Esercizi svolti

CALCOLO DELLE PROBABILITA’
ESERCIZIO 1
Si considerino le seguenti probabilità relative a tre insiemi A, B, C
P ( A)  0,3
P( B)  0,6
P (C )  0,35
P( A  C )  0,15 P( A  B)  0,25 P( B  C )  0,21
P( A  B  C )  0,10
Calcolare
 P( A )  1  P( A)  1  0,3  0,7
 P( B )  1  P( B)  1  0,6  0,4
 P(C )  1  P(C )  1  0,35  0,65

P( A | B)  P( A  B) / P( B)  0,25 / 0,6  0,42

P( A | B  C )  P( A  B  C ) / P( B  C )  0,10 / 0,21  0,48

P( A | B )  P( A  B ) / P( B )  [ P( A)  P( A  B)] / P( B ) 
(0,3  0,25) / 0,4  0,05 / 0,4  0,125
da cui
P( A  B )  0,05
1

P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) 
 0,3  0,6  0,25  0,65

P( A  C )  P( A)  P(C )  P( A  C ) 
 0,3  0,35  0,15  0,5

P( A  B  C ) 
P( A)  P( B)  P(C )  P( A  C )  P( A  B)  P(C  B) 
 P( A  B  C )  0,3  0,6  0,35  0,15  0,25  0,21  0,10  0,74

P( A  B )  P( A)  P( B )  P( A  B ) 
 0,3  0,4  0,05  0,65

P( A  C | B)  P( A | B)  P(C | B)  P( A  C | B) 
0,25 / 0,6  0,21 / 0,6  0,10 / 0,6  0,42  0,35  0,17  0,6
2
ESERCIZIO 2
A seguito di alcune ricerche mediche, si suppone che un certo sintomo E
(febbre altissima associata ad un quadro clinico specifico) possa essere
l’effetto solo di una delle tre malattie H1, H2 e H3 con probabilità
P( E | H1 )  0,90 P( E | H 2 )  0,10 P( E | H 3 )  0,30
Sulla base degli stessi studi si presume che le probabilità a priori di
contrarre una delle tre malattie sono
P( H1 )  0,03
P( H 2 )  0,70
P( H 3 )  0,27
Qual è la probabilità che si manifesti il sintomo E ?
P( E )  P( E | H1 ) P( H1 )  P( E | H 2 ) P( H 2 )  P( E | H 3 ) P( H 3 ) 
 (0,03  0,9)  (0,7  0,1)  (0,27  0,3)  0,18
Quando un paziente si presenta con lo specifico sintomo E, per prescrivere
una terapia opportuna si deve stabilire quale delle tre malattie è stata
presumibilmente contratta. Pertanto occorre calcolare le probabilità a
posteriori
P( H 1 | E ) 
0,03  0,9
 0,15
(0,03  0,9)  (0,7  0,1)  (0,27  0,3)
P( H 2 | E ) 
0,7  0,1
 0,40
(0,03  0,9)  (0,7  0,1)  (0,27  0,3)
3
P( H 3 | E ) 
0,27  0,3
 0,45
(0,03  0,9)  (0,7  0,1)  (0,27  0,3)
ESERCIZIO 3
Gianni lavora come addetto alle consegne di un fioraio. Per velocizzare le
consegne non parcheggia mai in maniera regolare, confidando sul fatto che
la probabilità di essere multato sia il 5%.
M = Gianni viene multato
P ( M )  0,05
P( M )  0,95
Se Gianni parcheggia in modo irregolare 5 volte, qual è la probabilità che
non venga mai multato? (si ipotizza l’indipendenza degli eventi)
0,955  0,7738
ESERCIZIO 4
Consideriamo due eventi A e B tali che
P( A)  0,3 P( B)  0,8
verificare se i due eventi sono incompatibili.
Due eventi sono incompatibili se A  B è un insieme vuoto, perciò
P( A  B)  0 .
Se A e B fossero incompatibili
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)  P( A)  P( B) .
In questo caso
4
P( A  B)  P( A)  P( B)  0,3  0,8  1,1
Segue che i due eventi non sono incompatibili perché 0  P ( A  B )  1 .
ESERCIZIO 5
Se due eventi sono incompatibili, sono anche indipendenti?
Risposta: se due eventi sono incompatibili, A  B è vuoto quindi
P( A  B)  0
D’altro canto la condizione di indipendenza equivale a
P( A  B)  P( A)  P( B)
per cui se i due eventi sono incompatibili e indipendenti deve
necessariamente essere
P( A  B)  0
Di conseguenza due eventi incompatibili sono anche indipendenti se e solo
se almeno uno dei due eventi ha probabilità nulla. Quindi se due eventi di
probabilità positiva sono incompatibili, non possono essere indipendenti.
ESERCIZIO 6
Un dado regolare viene lanciato due volte, calcolare la probabilità che la
somma dei punteggi ottenuti sia maggiore di 4
Tutte le possibili coppie di valori sono 36:
(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6);
(2,1); (2,2);(2,3); (2,4); (2,5); (2,6);
(3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6);
(4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6);
(5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6);
(6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)
5
Le coppie la cui somma è maggiore di 4 sono 30. Quindi la probabilità
richiesta è
30/36=0,833
ESERCIZIO 7
Un traghetto effettua trasporto passeggeri tra l’isola di Capri e l’isola di
Ischia. Con mare calmo la probabilità di un ritardo superiore a 20 minuti è
pari al 5%, mentre se il mare è mosso la probabilità di ritardare più di 20
minuti sale al 20%. La probabilità che il mare sia calmo è pari a 3 volte la
probabilità che il mare sia mosso.
M: mare mosso
P ( M )  0,25
P( M )  0,75
 Qual è la probabilità di ritardare più di 20 minuti
R: ritardo di più di 20 minuti
P( R | M )  0,20
P( R | M )  0,05
P( R)  P( R | M ) P( M )  P( R | M ) P( M ) 
 0,20  0,25  0,05  0,75  0,0875
 Se si è osservato un ritardo superiore ai 20 minuti, qual è la probabilità
di mare mosso?
P( M | R) 
P( R | M ) P( M ) 0,20  0,25

 0,5714
P( R)
0,0875
6
ESERCIZIO 8
Consideriamo un’urna contenente 12 palline bianche e 6 palline rosse.
Quindi consideriamo l’evento X = numero di successi in n prove che si
distribuisce come una Binomiale di parametro p= prob. successo.
 B = estrazione pallina bianca (successo)
 R = estrazione non pallina bianca (rossa) (insuccesso)
P( B)  12 /(12  6)  12 / 18  0.67
P( R)  6 /(12  6)  6 / 18  0.33
Consideriamo delle estrazioni con reinserimento della pallina.
 Calcolare la probabilità che su 8 estrazioni 2 palline sono bianche
P( X  2) 
8!
0.67 2 0.336  0.016
2!6!
 Calcolare la probabilità che su 8 estrazioni al massimo 1 pallina è
bianca
P( X  1)  P( X  0)  P( X  1) 

8!
8!
0.67 0 0.338 
0.6710.337  0.0001  0.002  0.0021
0!8!
1!7!
 Calcolare la probabilità che su 8 estrazioni ci sono meno di 7 palline
bianche
P( X  7)  P( X  0)  P( X  1)  P ( X  2)    P( X  6) 
 1  P ( X  8)  P( X  7) 
 1
8!
8!
0.67 8 0.330 
0.67 7 0.331  1  0.041  0.16  0.799
8!0!
7!1!
7
 Verificare che

n
i 1
P( X  i )  1
P ( X  0)  0.0001
P ( X  1)  0.002
P ( X  2)  0.016
P ( X  3)  0.066
P ( X  4)  0.167
P ( X  5)  0.272
P ( X  6)  0.276
P ( X  7)  0.160
P ( X  8)  0.041
P( X  1)  P( X  2)    P( X  8)  1
ESERCIZIO 9
Un’azienda che produce pezzi di ricambio per auto ha verificato che la
percentuale di pezzi difettosi prodotti in un giorno è del 5%.
 Calcolare la probabilità che su 80 pezzi prodotti in un giorno,
nessuno è difettoso
Abbiamo una variabile casuale X = pezzi difettosi prodotti in un giorno
che si distribuisce come una Binomiale con parametro p  0.05 . Dato
n  80 , vogliamo calcolare la probabilità che su 80 pezzi prodotti in un
giorno, nessuno è difettoso
P( X  0) 
80!
0.050 0.9580  0.017
0!80!
8
 Calcolare la probabilità che su 80 pezzi prodotti in un giorno, 10
sono difettosi
P( X  10) 
80!
0.05100.9570  0.004
10!70!
 Calcolare la probabilità che su 80 pezzi prodotti in un giorno, sono
difettosi una percentuale minore del 5%.
Dato n  80 , il 5% di 80 è 4. Quindi vogliamo calcolare la probabilità che
su 80 pezzi prodotti in un giorno, meno di quattro sono difettosi
P( X  4)  P( X  0)  P( X  1)  P( X  2)  P( X  3)
80!
0.050 0.9580  0.017
0!80!
80!
P( X  1) 
0.0510.9579  0.07
1!79!
80!
P( X  2) 
0.05 2 0.9578  0.145
2!78!
80!
P( X  3) 
0.053 0.9577  0.198
3!77!
P( X  0) 
da cui
P( X  4)  0.017  0.07  0.145  0.198  0.43
 Calcolare la probabilità che su 80 pezzi prodotti in un giorno, più del
5% sono difettosi
P( X  4)  1  P( X  0)  P( X  1)  P( X  2)  P( X  3)  P( X  4)
P( X  4) 
80!
0.05 4 0.9576  0.2
4!76!
9
da cui
P( X  4)  1  0.017  0.07  0.145  0.198  0.2  1  0.63  0.37
N.B.
Notare che P( X  4)  P( X  4)  0.43  0.37  0.8  1.
La somma non è pari ad uno perché manca P ( X  4)  0.2 .
Infatti P( X  4)  P( X  4)  P( X  4)  0.43  0.37  0.2  1
 Calcolare la probabilità che su 80 pezzi prodotti in un giorno, sono
difettosi almeno 1 ma meno di 5
P(1  X  5)  P( X  4)  P( X  1)  P( X  4)  P( X  0) 
 P( X  1)  P( X  2)  P( X  3)  P( X  4) 
 0.07  0.145  0.198  0.2  0.613
ESERCIZIO 10
Sia X una variabile casuale Normale con media   10
e varianza
2 9.
 Calcolare la probabilità che X  4 : P ( X  4)
 X  10 4  10 
P

  P( Z  2)  P( Z  2)  1  P( Z  2)  P( Z  2) 
3
3


 1  0.9772  0.0228
 Calcolare la probabilità che X  11 : P( X  11)
10
 X  10 11  10 
P

  P( Z  0.33)  1  P( Z  0.33) 
3 
 3
 1  0.6293  0.3707
 Calcolare la probabilità che X  10 : P ( X  10)
 X  10 10  10 
P

  P( Z  0)  0.5
3 
 3
 Calcolare la probabilità che X  11 e X  4 : P (4  X  11)
 4  10 X  10 11  10 
P


  P(2  Z  0.33) 
3
3 
 3
 P( Z  0.33)  P( Z  2) 
 0.6293  0.0228  0.6065
ESERCIZIO 11
La durata di una lampadina è una variabile casuale X con media   2
mese e varianza   4 mesi2.
2
 Calcolare la probabilità che una lampadina duri almeno 1 mese:
P( X  1)
 X  2 1 2 
P

  P( Z  0.5)  P( Z  0.5)  0.6915  0.7
4 
 4
11
Supponiamo di avere 10 lampadine.
 Calcolare la probabilità che 3 di queste durino almeno 1 mese
Ci sono 10 variabili binarie Y dove
Successo = durare almeno 1 mese con p  0.7
Insuccesso = durare meno
P(Y  3) 
con 1  p  0.3
10!
0.7 3 0.37  0.009
3!7!
 Calcolare la probabilità che almeno 8 di queste durino almeno 1
mese
P(Y  8)  P(Y  8)  P(Y  9)  P(Y  10) 
10! 8 2 10! 9 1 10!

0.7 0.3 
0.7 0.3 
0.7100.30 
8!2!
9!1!
10!0!
 0.233 + 0.121 + 0.028  0.382
 Calcolare la probabilità che al massimo 9 di queste durino almeno 1
mese
P(Y  9)  1  P(Y  10)  1  0.028  0.972
ESERCIZIO 12
Sia X una variabile casuale t-Student t (10) con 10 gradi di libertà.
 Trovare il valore x tale che P ( X  x)  0.025
x  2.228
 Trovare il valore x tale che P ( X  x)  0.025 considerando però
15 gradi di libertà
12
x  2.131
 Trovare il valore x tale che P ( X  x)  0.025 considerando però
20 gradi di libertà
x  2.086
 Trovare il valore x tale che P ( X  x)  0.025 considerando però
30 gradi di libertà
x  2.042
 Trovare il valore x tale che P ( X  x)  0.025 considerando però
120 gradi di libertà
x  1.98  1.96
N.B.
Notare che all’aumento dei gradi di libertà la variabile casuale X tStudent converge ad una variabile Y normale standard, infatti
P( Z  1.96)  0.025
ESERCIZIO 13
Sia X una variabile chi-quadrato
 (215) con 15 gradi di libertà.
 Trovare il valore x tale che P ( X  x)  0.025
x  27.49
 Trovare il valore x tale che P ( X  x)  0.95
13
P( X  x)  0.95  P( X  x)  0.05  x  25
 Trovare il valore x tale che P ( X  x)  0.975
x  6.26
 Trovare il valore x tale che P ( X  x)  0.975 considerando però
25 gradi di libertà
x  13.12
 Trovare il valore x tale che P ( X  x)  0.975 considerando però
100 gradi di libertà
x  74.22
N.B.
Se X è una variabile  (100) , notare che
2
E ( X )  100,V ( X )  200
Se standardizziamo il valore x  74.22 tale per cui P ( X  x)  0.975
abbiamo
74.22  100
 1.82  1.96
200
dove z  -1.96 tale per cui P ( Z  z )  0.975 e Z è una variabile
casuale Normale standard N (0,1) .
Questo significa che quando i gradi di libertà r aumentano, la
distribuzione chi-quadrato tende ad una Normale N ( r ,2r ) .
14