numeri interi - profcanale.it

Come sai già, per indicare:
• temperature sopra o sotto lo zero,
• altitudini sopra o sotto il livello del mare,
• bilanci in attivo o in passivo,
• date prima o dopo Cristo.
• ecc.
Si ricorre all’uso di numeri preceduti dal segno + o dal
segno -.
Tutti i numeri naturali o razionali che conosciamo preceduti
dal segno + o – si chiamo rispettivamente:
• + 9 - 8 + 24 - 35 + 230
semplicemente numeri interi
•  3  1  1,5  8,4  0,8
5
9
numeri interi relativi o
numeri razionali relativi
Questi numeri formano altri insiemi numerici, esattamente:
I numeri naturali preceduti dal segno + formano l’insieme
+ si indica con Z.
dei numeri interi positivi che
I numeri naturali preceduti dal segno meno formano
l’insieme dei numeri interi negativi -che si indica con Z
I due insieme Z+ e Z - formano complessivamente l’insieme
dei numeri interi che si indica con Z.
L’ insieme Z+ coincide con N (incluso lo zero), ovvero i
numeri naturali coincidono con i numeri interi positivi che,
+
quando non c’è possibilità di equivoco, si possono
scrivere senza
segno + davanti: + 7 = 7, N = Z . All’insieme Z appartiene
quindi anche il numero 0 (zero) al quale non si attribuisce alcun
segno.
I numeri razionali preceduti dal segno +
formano l’insieme dei numeri razionali
+ si indica con
positivi che
I numeri razionali preceduti dal segno –
formano l’insieme dei numeri razionali
negativi che
si indica con
I due insiemi
e
formano
complessivamente l’insieme dei numeri
razionali relativi che si indica con Q
Soffermiamoci, per il momento, sull’insieme dei numeri
interi e rappresentiamoli sulla retta orientata dei
numeri. Per fare ciò:
1) Disegniamo la semiretta orientata di origine O e
prolunghiamola anche dalla parte opposta: avremo due
semirette di origine O a cui facciamo corrispondere il
numero 0;
O
0
2) Stabiliamo il verso di percorrenza sulla retta da O
verso destra per i numeri positivi e verso sinistra per i
numeri negativi;
+
3) Fissiamo l’unità di misura e, in base a
essa, troviamo le immagini dei numeri
sulla
- retta.
-4
-2
+1 +2
+4
+
Osserviamo che:
• i numeri interi sono costituiti da un segno (+ o -) e da un
numero naturale;
• il segno + dei numeri naturali positivi si può anche
sottintendere;
• la parte numerica senza il segno prende il numero di modulo o
valore assoluto e si indica nel seguente modo:  5 ,  5
(leggi “valore assoluto di +5 o di -5”)
Ed è ovviamente:  5  5,
5  5
• i numeri aventi tutti lo stesso segno si dicono concordi, i numeri
con segno fra loro diverso si dicono discordi:
- 4, - 2 e - 1 sono concordi;
+ 1, + 2 e + 4 sono concordi;
- 4 e + 1; + 2 e - 8 sono discordi.
• due numeri discordi ma con lo stesso valore
assoluto si dicono opposti;
-4 e + 4; + 2 e – 2 sono opposti.
Sulla retta orientata avremo:
opposti
4
-6
-3 -2
concordi
0+
1
discordi
+
4
+
3
+
6
+
5
+
+
7
u
concordi
Due numeri relativi si dicono concordi se hanno lo stesso
segno. Due numeri interi relativi si dicono discordi se
hanno segno diverso. Due numeri interi relativi si dicono
opposti se sono discordi ma hanno lo stesso valore
assoluto.
Per confrontare due numeri interi osserviamone la
rappresentazione sulla retta orientata:
Andando verso sinistra il valore
diminuisce
Andando verso destra il valore
aumenta
numeri
numeri positivi
negativi
-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
Possiamo affermare che:
• Qualsiasi numero positivo è maggiore di un qualsiasi numero
negativo, ovvero fra due numeri discordi è maggiore sempre il
positivo.
• lo zero è minore di qualsiasi numero positivo e maggiore di un
qualsiasi numero negativo.
• Fra due numeri concordi positivi è maggiore quello che ha
maggior valore assoluto.
• Fra due numeri concordi negativi è maggiore quello che ha
minore valore assoluto.
Addizionare due numeri interi significa contare, dopo il
primo, tante unità quante sono quelle del secondo.
Ma il secondo numero può essere positivo o negativo e il
segno, ovviamente, va tenuto presente. In che modo?
Contando, in riferimento alla retta orientata, verso destra,
se il numero da addizionare è positivo, verso sinistra se è
negativo. Vediamo alcuni esempi:
1)
(+ 3) + (+ 4) = ?
Partiamo dal numero + 3 e contiamo verso destra
quattro unità; perveniamo così al numero + 7;
u
(+ 3) + (+ 4)
= +7
0
+
3
+4
+7
2)
(-2) + (-6) = ?
Partiamo dal numero – 2 e contiamo, andando
verso sinistra, sei unità; perveniamo così al
numero – 8.
(- 2) + (- 6) = 8
u
-6
-8
+
-2
0
3)
=?
(+ 5) + (- 2)
Partiamo dal numero + 5 e contiamo, andando
verso sinistra, due unità; perveniamo al
numero + 3.
(+ 5) + (- 2 ) =
+3
u
-2
0
+3
+
+
5
4)
(- 5) + (+ 2) = ?
Partiamo dal numero – 5 e contiamo,
andando verso destra, due unità;
perveniamo al numero – 3.
-
(- 5) + (+ 2)
=-3
+2
5
u
+
-3
0
• La somma di due numeri interi relativi
concordi è un numero intero concorde a essi
e avente per valore assoluto la somma dei
valori assoluti:
(+ 4) + (+ 7) = + 11;
(- 4) + ( - 6) = - 10
• La somma di due numeri interi relativi discordi è un
numero intero concorde all’addendo che ha maggior
valore assoluto e avente per valore assoluto la
differenza dei valori assoluti.
(- 5) + ( + 13) = + 8; (+ 4) + (- 19)= - 15
• La somma di due numeri interi opposti è uguale a
zero:
(- 9) + (+9) = 0
Sottrarre due numeri relativi vuol dure
trovare un terzo numero che, addizionato al
secondo, dia come risultato il primo.
(+ 9) - ( + 4) = + 5;
3) - (+ 8) = - 11
(+ 10) - ( - 8) = + 18;
La differenza fra due numeri interi si ottiene
addizionando al primo l’opposto del secondo.
(-
Si dice addizione algebrica una successione di addizioni
e di sottrazioni fra numeri relativi.
Il risultato si chiama somma algebrica.
Semplificazione nel calcolo di una somma algebrica
Un ‘addizione algebrica può essere eseguita in modo più
spedito, tenendo conto delle seguenti considerazioni.
1) Le parentesi, che servono a separare il segno di operazione
dal segno del numero, le possiamo sopprimere, così come il
segno di operazione, avendo però cura di trascrivere il
secondo numero con lo stesso segno se sopprimiamo il
segno di addizione, cambiandolo di segno se sopprimiamo il
segno di sottrazione; se per esempio dobbiamo eseguire:
(+ 5) + (- 3) scriveremo: + 5 – 3 = + 2
Nel caso in cui si voglia eseguire:
( + 7) - ( - 4) scriveremo: + 7 + 4 = + 11
2) Nell’addizione algebrica valgono le proprietà
commutativa e associativa viste in aritmetica, per cui si
possono addizionare prima tutti i numeri positivi, poi
tutti i numeri negativi e quindi addizionare i due
numeri relativi ottenuti.
Per esempio:
( + 5) - ( + 4) - ( - 2) + ( + 10) + ( - 3) =
+ 5 - 4 + 2 + 10 – 3 = + 17 – 7 = + 10
Moltiplicare due numeri relativi vuol dire trovare un terzo
numero che contenga tante unità uguali al primo numero
quante sono le unità del secondo.
1) (+ 7) ∙ (+ 3) = ?
( + 7) ∙ (+ 3) = ( + 7)+ ( + 7)+ ( + 7) = + 7 + 7 +
7 = + 21
2) (- 5) ∙ ( + 4) = ?
(- 5) ∙ ( + 4) = - 5 - 5 - 5 - 5 = - 20
3) ( + 3) ∙ ( - 5) = ?
( + 3) ∙ ( - 5) = - 5 - 5 - 5 = - 15
Il prodotto di due numeri relativi è un numero che ha per
valore assoluto il prodotto dei valori assoluti ed è positivo
se i due numeri sono concordi, negativo se i due numeri
sono discordi.
Tabella dei segni:
x
+
-
+
+
-
+
che si legge:
dà +
– dà –
dà –
dà +”
“+ per +
+ per
- per +
- per –
Dividere due numeri relativi (il secondo diverso da zero)
vuol dire trovare quel numero relativo che, moltiplicato
per il secondo, ci dà come prodotto il primo.
(+15) : (+3) = +5
+15
perché
(+5) · (+3) =
(-21) : (-7) = +3
21
perchè (+3) · (-7) = -
(-56) : (+8) = -7
56
perchè
(-7) · (+8) = -
(+16) : (-2) = -8
+16
perché
(-8) · (-2) =
Il quoziente di due numeri relativi è un numero relativo
che ha come valore assoluto il quoziente dei valori
assoluti ed è positivo se i due numeri sono concordi,
negativo se sono discordi.
Tabella dei segni:
:
+
-
+
+
-
+
che si legge: “+ diviso + dà
+
dà dà +”
+ diviso - diviso +
- diviso - dà
POTENZE
proprietà

curiosità

visualizzazione

POTENZE
la potenza e’ il risultato di una moltiplicazione
abbreviata, una nuova operazione che si chiama
elevamento a potenza
l’esponente indica quante volte devo moltiplicare la
base per se stessa 25=2x2x2x2x2=32
Se invertiamo l’esponente con la base otteniamo lo
stesso risultato?
No mai, ma noi abbiamo trovato un’eccezione. 24 = 42
Le proprietà delle potenze ci
aiutano a eseguire i calcoli più
facilmente.





Prodotto di potenze con la stessa base
Quoziente di potenze con la stessa base
Potenza di potenza
Prodotto di potenze con lo stesso esponente
Quoziente di potenze con lo stesso esponente
Prodotto di potenze con la
stessa base…
3x3x3x3x3
3 2 x 3 2 x 3 = 35

Il prodotto di due o più potenze con la stessa base
è una potenza che ha per base la stessa base e per
esponente la somma degli esponenti  2+2+1=5
Quoziente di potenze con la
stessa base…

Il quoziente di due o più potenze con la
stessa base è una potenza che ha per base la
stessa base e come esponente la differenza
degli esponenti.
Esempio 46 : 42 = 44
Es
36 : 32 = 3 6 – 2 = 3 4
32 :33 = 3 2-3 = 3-1
Il quoziente di due potenze con la stessa base è una
potenza che ha per base la stessa base e per esponente la
differenza degli esponenti.
N.B: qualsiasi potenza con esponente “0”è uguale a “1”
3 2 : 3 2 = 30
9 : 9= 1
Potenza di potenza
La potenza di potenza è una
potenza che ha per base la
stessa base e per esponente
il prodotto degli esponenti.
Esempio (53)2 = 56
Il prodotto di potenze con lo
stesso esponente...

Il prodotto di due o più potenze con lo stesso
esponente... è una potenza che ha per base il
prodotto delle basi e come esponente lo stesso
esponente.
Esempio 42 x 32 = 122
Il quoziente di potenze con lo
stesso esponente...

Il quoziente di due o più potenze con lo stesso
esponente... è una potenza che ha per base il
quoziente delle basi e come esponente lo stesso
esponente.
Esempio 246 : 126 = (24:12)6 = 26
LE POTENZE: curiosità
Perché 30 fa 1?
Perché corrisponde al
quoziente di 2 numeri
uguali .
Es : 32: 32= 30=1
9 : 9= 1
LE POTENZE NEGATIVE
Perché 34:36 fa 3-2 ?
Perché 4 - 6 = -2 numero
negativo
3-2 = 1
9
Perché ?
3x3x3x3 = 1 = 1
3x3x3x3x3x3 32
9
REGOLE sulle potenze





Il prodotto di due potenze è una potenza che ha
la stessa base e per esponente la somma degli
esponenti.
Esempio 42 x 45 = 47
Il rapporto tra due potenze è una potenza che
ha per base la stessa base e per esponente la
differenza degli esponenti.
Esempio 46 : 42 = 44
Esempio 46 : 4 6 = 40 = 1