Fisica 2 14° lezione
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Fisica 2 14° lezione Programma della lezione • • • • • • Autoinduzione Dimensioni e unità dell’autoinduttanza Fem autoindotta Induzione mutua Circuito LR Energia magnetica Autoinduzione • Un circuito percorso da corrente genera un campo B • Il flusso di B concatenato al circuito è B | S B dA S • B può essere calcolato usando la prima formula di Laplace 0 dl r B 4 i • B è proporzionale alla corrente, ne segue che anche il flusso lo è r3 Autoinduttanza. Dimensioni, unità di misura • Il coefficiente di proporzionalità è detto autoinduttanza del circuito Li • Dipende soltanto da fattori geometrici, come la capacità elettrica • Le dimensioni sono L i • L’unità di misura è lo henry (H) Wb Tm 2 H A A Autoinduttanza di un solenoide • Il campo B dentro un solenoide di N spire, sezione A e lunghezza l è N B 0 ni 0 i l • Il flusso di B concatenato con le N spire è NBA nlBA 0 n 2 Ali • L’autoinduttanza è L 0 n 2 Al i Fem autoindotta • In un circuito non deformabile, se varia la corrente, varia il flusso di B e quindi viene indotta una fem • In un circuito indeformabile l’autoinduttanza è costante, la legge di Faraday si scrive d d ( Li) di E L dt dt dt Induzione mutua • Se due circuiti C1 e C2 sono vicini, il flusso magnetico attraverso uno dipende anche dal campo B, e quindi dalla corrente, dell’altro 0 dl 2 r 12 B2 | S1 B2 dA1 B2 i2 3 4 r S1 C1 • Di nuovo il flusso è proporzionale alla corrente 12 M 21i2 • Ove M21 il coefficiente di induzione del circuito 2 sul circuito 1 C2 Induzione mutua • A questo termine si aggiunge naturalmente quello di autoinduzione, il flusso totale è quindi 1 L1i1 M 21i2 • Simmetricamente per il circuito 2 avremo 2 L2i2 M12i1 • Si può dimostrare che M12 M 21 • Il valore comune M è detto induttanza mutua • Dipende sia dalla forma di entrambi i circuiti che dalla loro disposizione relativa e distanza • Dimensioni e unità di misura sono le stesse di L Circuito LR • Contiene un resistore R e un induttore L • Inizialmente il circuito è aperto e i=0 • Alla chiusura del circuito i è ancora zero, ma varia come di dt e nell’induttanza c’è una fcem L di dt • Al tempo t circola una corrente i e ai capi di R c’è una caduta di potenziale iR • Per il 2° principio di Kirchhoff di Eb iR L 0 dt Analisi qualitativa del circuito LR • Al tempo t=0, i=0 e la fcem L di dt è uguale all’opposto della fem della batteria. Ne segue che i cresce come di Eb dt 0 L • Al crescere di i, cresce la caduta di potenziale sulla resistenza. Ne segue che i cresce come di Eb iR dt L L • Cioè più lentamente che per t=0 Analisi qualitativa del circuito LR • Il valore finale di i si ottiene uguagliando a zero Eb di dt e vale if R • L’equazione del circuito ha la stessa forma che per il circuito di carica di un condensatore • Si ottiene come soluzione Eb i 1 e t R L • Con R costante di tempo del circuito Energia Magnetica • Partiamo dall’equazione del circuito LR e moltiplichiamo tutti i termini per la corrente di Ei i R Li dt 2 • Il primo membro rappresenta la potenza erogata dalla batteria • Il primo termine a secondo membro è la potenza dissipata nella resistenza • Il secondo termine rappresenta la rapidità con cui viene erogata energia all’induttore Energia Magnetica • Possiamo dunque scrivere dU m di Li dt dt • La quantità totale di energia accumulata nell’induttore si trova integrando da i=0 a i=If If 1 2 U m dU m Lidi LI f 2 0 • Si deve dunque compiere lavoro per instaurare una corrente in un induttore Energia Magnetica • Nell’istaurare una corrente in un induttore si genera un campo B • Il lavoro compiuto può quindi interpretarsi come il lavoro necessario per produrre il campo B • L’energia accumulata in un induttore è accumulata nel campo B • Nel caso di un solenoide rettilineo B 0 ni L 0 n Al 2 Energia Magnetica • L’energia magnetica accumulata è 2 2 1 2 1 B B U m LI f 0 n 2 Al lA 2 2 20 0 n • Poiché Al è il volume del solenoide, definiamo la densità di energia magnetica 2 Um B m lA 20 • Questo risultato è generale
