 + 3
3· 3 + 0
Osserviamo che le divisioni terminano sempre dopo
un numero finito di passi, perché la successione dei
resti r1, r2, r3 …. è una successione di numeri
naturali strettamente decrescente.
Elementi di Aritmetica
1.4
Risolviamo 78 x + 33 y = 6
78 = 2 · 33 + 12
33 = 2 · 12 + 9
12 = 1 · 9 + 3
9 = 3· 3 + 0
3 = 12  9
= 12  ( 33  2  12) = 3  12  33
= 3  ( 78  2  33 )  33
= 3  78 - 7  33
Dunque x = 3, y = 7 è una soluzione dell'equazione
78 x + 33 y = 3. Una soluzione dell'equazione data
si ha moltiplicando tutto per 2: x = 6, y = 14.
Quindi