La macchina di Atwood

La macchina di Atwood
Si analizzi il meccanismo della macchina di Atwood risolvendo il seguente problema:
Il sistema della figura, inizialmente fermo, viene lasciato libero di muoversi. Il corpo di 30 kg è a
2 m dal suolo. La carrucola è un disco uniforme col raggio di 10 cm e la massa di 5 kg. Si trovi la
velocità del corpo di 30 kg subito prima che tocchi il suolo.
Per risolvere questo genere di problemi possiamo utilizzare sia le
leggi della dinamica che il teorema della conservazione dell’energia
meccanica:
Metodo delle leggi della dinamica_
Si disegni il diagramma delle forse da cui risulta che in entrambe le
masse vengono esercitate la forza peso e le tensioni della fune che
non sono uguali in modulo in quanto la puleggia non è priva di
attrito. E’ però da considerare che l’attrito risulta statico perché la
fune non striscia su di essa e quindi non vi è dispersione di calore e
quindi tale forza non deve essere quantificata, infatti in questo caso
l’attrito serve solamente a far ruotare la puleggia.
Indichiamo con T1 la tensione relativa alla massa m1 (quella di 20 kg ) mentre con T2 quella relativa
alla massa m2 (quella di 30 kg).
Nella puleggia, invece, vengono applicati due momenti delle rispettive tensioni. Per la precisione T 2
genera un momento negativo facendo ruotare la carrucola in senso orario mentre T1 ne genera uno
positivo e quindi opposto (da tenere presente che l’accelerazione angolare della carrucola risulta
negativa perché di senso orario).
Detto ciò possiamo scrivere il seguente sistema:
m1a  T1  m1 g
T1  m1a  m1 g
m2 a  m2 g  T2
T2  m2 g  m2 a
r (T1  T2 )  I
r (m1a  m1 g  m2 g  m2 a)  I
Tenendo presente la relazione che lega accelerazione tangenziale con accelerazione angolare e che
il momento di inerzia di un disco è mr2/2:
r (m1 a  m1 g  m2 g  m2 a)  
Ia
r
quindi
a
(m2  m1 ) g
m
m1  m2 
2
Di conseguenza utilizzando la relazione del moto con accelerazione costante che lega variazioni di
velocità con variazioni di spostamenti:
v
2(m2  m1 ) g
m
m1  m2 
2
Sostituendo con i dati del problema, calcoliamo la velocità che risulta essere di circa 2,73 m/s.
Metodo della conservazione dell’energia meccanica_
Utilizzando il metodo della conservazione dell’energia meccanica conviene fissare il punto di
energia potenziale nulla al livello della massa m1; quindi prima che il sistema venga messo in moto
possiamo considerare solo l’energia potenziale della massa m2. Infatti è inutile considerare anche
l’energia potenziale della puleggia in quanto fissa.
Dopo che il sistema è stato messo in moto l’energia potenziale di m1 aumenta, quella di m2
diminuisce e aumentano l’energie cinetiche di entrambe le masse e della puleggia che inizia a
ruotare.
Inoltre possiamo affermare che la velocità tangenziale della puleggia è la stessa di quella delle
masse siccome la fune non striscia su di essa; quindi, indicando con h l’altezza in cui si trovava la
massa m2 quando il sistema era ancora statico, possiamo scrivere l’equazione della conservazione
dell’energia meccanica quando la massa m2 ha percorso il tratto h (quindi quando anche m1 avrà
percorso lo stesso tratto):
(m1  m2 )v 2
I 2
m2 gh 
 m1 gh 
2
2
Utilizzando la relazione tra velocità angolare e lineare e tenendo presente che il momento di inerzia
della puleggia è di mr2/2:
(m1  m2 )v 2
mv 2
m2 gh 
 m1 gh 
2
4
da cui
v
2(m2  m1 ) g
m
m1  m2 
2