Programma - Dipartimento di Sistemi Elettrici e Automazione

Università degli studi di Pisa - Facoltà di Ingegneria
Corso di laurea specialistica in Ingegneria dell’Automazione
Programma di Metodi Matematici per l’Ingegneria
a.a. 2004- 2005
Cap. 0 Richiami di algebra lineare e nozioni preliminari.
 Definizione di spazio vettoriale normato. Esempi di norme vettoriali. Successioni di Cauchy.
 Spazi di Banach e spazio duale.
 Definizione di prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz.
 Spazi di Hilbert. Esempi. Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Serie di Fourier:convergenza.
 Sistemi completi di funzioni in L2. Polinomi ortogonali di: Legendre, Chebyshev, La guerre, Hermite.
 Richiami sui polinomi. Algoritmo di Corner.
 Rango di una matrice. Matrici simmetriche, antisimmetriche, hermitiane, antihermitiane, ortogonali, unitarie:
proprietà.
 Matrici definite positive e semidefinite positive. Matrici a banda. Matrice aggiunta. Matrice inversa.
 Valori singolari di una matrice e sue proprietà.
 Matrici elementari Formula di Sherman-Morrison. Perturbazione di una matrice:teorema.
 Matrice inversa generalizzata, matrice pseudoinversa.
 Sistemi lineari:formulazione del problema e rappresentazione delle soluzioni.
 Definizione di autovalore e autovettori destri e sinistri di una matrice. Sistemi biortogonali. Raggio spettrale.
Norma di una matrice. Esempi di norme matriciali indotte da norme vettoriali.
 Diagonalizzazione di una matrice. Matrici a predominanza diagonale. Matrici simili. Matrici riducibili. Grafo di
una matrice. Matrici di permutazione. Matrici convergenti.
 Teorema di Cayley-Hamilton. Teorema di Hirch.
 Localizzazione degli autovalori nel piano complesso. Teoremi di Gershgorin. Matrice compagna.
Cap. 1 Analisi dell’errore
 Rappresentazione dei numeri reali.
 Errori di troncamento e arrotondamento.
 Aritmetica finita e precisione di macchina.
 Errori di calcolo di una funzione: analitico, inerente, algoritmico.
 Analisi dell’errore mediante l’uso del grafo.
Cap. 2 Metodi diretti e iterativi per la risoluzione di sistemi lineari
 Metodo di Gauss e fattorizzazione LR.
 Analisi dell’errore e numero di condizionamento.
 Metodo di Doolittle e Cholesky.
 Metodi iterativi di Jacobi, Gauss-Seidel e SOR (successive over relaxation).
 Metodo del gradiente coniugato.
Cap. 3 Metodi per la risoluzione di un’equazione e di un sistema di equazioni non lineari
 Metodo delle approssimazioni successive.
 Ordine di convergenza, test d’arresto, errori di arrotondamento.
 Metodi di Newton, Jacobi-Newton, Gauss-Seidel, SOR-Newton e di Robinson.
 Equazioni algebriche: successione di Sturm.
Cap. 4 Metodi per la determinazione di autovalori e autovettori di una matrice
 Localizzazione degli autovalori.
 Metodo delle potenze.
 Metodo di Jacobi.
 Metodo LR.
 Metodo QR.
Cap. 5 Interpolazione e approssimazione di una funzione
 Differenze divise e differenze finite.
 Polinomi di Lagrange, Newton, Hermite.
 Spline cubiche.
 Polinomi trigonometrici e trasformata discreta di Fourier.
 La funzione test di Runge, interpolazione “quasi minimax”di Chebyshev.
I
 Metodo dei minimi quadrati nel discreto e nel continuo. Polinomi ortogonali di Legendre, Chebyshev, Laguerre,
Hermite.
 Convergenza in media e uniforme.
Cap. 6 Integrazione e derivazione numerica
 Somme di Riemann, grado di precisione.
 Formule di Newton-Cotes.
 Formule composite.
 Formule gaussiane.
 Formule dei resti.
 Tecniche di estrapolazione e controllo dell’errore.
 Estensione agli integrali doppi e tripli.
 Formule di derivazione numerica.
Cap. 7 Risoluzione numerica di equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinarie
con condizioni iniziali assegnate
 Problema di Cauchy: teorema di esitenza e unicità. Risoluzione di un sistema differenziale del primo ordine a
coefficienti costanti: matrice exp(Ax)e teorema di Caley-Hamilton.
 Metodi lineari a k passi: errore di troncamento, errore locale, errore globale; ordine, consistenza, zero-stabilità,
convergenza, stabilità assoluta e relativa.
 Metodi di Adam, Bashford, Moulton.
 Metodi BDF (Backward Differential Formulas)
 Metodo di Schur e metodo della frontiera.
 Metodi di predizione e correzione: stima dell’errore locale di troncamento.
 Metodi di Runge-Kutta: espliciti, impliciti, semi-impliciti. Ordine, consistenza, convergenza, stabilità assoluta e
relativa.
 Formule di metodi di Runge-Kutta espliciti di ordine 2, 3, 4, 5, 6, impliciti e semi-impliciti.
 Stima dell’errore locale: estrapolazione di Richardson.
Cap. 8 Metodi alle differenze finite per la risoluzione di problemi differenziali ai limiti
 Risoluzione di un’equazione differenziale lineare a coefficienti non costanti con condizioni ai limiti di prima,
seconda e terza specie. Caso degli autovalori.
 Risoluzione di problemi differenziali non lineari della forma y   f ( x, y) e y   f ( x, y, y  ) con
condizioni ai limiti di prima specie. Teorema di esistenza e unicità.
Metodi lineari a due passi; metodo di Numerov.
 Risoluzione di problemi differenziali non lineari della forma
 Esempi proposti. Problema del Boundary layer.
y IV  f ( x, y) .
Cap. 9 Risoluzione numerica di equazioni differenziali alle derivate parziali
tramite il metodo delle differenze finite
 Applicazione del metodo delle differenze finite per la risoluzione di equazioni del secondo ordine lineari di tipo
ellittico, parabolico, iperbolico con condizioni del tipo di Dirichlet, di Newmann, di Robin o misto.
 Equazioni di Laplace e di Poisson. Principio del massimo.
 Problema di Dirichlet - u=f(x,y) in , u(x,y)=g(x,y), (x,y)  . Limitazione a priori della soluzione. Errore di
troncamento. Consistenza. Convergenza.
 Problemi classici:
- problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace e di Poisson;
- problema del trasporto;
problema di trasmissione del calore;
- problema delle onde;
 Consistenza, convergenza, stabilità.
Cap. 10 Equazioni variazionali-Elementi finiti.
 Formulazione debole di un problema ai limiti in una dimensione.
 Approssimazione di Ritz-Galerkin.
 Stima dell’errore.
 Spazi di Sobolev: derivate generalizzate; norme di Sobolev; disuguaglianza di Sobolev e teorema di traccia.
Dualità.
 Formulazione variazionale di problemi ellittici con valori assegnati al contorno.
 Spazi di Hilbert.
 Proiezione su sottospazi. Proiezione su un convesso chiuso.
II
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Teorema di Banach-Caccippoli.
Teorema di rappresentazione di Riesz.
Teorema di Stampacchia.
Teorema di Lax-Milgram.
Approssimazione polinomiale in spazi di Sobolev.
Formulazione variazionale dell’equazione di Poisson con condizioni al contorno di Dirichlet, di Neumann puro e
di Neumann misto.
Approssimazione variazionale dell’equazione di Poisson.
Problema di Stokes.
Problema di diffusione di un fluido attraverso un mezzo poroso.
Problema di Navier-Stokes.
Elementi finiti di Lagrange, di Hermite, di Argyris in una, due, tre dimensioni.
Gli studenti sono invitati a consegnare all’atto della prova scritta un’applicazione al computer. Tale applicazione può
essere rivolta ad un tema d’esame assegnato negli appelli passati e possibilmente risolto con più algoritmi di calcolo tra
quelli indicati nelle dispense.
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