La costruzione del Teorema di Talete

MATERIA
Matematica (Geometria)
CLASSE
Primo Liceo Scientifico
PERIODO TEMPORALE
Parte finale del secondo quadrimestre dopo lo
studio delle congruenze delle figure piane e
delle rette perpendicolari e parallele.
TITOLO DEL MODULO:
Teorema di Talete
SOMMARIO
Partendo dal “piccolo teorema di Talete”, si introduce il
concetto di grandezza e il significato di misura; si
procede poi ad affrontare l’assioma della divisibilità e
del postulato di continuità. Si illustra, altresì, il
concetto
di
grandezze
commensurabili
e
incommensurabili e il rapporto tra grandezze, per poi
giungere alla formulazione e formalizzazione generale
del Teorema.
FINALITA’
L’itinerario didattico mira prevalentemente a
sviluppare negli allievi capacità di rappresentazione e
di esplorazione e a favorire la produzione di
congetture con l’aiuto di strumenti operativi, di volta
in volta più significativi, partendo da quelli
rudimentali, quali riga non graduata e compasso, fino
ad arrivare ai software didattici ed applicativi.
Il modulo si inserisce in un discorso sulla geometria
euclidea già avviato nei precedenti moduli e mira a
sviluppare le tecniche di apprendimento, in grado di
far emergere la consapevolezza del metodo
evidenziandone l’aspetto metacognitivo.
PREREQUISITI
Saper operare con gli insiemi;
Conoscere i concetti di relazione e funzione;
Conoscere gli enti geometrici fondamentali derivati e
relative proprietà;
Conoscere la relazione di congruenza;
Comprendere la simbologia ed il linguaggio matematico;
Saper applicare le proporzioni numeriche
Saper verificare, dimostrare e dedurre proprietà
CONTENUTI
U.D.1
(Il piccolo teorema di Talete)
U.D.2
(Le grandezze e la loro misura)
U.D.3
(Il teorema di Talete nella forma generale)
STRUMENTI
lavagna;
lavagna luminosa;
laboratorio informatico;
libri di testo;
schede di verifica;
TEMPI
25 h
METODI
lezione frontale;
lezione interattiva;
problem posing;
problem solving;
lavori di gruppo.
VALUTAZIONE
Al termine di ciascuna unità didattica, saranno
somministrati test semistrutturati con valenza di
verifica formativa per valutare i livelli di
apprendimento raggiunto ed intervenire con gli
opportuni correttivi (attività di recupero, ripetizione
di fasi didattiche, esercitazioni, tutorial, etc.);
mentre alla fine del modulo sarà somministrato un test
semistrutturato (test d’uscita) con valenza di verifica
sommativa, al fine di valutare il raggiungimento o meno
degli obiettivi programmati nelle singole unità
didattiche.
Unità Didattica 1
“Il piccolo teorema di Talete”
OBIETTIVI
COGNITIVI:
Comprendere l’importanza dell’utilizzo della riga e compasso
nell’antica Grecia ;
Saper enunciare e dimostrare in maniera corretta il piccolo
teorema di Talete
TRASVERSALI:
Acquisire metodi logicamente corretti di ragionamento ;
Abituarsi a sintetizzare e schematizzare in modo rigoroso;
Rappresentare la realtà tramite modelli;
CONTENUTI
Il problema della suddivisione di un segmento in parti
uguali con riga e compasso
L’importanza di riga e compasso nell’antica Grecia
Corrispondenza di Talete
Piccolo Teorema di Talete
Applicazioni del Teorema
SUDDIVISIONE MACROSCOPICA
FASE 1 (2h) (Problem posing-lezione frontale)
FASE 2 (2h) (lezione interattiva-problem solving)
FASE 3 (3h) (laboratorio informatico-formalizzazione dei
risultati)
FASE 1 (2h)
(Problem posing-lezione frontale)
Si comincia distribuendo a ciascun allievo della classe una
riga non graduata ed un compasso e gli si chiede, di
suddividere un segmento di lunghezza a piacere in 6 parti
perfettamente uguali, facendo uso solo degli strumenti
che sono stati messi a loro disposizione e di riportare i
tentativi eseguiti e l’eventuale metodo di risoluzione
adottato, su un foglio di carta da consegnare al docente.
Dopo aver atteso un tempo ragionevole ed aver raccolto i
fogli, si motiva il perché degli strumenti messi a loro
disposizione e dell’importanza che tali strumenti hanno
avuto nell’antica Grecia per le costruzioni elementari
citando qualcuno dei problemi irrisolti
dell’epoca ellenica (es. probl. della trisezione
dell’angolo, quadratura del cerchio, ecc.)
FASE 2 (2h)
(lezione interattiva-problem solving)
Si passa poi ad enunciare “il piccolo Teorema di Talete” e
la sua dimostrazione. A questo punto si fa vedere come
utilizzando il teorema appena enunciato si può trovare la
soluzione al problema posto nella macrofase 1.
Si chiede, poi, ai ragazzi: “In quante parti uguali può
essere suddiviso un segmento?” Preso atto delle risposte,
si approfitta allora per parlare delle potenzialità della
matematica che permette di oltrepassare i limiti delle
nostre percezioni. Nelle successive lezioni sarà data una
risposta al problema posto.
FASE 3 (3h)
(laboratorio informatico-formalizzazione dei risultati)
Viene chiesto agli allievi di disegnare con Cabrì un
triangolo, di individuare il punto medio di uno dei lati e di
tracciare una parallela ad un altro lato passante per il
punto medio individuato. Si pone poi la seguente domanda:
La parallela dove interseca il terzo lato del triangolo?
Perché?
Si chiede poi di formalizzare il risultato ottenuto
scrivendolo sottoforma di teorema (individuando ipotesi e
tesi) e fornendo una dimostrazione rigorosa.
L’attività di laboratorio
Ruolo assunto dall’informatica
La nascita della geometria viene fatta corrispondere alla necessità
da parte dell’uomo di misurare, di applicare alla realtà spaziale che
lo circonda regole sicure per ottenere calcoli precisi.
Tuttavia, nel corso dei secoli, la geometria ha via via dimostrato
una forte dicotomia, diventando da un lato, una scienza fortemente
empirica (si pensi al disegno geometrico) e dall’altra linguaggio
astratto e terreno di disquisizioni formali.
L’uso di Cabri nello studio della geometria consente di coniugare
assieme questi due aspetti della medesima disciplina, cioè di
costruire prima e di manipolare poi enti geometrici, dai quali poi
partire per evidenziarne proprietà e relazioni.
Non occorre essere indovini per capire che questa
forma di approccio, tanto elementare nello svolgimento
quanto rigoroso nelle relazioni, risulta vincente nei
riguardi degli alunni, che possono così mettere in
pratica le teorie dell’ ”imparare facendo“
In particolare si rileva che le metodologie informatiche in genere:
sono uno strumento particolarmente gradito all'alunno, stimolante
per l'apprendimento e l'attenzione;
permettono di migliorare il livello di conoscenza di alcuni dei
contenuti proposti, che risulta più ordinato e sicuro;
aiutano anche i ragazzi che hanno difficoltà ad organizzare il loro
metodo di lavoro a rivedere le loro posizioni ed a trovare una
metodologia di lavoro personale più efficace;
favoriscono l'acquisizione di abilità specifiche particolarmente utili
sul piano formativo, che possono rivelarsi preziose e propedeutiche
ad un corretto inserimento nei livelli superiori di studio.
L'introduzione del computer quale strumento di
supporto alle discipline delle aree tecnico matematica e scientifica, costituisce un mezzo per far
fronte alle nuove istanze presenti nell'utenza
scolastica ed ai diffusi interessi dei ragazzi.
Obiettivi operativi
L’interattività e la multimedialità nella geometria: l’uso di
queste funzioni per l'insegnante corrisponde alla
possibilità di poter realizzare o creare materiale
didattico senza bisogno di essere un informatico o di
avere una profonda conoscenza dei linguaggi di
programmazione. Per lo studente, poter usare il
Computer come un semplice strumento - supporto per
imparare.
Alcuni esempi di schede di lavoro proposte nel
laboratorio informatico:
Scheda di lavoro n°1 - La costruzione del Teorema di Talete
Utilizzando un software di geometria, disegnare una retta r1 passante per
un punto qualsiasi del piano e successivamente tracciare due qualsiasi rette
parallele ad r1. Che chiamiamo r2 ed r3.
l'insieme delle tre rette costituisce? __________________________
Si disegnino ora due rette s ed s' trasversali (ovvero che tagliano il fascio di
rette) e indichino con P1, P2 e P3 i punti di intersezione di s con il fascio, e
P'1, P'2 e P'3 i punti di intersezione di s', misuriamo la lunghezza dei
segmenti P1P2 , P2P3 e P'1P'2 , P'2P'3.
Se variamo l'inclinazione di una retta, s o s', cosa succede al rapporto tra i
segmenti staccati su quella retta? ___________________________ le
grandezze dei segmenti sono quindi______________________________.
Al variare delle posizioni delle rette come varia il rapporto tra
le due coppie di segmenti? __________________________
Possiamo allora scrivere la proporzione: ________________
Formalizzare il risultato ottenuto scrivendolo sottoforma di
teorema
Scheda di lavoro n°2 - Costruzione del teorema della bisettrice
dell’angolo interno di un triangolo.
Si costruisca, con un software di geometria, un triangolo di vertici ABC e
si tracci la bisettrice dal vertice C
La bisettrice divide l’angolo _______________________________ Dal
punto A si tracci la retta parallela al segmento CD fino ad incontrare il
prolungamento del lato BC nel punto E. Gli angoli EÂC e AĈD sono
congruenti perché angoli ______________ rispetto alle rette parallele
AE e CD tagliate dalla trasversale AC.
Gli angoli CÊA e DĈB sono _______ perché ______________________
Di conseguenza CÊA e EÂC sono ________________ e il triangolo ACE
risulta _______________ sulla base AE, quindi CE≈AC.
Misurare le lunghezze dei lati AD, BD, CE, BC come risulta il rapporto tra
AD e BD è __________, mentre il rapporto tra CE e BC ________ quindi
il rapporto è ______________.
Perché? _________________________________________
Facendo variare il vertice C del triangolo come varia il rapporto tra AD e
BD è, mentre il rapporto tra AC e BC è ______________
Possiamo allora scrivere la proporzione: ______________
Formalizzare il risultato ottenuto scrivendolo sottoforma
di teorema____________________________________
Teorema di Talete: un fascio di rette parallele tagliate da due
trasversali stacca su queste coppie di segmenti direttamente
proporzionali
Costruzione geometrica:
- disegniamo una retta r1 passante per un punto qualsiasi del piano
tracciamo due qualsiasi rette parallele ad r1. Chiamiamole r2 ed r3
l'insieme delle tre rette costituisce un fascio di rette parallele
disegniamo ora due rette s ed s' trasversali (ovvero che tagliano il fascio di
rette)
detti P1, P2 e P3 i punti di intersezione di s con il fascio, e P'1, P'2 e P'3 i punti
di intersezione di s',
- determiniamo sulle due rette le coppie di segmenti P1P2 , P2P3 e P'1P'2 ,
P'2P'3.
Come è possibile verificare:
se variamo l'inclinazione di una retta, s o s', il rapporto tra i segmenti staccati
su quella retta rimane costante: le grandezze dei due segmenti sono
direttamente proporzionali
- i rapporti tra le due coppie di segmenti rimangono uguali tra
loro al variare delle posizioni delle rette. Possiamo allora
scrivere la proporzione: P1P2 : P2P3 = P'1P'2 : P'2P'3