5. LS2A -Similitudine - Pitagora - Euclide 59 _Sito_

Liceo Scientifico “G. Galilei” Trebisacce
18.05.2016
Anno Scolastico 2015-2016
prof. Mimmo Corrado
Tempo: 60 minuti.
Prova di Matematica : Similitudine, T. Euclide e T. Pitagora
Alunno: ________________________________________________ Classe: 2A
L. Scientifico
1. Determina la misura del segmento CG, sapendo 2. Determina la misura del segmento PD, sapendo che
= e = , = che = , = , = 3. In un triangolo rettangolo il cateto AB misura e l’altezza relativa all’ipotenusa AH misura
Determina le misure degli altri due lati del triangolo.
.
misura .
4. Un triangolo rettangolo ABC ha l’angolo = °. La bisettrice dell’angolo Calcola l’area del triangolo ABC .
= e = . Sia P il punto della diagonale BD tale che
5. Nel rettangolo ABCD = . Da P conduci la parallela ad AD e indica con H e K le intersezioni di tale parallela
rispettivamente con AB e con CD. Determina l’area del quadrilatero BCPH.
Soluzione
= , = .
= , 1. Determina la misura del segmento CG, sapendo che Soluzione
= !
− !
= #9 − 4& '( = 5 '(.
Per il Teorema delle corde si ha:
∶ +
= ,
∶ !
;
= 10 ∶ 5 ;
4 ∶ +
= 0
+
4∙5
2 '( = 2 '(
10
2. Determina la misura del segmento PD, sapendo che
= e = 4 = , Soluzione
= 6 + 10
= 6 , '78 6 ∈ : ;
Poniamo 5,
⇒
5+
+ !
= #4 + 20& '( = 24 '( .
5 = !5
Per il Teorema delle secanti:
∶ = 5+
5! ∶ 5,
5 ;
6 ∙ #6 + 10& = 4 ∙ 24 ;
6 ? + 106 − 96 = 0 ;
4 ∶ 6 = #6 + 10& ∶ 24 ;
∆
= 25 + 96 = 121 ;
4
−5 ∓ √121
6 = −16 E78 F''GHHFIJKG
= −5 ∓ 11 = B
6? = +6
!''GHHFIJKG
1
Pertanto 5, = 6 '( .
6B,? =
3. In un triangolo rettangolo il cateto AB misura L e
l’altezza relativa all’ipotenusa AH misura L. Determina
le misure degli altri due lati del triangolo.
Soluzione
Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABH si ottiene:
? − !M
? = O25F? −
M = N!
3600 ?
4225 − 3600 ?
625 ? 25
F =O
F =O
F =
F.
169
169
169
13
Applicando il I Teorema di Euclide al triangolo rettangolo ABC si ottiene:
? 25F?
!
? = !
M ∙ +;
+=
= ?Q = 13 F .
M
F
BR
Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC si ottiene:
= N
? = N169F? − 25F? = N144 F? = 12 F .
!+
+?−!
Matematica
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Problema 228.179
misura ST .
4. Un triangolo rettangolo ABC ha l’angolo = °. La bisettrice dell’angolo Calcola l’area del triangolo ABC .
Soluzione
La bisettrice divide l’angolo = 60° in due
angoli di 30°, quindi il triangolo , + è
isoscele.
= 10 '( .
Pertanto , = ,+
Utilizzando i teoremi sul triangolo rettangolo si
ha:
1
= !,
, ∙ UJ8 30 = 10 '( ∙ = 5 '( .
2
√3
= !
, ∙ '7U 30 = 10 '( ∙
= 5√3 '( .
2
= !,
+ ,+
= #5 + 10& '( = 15 '( .
Pertanto !+
L’area del triangolo rettangolo ! + è:
∙ !+
= ∙ 5√3 ∙ 15 '(? =
VWXY = ? ∙ !
?
B
B
ZQ
?
√3 '(? .
5. Nel rettangolo ABCD = ST e = ST. Sia P il
= . Da P conduci la
punto della diagonale BD tale che parallela ad AD e indica con H e K le intersezioni di tale parallela
rispettivamente con AB e con CD. Determina l’area del
quadrilatero BCPH.
Soluzione 1
Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABD si
ottiene:
? + !,
? = √2304 + 1296 '( = √3600 '( = 60 '(.
, = N!
B
= B Quindi: ,5
, = [ ∙ 60 '( = 10 '(
[
mentre
= #60 − 10& '( = 50 '(.
5 = , − ,5
I triangoli ABD e HBP sono simili per il I criterio di similitudine.
Infatti:
= 90°
,!\ ≅ 5M
! , angolo in comune ai due triangoli.
∶ Pertanto i lati omologhi sono proporzionali: !
M = , ∶ 5;
48 ∶ M = 60 ∶ 50 ;
= _`∙Qa '( = 40 '(.
M
[a
Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PBH si ottiene:
= N
? = √2500 − 1600 '( = √900 '( = 30 '(.
5M
5? −M
L’area richiesta è:
VXYbc =
Matematica
;bc
XY
?
= d
∙M
R[;Ra
?
∙ 40e '(? = 1320 '(?.
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Soluzione 2
Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABD si ottiene:
? + !,
? = √2304 + 1296 '( = √3600 '( = 60 '(.
, = N!
B
B
Quindi: ,5 = , = ∙ 60 '( = 10 '(
[
[
mentre
= #60 − 10& '( = 50 '(.
5 = , − ,5
I triangoli PDK e PBH sono simili per il I criterio di similitudine.
Infatti:
, ≅ 5M
= 90°
5f
f ≅ 5 M perché alterni interni.
5,
∶ ∶ 5M = ,5
5 ;
Pertanto i lati omologhi sono proporzionali: 5f
= 36 − 6 .
Ponendo 5M = 6 , '78 0 < 6 < 36
⇒
5f
Sostituendo si ha:
#36 − 6& ∶ 6 = 10 ∶ 50 ;
106 = 1800 − 506 ;
606 = 1800 ;
= 30 '(
= Mf
− 5M
= #36 − 30& '( = 6 '( .
Pertanto 5M
mentre 5f
.
Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PDK si ottiene:
6 = 30.
= N,5
? − 5f
? = √100 − 36 '( = √64 '( = 8 '(.
,f
− ,f = #48 − 8& '( = 40 '(
Quindi: M =!
L’area richiesta è:
VXYbc =
Matematica
;bc
XY
?
=
∙M
R[;Ra
?
'( ∙ 40 '( = 1320 '(? .
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