formula formula se -ma -variabile zero

ALCUNI PROBLEMI TIPO CON SOLUZIONI
[quelli marcati(*) sono adatti anche all’esame di Elementi VO)
1. STATISTICHE QUANTISTICHE
1-1)
Argento metallico (densità 10.5 g/cm3, peso atomico 108): calcola il vettore d’onda
degli elettroni al livello di Fermi
[1.2 Å-1]
1-2)
Calcola il calore specifico atomico di un gas perfetto monoatomico (massa M)
contenuto in un volume V nel limite T  0, stimando a quale temperatura comincia a
discostarsi dal valore 3kB per tendere a zero a) per un volume costante di 1 cm3; b)
per un volume costante di 1 (nm)3
[ T < 1.5 ·10-14 K ; T < 1.5 K ]
1-3)
Dimostra che il calore specifico di un gas elettronico bidimensionale va a zero
linearmente per T  0
1-4)
Calcola il calore specifico a volume costante per unità di volume di una cavità
elettromagnetica a temperatura T.
3
[
1-5)
cVv
4 2  k BT 

kB 
 ]
15
 c 
Calcola il calore specifico a volume costante di N = 20 atomi distinguibili distribuiti
su due livelli energetici E1 = 0 e E2 = E.
2. ATOMI A DUE ELETTRONI (*):
2-1)
Un atomo di elio si trova in uno stato doppiamente eccitato di configurazione (2p 4p):
Elencare tutti i possibili termini in ordine di energia crescente e verificare (sommando le
molteplicità) che ci sono tutti
[ 3D1,2,3 ; 3P0,1,2 ; 3S1 ; 3P1 ; 3S0 ; 1D2 ;
molteplicità = (7+5+3) + (5+3+1) + 3 + 5 + 3 + 1 = 36 = (3*2)*(3*2)]
2-2)
Determinare approssimativamente l’energia dello stato suddetto in assenza delle interazioni coulombiane residue.
[-17/32 u.a.]
2-3)
Relativamente all’atomo di He suddetto, doppiamente eccitato, determinare l’energia di
ionizzazione adiabatica dell’elettrone 2p
[-13/32 u.a]
2-4)
Considera la ionizzazione dell’He nello stato fondamentale. Poiché lo stato di partenza
di ciascun non sarà uguale allo stato finale quando l’altro elettrone se ne andato
all’infinito, la proiezione dello stato di partenza su uno stato d’arrivo eccitato (ad es. 2s)
non sarà nulla (ionizzazione non adiabatica). Se la probabilità di ionizzazione fosse
proporzionale al quadrato di tale proiezione, calcolare il rapporto tra la probabilità che lo
stato finale di He+ sia 2s e quella che sia 1s.
3. ATOMI A MOLTI ELETTRONI (*)
3-1)
Un atomo idrogenoide monoelettronico ha energia E = 19.6 eV, raggio medio r = 2.78 Å
e momento angolare |l| = 2.281015 eVs: determinare di quale atomo e di quale livello
elettronico si tratta.
[ Z = 6, l = 3, n = 5 ]
3-2)
Calcolare per lo stato 3D1 del carbonio gli angoli formati tra i vettori S, L, e J, e tra J e
l’asse z
[ 150°; 120°; 30°; 135°; 90°; 45°]
3-3)
Determinare il numero quantico di momento angolare totale J di un atomo in uno stato 7F
sapendo che il momento magnetico  forma con J un angolo di 138.6°
[J=2]
3-4)
Un atomo in uno stato 7GJ l’angolo tra il momento magnetico totale ed L vale 44.35°;
quanto vale J ?
[J=6]
3-5)
Trovare i termini dello stato fondamentale degli atomi Co(3d7), Nb(4d45s), Er2+(4f10),
Pt(5d96s), Si(3s23p2) nello schema SL. Indicare per ciascuno lo stato energetico
immediatamente superiore.
[cfr. libro; per Er2+: 5I8 ; per gli stati eccitati ragiona su Hund]
3-6)
Determinare il termine di stato fondamentale degli elementi Rh (4d85s), Nb (4d45s) e Sc
(3d4s2). Ipotizzare per quest’ultimo la configurazione elettronica e il termine del primo stato
eccitato connesso allo stato fondamentale da una transizione di dipolo elettrico.
[ 4F9/2 , 6D1/2 , 2D3/2 , 2F5/2]
3-7)
Sulla base del modello di Hartree calcolare le prime 8 energie di ionizzazione Ii (i = 1 - 8)
del cloro a partire dalla sua configurazione iniziale Cl([Ne]3s23p5)
[ ricorda la formula Ii = (Zn,i/n)2 Ry con Zn,i = n + i  1 ; cfr. con dati sperimentali in eV:
13.01, 23.8, 39.9, 53.5, 67.8, 96.7, 114.3, 348; attenzione: i primi 7 elettroni sono tolti alla
shell n = 3, l’ottavo elettrone alla shell n = 2 ]
3-8)
Gli stati 2P1/2 e 2P3/2 di un atomo di cesio danno una coppia di righe spettroscopiche: la
lunghezza d’onda inferiore vale 8521.01 Å, l’altra 8525.23 Å. Determinare l’espressione dei
livelli con il valore dell’interazione spin-orbita e il campo magnetico equivalente che agisce
sullo spin.
[ (E) SO  12 4.8  104 eV[ J ( J  1)  L( L  1)  S (S  1)] ; B = 6.22 T ]
4. EFFETTI RELATIVISTICI
4-1*) Per quale numero atomico Z lo splitting spin-orbita dello stato 2p di un atomo idrogenoide è
pari al 10% dell’energia di Bohr? Utilizzare la formula di Dirac.
[87]
4-2*) Calcolare la struttura fine secondo Dirac delle sottoshell 2p e 4d dello ione B4+ e le energie
delle transizioni permesse in approssimazione di dipolo elettrico
[ 63.81310 eV, 63.78486 eV, 63.78604 eV ]
4-3*) Ripetere l’esercizio sopra per la struttura fine (alla Dirac) delle sotto-shell 3d e 4f dello
stesso ione.
4-4)
Che rapporto intercorre la frequenza di transizione tra i due livelli iperfini dello stato 1s1/2
dell’idrogeno muonico (p+μ-) e quella dell’idrogeno ordinario, sapendo che anche per il
muone vale g  2, mentre per il protone è gp = 5.5883?
[150.58]
5. INTERAZIONI CON CAMPI ESTERNI (*)
5-1)
Nano-Millikan: Calcolare il gradiente di campo elettrico necessario per far levitare un atomo
di idrogeno nello stato eccitato 2s, H*(2s)
[ 1038 V/m2 ]
5-2)
Levitazione magnetica: Un atomo di nickel (A = 59) è collocato nel vuoto sotto l’azione
della gravità (g = 9.8 m/s2) e di un cmapo magnetico non uniforme, con un gradiente
costante verso l’alto, espresso da B(z) = -z (dB/dz). Calcolare il gradiente dB/dz che fa
levitare l’atomo.
[0.0206 T/m]
5-3)
Calcolare l’ampiezza dello splitting dello stato fondamentale di Zr(4d25s2) e di V(3d34s2)
sotto l’effetto di un campo magnetico omogeneo B = 0.3 T
[1.157 10-5 mJ eV ; 0.6944 mJ 10-5 eV ]
5-4)
Calcolare lo splitting Zeeman dei termini 3F2 e 3D3. Se lo splitting tra i due livelli di più
bassa energia di 3F2 è di 25 μeV, calcolare il valore del campo magnetico. Determinare
quindi gli splitting che tale campo produce sui livelli 3D3
[0.65 T; 5.0 ·10-5 eV]
5-5)
Calcolare il fattore di Landé per lo stato fondamentale dell’ossigeno e predire lo splitting dei
livelli quando l’atomo è posto in un campo magnetico di 0.35 T odi 15 T
[ 3.04·10-5 eV; 8.69·10-4 eV ]
6. MOLECOLE: STRUTTURA
6-1)
Si consideri una molecola biatomica omo-nucleare descritta nel modello LCAO: sapendo
che lo stato legante è stabilizzato di E+ = 0.4167 eV, mentre  = E  E+ = 0.292 eV e  =
0.3 eV, calcolare il valore di  e dell’integrale di overlap S.
[  = -0.2 eV , S = 0.2 ]
6-2)
Sapendo che la molecola H2 ha un’energia di dissociazione di 4.48 eV e che la sua frequenza
angolare di vibrazione vale 79·1013 rad/s, determinare l’energia di dissociazione del deuterio
D2.
[4.56 eV]
6-3)
La molecola H2 ha distanza d’equilibrio d = 0.74 Å: quanta carica elettronica bisognerebbe
localizzare nel punto medio dell’asse interatomico per giustificare l’energia di legame pari a
4.5 eV?
[ -0.308e ]
6-4)
La molecola 1H19F ha distanza d’equilibrio pari a 0.9168 Å. Una contrazione del legame
dello 0.1% corrisponde a un’energia elastica di 2.536·10-5 eV. Calcolare la frequenza
fondamentale di vibrazione. Sapendo che l’energia di dissociazione è di 6.526 eV, qual’è
l’ultimo livello vibrazionale stabile in approssimazione armonica?
[124.5 THz; n = 12 ]
7..MOLECOLE: SPETTRI ROTO-VIBRAZIONALI
7-1)
Si consideri la molecola 19F2: sapendo che la distanza interatomica vale R = 1.42 Å e
l’energia di dissociazione D = 6.70 eV, calcolare l’energia dei primi due stati rotazionali e il
numero quantico rotazionale l al quale avviene la dissociazione (supponendo che la
molecola rimanga nello stato vibrazionale fondamentale).
[ ortofluoro (spin nucleari antiparalleli): l = 0, 2, 4 ... ; E0 = 0 , E2 = 0.654 meV , ...
parafluoro (spin nucleari paralleli): l = 1, 3, 5 ... ; E1 = 0.218 meV , E3 = 1.31 meV , ...]
7-2)
Si determini la struttura dello spettro vibrazionale della molecola di HF nell’ipotesi che il
potenziale internucleare sia approssimabile con la forma empirica:
V (r )  V0 [1  e   (r r0 ) ]2
Dove r indica la distanza internucleare, V0 = 6.4 eV, r0 = 1 Å e  = 19.2 Å-1 .
[frequenza  = 1090 THz ]
7-3)
Calcolare l’energia dei fotoni assorbiti da molecole di 200Hg35Cl nelle
transizioni tra stati rotazionali   0    1 ed   1    2 , sapendo che la distanza tra i
due nuclei è di 2.23 Å
[2.82 ·10-5 eV, 5.44 ·10-5 eV]