Soluzione-jan

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Esercizio 1
a) Per calcolare la densita` di carica libera presente nel cilindro utilizziamo il
teorema di Gauss, applicato al calcolo del flusso del vettore induzione del campo
elettrico D, e la relazione D=E.

 lib    D 
3E r
1 
rE (r )  20 
r r
a
La densita` di volume delle cariche di polarizzazione si ottiene da:

 pol    P  



  D    lib
r
r
La densita` superficiale delle cariche di polarizzazione e` data da:
 
 pol  P  u n   0 E (a)   0 E0
La densita` superficiale delle cariche libere si ottiene dalla discontinuita`
della componente normale di D e sfruttando il fatto che all’esterno del cilindro si
ha Dest=0.
 lib  Dest (a)  Dint (a)  Eint (a)  E0
La carica totale presente nel cilindro e` data dalla somma delle cariche libere
e di quelle di polarizzazione presenti nel volume e sulla superficie del cilindro:
a
Qlib    lib 2rdr  2E0 ah

0
a

Q pol
   pol 2rdr  20 E0 ah
0

Qlib   lib 2ah  2E0 ah
Qpol   pol 2ah  20 E0 ah
quindi Qtot=0 come ci si poteva aspettare essendo nullo il campo elettrico
all’esterno del cilindro.
b) L’energia elettrostatica del sistema si ottiene integrando la densita` di
energia:
hE02 a 2
1
1
r4
U   udV   E 2 dV   E02 4 2rhdr 
2
2
6
a
0
0
a
a
Il potenziale elettrico sull’asse vale:
a

a
0
a
0
V (0)   Eint (r )dr   Eest (r )dr 
E0 r 2
E
dr  0 a
2
3
a
c) Quando il cilindro inizia a ruotare si crea una corrente nel volume del
cilindro dovuta al movimento delle cariche libere e di quelle di polarizzazione,
ed una corrente superficiale data dal moto delle cariche distribuite sulla
superficie stessa (sia libere che di polarizzazione). Quindi le densita’ delle
cariche in moto nel complesso sono:
3 0 E0 r
a2
  0 E 0
   lib   pol 
   lib   pol
Queste cariche in moto danno origine a delle correnti che hanno la stessa
simmetria del solenoide, percio` il campo magnetico B all’esterno del cilindro è
nullo, mentre al cuo interno e` diretto lungo l’asse del cilindro e dipende dalla
distanza r dall’asse. Per calcolarne il valore applichiamo il teorema di Ampere al
percorso indicato in figura.
a

B(r )l   0 i   0    (r )rldr  al 
r

a
B(r )   0 
r
3 0 E 0 2
 0  0 E 0r 3
r
dr



E

a


0 0 0
a2
a3
B(r)=0
Esercizio 2
per r>a
per r<a