Il lavoro

Lavoro fatto da una forza costante su un percorso rettilineo:
 
W  F  d  Fd cos   F||d
d
L<0
L>0
L=0
d
d
F
F
F
[L]=[F][L]=[ML-2T -2]
S.I.: 1 Joule = 1 m2 kg s-2
1
Il lavoro
 
W  F  d  Fd cos   F||d
 
W  F  d  Fx d x  Fy d y  Fz d z


È una grandezza scalare
Indipendente dalla scelta degli assi coordinati
2
Applicazione: Lavoro ed energia
Una persona traina una cassa di 50kg per 40 m lungo un pavimento orizzontale applicando una forza
costante Fp=100N e agente con un angolo di 37o. Il pavimento è scabro ed esercita una Fatt=50N.
Determinare il lavoro compiuto da ciascuna forza e il lavoro totale.


d  40mi
 
W  F  d  Fx d x  Fy d y  Fz d z


 



Fp  Fp cos  i  Fp sen j  79.8 N i  60.2 Nj


Fatt  50 Ni



P  mgj  490 Nj



FN  mg  490 Nj
W p  Fpx d x  3192 J
Watt  Fattxd x  2000 J
 
WP  P  d  0
 
WFN  FN  d  0
Wtot  W p  Watt  1192 J
3
Il Lavoro

Se la forza non è costante e/o il percorso non è rettilineo,
possiamo:
 dividere il percorso in tratti infinitesimi in modo da poter
considerare il tratto rettilineo e la forza costante su quel tratto
 
dW  F  ds


Calcolare il lavoro su ciascuno dei tratti
Sommare tutti i lavori calcolati sui singoli tratti
 
W   F  ds
f
ig
g
f
i
4
Il Lavoro

Nel caso di più forze:
f
W 
ig


f
  
  f  f 

F1  F2  F3  ds   F1  ds   F2  ds   F3  ds
ig
ig
ig
Il lavoro è pari alla somma dei lavori delle singole forze agenti,
ciascuno dei quali può essere: positiva, negativo oppure nullo
5
Il lavoro della forza elastica
B
A
Posizione di riposo

Fk

Fk
F p Forza esterna applicata
F k si oppone alla forza applicata (f. di richiamo) in
verso tale da riportare la molla nella posizione di
riposo


Fk  kxi
6
Il lavoro della forza elastica
A
B
WAB  
B
A

Fk

Fk
WAB   k 
B
A


Fk  dr


1
xdx   k x 2 B  x 2 A  0
2
7
Il lavoro dipende dal percorso??
 
L1   F  dr
B
y
B
1
A
L1  L2
2
 
L2   F  dr
B
A
P
x
A
8
Il lavoro della forza peso
 
1 WAP  P  d AP  mg AP cos 90  0
 
WPB  P  d PB  mg PB cos180  mg  y B  y A 


P  mgj
y
B
2
WAB  WAP  WPB  mg yB  y A 
1
A
2
P
x
WAB  
B
 
P  dr




dr  dx i  dy j  dzk
A, 2
B
B
B
A, 2
A, 2
A, 2
WAB   Px dx  Py dy  Pz dz    mgdy  mg  dy 
WAB  mg y yBA  mgyB  mgyA 
y
9
Le forze conservative e l’energia potenziale
WAB  mgyB  mgyA 
U  mgy
WAB  U B  U A   U
Finale
Iniziale
 Una forza si dice conservativa se:
il lavoro eseguito dalla forza sul punto materiale P mentre si sposta dalla posizione A alla
posizione B dipende soltanto dalla posizione iniziale e dalla posizione finale non dal percorso
effettuato, dalla traiettoria seguita per andare da A a B, né da alcun altro parametro come la
velocità, il tempo impiegato.
 Allora esiste una funzione U, energia potenziale della posizione del punto materiale P
U(P) = U(x,y,z)
tale che il lavoro fatto dalla forza conservativa quando il punto materiale si sposta tra due
punti qualsiasi, A e B, è dato dalla differenza tra i valori che la funzione U assume nel punto
iniziale A meno quello che assume nel punto finale B.
Per l’energia potenziale non esiste una espressione generale, ma essa dipende dalla particolare
10
forza conservativa cui essa si riferisce.!!
Il lavoro della forza elastica
A


FK  kxj
B
WAB  
B
A


FK  dr
B
WAB  k  xdx  
A
U

1
k x2B  x2 A
2

1 2
kx
2
WAB  U B  U A   U
La forza elastica è una
forza conservativa
11
Il Lavoro delle forze conservative
 
  F  dr 
B
WAB
A,1
 
 F  dr 
B
A,1
 
 F  dr  0
B
A, 2
 
 F  dr  0
 
 F  dr 
B
A,1
 
 F  dr
B
A, 2
 
 F  dr  0
A
B,2
Il lavoro effettuato da una forza
conservativa su un percorso chiuso è nullo
12
Ancora sull’energia potenziale
WP1P2  U  U(P1 )  U(P2 )
Considerando i punti Po, iniziale, e P, il generico punto dello spazio:
WPo P  U  U(Po )  U(P)
costante

P
U(P )  U(Po )  WPo P  U(Po )  F  dr
Po

Non è necessario specificare la
traiettoria
Per derivare la funzione energia potenziale occorre:
 Fissare arbitrariamente un punto dello spazio Po.
 Assegnare un valore arbitrario all’energia potenziale del punto Po.
 Calcolare il lavoro effettuato dalla forza da Po al generico punto P lungo
una qualsiasi traiettoria che connetta Po con P.
13
Ancora sull’energia potenziale
Per esempio per la forza peso:




P
Po
Un punto arbitrario dello spazio Po.
Assegnare un valore arbitrario all’energia
potenziale in Po.
Calcolare il lavoro effettuato dalla forza peso
da Po al generico punto P lungo una qualsiasi
traiettoria che connetta Po con P.
 
F  dr   mg ( y  yo )
h
U(P0)=0
U ( P )  mg ( y  y0 )  mgh

P
U(P )  U(Po )  WPo P  U(Po )  F  dr
Po
14
Il lavoro della forza di attrito
La forza di attrito statico fa un lavoro è nullo



Fatt  d Ni  d mgi
costante
WP1P2  
P2
P1 ,g 1

P2
P2

Fatt  dr     d mgds    d mg  ds    d mgl12
P1 ,g 1
P1 ,g 1
 Il lavoro della forza di attrito dinamico non dipende solo dal punto
iniziale e da quello finale, ma anche dalla lunghezza della
traiettoria scelta
 Su un percorso chiuso il lavoro è diverso da zero
La forza di attrito dinamico non è conservativa
15
Teorema dell’energia cinetica
 
dW  F  ds  Ft ds  mat ds
m

B
A

B
dW   mvdv
A

F
A

ds
dv
ds
ds  m dv  mvdv
dt
dt
B
1 2 1 2
 W  mv B  mv A
2
2
Si definisce Energia cinetica della particella
1
E k  mv 2
2
16
Teorema delle forze vive
Teorema delle forze vive: la variazione dell’energia
cinetica subita dal punto materiale quando si sposta di
r risulta uguale al lavoro compiuto dalla forza lungo
il percorso.


W  Ek
L’energia cinetica rappresenta la capacità di un corpo a compiere
del lavoro cioè di trasferire movimento ad altri corpi. La corrente
del fiume fa muovere le macine di un mulino!!
[Ek]=[M][v2]
S.I.: 1 m2 kg s-2 = 1 Joule
17
Energia-Lavoro: riassumiamo


l’energia cinetica è una grandezza che caratterizza il punto
materiale: dipende dallo stato di moto del corpo
I corpi possono scambiarsi energia: il lavoro rappresenta un modo
attraverso cui i corpi si scambiano energia.
 Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro positivo
(forza motrice, concorde con il moto), allora Ek del punto
materiale aumenta. Ossia:
 l’ambiente esterno ha compiuto un lavoro sul punto materiale
 il punto materiale ha acquisito Ek dall’ambiente esterno.
 Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro negativo
(forza resistente, opposta al moto), allora Ek diminuisce. Ossia:
 il punto materiale ha effettuato del lavoro sull’ambiente
esterno
 a spese della sua energia cinetica
W  E
k
18
Conservazione dell’energia
Se agiscono solo forze conservative:
W  Ek
+
Ek  U  0
W  U
La somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale, ET (energia
meccanica) di un punto materiale che si muove sotto l’azione di forze
conservative resta costante durante il moto: cioè ET si conserva.
19
Conservazione dell’energia generalizzata
Se agiscono anche forze non conservative:
W  Ek
Wc  U
+
W  Wnc  Wc
Ek  U  Wnc
L’energia meccanica non resta costante ma la sua
variazione è pari al lavoro delle forze non
conservative.
20
Applicazioni : il pendolo.
(Ec + U) Punto generico = (Ec + U) Punto più alto
1 2
mgl1  cos    mv  mgl1  cos  0 
2
v  2 gl (cos   cos 0)
Nel punto più basso, la velocità è massima:
1 2 1
Ec  mv  m(2 gl )(cos   cos  0)
2
2
U=mgl(1-cos )
E
 0
vo  2 gl (1  cos 0)
0 
Ec + U = costante
21
Piano inclinato

La forza N  spostamento
non produce lavoro
ET si conserva !!
Punto di partenza
EC = 0
Punto di arrivo
EC = ½ mVf
U=0
Punto generico
EC = ½ mV 2
U = mgh
mgh0 = ½ mVf
U=mgho
2
2
Vf =
2gh0
22
Forza elastica
F = -Kx Forza conservativa
ET Si conserva!!
 x0
0
x0
Punto più a destra
Punto più a sinistra
Punto centrale
1 2
U  kx
2
Ec = 0
U = ½ k X0
Ec = 0
U = ½ k X0
2
2
Ec =1/2 mVo2
U=0
1 2 1
2
2
2
kx0  mv 0  v 0  k / m x0  v 0  x k / m 
2
2
23
Forza elastica
Punto generico
1 2
1 2
EC  mv U  kx
2
2
1 2 1 2 1
2
kx  mv  kx 0
2
2
2
Oppure
1 2 1 2 1
2
kx  mv  mv 0
2
2
2
24
Il giro della morte
Da quale altezza si deve
partire per fare
correttamente il giro?
2
1/ 2mvB  mgh
vB  2 gh
Se il corpo parte da un’altezza
generica h, alla base V = 2 gh
Perché il corpo possa arrivare in C
EB  1 / 2mvB  mgh
UB  0
2
Uc  2 Rmg 2
Ec  1/ 2mvc
Attenzione:vc
0!
25
Il giro della morte
VC
0
N 0
Condizione limite:
mv 2
mg  N 
R
Nel punto C
mv C
mg 
R
Altrimenti il corpo si stacca!!
2
N si annulla in C.
vC  Rg
Conservazione dell’energia tra A e C
1
2
1
5
mgh  mv C  2 Rmg
mgh  mRg  2 Rmg  h  R
2
2
2 26
Potenza e lavoro

Data un forza esegue un lavoro W in un intervallo di tempo t, si
definisce potenza media nell’intervallo t il rapporto :
Pmedia

W

t
La Potenza sviluppata dalla forza all’istante t (potenza
istantanea), si ottiene facendo il limite per t che tende a zero:
P
dW  F dr  F  vdt
dW
dt
P
dW F  dr
dr

 F
 Fv
dt
dt
dt
Le dimensioni [P] = [ML2T-2][T-1] = [ML2T-3]
Nel SI si misura in watt (W)
Kilovattora come unità di misura del
lavoro
1kwattora=3.6MJ
27
Ancora sull’energia potenziale
Per le forze conservative
dL  dU


 F  dr  dU
Fdr cos   dU 
FT dr  dU
W  U
FT  dU / dr
La componente della forza nella direzione dello
spostamento, si ottiene derivando la funzione U, rispetto
alla coordinata relativa.
28
Ancora sull’energia potenziale
In generale U(x,y,z)
Esempio:


Fx  (U / x)i


Fy  (U / y) j


Fz  (U / z )k
U=mgz



Fz  (U / z )k  mgk




F   gradU  (U / x)i  (U / y) j  (U / z )k
Ancora sull’energia potenziale
Forza peso U=mgz
Percorso 1 : L = 0
Percorso 2 : L = mg(h2-h1)
Percorso 3 : L = mg(h2-h1)

mg
Superficie a Z = cost. si chiama
Superficie “equipotenziale”.
Fz  (dU / dZ )uˆz
La forza è sempre diretta perpendicolarmente alla superficie
equipotenziale diretta nel verso in cui essa decresce.
Le curve di energia potenziale
Forza elastica U=1/2 KX2
F  (dU / dX )   KX
X  0  F1  KX  0
In generale
X  0  F2  KX  0
F=-dU/dX
se dU/dX=0
U=Max o min
Forze centrali


Si definisce forza centrale una forza agente in una certa regione dello spazio
con le seguenti proprietà:
 per qualunque posizione del punto materiale P che subisce la forza, la
direzione della forza agente su P passa sempre per un punto fisso dello
spazio, detto centro della forza centrale,
 il suo modulo è funzione soltanto della distanza del punto materiale P dal
centro stesso.
la forza di gravitazione universale.
F  G


mM
mM r
u

G
2
r
2
r
r r
Forza di Coulomb
La forza elastica
y
F
1 q 1q 2
F
2 ur
4o r
P
r
F  kxi
O=S
x
32
Forze centrali: forze conservative

ur


F  F r u r
B
B


 
L   F (r )  ds   F (r )ur  ds   F (r )ds cos 
B
A
A
L  (UrA  UrB)
Ur 
dr
A
La soluzione di questo
integrale dipende solo da
 
r A, r B
Energia potenziale
33
Quantità di moto

Quantità di moto:


p  mv
(dipende dal sistema di riferimento scelto)





dV dmV dp
 F  ma  m dt  dt  dt
Δp
p1
p’
F
dp
F 
dt
Se la m è costante
Posiamo definire la forza anche come la rapidità di variazione
con il tempo della quantità di moto
34
L’impulso e teorema dell’impulso


Fdt  dp
 dp
F
dt
t 

p   Fdt

t
0

p 
Fdt   dp
p0
impulso di una forza: J
0
 t 

J   Fdt  p
J   kg  m 

s
0
Teorema dell’impulso: l’impulso della forza risultante che agisce su una
particella, durante un certo intervallo di tempo, è uguale alla variazione
della quantità di moto della particella in quell’intervallo di tempo.
35
36
Conservazione della quantità di moto

 dp
F 
dt
Se


F 0 p
costante
Conservazione della quantità di moto: in assenza di forze
applicate la quantità di moto di un punto materiale è
costante, ossia la quantità di moto si conserva.
37
Momento Angolare
Moti Traslatori


p  mv
per un punto
materiale
Conservazione della
quantità di moto!!
Moti Rotatori
  
l rp
Momento angolare di una
particella rispetto ad O
Sia xy il piano individuato dai vettori r e p

| l | r p  p r
O
Momento angolare

l

| l | rpsen  r p  p r
  
l rp
O
r
p
r braccio di p rispetto ad O ossia la distanza della
retta di azione di p rispetto ad O
39
Applicazione..
Una particella di massa 13.7 g è in moto alla velocità costante di 380 m/s. La
traiettoria rettilinea della particella passa a distanza di 12 cm dall’origine. Si
calcoli il momento angolare della particella rispetto all’origine.

| l | rpsen  mvh  0.62kg m 2 /s
O
h
40
Momento angolare ed il momento angolare torcente
  
l rp

dl

dt

v


dr   dp
 pr
dt
dt

F

 
dl d ( r  p )

dt
dt

dl  
 r F
dt

mv
Il momento torcente totale rispetto al polo O delle
forze agenti sulla particella è uguale alla variazione
temporale del momento angolare della particella
calcolato rispetto allo stesso polo.

dl 

dt
41
Teorema del momento dell’impulso
Se la forza è applicata per un tempo t breve r è praticamete costante:

d 

dt
 
  rF

t 





 
dt  (r  F )dt r   Fdt r  J   
t
t
0
0
0
Teorema del momento dell’impulso: la variazione di momento
angolare è uguale al momento dell’impulso applicato al punto.
42
Conservazione del momento angolare

d 

dt
 
  rF  0


d
0
dt
 
r // F

F0


costante
Il momento angolare di un punto materiale è costante nel
tempo (ossia si conserva) se il momento delle forze è nullo.
43
Moto di un punto materiale sotto l’azione di una forza centrale
Il momento di una forza centrale valutato rispetto al
centro della forza è nullo. La forza ed il vettore
posizione sono paralleli o anti paralleli

d o
 Mo
dt
d o
0 
dt
o
y
 cos tan te
r
F
v
x
O

Il momento della quantità di moto rispetto al centro
della forza deve rimanere costante
 Direzione: Il moto è un moto piano


Verso: La traiettoria viene percorsa sempre nello
stesso verso: orario o antiorario
Modulo: La velocità areale è costante: il segmento
che connette il centro della forza con il punto
materiale spazza aree uguali in tempi uguali.
y
v t  t 
r(t  t)
v(t)
r (t)
O
x
44