Soluzione-Elettrostatica

Politecnico di Bari - Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale
Corso di Fisica Generale (A e B), esame del 9 Luglio 2009
PROBLEMA 3
Tra due sfere concentriche di raggi r1 = 10 cm e r2 = 20 cm
è distribuita uniformemente della carica con una densità ρ
positiva. Inoltre nel centro comune delle due sfere è posta
una carica puntiforme Q. Sapendo che all’esterno delle
sfere il campo elettrico è nullo e che tra di esse vi è una
d.d.p. V12 = 100 V, determinare:
a) la densità di carica ρ;
b) la carica puntiforme Q.
r2
r1
Q
SOLUZIONE 3
Applicando il teorema di Gauss ad una superficie sferica
q*INT
o
 S * (E ) 
 E  nˆdS   EdS E  dS E  4 r
S
*
S
*
S
*

*2
*
S * con raggio r  r2 si ha:
(per simmetria radiale)

Essendo all’esterno il campo nullo ne deriva:


4
q*INT  0  q  Q  0  Q  q [ q e’ la carica fra le due sfere: q  V    (r23  r13 ) ].
3
4
3
Si ha quindi la relazione Q    (r23  r13 ) .

L’altra relazione fra le 2 cariche incognite viene determinata usando l’informazione
sulla differenza di potenziale fra le 2 sfere:

r2
V12  V (r2 )  V (r1 )    E12  dr (1) con E12 il campo (radiale) nella zona fra le 2 sfere.
r1

Questo campo e’ determinabile
 a partire dal teorema di Gauss applicato ad una
superficie sferica con raggio r1  r  r2 :
#


S#
#
qINT
o


E
12
 nˆdS   E12dS E12  dS E12  4 r # 2
S#
S#
S#
#
qINT
Q  q(fra S1 e S # ) Q   (4 3) (r # 3  r13 )


da cui : E12 (r ) 
(2)
4 o r # 2
4o r # 2
4 o r # 2

Pertanto, mettendo insieme (1) e (2):
#
V12    E12 (r)  dr  

r

r2
1



 S # (E12 ) 
Q
4 o
r2

r1
dr 

r 2 3o
r2
r1
E12 (r)dr   
r13
 rdr  3
o
r
r2
1
r2
r
dr
2
r2
r1
Q   (4 3) (r 3  r13 )
dr 
4 o r 2

r1
r
r
2
Q 12  r 2  r13 12



  
r 
r1 3o 2 r 3o 
r 
r1
4 o 
r


1
 Q
r13 1 1   2 2
 

  
r2  r1 
4 o 3o r2 r1  6o
Il sistema di 2 equazioni nelle due incognite Q e  e’ dunque:


 Q
r13 1 1   2 2


  
r2  r1 
V12  
4

3

r
r
6





o
o
2
1
o

4

Q    r23  r13 


3
Poiche’ r2  2r1 si ha:

 Q
r13  1  
Q
r12 3r12
Q
r12
2


 
3r1   8 r  6  6   8 r  3
V12  

4

3

2r
6





o
o
1
o
o 1
o
o
o 1
o

4

Q   7r13 


3

Q
r12
28r12 r12
20 r12 5 r12





V12  
8

r
3

24

3

24

6o
o
1
o
o
o
o

28

Q   r13

3

6 V
  o 212


5r1

Q   28 r13  6oV12   56o r1V12

3
5r12
5




6oV12 6 8.85 1012 N 1m2C 2 10 2 NmC1

 
 10.62 108 Cm3

2
2
2
5r1
5
10 m

Q   56o r1V12   56  8.85 1012 N 1m2C 2 101 m 10 2 NmC1  311.2 1011C  3.11nC

5
5
Come verifica del fatto che i conti sono giusti calcolo la carica q che - come
sappiamo - deve essere pari a –Q:
4
q  V    (r23  r13 ) 10.62 108 Cm3  4.186  7 103 m 3  311.2 1011C  3.11nC  Q .
3
