Geometria Problemi che si risolvono con i teoremi di Euclide e

Geometria
Problemi che si risolvono con i teoremi di Euclide e Pitagora.
Un triangolo rettangolo ha l’area eguale a 121,5 k² e l’altezza relativa
all’ipotenusa eguale ai 4/5 di uno dei cateti. Calcolare la misura del perimetro
del triangolo.
Dati :
A = 121,5 k²
BH = 4/5· AB
dobbiamo calcolare il
perimetro del triangolo
ABC
B
C
A
H
Risoluzione
Se poniamo AB = X
AH = AB² - BH²
BH = 4/5·X ; Applicando il teorema di Pitagora si ha
AH =
x² - (4/5·x)²
AH =
x² - 16/25·x²
AH =
25·x²- 16·x²
AH =
9·x²
AH = 3/5·x
25
25
Applicando il 2º teorema di Euclide si ha che AH : BH = BH : HC
3/5·x : 4/5·x = 4/5·x : HC ; In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al
prodotto degli estremi.
Quindi
16·x² = 3·x ·HC
16·x²
16·x² · 5¹
25
5
HC =
25
HC =
25
3·x
3·x
HC = 1 6·x
5
15
Poiché AC = AH + HC
AC = 3·x + 16·x
AC = 9·x + 16·x
AC
= 5·x
5
15
15
3
Dal teorema di Pitagora si ha che BC =
x²
BC =
25·x² - x²
9
BC =
AC² - AB²
25·x² - 9·x²
BC =
BC =
(5/3·x)² -
16·x²
BC = 4·x
9
9
3
5·x· 4·x
4·x²
Conoscendo l’area si può scrivere A = AC·BH
121,5 = 3 5
121,5 = 3
2
2
2
121,5 = 4x²· 1
121,5 = 2·x²
364,5 = x²
3
2
3
2
364,5
=
x²
2
182,25 =
x²
X = 13,5
AB = 13,5 k
AC = 5·13,5
Ac=22,5k
Applicando il teorema di Pitagora si ottiene
3
BC =
BC =
BC =
BC
= 304
AC² - AB²
(22,5)² - (13,5)²
506,25 - 182,25
BC = 18 k
Possiamo calcolare il perimetro del triangolo ABC
P = AB + BC + AC
P = 13,5·k + 18·k +22,5·k
Risolto dal prof. gerardo mazzeo
P = 54·k