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I corpi in natura
• Gli oggetti che ci circondano si presentano come aggregati
di punti materiali (sistemi di punti materiali)
• Tre stati
– Solido
– Liquido
– Gassoso
Fluidi
• (c’è anche un quarto stato (plasma) )
G.M. - Edile A 2002/03
Le proprietà dei corpi solidi
•
•
•
•
•
•
•
•
Corpo solido <-----> corpo rigido
In realtà i solidi sottoposti a sollecitazione subiscono delle piccole
deformazioni
Molti solidi hanno una struttura cristallina, altri sono amorfi
Il fatto che le deformazioni siano piccole dipende dalla struttura cristallina e
dalle forze molto intense che mantengono gli atomi nella loro posizione
all’interno del reticolo
È l’intensità elevatissima delle forze tra gli atomi che fa rassomigliare i solidi
a corpi rigidi.
Gli atomi occupano posizioni definite
all’interno della struttura
sono in continua oscillazione attorno
alla posizione di equilibrio
con una ampiezza che dipende dalla
temperatura
G.M. - Edile A 2002/03
I moti del corpo rigido
• Traslazione
– Tutti i punti del corpo rigido subiscono lo stesso spostamento nello
stesso intervallo di tempo
• Il moto si può studiare attraverso il moto del centro di massa
• Rotazione attorno ad un asse fisso
– I diversi punto del CR subiscono spostamenti diversi
• In particolare esistono dei punti allineati lungo un asse che non
sibiscono alcuno spostamento (asse di rotazione)
• Rototraslazione
– è la combinazione dei due moti elementari precedentemente
elencati
• Il moto del centro di massa ci permette di descrivere la traslazione
• A questo moto si sovrappone la rotazione attorno ad un asse passante
per il centro di massa la cui orientazione può variare con il tempo.
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Rotazione di un corpo rigido attorno
ad un asse fisso
• Facciamo riferimento all’anta di una porta
Asse di rotazione
Vista dall’alto
q
• E’ possibile determinare la posizione del
CR con la sola conoscenza dell’angolo q
• Un CR in rotazione attorno ad un asse
fisso ha un solo grado di libertà
• È sufficiente una sola equazione
scalare per determinare il suo moto.
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Rotazione di un corpo rigido attorno
no ad un asse fisso
• Cerchiamo quindi una relazione tra le forze applicate e l’accelerazione
(angolare) prodotta.
q
Vista dall’alto
• Nel caso della rotazione la forza non è
direttamente responsabile dell’effetto prodotto.
• Supponiamo di applicare forze perpendicolari al
piano della porta:
• Se applichiamo una forza a distanza nulla d’asse
di rotazione:
• l’effetto è nullo: non c’è nessun moto
• Man mano che ci allontaniamo dall’asse di
rotazione, a parità di forza, l’effetto
(l’accelerazione angolare della porta ) è sempre
più vistoso
•
Ecco perché la maniglia si mette il più lontano
possibile dall’asse di rotazione
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Rotazione di un corpo rigido attorno
no ad un asse fisso
• Sembra quindi che l’effetto, l’accelerazione (angolare) prodotta, dipende dal
prodotto della forza per il braccio
• Braccio=distanza della retta di azione della forza d’asse di rotazione
O
b
r
q
O
r
F
F
Vista dall’alto
• L’effetto, l’accelerazione (angolare) prodotta,
sembra dipendere dal momento della forza
rispetto al polo O
• Il modulo del momento vale infatti:
Mo  r  F  Frsen  Fb
• Si osservi che in questo caso il momento della
forza è parallelo all’asse di rotazione
G.M. - Edile A 2002/03
Rotazione di un corpo rigido attorno
no ad un asse fisso
• Possiamo ulteriormente investigare questa conclusione facendo variare
l’angolo  della forza rispetto al vettore posizione mantenendo la forza nel
piano perpendicolare all’asse di rotazione

b
b
O r
F
q
O
r
F
Vista dall’alto
• L’effetto è maggiore quando l’angolo  è 90°
• È nullo quando  è 0° o 180°
• Questa osservazione ci conferma che la causa
delle rotazioni è il momento della forza.
• Infatti:
Mo  r  F  Frsen  Fb
• Che è massimo quando  è 90°, è nullo quando
 è 0° o 180°
• Si osservi che anche in questo caso il momento
della forza è parallelo all’asse di rotazione
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Rotazione di un corpo rigido attorno
no ad un asse fisso
• Concludiamo questo discorso considerando forze nel piano della porta.
• Se consideriamo una forza perpendicolare al vettore posizione r
•
Il modulo del momento è
Mo  r  F  Frsen  Fb
• Lo stesso modulo del momento quando la forza
F è perpendicolare al piano della porta
• Ma in questo caso l’effetto prodotto è nullo!!
•
F
O
r
Non si verifica alcun moto della porta.
• Cosa c’è di diverso nei due casi??
• Osserviamo che in questo caso il momento Mo è
perpendicolare all’asse di rotazione
•
In precedenza esso era parallelo all’asse di
rotazione
• Possiamo concludere:
• Il moto di rotazione di un corpo rigido
attorno ad un asse fisso dipende dalla
componente del momento della forza lungo
l’asse di rotazione (Momento assiale)
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Equazione del moto di rotazione di un
corpo rigido attorno ad un asse fisso
• Abbiamo dedotto:
– il moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso dipende dal
momento assiale (la componente del momento delle forze esterne lungo
l’asse di rotazione)
• Si trova infatti che:
I  Mz
Equazione del moto di rotazione di un CR
attorno ad un asse fisso
•
I = momento di inerzia del CR rispetto all’asse
di rotazione
•
 accelerazione angolare
•
Mz componente assiale del momento delle forze
esterne
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F
I diversi tipi di sollecitazione
•
F
L
Trazione
– Produce un allungamento del campione
•
F
a)
F
b)  F
 F c)
Compressione
– Produce una accorciamento del campione
•
Taglio
– Produce lo scorrimento di una sezione del campione
sull’altra
•
Compressione idrostatica
– La forza in questo caso agisce su tutta la superficie del
campione ed è perpendicolare alla superficie stessa
– Produce una diminuzione del volume del campione
• Sforzo
•
F


– Forza applicata diviso per la sezione del campione
A
Deformazione relativa
L
– La deformazione prodotta diviso per il valore della
L
grandezza originaria
sforzo  modulo di elaticità
 deformazione relativa
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Il comportamento dei materiali

F
L
E
A
L

F
L
G
A
L
E  modulo di Young (trazioni o compressioni)
G  modulo di taglio
(per sollecitazioni di taglio)
• I moduli di elasticità, E e G, si
misurano in N/m2
G.M. - Edile A 2002/03
Il comportamento dei materiali
G.M. - Edile A 2002/03
Equazione del moto di rotazione di un
corpo rigido attorno ad un asse fisso
• Abbiamo dedotto:
– il moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso dipende dal
momento assiale (la componente del momento delle forze esterne lungo
l’asse di rotazione)
• Si trova infatti che:
I  Mz
Equazione del moto di rotazione di un CR
attorno ad un asse fisso
•
I = momento di inerzia del CR rispetto all’asse
di rotazione
•
 accelerazione angolare
•
Mz componente assiale del momento delle forze
esterne
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F
I diversi tipi di sollecitazione
•
F
L
Trazione
– Produce un allungamento del campione
•
F
a)
F
b)  F
 F c)
Compressione
– Produce una accorciamento del campione
•
Taglio
– Produce lo scorrimento di una sezione del campione
sull’altra
•
Compressione idrostatica
– La forza in questo caso agisce su tutta la superficie del
campione ed è perpendicolare alla superficie stessa
– Produce una diminuzione del volume del campione
• Sforzo
•
F


– Forza applicata diviso per la sezione del campione
A
Deformazione relativa
L
– La deformazione prodotta diviso per il valore della
L
grandezza originaria
sforzo  modulo di elaticità
 deformazione relativa
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Il comportamento dei materiali

F
L
E
A
L

F
L
G
A
L
E  modulo di Young (trazioni o compressioni)
G  modulo di taglio
(per sollecitazioni di taglio)
• I moduli di elasticità, E e G, si
misurano in N/m2
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Il comportamento dei materiali
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• Un tondino di acciaio da costruzione ha raggio R=9.5 mm e lunghezza
L =81 cm. Una forza di modulo 6.2 x104 lo tira longitudinalmente. Qual
è lo sforzo nel tondino?
Applic
• Quanto l’allungamento e la sua deformazione?
azione
• La sezione del tondino è data da:
2

A  R  3.14  9.5  10
• Lo sforzo:
• La deformazione:

3 2
6
 283  10 m
2
F
6.2  104
8 N
 

2.19

10
6
2
A 283  10
m
L  2.19  108
 
9  0.0011
L
E 200  10
• L’allungamento:

2.19  10 8
L  L 
9  0.81  0.0011 0.81  0.00089m  0.9mm
E
200  10
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Risonanza
•
•
•
Per realizzare una qualunque struttura
meccanica, dalla più semplice alla più
complicata, si utilizzano corpi solidi
collegati insieme
poiché i corpi solidi hanno un
comportamento elastico, ci aspettiamo
altrettanto da una qualunque struttura
meccanica.
Sottoponendo la struttura ad una
sollecitazione rapida (un impulso),
F cosf t 
F cos f t 
d 2xy b dy
dx k


y
x

2
dt
m dt m
m
– Essa entrerà in vibrazione
– Le vibrazioni si smorzeranno più o meno
rapidamente a causa degli attriti
•
Però se le sollecitazioni sono periodiche
– le vibrazioni potranno sostenersi
•
Per avere un’idea di quello che succede si
può studiare l’oscillatore armonico
sottoposto ad una forza variabile nel
tempo.
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I fluidi
• Per fluidi si intendono i gas ed i liquidi
• le distanze tra le molecole sono in media più grandi rispetto ai solidi,
– le forze di interazione sono estremamente meno intense: nei fluidi le
molecole sono debolmente legate l’una all’altra
– esse non occupano posizioni predeterminate all’interno del fluido
– ma possono muoversi al suo interno.
• I fluidi non oppongono alcuna resistenza a sollecitazioni di taglio
– Se suddividiamo in due parti il fluido con una superficie ideale è possibile
far scorrere le due parti di fluido l’una rispetto all’altra.
– Si immagini la lama di un coltello che scorre all’interno di un fluido.
• Conseguenza:
– Se separiamo il fluido in due parti mediante una superficie qualsiasi le
forze che una parte di fluido esercita sull’altra hanno solo la componete
normale alla superficie.
– Questo vale per qualunque superficie.
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La pressione idrostatica
•
Sulla superficie immaginaria con cui abbiamo suddiviso il
fluido in due parti prendiamo una piccola area, A, attorno al
punto P
Si definisce pressione idrostatica nel punto P la grandezza
scalare attenuta facendo il rapporto della forza (normale) che
una delle due parti di fluido esercita sull’altra attraverso l’area
A, diviso per l’area A (eventualmente si fa il limite per A
che tende a zero) :
F
P n
A
•
P  Fn A1  MLT 2L2 
•
Le dimensioni
•
Le unità di misura nl SI sono N/m2, che viene anche chiamata
“pascal”, Pa.
Altre unità di misura della pressione:
•
– Atmosfera (atm)=1 atmosfera è la pressione atmosferica al livello del
mare
– torr (o mm Hg) è la pressione che esercita una colonna di 1 mm di
mercurio
5
1atm
1.013
10
Pa  760torr
5
– 1 bar= 10 Pa
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La pressione sulle pareti del recipiente
•
Se la superficie ideale tracciata all’interno di un fluido viene sostituita da una
superficie reale
– la parete del contenitore
•
Possiamo usare la stessa definizione per valutare al pressione sulle pareti del
contenitore
F
P n
y
A
•
•
•
A è una piccola areola attorno al punto P in cui si vuole
misurare la pressione
Fn è la forza normale esercitata dalla fluido sulla piccola
porzione A della parete
A cosa è dovuta questa forza normale?
– Agli urti delle particelle che costituiscono il fluido sulle pareti
– Per un urto elastico su una parete liscia



1
1
2
2
2
2
m vx  v y  m v' x vy
2
2

v 2x  v' 2x

v' x  v x

v' x  vx
v'
F
v
x
La molecola subisce la forza F
dalla parete
Per il principio di azione e
reazione esercita sulla parete
G.M. e- Edile
A 2002/03
una forza uguale
contraria.
La densità
• Si definisce densità media
del fluido
M
m 
V
• Si definisce densità del
fluido nel punto P
M
  lim V0
V
– Il limite in senso “fisico”
• I fluidi si distinguono in
– Comprimibili
– Incomprimibili
P

dM
dV
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La legge di Stevino
•
•
•
•
•
•
Consideriamo in fluido incompribile
 è uniforme in tutto il volume del fluido
Consideriamo un fluido stazionario
Isoliamo idealmente una porzione di fluido
racchiusa in un cilindro di area di base A
orizzontale e altezza h (h=y1-y2)
Se tutto il fluido è stazionario, questa porzione è
ferma
Applichiamo la secondo legge della dinamica
– In particolare la sua componente verticale
P2 A  P1A  A(y1  y2 )g  0

P2  P1  (y1  y2 )g  P1  gh
•
•
•
h profondità
Punti alla stessa profondità hanno la stessa pressione
Punti alla stessa pressione si trovano alla stessa profondità
– La superficie di separazione tra l’aria e l’acqua è orizzontale
G.M. - Edile A 2002/03
•
A che profondità bisogna immergersi in mare perché la pressione raddoppi
rispetto a quella in superficie
•
Dalla legge di Stevino ricaviamo che la pressione alla profondità
h in un liquido conoscendo quella in superficie Po, è data da:
Applic
azione
P  Po gh
•
Vogliamo trovare h* in modo che P sia uguale a
2Po.
P
*
*
2Po  Po  gh  h  o
g
P
1atm
*
• Da cui:
h  o 

kg
g 1.024  103 3 9.81 m2
m
h
s
5
1.01  10 Pa

 10.05m
3 kg
1.024  10 3 9.81 m2
m
•
•
Ogni 10 m di profondità la pressione aumenta di un atmosfera
Se al posto dell’acqua c’è un gas,
–
•
•
s
la densità del gas è circa 1000 volte più piccola di quella dell’acqua
Alla profondità di 10 m in un gas la pressione sarebbe cambiata solo di 1
millesimo di atmosfera
Per recipienti di piccolo volume, entro i 10 m di profondità, possiamo
considerare la pressione costante in tutto il recipiente.
P  Po  gh
se h  0
P  -PEdile
tan te
G.M.
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o  cos
La misura della pressione
• Manometro a tubo aperto
• Barometro
– Per la misura assoluta della
pressione atmosferica
0  Po  g h
– Misura la differenza di
pressione tra due ambienti
– Misura relativa di pressione
P  Po gh
Po  gh
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Il principio di Pascal
•
Consideriamo un fluido contenuto in un cilindro
racchiuso da un pistone mobile
Indichiamo con Pest la pressione esercitata dal
pistone sul fluido
La pressione in tutti gli altri punti sarà: P  Pest  gh
•
•
•
•
•
Supponiamo ora di variare la pressione Pest , per
esempio variando il carico sul pistone.
Sia Pest la variazione di Pest.
In tutti gli altri punti del fluido osserveremo una
variazione di pressione:
P  Pest   gh 
•

se il liquido è
in comressibile
gh0
P  Pest
Se produco una variazione di pressione in un punto del fluido questa si
ripercuote su tutto il fluido.
G.M. - Edile A 2002/03
La leva idraulica
•
•
•
•
•
•
•
Consideriamo due cilindri pieni di un fluido incomprimibile (olio)
In condizioni di riposo entrambi i pistoni sono alla stessa altezza e la pressione
del fluido subito sotto i pistoni è la pressione atmosferica
Se spingiamo il pistone Ai con una forza Fi, facciamo cioè aumentare la
pressione del fluido in uno dei rami del pistone, allora la pressione aumenterà
dappertutto della stessa quantità
F
P  i
Ai
Il secondo pistone sarà quindi in grado di
esercitare sull’ambiente esterno una forza
A
Fo  PAo  Fi o
Ai
La forza risulta amplificata per un fattore pari
al rapporto tra le aree
Si osservi che lo spostamento del secondo
pistone è ridotto rispetto a quello del primo
dello stesso fattore.
Il lavoro da fare per sollevare un oggetto
pesante è sempre lo stesso
G.M. - Edile A 2002/03
Il principio di Archimede
•
•
•
•
•
•
La Spinta di Archimede è la forza a cui è soggetto un
corpo quando è immerso nel fluido
Consideriamo, in un fluido stazionario, la porzione di
fluido racchiusa in una superficie chiusa che riproduce
perfettamente la superficie esterna di un corpo.
Questa porzione di fluido è in equilibrio (fluido
stazionario)
La risultante delle forze che la porzione di fluido
all’esterno del contorno esercita su quella all’interno del
contorno è proprio uguale al peso del fluido racchiuso
all’interno del contorno.
Quando metteremo il corpo, la parte di fluido esterna al
contorno del corpo è la stessa , continuerà ad esercitare
sempre la stessa forza:
La spinta di Archimede è pari al peso della massa di
acqua spostata dal corpo
G.M. - Edile A 2002/03