Prof.ssa Alessandra Sia Il concetto di “disequazione” nella vita di ogni giorno 60 V < 50 (velocità minore di 50 Km/h) Prof.ssa Alessandra Sia Voto > 60 (promosso!!) Il significato dei simboli……. > Maggiore > Maggiore uguale < Minore < Minore uguale Prof.ssa Alessandra Sia Dati due numeri reali a,b a>b e a<b sono disuguaglianze Una disuguaglianza può essere: Prof.ssa Alessandra Sia Le disuguaglianze possibili si chiamano disequazioni Sono disequazioni, per esempio: 2x < 6 x + 2 ≤ 3x + 1 Se al posto della x sostituiamo un numero la disequazione si trasforma in disuguaglianza che può essere Vera oppure Falsa Osserva: 2x+1>7 Se al posto della x sostituisco il numero 4 cosa ottengo??? 2(4)+1>7 ovvero 8+1>7 cioè 9 > 7 è una disuguaglianza Vera Allora 4 è una soluzione della disequazione…………….. Prof.ssa Alessandra Sia Definizione: Risolvere una disequazione vuol dire trovare l’insieme dei numeri che sostituiti all’incognita la trasformano in una disuguaglianza vera Prof.ssa Alessandra Sia Data la disequazione 3x - 1 > 2x + 1 1. Trasporto tutti i termini al primo membro cambiandone il segno 3x - 1 - 2x - 1 >0 2. Riduco i termini simili x-2>0 3. Trasporto dopo il segno maggiore il termine noto (-2) cambiando il segno x>2 2;+∞ ) Prof.ssa Alessandra Sia Data la disequazione 3x - 1 > 2x + 1 Trasporto tutti i termini al primo membro cambiandone il segno: 3x - 1 - 2x - 1 >0 2. Riduco i termini simili x - 2> 0 2. Pongo x-2 uguale ad y ed ottengo y=x-2 Y= x-2 è l’equazione di una retta… la vogliamo disegnare???? + Costruiamo la tabella x y -1 -3 0 -2 1 –1 La retta è positiva per 2 0 x>2 Prof.ssa Alessandra Sia + -3 -2 -1 - 0 1 - 2 La retta è positiva nella fascia maggiore di 2 cioè la soluzione è x>2 Schema risolutivo ed esercizio guida Disequazione: 2(x-3)<x-5 Semplifico l’espressione 2x-6<x-5 Porto tutti i termini al primo membro 2x-6-x+5<0 Riduco i termini simili x-1 <0 Chiamo y il valore di x-1 y = x-1 Costruisco la tabella per disegnare la retta 1 x<1 (- ∞; 1) (x=0; y=-1) (x=1; y=0) Disegno la retta y= x-1 1 + Osservando la retta si vede che risulta “sotto l’asse x” (y<0) cioè negativa per tutti i valori di x < 1 Prof.ssa Alessandra Sia - Disequazioni fratte Ricordiamo che una disequazione si dice fratta se contiene l'incognita anche al denominatore di qualche frazione. Esempio: 3x-4 = 5 x-1 Prof.ssa Alessandra Sia Per risolvere una disequazione fratta si deve portare tutto al primo membro e ridurre ad una frazione unica. Si arriverà ad espressioni del tipo In ogni caso si tratta di studiare il segno del numeratore (N) e del denominatore (D); si consiglia di operare così: -studio N>0 (N>=0) se la disequazione presenta anche l'uguale). Prof.ssa Alessandra Sia Numeratore: 3 - x > 0, x < 3 - studio D>0 (N.B. si consiglia di studiare sempre D>0 perchè non può essere =0) Denominatore: x - 1 > 0, x > 1 per determinare il segno della frazione, quindi le soluzioni della disequazione, devo combinare i segni del numeratore e del denominatore e applicare la legge dei segni; è comodo costruire uno schema procedendo in questo modo: 1. ordino su una retta tutti valori dell'incognita che ho trovato studiando il segno del numeratore e del denominatore (nel nostro esempio 1 e 3) e 2. opero come nella figura seguente, dove il tratto continuo indica che la quantità è positiva ed il tratteggio che è negativa. Applicando la legge dei segni deduco che la disequazione è verificata pe 1 < x < 3. Prof.ssa Alessandra Sia Lo schema grafico sopra indicato è semplice da realizzare "con carta e penna"; noi, per essere più rapidi, utlizzeremo i seguenti schemi equivalenti: 1) La disequazione è verificata per 1 < x < 3: utilizzeremo il colore rosso per indicare che un valore non è accettabile. 2) 1 3 3-x +++++ + +++++ O ------- x-1 ------- 0 +++++ + +++++ - + 0 - In questo caso la disequazione è verificata per: utilizzeremo il colore verde per indicare che un valore è accettabile. Prof.ssa Alessandra Sia