Memorandum su GEOMETRIA DELLE AREE

Memorandum su GEOMETRIA DELLE AREE
(Sistemi piani omogenei)
BARICENTRO: centro geometrico, punto di coordinate
S
S
xG = y
e
yG = x
y
A
A
con A area e Sx, Sy momenti statici rispetto ad assi x,y.
yG
G
xG
O
x
• se è presente un asse di simmetria, G giace su tale asse;
• se è presente più di un asse di simmetria, G coincide con la
loro intersezione;
• i momenti statici rispetto ad una qualunque coppia di assi
baricentrici sono nulli.
MOMENTI D’INERZIA (GEOMETRICI)
y
• leggi di trasformazione per traslazione del sistema di riferimento
(teorema di Huygens o del trasporto):
J x ' = J x + AyO2 '
y’
J y ' = J y + AxO2 '
J x ' y ' = J xy + AxO ' yO '
con A area; Jx, Jy, Jxy momenti d’inerzia rispetto ad assi baricentrici
x,y; Jx’, Jy’, Jx’y’ momenti d’inerzia rispetto ad assi traslati x’,y’.
yO’
O’
x’
O=G
xO’
x
• leggi di trasformazione per rotazione del sistema di riferimento:
J x* = J x cos 2 α + J y sen 2 α − J xy sen 2α
y
J y * = J x sen 2 α + J y cos 2 α + J xy sen 2α
J x* y * = ( J x − J y ) sen α cosα + J xy cos 2α
con A area; Jx, Jy, Jxy momenti d’inerzia rispetto ad assi x,y; Jx*, Jy*,
Jx*y* momenti d’inerzia rispetto ad assi ruotati x*,y*.
y*
x*
α>0
O
x
ASSI CENTRALI D’INERZIA: assi baricentrici rispetto ai quali il momento d’inerzia
centrifugo è nullo, assi inclinati di α0 rispetto a x,y:
1
2
 2 J xy 

J −J 
y
x


α 0 = arc tan
(α0>0 ⇒ rotazione antioraria, α0<0 ⇒ rotazione oraria).
• gli assi di simmetria sono direzioni centrali d’inerzia;
• i momenti centrali d’inerzia sono momenti d’inerzia
calcolati rispetto a direzioni centrali d’inerzia.
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1
SEZIONI A GEOMETRIA ELEMENTARE
Rettangolo
Rettangolo sottile o segmento lineare
1
BH 3
12
1
J y = HB 3
12
Jx =
1 3
lδ ≈ 0
12
1
J y = δl 3
12
H
Jx =
B
x asse baricentrico orizzontale
y asse baricentrico verticale
δ
l
x asse baricentrico orizzontale
y asse baricentrico verticale
Cerchio
Jx =
π
4
R
R4
x generico asse diametrale
Corona circolare
Jx =
π
(R
4
4
2
− R14
)
Corona circolare sottile
R1
R2
A = 2πδR
J x = πδR 3
R
δ
x generico asse diametrale
x generico asse diametrale
SEZIONI A GEOMETRIA COMPLESSA
Vale la proprietà distributiva sia per l’area, sia per momenti statici e momenti d’inerzia:
①
④
⑤
②
➅
③
A = A1 + A2 + A3 + A4 = A5 − A6
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2
Triangolo
bh 3
,
Jx =
36
y0
hb 3
,
Jy =
48
h
x0
b
y0
bh 3
,
Jx =
36
hb 3
,
Jy =
36
h
x0
b
J xy
b2h 2
=,
72