Circuito RL serie in corrente continua (bobina in regime transiente

Circuito RL serie in corrente continua
(bobina in regime transiente)
Consideriamo il circuito:
Quando viene chiuso l'interruttore, la ddp passa istantaneamente da 0 al valore V 0 ma la
corrente nell'induttore non ce la fa a passare istantaneamente al nuovo valore, che viene raggiunto
in un certo intervallo di tempo, con un andamento esponenziale (andamento transitorio della
corrente).
Applicando la legge delle maglie di Kirchhoff al circuito si ha
di (t)
(1) V 0 −i (t)⋅R− L
=0
dt
di (t) V 0 R
Al tempo t =0 la variazione della corrente (
= − i (t ) ) è massima perché
dt
L L
i (t=0)=0 , ed è quindi massima la forza elettromotrice indotta (legge di Faraday-Lenz) che si
oppone al passaggio della corrente che la genera (autoinduzione).
All'aumentare della corrente nel circuito, la fem indotta diminuisce, finché a regime, quando la
corrente ha raggiunto il valore asintotico (nella pratica, dopo circa 5 τ , vedi dopo) la fem si
V
riduce a zero e la corrente che scorre è i= 0 . Nello stato stazionario (cioè finita la fase
R
transitoria), quindi, è come se la bobina non ci fosse. Al contrario dei condensatori nei circuiti RC,
una bobina in un circuito RL si comporta come circuito aperto se t =0 e come corto circuito se
t =∞ . Una bobina reale ovviamente avrà una resistenza di cui possiamo tener conto sommando
il suo valore a quello della resistenza R in serie.
Per risolvere la (1) si può cercare una soluzione della forma
(2) i (t)=k 1+k 2 e λ t
Sostituendo nella (1) si ottiene
λt
λt
λt
V 0 −R⋅(k 1+k 2 e )−L k 2 λ e =0 → (V 0 −Rk 1 )−k 2 (R+L λ )e =0
che è soddisfatta se
k 1=
V0
e
R
λ=−
R
L
1 L
τ= =
ha le dimensioni di un tempo, infatti
λ R
ddp⋅tempo
ddp
[ L]=[
] mentre [ R]=[
] .
corrente
corrente
L
τ=
prende il nome di costante di tempo del circuito.
R
La costante k 2 si può determinare imponendo le condizioni iniziali: se i (t=0)=0 allora
dev'essere k 1+k 2 =0 . Quindi
t
V
(3) i (t)= 0 (1−e− τ )
R
Si può verificare che la costante
La ddp ai capi di L
(4) V L= L
t
di (t)
−
=V 0 e τ
dt
decresce esponenzialmente con costante di tempo
τ .
Per ricavare l'energia immagazzinata nell'induttore, ripartiamo dalla (1), che moltiplichiamo per
i (t) e riscriviamo come
di
2
V 0 i= R⋅i + Li
dt
Il primo membro rappresenta la potenza erogata dal generatore.
In un intervallo di tempo dt l'energia fornita dal generatore
2
V 0 i dt =R⋅i dt +L i di ,
come si vede dal secondo membro, viene in parte dissipata per effetto Joule (il termine R⋅i 2 ) e
in parte utilizzata per lavorare contro la fem autoindotta per far variare la corrente nel circuito da
i a i+di .
L'energia immagazzinata nell'induttore, che è uguale al lavoro speso contro la fem autoindotta per
far variare la corrente da 0 a I , sarà perciò
I
1
2
(5) U =∫0 L i di = L I
2
(si può ricavare anche per le vie lunghe – come esercizio sugli integrali – sostituendo l'espressione
di i (t) , ma, appunto, diventa solo un esercizio di calcolo. Peraltro, a parte la costante
moltiplicativa che si può portare fuori dall'integrale, l'integrale è esattamente della stessa forma di
quello per il calcolo dell'energia nell'RC).
Nel caso di una bobina con N spire di area A , lunga l dato che
d Φ( B)
(definizione di coefficiente di autoinduzione)
L=N
di
N
e che Φ (B)=BA=μ0 I⋅A
(flusso del campo magnetico attraverso una spira)
l
avremo
2
d Φ( B)
N
N
L=N
=N μ0 A=μ0 ( ) Al=μ0 n 2⋅Al
di
l
l
N
dove n=
è il numero di spire per unità di lunghezza della bobina e Al è il volume del
l
solenoide.
Sostituendo nella (5) si ha
2
1
1
B
1 2
U = L I 2 = μ 0 n2 Al⋅(
)=
B ⋅Al
2
2
μ0 n
2μ0
espressione di validità generale, anche se l'abbiamo ricavata nel caso particolare di un solenoide.
La densità di energia del campo magnetico si ottiene dividendo l'energia per il volume:
1 2
w mag=
B
2μ0
Aprendo il circuito la fem ai capi dell'induttanza, e quindi la corrente, vanno esponenzialmente a
zero.