lemma di heymann

LEMMA DI HEYMANN:
“Sia la coppia (A,B) controllabile e si indichi con “b” una colonna non
nulla della matrice B: esiste una matrice K1 tale che la coppia
(A+BK1,b) risulti controllabile”.
Dimostrazione: per ipotesi la matrice Q=(B,AB,A2B,..., An-1B) ha n
colonne linearmente indipendenti . Per semplicità supponiamo che B
abbia tre colonne , cioè sia: B= b1 ,b 2 ,b 3  con colonne tutte non nulle.
Si costruiscono due sequenze di vettori:
x1, x2, ...., xn+1
e
u1, u2, ....un
con ui  p .
x1 := b1,
x2 := Ax1,
u1 := [0 0 0]T
x3 := Ax2,
u2 := [0 0 0] T
......................
e così via
sino a quando non si riscontra che il nuovo vettore (per esempio Ax 3) è
combinazione lineare dei precedenti (x1, x2,x3); in tal caso si ricerca la
prima colonna di B (dopo b1) che non risulti combinazione lineare
delle stesse e la si aggiunge (proseguendo nell’es. sia b2 che va
sommata ad Ax3) memorizzando tale aggiunta nel vettore ui
corrispondente:
x4 := Ax3 + b2,
x5 := Ax4,
..............................
definire xn, un-1,xn+1 e un:
xn+1 := A xn
u3 := [0 1 0]T
u4 := [0 0 0] T
e così via fina a
un := [0 0 0] T
Per il modo in cui sono stati costruiti i vettori x1, ..... xn sono
indipendenti. Definiamo allora le matrici , rispettivamente n x n e
pxn
X:= [x1, x2, x3,..... xn]
e
U:= [u1 , u2 , u3 ,.... un ]
Poiché X è non singolare si può porre:
K1 := UX-1
~
A = A + BK 1
Definiremo:
~
La matrice K1 è tale che ( A ,b1) formano una coppia controllabile.
~
Per provarlo calcoliamo A X:
~
A X = (A+BK1)X =AX+ BU = A [x1, x2, x3,..... xn] + [0,0,b2,0...]
e , quindi, in base alla legge di costruzione dei vettori xi:
~
A X = [x2, x3, x4,..... xn+1]
cioè:
~
A xi = xi+1 (i=1,2,...n)
~
~
~
~
da cui consegue xi+1 = A xi = A 2xi-1 =.....= A ix1 = A ib1
e quindi
~
~
~
X = [x1, x2, x3,..... xn] = [x1, A x1, A 2x1, ........., A n-1x1] =
~
~
~
= [b1, A b1, A 2b1, ........., A n-1b1]
~
Ma X per costruzione è a rango pieno e dunque la coppia ( A ,b1) è
controllabile.