Teorema di Eulero

Teoria dei numeri
Lezione del giorno 23 aprile 2008
Teorema di Eulero-Fermat.
Siano a,n due naturali coprimi (con n>1). Allora a(n)1 (mod n).
Dimostrazione:
Il gruppo commutativo finito G= Zn* ha cardinalità (n), ed essendo a,n coprimi, si ha [a]G.
Per un risultato dimostrato in precedenza, ogni elemento di un gruppo finito commutativo elevato
alla cardinalità del gruppo dà come risultato l’elemento neutro: nel nostro caso si ha
[1]=[a](n)=[a][a]….[a]=[aa….a]=[a(n)], da cui la tesi.
Corollario (Piccolo Teorema di Fermat).
Se n è un numero primo, per ogni naturale a non multiplo di n si ha an-11 (mod n).
Dimostrazione:
Essendo a non multiplo del primo n, i numeri a,n sono coprimi (perché le uniche possibilità per il
mcd(a,n) sono 1, n). Poiché (n)=n-1 (perché n è primo) la tesi segue dal Teorema di EuleroFermat.
Test di primalità.
Un test di primalità è un algoritmo tale che, dato in input un numero naturale n>1, produca un
output “n è primo” oppure “n è composto” (definendo composto un naturale >1 non primo).
Si distinguono:
- test di primalità deterministici: non vi sono elementi casuali nell’algoritmo, e l’output è “n è
primo” se e solo se l’input n è un numero primo
- test di primalità probabilistici: nell’algoritmo vi è la scelta casuale di alcuni elementi, e inoltre se
l’input n è un numero primo allora l’output è sempre “n è primo” (tutti i numeri primi superano il
test), ma se n è composto, l’output può essere sia “n è primo” sia “n è composto”, e la probabilità
che l’output sia “n è primo” (pur essendo n composto) è maggiorata da una costante C<1,
indipendente dall’input n e dagli elementi casuali. Se un input n>1 supera un test di primalità
probabilistico un numero k di volte (con gli elementi casuali scelti ogni volta in modo
indipendente), la probabilità che il numero n sia composto si può rendere piccola a piacere (se il
numero di test k è abbastanza grande), quindi si può accettare che n sia effettivamente primo, con
una bassa percentuale di errore.
Il primo test ingenuo di primalità è il test (deterministico) che verifica, per d=2,….,n-1, se esiste un
d divisore non banale di n: se d esiste l’output è “n è composto”, se d non esiste l’output è “n è
primo”:
1) in input il naturale n>1
2) per d=2,…..,n-1 si calcola il resto r della divisione di n per d: se per qualche d si ha r=0 (dunque
d è divisore non banale di n) si si esce con output “n è composto”; altrimenti si esce con output “n è
primo”.
L’algoritmo si implementa effettuando alcune divisioni di n per numeri naturali d<n (ognuna di
complessità polinomiale O(k2) se k=L(n) è la lunghezza binaria dell’input n), ma il numero di tali
divisioni è <n<2k (perché n ha k cifre binarie) dunque il numero delle divisioni è di ordine
esponenziale O(2k): quindi è un algoritmo di complessità esponenziale .
Questo test si può rendere più efficiente osservando che se esiste un divisore non banale del numero
composto n, allora esiste certamente un divisore non banale di n che sia  n (infatti se per assurdo
fosse n=bc con b,c> n , si avrebbe n>( n )2=n, contraddizione). Quindi nel test precedente si può
limitare la ricerca ai valori d con 2d n : il numero di divisioni è < n = n1/2 < ( 2 ) k , quindi è di
k
ordine O ( 2 ) e anche tale algoritmo (sebbene più efficiente) ha complessità esponenziale.
Un altro test di primalità deterministico segue dal:
Teorema di Wilson.
Sia n> 1 un naturale . Allora: n è primo  (n-1)!-1 (mod n).
Dimostrazione:
(): Consideriamo il gruppo moltiplicativo Zn* . Se n è primo, n è coprimo con tutti i numeri
1,2,…,n-1 (perché non sono multipli di n), dunque Zn* = {[1], [2], ….., [n-1]}.
Calcoliamo il prodotto di tutti gli elementi di tale gruppo:
[1][2] …..[n-1] = [12 …..(n-1)] = [(n-1)!].
In tale prodotto, sfruttando la proprietà commutativa, possiamo accoppiare ogni elemento [i] con il
suo inverso [i]-1 (nel caso in cui [i][i]-1) ottenendo per ogni tale coppia il prodotto =[1]: al termine
di tale semplificazione il prodotto precedente si riduce a quello dei soli fattori [i] tali che [i]=[i] -1,
cioè tali che [i]2=[i2]=[1].
Ma per un tale i si ha n(i2-1), n(i+1)(i-1), quindi (essendo n primo) n(i+1) oppure n(i-1),
ossia i1 (mod n) oppure i-1 (mod n). Si conclude che:
[(n-1)!]=[1][-1]=[-1] , da cui la tesi.
(): Sia (n-1)!+1=kn, con k intero. Se per assurdo esistesse un divisore non banale d di n, con
1<d<n, tale d sarebbe divisore di 1=kn-(n-1)! (perché d è uno dei fattori del prodotto (n-1)!)
contraddizione perché d>1.
Nota: la condizione (n-1)!-1 (mod n) del Teorema di Wilson equivale a (n-1)!modn=(n-1) (in
quanto -1(n-1) (mod n)).
Il Teorema di Wilson permette di costruire un test di primalità deterministico:
1) in input il naturale n>1
2) si costruisce la la successione y1,y2,…,yn-1 ponendo y1=1, e per i>1 yi=(iyi-1)modn, ottenendo alla
fine il valore yn-1=(n-1)!modn: se yn-1=(n-1) si esce con output “n è primo”; altrimenti si esce con
output “n è composto”.
Nel passo 2), il calcolo di (n-1)!modn comporta l’esecuzione di operazioni (prodotti e riduzioni
modulo n) in numero <n< 2k dunque in numero di ordine O(2k) se k=L(n), ed anche questo
algoritmo ha complessità esponenziale.
Esporremo in seguito l’unico test di primalità di complessità polinomiale attualmente esistente: il
test AKS (Agrawal, Kayal, Safena 2002).
Esaminiamo ora alcuni test di primalità probabilistici.
Il primo è il cosiddetto test di Fermat (basato sul Piccolo Teorema di Fermat): in effetti esso non è
un test probabilistico a tutti gli effetti, perché vedremo che la probabilità che un numero composto
superi (erroneamente) il test è maggiorata da una costante, ma ciò avviene per tutti i i numeri
composti tranne che per particolari valori dell’input (i cosiddetti numeri di Carmichael).
I passi dell’algoritmo sono:
1) in input il naturale n>1
2) si sceglie casualmente un intero a con 1an-1 (detto base)
3) si calcola d=mcd(a,n); se d>1 si esce con output ”n è composto”
4) se d=1 si calcola la riduzione x=an-1modn e se x1 si esce con output ”n è composto”; altrimenti
si esce con output “n è primo”
Osserviamo prima di tutto che ogni input n primo supera il test: se 1an-1, certamente a non è
multiplo di n e quindi nel passo 3) si ha d=1; per il Piccolo Teorema di Fermat si ha allora x=1 e
quindi nel passo 4) si esce con output “n è primo”.