La Circonferenza

CIRCONFERENZA E
CERCHIO
a cura di Sarah Sciamannini
SMS “Luigi Valli” Narni
SOMMARIO
 Definizioni
 Angoli al centro e angoli alla circonferenza
 Proprietà della circonferenza
 Settori, segmenti e corona circolare
 Posizioni di una retta rispetto ad una circonferenza
 Posizioni reciproche di due circonferenze
 Poligoni inscritti e circoscritti
 Misura della circonferenza, del cerchio e di loro parti
DEFINIZIONI
LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO
• La CIRCONFERENZA è una linea
chiusa costituita da tutti i punti del
piano che hanno la stessa distanza
detta RAGGIO da un punto fisso il
CENTRO.
• Il CERCHIO è la parte di piano
formata da una circonferenza e da
tutti i punti interni alla circonferenza.
ELEMENTI DELLA CIRCONFERENZA
•
L’ARCO è ciascuna delle due parti in cui
una circonferenza è divisa da due suoi
punti, detti estremi dell’arco.
•
La CORDA è il segmento che unisce due
punti qualsiasi della circonferenza.
•
Il DIAMETRO è la corda massima e passa
per il centro.
•
Gli estremi di uno stesso diametro dividono
la circonferenza in due parti congruenti,
ciascuna delle quali si chiama
SEMICIRCONFERENZA.
•
Una semicirconferenza e il relativo
diametro costituiscono il contorno di un
SEMICERCHIO
ANGOLI AL CENTRO E ANGOLI
ALLA CIRCONFERENZA
ANGOLI AL CENTRO
V;
angolo al centro
che insiste
sull’arco AB
ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA
K e J;
angoli alla
circonferenza che
insistono sullo
stesso arco AB
RELAZIONI TRA ANGOLI AL CENTRO
E ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA
Y e T si dicono
corrispondenti e
risulta che :
Y = 2T
T=K
PROPRIETÀ DELLA
CIRCONFERENZA
1° PROPRIETA’ DELLA
CIRCONFERENZA
Si ha la seguente
costruzione:
OBA è un triangolo isoscele
perché :
OB = OA = r
B=A
BH = HA
OH è detta DISTANZA dalla
corda AB dal centro O
2° PROPRIETA DELLA
CIRCONFERENZA
Si ha la seguente
costruzione:
PH = PK
OHP e OKP
sono rettangoli e congruenti
3° PROPRIETÀ DELLA
CIRCONFERENZA
b = c = d = 90°
perché
a = 180°
SETTORI, SEGMENTI E
CORONA CIRCOLARE
SETTORE CIRCOLARE
Si dice SETTORE
CIRCOLARE
ciascuna delle due
parti di cerchio limitata
da due raggi.
SEGMENTO CIRCOLARE
A UNA BASE
Si dice SEGMENTO
CIRCOLARE A UNA
BASE ciascuna
delle due parti in cui
il cerchio è diviso da
una corda.
SEGMENTO CIRCOLARE
A DUE BASI
Si dice SEGMENTO
CIRCOLARE A DUE
BASI la parte di
cerchio compresa tra
due corde parallele.
CORONA CIRCOLARE
Si dice CORONA
CIRCOLARE la parte
di cerchio compresa
tra due circonferenze
concentriche.
POSIZIONI DI UNA RETTA
RISPETTO A UNA
CIRCONFERENZA
RETTA ESTERNA
Una retta si dice
ESTERNA a una
circonferenza se la sua
distanza dal centro della
circonferenza è maggiore
del raggio.
RETTA TANGENTE
Una retta si dice TANGENTE a una
circonferenza se la sua distanza dal
centro della circonferenza è uguale al
raggio.
RETTA SECANTE
Una retta si dice SECANTE a una
circonferenza se la sua distanza dal
centro dalla circonferenza è minore
del raggio.
POSIZIONI RECIPROCHE DI
DUE CIRCONFERENZE
CIRCONFERENZE ESTERNE
C e C’ non hanno
punti in
comune
OO’ › r + r’
CIRCONFERENZE TANGENTI
ESTERNAMENTE
C e C’={A}
OO’= r + r’
CIRCONFERENZE TANGENTI
INTERNAMENTE
C e C’={A}
OO’= r - r’
CIRCONFERENZE SECANTI
C e C’={A,B}
OO’‹ r + r’
CIRCONFERENZE INTERNE
C e C’non hanno
punti in comune
OO’ < r - r’
CIRCONFERENZE
CONCENTRICHE
C e C’non hanno
punti in comune
O ≡ O’
POLIGONI INSCRITTI E
CIRCOSCRITTI
POLIGONI INSCRITTI IN UNA
CIRCONFERENZA
Un poligono si dice
inscritto in una
circonferenza se tutti i
suoi vertici
appartengono alla
circonferenza
CRITERIO DI INSCRITTIBILITÀ
Un poligono è
inscrittibile in una
circonferenza se gli assi
dei suoi lati si
incontrano in un unico
punto, detto
circocentro, coincidente
con il centro della
circonferenza
POLIGONI CIRCOSCRITTI AD
UNA CIRCONFERENZA
Un poligono si dice
circoscritto ad una
circonferenza se
tutti i suoi lati sono
tangenti alla
circonferenza
CRITERIO DI
CIRCOSCRITTIBILITÀ
Un poligono è
circoscrittibile ad una
circonferenza se le
bisettrici dei suoi
angoli si incontrano in
un unico punto, detto
incentro, coincidente
con il centro della
circonferenza
MISURA DELLA CIRCONFERENZA,
DEL CERCHIO E DI LORO PARTI
LUNGHEZZA DI UNA
CIRCONFERENZA
C=2·π·r
FORMULA INVERSA:
C
r=
2
LUNGHEZZA DI UN ARCO
L : α = C : 360°
α
C
L=
360
L  360
α=
C
C=
L  360

AREA DEL CERCHIO
Ac = π · r²
r=
Ac

AREA DEL SETTORE CIRCOLARE
As : α = Ac : 360°
As =
α
α=
Ac =
  Ac
360
As  360
Ac
As  360

AREA DEL SEGMENTO
CIRCOLARE
Asc  As  AT
Asc  As  AT