Teoria degli insiemi - Relazioni -Logica

Algebra|
Teoria
degli insiemi
prerequisiti
• Saper analizzare una frase della lingua italiana.
• Possedere conoscenze elementari sui numeri naturali e sulla geometria del piano.
obiettivi
sapere
saper fare
• Comprendere il concetto di insieme e di sotttoinsieme.
• Acquisire il linguaggio e la simbologia insiemistica.
• Comprendere le varie operazioni fra due o più
insiemi.
• Rappresentare un insieme in modi diversi.
• Rappresentare ed eseguire operazioni fra due o
più insiemi.
• Effettuare partizioni di un insieme.
Concetto di insieme
Il concetto di insieme è intuitivamente noto a tutti: esso è un’idea primitiva ed
astratta che fa parte del nostro patrimonio comune di conoscenze.
Costituisce un insieme ogni raggruppamento di oggetti, persone, simboli o numeri
aventi una proprietà caratteristica comune, utilizzando la quale è possibile stabilire con assoluta certezza se un certo oggetto fa parte o no dell’insieme.
Abbiamo, ad esempio:
• l’insieme dei continenti della Terra;
• l’insieme dei capoluoghi di provincia della Puglia;
• l’insieme dei colori dell’arcobaleno;
• l’insieme degli articoli determinativi.
Osserviamo che la frase «le partite di calcio più belle giocate dal Milan nel 2005»
non definisce un insieme, poiché alcuni potrebbero affermare che una certa
partita appartiene a tale insieme, altri no. La scelta è dunque incerta e soggettiva.
Indicheremo gli insiemi con le lettere maiuscole A, B, C, ... e gli oggetti che li formano, chiamati elementi, con le lettere minuscole, a, b, c, ...
Per indicare che h è un elemento di un insieme A scriveremo:
h∈A
che si legge
h appartiene ad A,
dove ∈ è il simbolo di appartenenza.
Se un elemento t non appartiene all’insieme A scriveremo:
t∉A
che si legge
t non appartiene ad A,
dove ∉ è il simbolo di non appartenenza.
Rappresentazione degli insiemi
Per descrivere un insieme si utilizzano varie rappresentazioni.
1. La rappresentazione tabulare o per elencazione consiste nello scrivere tutti
gli elementi dell’insieme tra parentesi graffe. Così l’insieme delle cifre formano
il numero 3.730 si scrive.
A = {3 , 7 , 0}
2. La rappresentazione per caratteristica consiste nel definire una proprietà
comune a tutti gli elementi dell’insieme. Ad esempio sono rappresentazioni per
caratteristica le seguenti:
2
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Teoria
degli insiemi
B = {colori del semaforo}
C = {segni zodiacali}
Alcuni insiemi possono essere rappresentati sia per elencazione che per caratteristica, altri solo per elencazione, altri ancora solo per caratteristica. Dato ad
esempio l’insieme:
A = {primavera , estate , autunno , inverno}
è facile caratterizzarlo così:
A = {stagioni dell’anno}
Dato invece l’insieme:
B = {Ancona , Napoli , Milano , Taranto}
è difficile trovare una caratteristica che accomuni i suoi elementi (a parte il fatto
che si tratta di un insieme di città).
È inoltre impossibile elencare tutti gli elementi dell’insieme formato da tutti i punti
di una retta r. Ecco perché siamo costretti a descriverlo solo con parole.
La rappresentazione grafica si ottiene racchiudendo ogni elemento di un insieme
dentro una linea chiusa che di solito è una ellisse (una curva chiusa simile ad una
circonferenza schiacciata). Per esempio la rappresentazione grafica dell’insieme
D = {Luca , Valeria , Anna} è:
D
D
Luca
oppure
Valeria
Anna
A
Un tale tipo di rappresentazione grafica si dice diagramma di Eulero-Venn.
a
c
b
e
d
Quando si utilizza tale rappresentazione, gli elementi appartenenti all’insieme sono
tutti situati internamente alla linea chiusa che lo rappresenta.
Gli elementi che non appartengono all’insieme sono esterni a questa linea chiusa.
Nella figura accanto, ad esempio, l’elemento e non appartiene all’insieme A.
3
Insiemi uguali
Due insiemi si dicono uguali se contengono gli stessi elementi.
Ad esempio possiamo scrivere:
{a , b} = {b , a}
perché i due insiemi contengono gli stessi elementi. Non è cioè necessario che gli
elementi dei due insiemi siano elencati nello stesso ordine.
Ad esempio sono uguali:
1. l’insieme delle vocali della parola «a i r o n e» e l’insieme delle vocali della
parola «o s t e r i a»;
2. l’insieme delle lettere della parola «d e n t i s t a» e l’insieme delle lettere della
parola «d i s t a n t e»;
3. l’insieme {3, 4} e l’insieme {1 + 2; 5 — 1}.
Osserviamo che gli insiemi dell’ultimo esempio sono uguali per il semplice motivo
che 1 + 2 = 3 e 5 — 1 = 4.
Si richiede tuttavia che gli elementi di un insieme siano rigorosamente distinti l’uno
dall’altro.
Così l’insieme A delle lettere della parola «tutto» si può rappresentare semplicemente così:
A = {t, u, o}
Cioè la lettera t, che nella parola «tutto» si ripete tre volte, nella rappresentazione
per elencazione deve figurare una sola volta. Allo stesso modo si ha:
1. {lettere della parola MARITTIMO} = {m , a , r , i , t , o}
2. {lettere della parola TERMOMETRO} = {m , e , t , r , o}
L’uguaglianza tra insiemi gode delle tre proprietà:
1. riflessiva: un insieme è uguale a se stesso;
2. simmetrica: se un primo insieme è uguale ad un secondo insieme, il secondo
è uguale al primo;
4. transitiva: se un primo insieme è uguale ad un secondo insieme e questo è
uguale ad un terzo, il primo è uguale al terzo.
Così, ad esempio, poiché l’insieme A = {g , e , l , a , t , o} è uguale all’insieme
B = {t , e , g , o , l , a} e B è uguale a C = {l , e , g , a , t , o}, per la proprietà transitiva sarà anche A = C ossia {g , e , l , a , t , o} = {l , e , g , a , t , o}.
4
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Teoria
degli insiemi
Insiemi finiti ed insiemi infiniti.
Insieme vuoto
Un insieme formato da un solo elemento si chiama singolo. Così l’insieme A formato dalle vocali della parola «tra» è il singolo A = {a}.
Un insieme formato da due elementi si chiama coppia.
Così l’insieme B delle consonanti della parola «per» è la coppia B = {p , r}.
È anche facile elencare gli elementi dell’insieme C delle note musicali, oppure gli
elementi dell’insieme D dei mesi dell’anno.
Consideriamo ora l’insieme delle lettere che non si ripetono nella parola «pappa».
Non abbiamo alcuna difficoltà a riconoscere che tale insieme è privo di elementi,
ossia, come si usa dire, che l’insieme è vuoto.
L’insieme vuoto si indica con i simboli:
Ø
oppure
{}
Ad esempio l’insieme dei libri presenti sul Sole è l’insieme vuoto. Infatti, data l’elevatissima temperatura di questa stella, un libro brucerebbe molto prima di arrivare
sul Sole.
L’insieme delle consonanti della parola «aio» è un altro esempio di insieme vuoto.
Gli insiemi A, B, C, D, Ø appena considerati vengono detti insiemi finiti perché
ciascuno è formato da un ben determinato numero di elementi.
Un insieme si dice infinito se non si finisce mai di elencare i suoi elementi.
Ad esempio l’insieme N dei numeri naturali è un insieme infinito, perché l’elencazione dei suoi elementi non ha mai termine. La rappresentazione simbolica
dell’insieme N è abitualmente questa:
N = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ........}
Cioè, non essendo possibile elencarne tutti gli elementi, si ricorre all’uso dei puntini per indicare che la serie prosegue indefinitamente senza avere mai termine.
L’insieme dei punti di una retta è un altro esempio di insieme infinito.
Sottoinsiemi
Esaminiamo i seguenti insiemi:
A = {e , s , i , t , o}
B = {s , i , t , o}
Notiamo che ogni elemento di B è anche un elemento di A. Quando si costruisce
un insieme B utilizzando solo gli elementi di un dato insieme A si dice che B è un
sottoinsieme di A. Dati ad esempio gli insiemi:
5
C = {o , s , c , u , r , a , m , e , n , t , i}
D = {s , c , o , r , a , m , e , n , t , i}
si riconosce facilmente che tutti gli elementi di D appartengono a C; perciò D è
un sottoinsieme di C.
In generale, dati due insiemi A e B:
Si dice che B è un sottoinsieme di A quando tutti gli elementi di B appartengono all’insieme A.
In tal caso si dice anche che:
1. B è una parte di A;
A
oppure:
2. B è contenuto in A;
B
od anche:
3. B è incluso in A.
Fig.1 |
La relazione di inclusione si indica con la scrittura:
B⊂A
e si visualizza col diagramma di Venn rappresentato nella figura 1.
E
S
E
M
P
I
1. L’insieme dei mesi di 30 giorni è un sottoinsieme dell’insieme dei mesi
dell’anno.
2. L’insieme dei numeri pari è un sottoinsieme dell’insieme N dei numeri naturali.
3. L’insieme delle vocali è un sottoinsieme dell’insieme delle lettere dell’alfabeto.
4. L’insieme dei delfini è un sottoinsieme dell’insieme dei mammiferi.
Osserviamo che tra i sottoinsiemi di un insieme A vanno considerati anche
l’insieme vuoto e l’insieme stesso; data la loro singolarità, Ø ed A vengono
detti sottoinsiemi impropri di A; i rimanenti sottoinsiemi di A vengono chiamati sottoinsiemi propri di A. Ad esempio, i sottoinsiemi dell’insieme A = {a,
b} sono:
{a}
{b}
Ø
di cui solo i primi due sono sottoinsiemi propri di A.
6
{a , b}
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Teoria
degli insiemi
OSSERVAZIONE
Non si confonda il concetto di inclusione, che si riferisce a due insiemi, con quello di appartenenza, che si riferisce
ad un elemento appartenente ad un insieme:
A ⊂ B
,
a ∈ A
L’insieme A è incluso in B; mentre l’elemento a appartiene all’insieme A.
È equivalente scrivere:
a ∈ A
oppure
Non è corretto scrivere:
{a} ⊂ A
a ⊂ A
E S E M P I 0
B
A
C
L’insieme A degli scolari, che frequentano una determinata classe, è un sottoinsieme di quello B costituito da tutti gli alunni della scuola; a sua volta B è un
sottoinsieme di tutti gli studenti C della loro città, e C è un sottoinsieme di tutti
gli studenti D della nazione (figura 2).
D
Si scrive:
A ⊂ B ⊂ C ⊂ D
Fig.2 |
Insiemi disgiunti
Consideriamo i seguenti insiemi:
M = {1 , 2 , 3 , }
N = {a , b , c , d}
Possiamo notare che nessun elemento di M appartiene ad N e che nessun elemento di N appartiene ad M; in altre parole, i due insiemi M ed N sono privi di
elementi comuni. Si usa dire che M ed N sono insiemi disgiunti. Precisamente:
Due insiemi si dicono disgiunti se non hanno alcun elemento in comune.
A
B
Conseguentemente, le due regioni che graficamente rappresentano due insiemi
disgiunti A e B non possono avere punti in comune (figura 3).
Gli insiemi:
A = {n , o , r , d}
B = {e , s , t}
sono esempi di insiemi disgiunti. Per contro, gli insiemi {s , u , d} e {o , v , e , s , t}
non sono insiemi disgiunti perché hanno l’elemento s in comune.
Fig.3 |
7
Intersezione di insiemi
Dati due insiemi A e B, vediamo come si possono ottenere nuovi insiemi a partire
dagli insiemi dati.
Un primo modo consiste nel costruire l’insieme formato dagli elementi che sono
comuni ad A e B (figura 4).
Diciamo allora che abbiamo intersecato A con B.
Questo nuovo insieme si chiama intersezione di A e B e si indica col simbolo:
A ∩ B
che si legge; «A intersecato con B».
B
A
Nella figura 4, l’insieme A ∩ B è
rappresentato dalla regione colorata in verde.
Fig.4 |
In generale:
Si chiama intersezione di due insiemi A e B l’insieme formato dagli elementi
che sono comuni sia ad A che a B.
Evidentemente A ∩ A = A.
E
S
E
M
P
I
1. A = {i , n , c , e , r , t , o}
B = {c , e , r , t , o , s , a}
A ∩ B = {c , e , r , t , o}
2. A = {d , i , s , e , g , n , a}
B = {s , e , g , n , a , t , o}
A ∩ B = {s , e , g , n , a}
3. A = {l , u , m , i , n , o}
B = {l , e , g , u , m , i}
A ∩ B = {l , u , m , i}
4. A = {a , i , u , o , l , e}
B = {e , u , f , o , r , i , a}
A ∩ B = {a , e , i , o , u}
5. A = {v , o , c , a , l , e}
B = {o , v , a , l , e}
A ∩ B = {o , v , a , l , e}
6. A = {c , e , n , t , o}
B = {s , c , u , d , i}
A ∩ B=∅
8
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B
A
C
Fig. 5 |
Teoria
degli insiemi
Notiamo che nell’esempio 5, B è un sottoinsieme di A; accade sempre
che l’intersezione di un insieme A e di un suo sottoinsieme B dà come
risultato il sottoinsieme B.
Invece l’esempio 6 mostra che l’intersezione di due insiemi disgiunti
è l’insieme vuoto Ø proprio perché A e B non hanno alcun elemento
in comune.
Ovviamente, l’intersezione di tre o più insiemi è quel nuovo insieme i
cui elementi sono comuni a tutti gli insiemi dati.
Nella figura 5 la regione colorata in verde rappresenta l’insieme intersezione dei
tre insiemi A, B, C.
Ad esempio se A è l’insieme dei medici, B è l’insieme delle persone sposate e
C è l’insieme dei disoccupati, allora l’insieme A ∩ B ∩ C è formato dai medici
sposati e disoccupati.
Osserviamo che risulta sempre:
A ∩ B=B ∩ A
e cioè l’intersezione tra due insiemi gode della proprietà commutativa.
Unione di insiemi
Ecco un secondo modo di costruire un nuovo insieme a partire da due insiemi
dati.
Dati due insiemi A e B, si chiama unione di A e B, e si indica col simbolo A ∪ B,
l’insieme che contiene tutti gli elementi di A e tutti quelli di B (figura 6).
A
Fig. 6 |
B
Va detto che, come per ogni insieme, anche gli elementi dell’insieme A ∪ B
debbono essere rigorosamente distinti l’uno dall’altro. Conseguentemente,
nell’insieme unione andranno considerati una sola volta gli eventuali elementi
che sono comuni sia ad A che a B.
In breve:
Si chiama unione di due insiemi A e B l’insieme formato dagli elementi che
appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B.
È ovvio che A ∪ A = A. Anche l’unione di due insiemi gode della proprietà commutativa, cioè risulta:
A ∪ B=B ∪ A
9
E
S
E
M
P
I
1. A = {0 , 1 , 4 , 5}
B = {1 , 2 , 3 , 4}
A ∪ B = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5}
2. A = {r , o , m , a}
B = {m , a , n , i}
A ∪ B = {r , o , m , a , n , i}
3. A = {n , u , m , e , r , o}
A ∪ B = {n , u , m , e , r , o , s , i}
B = {e , r , o , s , i}
4. A = {t , a , l , e}
B = {c , i , b , o}
A ∪ B = {c , e , l , i , b , a , t , o}
5. A = {c , e , n , t , o}
B = {m , i , l , a}
A ∪ B = {c , e , n , t , o , m , i , l , a}
6. A = {d , i , m , o , r , a}
A ∪ B = {d , i , m , o , r , a}
B = {a , r , o , m , i}
Gli esempi 4 e 5 mostrano che quando i due insiemi A e B sono disgiunti, la loro
unione contiene tutti gli elementi di A e tutti quelli di B.
L’esempio 6 mostra che l’unione di un insieme A con un suo sottoinsieme B dà
come risultato l’insieme A. Ciò perché alla formazione dell’insieme A ∪ B, il sottoinsieme B non contribuisce con alcun elemento che già non si trovi in A.
Va infine detto che l’unione di tre o più insiemi è l’insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi considerati.
E
S
E
M
P
I
1. A = {r , e}
B = {c , o , n}
C = {d , i , t , a}
A ∪ B ∪ C = {r , e , c , o , n , d , i , t , a}
2. A = {i , n}
B = {t , r , e}
C = {o , a , s , i}
A ∪ B ∪ C = {s , e , n , a , t , o , r , i}
3. A = {u , n , a}
B = {t , u , a}
C = {p , o , e , s , i , a}
A ∪ B ∪ C = {i, p, o, t, e, n, u, s, a}
Differenza tra due insiemi.
Insieme complementare
Consideriamo i due insiemi
A = {a , b , c , d}
10
e
B = {c , d , e , f}
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Teoria
degli insiemi
Si dice differenza tra A e B, e si indica con A — B, l’insieme degli elementi
di A che non appartengono a B.
In altre parole: l’insieme A — B è ciò che rimane dell’insieme A dopo che gli è
stato tolto l’insieme A ∩ B.
Nel nostro caso si ha evidentemente che
A — B = {a, b}
(1)
Invece la differenza tra B ed A, che si scrive B – A, è l’insieme degli elementi di B
che non appartengono ad A; nel nostro caso:
B — A = {e, f }
(2)
Il segno — si legge meno e sta ad indicare l’operazione con la quale si determina
una differenza.
A
B
a
d
b
c
d
f
c
e
A –B
a
B –A
b
e
f
Fig. 7 |
Osservando la (1) e la (2) si vede bene che
A—B ≠ B—A
Il che significa che l’operazione differenza non è commutativa, ovvero, come si
suol dire, non gode della proprietà commutativa.
In particolare:
Se è B ⊂ A (figura 8), l’insieme differenza A — B si dice complementare di B
rispetto ad A.
11
E
S
E
M
P
I
Siano dati (figura 8) i due insiemi:
c
A
b
A = {a , b , c , d , e}
B
e
B = {a , b}
Il complementare di B rispetto ad A è dato da:
d
a
CA B = A — B = {c , d , e}
e
A–B
Fig. 8 |
A
B
Se A e B sono disgiunti (figura 9) si ha:
A—B=A
a
e
B—A=B
e
b
Partizione di un insieme
d
f
c
Una squadra di calcio è un insieme che si può considerare costituito
dai tre seguenti sottoinsiemi, non vuoti e disgiunti a due a due:
ti
Fig. 9 |
D = {difensori}
i
st
pi
c
ta
at
n
ca
am
n
c
tro
ce
ri
di
fe
o
ns
C = {centrocampisti}
A = {attaccanti}
Fig. 10 |
Se indichiamo con S l’intera squadra, è chiaro che S = D ∪ C ∪ A.
Quando un insieme viene suddiviso in più sottoinsiemi propri tali che la loro
unione è uguale all’insieme stesso e tali sottoinsiemi sono a due a due disgiunti, si dice che viene fatta una partizione dell’insieme.
E
S
E
M
P
I
1. La distinzione degli animali in bianchi e neri non è una partizione, perché
dall’unione dei due sottoinsiemi non si ottiene l’insieme di tutti gli animali;
infatti ci sono anche animali rossi, marroni, verdi, ecc.
2. La distinzione degli animali in uccelli ed altri che non volano non è una partizione, perché i due sottoinsiemi non sono disgiunti; infatti esistono degli
uccelli che non volano (pinguini, struzzi).
12
Algebra|
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M
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Teoria
degli insiemi
I
3. La divisione delle montagne per classi di altezza:
da 0 a 5.000 metri
da 5.000 a 10.000 metri
oltre 10.000 metri
non è una partizione, perché il terzo sottoinsieme è vuoto.
4. La suddivisione in classi dell’insieme degli alunni di una scuola è invece una
partizione, perché ne ha tutti i requisiti; infatti:
a. l’unione di tutte le classi è uguale all’insieme di tutti gli alunni della
scuola;
b. due classi qualsiasi sono sempre due insiemi disgiunti;
c. nessuna classe è un insieme vuoto.
5. Dato l’insieme A = {f , u , l , m , i , n , a , r , e}, una sua partizione è:
{e , r , a}
{u , n}
{f , i , l , m}
Invece i sottoinsiemi:
{f , u , i}
{n , e , l}
{m , a , r , e}
non realizzano una partizione di A perché il secondo ed il terzo non sono
insiemi disgiunti.
6. Si ottiene una partizione dell’insieme N dei numeri naturali considerando il
sottoinsieme P dei numeri pari e quello D dei numeri dispari.
13
VERIFICA LE CONOSCENZE
Rispondi ai seguenti quesiti sul tuo quaderno.
1
2
3
4
7
Come si definisce l’intersezione di due insiemi?
8
Come si ottiene l’unione di due insiemi?
Quanti modi di rappresentare un insieme conosci? Quali sono?
9
Attraverso un esempio, spiega che cosa si
intende per differenza tra due insiemi.
Nella rappresentazione per elencazione, un
elemento può figurare più volte?
10
Se A e B sono due insiemi disgiunti, è possibile definire ugualmente la differenza tra A e
B? Porta almeno un esempio.
11
Come si ottiene una partizione di un insieme?
Porta almeno un esempio.
Perché è importante poter decidere se un
elemento appartiene o non appartiene ad un
insieme A?
Che cosa s’intende per sottoinsieme di un insieme A? Porta almeno due esempi.
5
Quanti e quali sono i sottoinsiemi impropri di
un insieme A?
6
Quando due insiemi si dicono disgiunti?
ATTENZIONE
Se la risposta a qualcuno dei precedenti quesiti
non è stata tempestiva oppure hai avuto dubbi
o non vi è stata affatto, rileggi attentamente i relativi argomenti.
14
Algebra|
Teoria
degli insiemi
| autovalutazione
AUTOVALUTAZIONE
Segna con una crocetta la risposta esatta.
1
Un insieme è esattamente definito se:
A è possibile elencare tutti i suoi elementi;
B è formato da almeno un elemento;
C è sempre possibile stabilire con certezza se un elemento appartiene o no all’insieme;
D
2
Quali delle seguenti frasi definiscono un insieme?
1. I colori dell’arcobaleno.
2. I numeri dispari.
3. I numeri molto piccoli.
4. Le persone allegre del mio quartiere.
A Tutte;
B tutte, tranne l’ultima;
C
3
4
6
solo le prime due;
D
solo la prima e l’ultima.
Due insiemi A e B si dicono uguali se:
A sono formati da uno stesso numero di elementi;
B
contengono gli stessi elementi;
C
gli elementi che formano A e B hanno caratteristiche equivalenti;
D
hanno molti elementi comuni.
In che modo conviene rappresentare un insieme infinito?
A Per elencazione;
B per caratteristica;
C
5
gli elementi che lo formano sono oggetti ben noti.
mediante un diagramma di Venn;
D
mediante una generica definizione.
Un insieme A si dice sottoinsieme proprio dell’insieme B se:
A ogni elemento di A appartiene anche a B;
B
esiste qualche elemento di A che appartiene anche a B;
C
gli elementi di A hanno le stesse caratteristiche degli elementi di B;
D
tutti gli elementi di A appartengono anche a B, ma esistono elementi di B che non appartengono ad A.
Due insiemi A e B sono disgiunti se:
A A⊂B
B
A∪B=Ø
C
D
A ∩ B = A.
A∩B=Ø
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Algebra|
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| autovalutazione
Teoria
degli insiemi
Dati gli insiemi A = {▲, ■ , ■■ , ●} e B = {■ ,
A {▲ , ■ , ● }
B
, ●}, l’insieme C = A ∩ B è:
{▲ , ■ , ■■ }
C
{■ , ■■ , ●}.
D
{■ , ●}
Considera gli insiemi:
A
B
• ciliegia
• mela
• banana
• arancia
• albicocca
• limone
• pera
• ciliegia
• pera
• ananas
e riconosci l’insieme C = A ∪ B.
A {mela , ciliegia , banana , albicocca , pera};
9
10
B
{mela , ciliegia , banana , limone , pera , arancia , albicocca , ananas};
C
{ciliegia , pera};
D
{mela , arancia , ciliegia , banana , albicocca , pera}.
Si dice differenza tra gli insiemi A e B e si indica con A — B l’insieme formato:
A dagli elementi che appartengono sia ad A che a B;
B
dagli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi;
C
dagli elementi di A e B che hanno comuni caratteristiche;
D
dagli elementi di A che non appartengono a B.
Considera gli insiemi A = {1 , 2 , 3} e B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}. Dopo aver osservato che A ⊂ B, riconosci
quale dei seguenti insiemi individua B — A.
A {4 , 5 , 6}
B {1 , 2 , 3}
C
11
16
D
{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}
{2 , 3 , 4 , 5}.
Due insiemi A e B determinano una partizione dell’insieme C se:
A
A ∪ B = C,
A ∩ B = Ø,
B
A ∩ B = C,
A≠ØeB≠Ø
C
A ∪ B = C,
A∩B=Ø
D
A ⊂ C, B ⊂ C
e
A ∩ B = Ø.
A≠ØeB≠Ø
Algebra|
È dato l’insieme A = {1 , 3 , 4 , 6 , 8}. Quale dei seguenti gruppi di insiemi determina una partizione di A?
A B = {1 , 2 , 3},
C = {4 , 6 , 8}
B
B = {1 , 3 , 4},
C = {4 , 6 , 8},
D=Ø
C
B = {1 , 3},
C = {4 , 6},
D = {8}
D
B = {1 , 4 , 6},
C = Ø,
D = {1 , 3 , 8}.
SOTTO (CAPOVOLTE) TROVERAI LE RISPOSTE ESATTE: CALCOLA 1 PUNTO PER
CIASCUNA RISPOSTA CORRETTA E DETERMINA IL PUNTEGGIO TOTALE.
Punteggio
Comportamento consigliato
Da 0 a 6 punti
Devi rivedere con cura ed attenzione gli argomenti trattati: hai ancora dubbi
ed incertezze diffuse.
Devi rileggere solo alcuni argomenti che non ti sono chiari: individua quali
sono.
Puoi proseguire il tuo studio.
9
2
C
1
D
C
10
3
A
B
11
4
A
B
12
5
da 10 a 12 punti
B
da 7 a 9 punti
8
C
D
6
C
7
C
RISPOSTE
12
| autovalutazione
Teoria
degli insiemi
17
UTILITÀ DEL CONCETTO DI INSIEME
In Alice nel paese delle meraviglie1, la Lepre Marzolina fa notare la diversità di significato delle frasi:
a. Mi piace quel che prendo
Si chiede di spiegare questa diversità!
b. Prendo quello che mi piace.
Svolgimento
Immaginiamo che la prima frase sia detta da
Tizio così:
«Amo ciò che possiedo».
Immaginiamo che la seconda frase sia detta da
Caio così:
«Possiedo ciò che amo».
Osserviamo che:
Tizio non dice
«Amo solo ciò che possiedo».
Quindi Tizio potrebbe anche amare cose che
non possiede.
Caio non dice
«Possiedo solo ciò che amo».
Quindi Caio potrebbe anche possedere cose che
non ama.
Per confrontare meglio i due discorsi aiutiamoci con gli insiemi. In entrambi i casi abbiamo a che fare
con l’insieme A delle cose amate da una certa persona e l’insieme P delle cose possedute da quella
persona.
Quanto dice Tizio si traduce in questa rappresentazione:
Quanto dice Caio si traduce in questa rappresentazione:
A
P
P
x
A
x
y
y
x è una cosa che Tizio possiede e quindi ama; y
è una cosa che Tizio ama ma non possiede.
x è una cosa che Caio ama e quindi possiede; y
è una cosa che Caio possiede ma non ama.
I due insiemi A e P sarebbero eguali se:
Tizio dicesse
«Amo ciò che possiedo e solo quello».
Caio dicesse
«Possiedo ciò che amo e solo quello».
1. Si tratta di un libro, generalmente considerato per ragazzi, ma in realtà ricco di sottigliezze logiche. Il suo autore, Charles
Dodgson (1832-1898), professore di matematica a Oxford, lo pubblicò con lo pseudonimo di Lewis Carrol.
18
approfondimenti ed estensioni
|Insieme delle parti
Illustriamo un concetto fondamentale sugli insiemi
mediante un esempio, per renderlo così più evidente.
Consideriamo l’insieme A che ha per elementi le
prime tre lettere dell’alfabeto:
E S E M P I 0
A = {a , b , c}
L’insieme delle parti di I è:
e scriviamo tutti i sottoinsiemi di A, compresi quelli
impropri:
Ø , {a} , {b} , {c} , {a , b} , {a , c} , {b , c} , {a , b , c}.
Consideriamo ora l’insieme P(A) che ha per elementi tutti i sottoinsiemi di A:
P(A) = {Ø , {a} , {b} , {c} , {a , b} ,
{a , c} , {b , c} , {a , b , c}}.
All’insieme P(A) si dà il nome di insieme delle
parti di A e si pone la seguente definizione:
Insieme delle parti di un insieme A è l’insieme i cui
elementi sono i sottoinsiemi propri ed impropri di A.
Scrivi l’insieme delle parti dell’insieme:
I = {1 ; 2 ; 3 : 4}.
P(I) = {Ø , {1} , {2} , {3} , {4} , {1 ; 2} ,
{1 ; 3} , {1 ; 4} , {2 ; 3} , {2 ; 4} ,
{3 ; 4} , {1 ; 2 ; 3} , {1 ; 2 ; 4} ,
{1 ; 3 ; 4} , {2 ; 3 ; 4 ;} , {1 ; 2 ; 3 ; 4}}.
OSSERVAZIONE
Possiamo facilmente renderci conto che se n sono gli
elementi dell’insieme, il suo insieme delle parti è formato
da 2n elementi. Infatti, nel caso del precedente esempio,
I ha 4 elementi e P(I) ne ha 24 = 16.
Osserviamo anche che l’insieme delle parti di un insieme
qualsiasi non è mai l’insieme vuoto in quanto è:
P(Ø) = {Ø} ≠ Ø.
19
Frammenti di storia
I creatori della teoria degli insiemi
I diagrammi di Venn, di cui ci siamo serviti per rappresentare gli insiemi,
vengono anche chiamati diagrammi di Eulero-Venn, dal nome dei matematici
che per primi hanno usato questo tipo di rappresentazione.
Leonard Euler, detto Eulero (1707-1783), è stato uno dei più illustri matematici di tutti i tempi. Lavorò a lungo in Russia dove fu direttore dell’istituto di
matematica dell’Accademia.
Compì interessanti studi sull’uso dei grafi che utilizzò per risolvere il problema dei ponti di Königsberg, introducendo così in matematica la cosidetta
teoria dei grafi.
Introdusse l’uso dei diagrammi che tracciava sempre di forma circolare e
furono perciò detti cerchi di Eulero.
In seguito, il matematico inglese Venn (1834-1925) utilizzò anche altre linee
chiuse per rappresentare i diagrammi che racchiudevano insiemi.
Tuttavia, il fondatore della teoria degli insiemi è stato Cantor, matematico
russo.
Georg Cantor nacque a Pietroburgo nel 1845; a soli 11 anni si trasferì in
Germania,a Francoforte, dove iniziò a studiare matematica.
Nel corso dei suoi studi ebbe come insegnanti matematici di fama come Kronecker e Dedekinf. Nel 1872 Cantor cominciò a insegnare matematica presso
l’università di Halle e contemporaneamente cominciò i suoi studi sugli insiemi, studi che lo portarono a elaborare la teoria degli insiemi che è stata
tanto utile allo sviluppo della matematica di quest’ultimo secolo.
La teoria elaborata da Cantor fu però ritenuta assurda da molti matematici
contemporanei, fra i quali il suo vecchio insegnante Kronecker che lo ostacolò in tutti i modi fino a bloccargli la carriera universitaria. Questo fatto lo
fece ammalare di nervi e nel 1884 fu ricoverato nella clinica psichiatrica di
Halle dalla quale continuò a entrare e uscire fino al 1905, anno in cui, ormai
inguaribile, fu ricoverato definitivamente.
Morì nella stessa clinica nel 1918, quando già da alcuni anni la sua teoria era
stata accettata e riconosciuta ed era diventata oggetto di studio e ricerca da
parte di molti matematici.
20
Algebra|
Teoria
degli insiemi
| esercizi
insiemi e loro rappresentazioni
Stabilisci quali delle seguenti frasi definiscono un insieme e quali no.
1 | a. Le vocali del nostro alfabeto.
sì
sì
sì
sì
sì
no
no
no
no
no
2 | a. Le persone sincere.
sì
sì
sì
sì
sì
no
no
no
no
no
3 | a. I divisori di 12.
sì
sì
sì
sì
sì
no
no
no
no
no
4 | a. Alcune città della costa siciliana.
sì
sì
sì
sì
sì
no
no
no
no
no
b.
c.
d.
e.
b.
c.
d.
e.
b.
c.
d.
e.
b.
c.
d.
e.
Le parole formate da molte lettere.
I materassi troppo soffici.
Gli alunni attenti della classe di Luca.
Le lettere della parola VOLUME.
Le regioni d’Italia.
Le notizie curiose.
I numeri del quadrante dell’orologio.
I laghi più profondi d’Italia.
I piatti più gustosi della cucina spagnola.
I mari che bagnano l’Italia.
I mari più azzurri d’Italia.
Le lettere della parola GELOSIA.
Le città della Toscana bagnate dal mar Adriatico.
I numeri molto piccoli.
Le città più vicine a quella in cui abiti.
Le città più popolose del Giappone.
21
Algebra|
Teoria
degli insiemi
| esercizi
5 | Scrivi cinque frasi che definiscono altrettanti insiemi.
6 | Scrivi cinque frasi che non definiscono alcun insieme.
7 | Scrivi almeno tre frasi che definiscono altrettanti insiemi vuoti.
8 | Scrivi almeno due frasi che definiscono altrettanti insiemi infiniti.
9 | Scrivi un insieme formato da due elementi.
10 | Scrivi un insieme formato da tre elementi.
11 | Scrivi un insieme formato da quattro elementi.
12 | Scrivi un insieme formato da cinque elementi.
13 | Utilizzando gli opportuni simboli, scrivi che l’elemento x appartiene all’insieme A e che l’elemento
y non appartiene all’insieme A.
14 | In relazione alla figura a lato, stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono
false.
a.
b.
c.
d.
e.
a
e
b
d
c
∈
∈
∉
∈
∉
A
A
A
A
A
A
f
f
f
f
f
v
v
v
v
v
•a
•c
•b
•d
•e
15 | Considera i seguenti insiemi e barra la casella esatta.
A
B
C
D
E
F
G
=
=
=
=
=
=
=
22
{estate , autunno}
{Lombardia , Campania , Umbria}
{vulcani italiani}
{nazioni latino-americane}
{elementi chimici naturali}
{animali}
{strumenti musicali}
maggio
Ancona
Etna
Panama
sodio
abete
violino
∈
∉
∉
∈
∉
∉
∉
A
B
C
D
E
F
G
sì
sì
sì
sì
sì
sì
sì
no
no
no
no
no
no
no
Algebra|
Teoria
degli insiemi
| esercizi
16 | Dato l’insieme A = {nome degli alunni della mia classe}, completa le seguenti scritture mettendo al
posto dei puntini il simbolo di appartenenza (∈) o quello di non appartenenza (∉).
Luca
.......... A
Mario
.......... A
Giuliana
..........
Martina
.......... A
Luigi
.......... A
Paolo
..........
Marco
.......... A
Patrizia
.......... A
Gianni
..........
Cristina
.......... A
Giorgio
.......... A
Barbara
..........
Sabrina
.......... A
Marcello
.......... A
Fabio
..........
A
A
A
A
A
17 | Dati gli insiemi:
A = {s , c , u , o , l , a}
B = {r , e , g , o , l , a}
C = {m , u , s , e}
usa i simboli ∈ e ∉ per indicare se le lettere a , e , o , u , l , m , r ed s appartengono oppure no ad A, B e C
rispettivamente.
Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi definiti per caratteristica.
18 | A
= {sensi dell’uomo}
B = {sport che si praticano in acqua}
C = {gas che compongono l’atmosfera}
D = {mesi dell’anno}
19 | A
= {capoluoghi di provincia della Lombardia}
B = {operazioni aritmetiche che conosci}
C = {stati fisici della materia}
D = {regni degli esseri viventi}
Rappresenta per caratteristica i seguenti insiemi definiti per elencazione.
20 | A
=
B =
C =
D =
21 | A
=
B =
C =
D =
{lana , seta , cotone , lino}
{pesci , anfibi , rettili , uccelli , mammiferi}
{cuori , quadri , fiori , picche}
{pollice , indice , medio , anulare , mignolo}
{gennaio , giugno}
{Brontolo , Cucciolo , Dotto , Eolo , Gongolo , Mammolo , Pisolo}
{primavera , estate , autunno , inverno}
{Napoli , Salerno , Caserta , Benevento , Avellino}
22 | Rappresenta per caratteristica e con i diagrammi di Venn i seguenti insiemi.
A
B
C
D
E
=
=
=
=
=
{Mercurio , Venere , Terra , Marte , Giove , Saturno , Urano , Nettuno , Plutone}
{Bari , Foggia , Brindisi , Taranto , Lecce}
{Atos , Portos , Aramis , D’Artagnan}
{cocaina , crack , eroina , marijuana}
{Roma , Viterbo , Latina , Rieti , Frosinone}
23
Algebra|
| esercizi
Teoria
degli insiemi
Riconosci quali dei seguenti insiemi possono essere rappresentati per caratteristica
e quali no.
23 | A
sì
sì
sì
no
no
no
24 | A
sì
sì
sì
no
no
no
= {Mercedes , Ferrari , Fiat , Peugeot}
B = {pantofola , sedia , orologio}
C = {Gaspare , Melchiorre , Baldassarre}
= {5 , 17 , 28 , 1.379}
B = {5 , 10 , 15 , 20 , 25}
C = {libro , Marte , telefono}
25 | Rappresenta per caratteristica gli insiemi definiti con i seguenti diagrammi di Venn.
A
• ipofisi
• tiroide
• timo
B
• leone
• epifisi
• leopardo
• gonadi
C
• tigre
• altezza
• giaguaro
• puma
• intensità
D
• timbro
E
• Po
• Ticino
• Adda
• Adige
• Piave
F
• 10
• 20
• 30
• 40
• 50
• 60
G
• Vasco Rossi
• Ligabue
• Madonna
• Antonacci
• Ramazzotti
• Eminem
H
• Biologia
• Chimica
• Astronomia
• Geologia
• Fisica
• Ecologia
• metro
• chilogrammo
• secondo
• grado
Insiemi uguali
26 | Vero o falso?
a. I due insiemi A = {e , i , o} e B = {vocali della parola TERMOSIFONE}
rappresentano in modi diversi lo stesso insieme, cioè A = B.
v
f
b. Dati gli insiemi A = {lettere della parola TERRA}
e B = {lettere della parola RETTA}, risulta A = B.
v
f
24
Algebra|
Teoria
degli insiemi
| esercizi
c. Dati gli insiemi A = {numeri del gioco del lotto}
e B = {numeri del gioco della tombola}, risulta A ≠ B.
v
f
d. L’uguaglianza tra insiemi gode di tre proprietà:
riflessiva, simmetrica e transitiva.
v
f
27 | Considera gli insiemi:
A = {7 , 9 , 11 , 13}
B = {13 , 9 , 7 , 11}
sì
Si può affermare che A = B?
no
Giustifica la risposta.
28 | Considera gli insiemi:
A = {lettere della parola SOUVENIR}
sì
Si può affermare che A = B?
B = {lettere della parola UNIVERSO}
no
Giustifica la risposta.
29 | Riconosci quali delle seguenti coppie di insiemi sono uguali e quali no. Giustifica la risposta.
A=
A=
A=
A=
A=
A=
A=
{lettere della parola REMA}
{lettere della parola SALE}
{esseri viventi}
{aerei}
{21 , 7 , 8 , 16}
{fiori}
{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}
B
B
B
B
B
B
B
=
=
=
=
=
=
=
{lettere della parola REMARE}
{lettere della parola LESA}
{esseri che si riproducono}
{mezzi di trasporto}
{16 , 37 , 8 , 53 , 21}
{rose , garofani , margherite}
{numeri delle facce di un dado}
sì
sì
sì
sì
sì
sì
sì
no
no
no
no
no
no
no
30 | Verifica che l’insieme delle vocali della parola RENDITA è uguale all’insieme delle vocali della parola FINESTRA.
31 | Verifica che l’insieme delle vocali della parola DELICATO è uguale all’insieme delle vocali delle
parola MEDIANO.
32| È vero che l’insieme delle vocali della parola AUMENTO è uguale all’insieme delle vocali della parola
CONSUETA?
sì
no
Giustifica la risposta.
33 | Verifica che l’insieme delle consonanti della parola MARCO è uguale all’insieme delle consonanti
della parola RICAMO.
34 | Verifica che l’insieme delle consonanti della parola RIMONTA è uguale all’insieme delle consonanti
della parola MINATORE.
25
Algebra|
Teoria
degli insiemi
| esercizi
35 | Verifica che l’insieme delle consonanti della parola SENATORE è uguale all’insieme delle consonanti della parola USTIONARE.
Esamina i seguenti insiemi e verifica che:
36 | {lettere della parola
{lettere della parola
{lettere della parola
{lettere della parola
37 | {lettere della parola
{lettere della parola
{lettere della parola
{lettere della parola
PIANETA}
OTTIMO}
MISTERIOSI}
CANTONATA}
=
=
=
=
{p , i , a , n , t , e}
{m , i , t , o}
{m , i , s , t , e , r , o}
{c , a , n , t , o}
STREPITARE}
MAMMINA}
VIVAISTA}
BARBARA}
=
=
=
=
{s , t , i , p , a , r , e}
{m , a , n , i}
{v , i , s , t , a}
{b , a , r}
38 | Esamina i seguenti insiemi e verifica che:
{l , i , s , t , e} = {s , t , e , l , i}
{p , o , r , t , a} = {p , r , a , t , o}
{v , i , s , t , a} = {s , t , i , v , a}
{v , e , n , d , i , c , a , t , o} = {t , a , c , e , n , d , o , v , i}
{u , m , o , r , i , s , t , a} = {m , i , s , u , r , a , t , o}
{m , u , t , i , l , a , r , e} = {u , l , t , i , m , a , r , e}
{c , a , t , i , n , o} = {a , n , t , i , c , o}
{m , a , i} = {m , i , a}
{t , e , r , n , o} = {t , r , e , n , o}
{b , r , a , m , o} = {o , m , b , r , a}
39 | Verifica che:
{o , s , c , a , r} = {c , o , r , s , a} = {c , a , r , s , o}
{s , p , a , r , o} = {a , s , p , r , o} = {p , r , o , s , a}
40 | Costruisci un insieme che sia uguale all’insieme A = {r , a , m , e}.
41 | Dati gli insiemi:
{o , n , t , a}
{d , e , c , i , m , o}
{p , e , r , a}
{n , o , m , e}
{a , s , i , l , o}
{t , u , o , n , i}
{n , a , v , e}
{l , a , g , o}
{t , o , r , i}
{c , e , f , a , l , i}
{n , i , p , o , t , e}
{e , s , t , r , o}
per ognuno costruisci un insieme uguale.
Insiemi finiti ed insiemi infiniti. insieme vuoto
42 | Spiega perché l’insieme dei mesi dell’anno è un insieme finito.
43 | Scrivi cinque esempi di insiemi finiti.
26
Algebra|
Teoria
degli insiemi
| esercizi
44 | Scrivi almeno due esempi di insiemi infiniti.
45 | Scrivi cinque esempi di insiemi vuoti.
Stabilisci quali dei seguenti insiemi sono vuoti, quali finiti e quali infiniti.
vuoto
finito
infinito
47 | A = {tonalità del colore rosso}
☐
☐
☐
☐
☐
☐
☐
☐
☐
☐
☐
☐
48 | A = {città italiane con popolazione superiore a 30 mil. di abitanti}
☐
☐
☐
☐
☐
☐
☐
☐
☐
☐
☐
☐
46 | A = {lettere che non si ripetono nella parola OTTO}
B = {vocali che non si ripetono nella parola BANANA}
C = {consonanti che non si ripetono nella parola BAOBAB}
D = {vocali che non si ripetono nella parola BARBARA}
B = {triangoli con quattro lati}
C = {persone nate il trenta febbraio}
D = {montagne della Terra alte più di 10.00 metri}
B = {rette di un piano}
C = {quadrupedi con sei piedi}
D = {leoni erbivori}
☐
☐
☐
☐
☐
☐
☐
☐
☐
☐
☐
☐
49 | Vero o falso?
a.
b.
c.
d.
e.
f.
L’insieme delle note musicali è un insieme finito.
L’insieme dei numeri dispari è un insieme finito.
L’insieme delle lettere dell’alfabeto che precedono la lettera l è un insieme vuoto.
È sempre possibile rappresentare per elencazione un insieme infinito.
L’insieme A = {mesi dell’anno che iniziano con la lettera p} non contiene alcun elemento.
Se Marco ∈ A, allora A ≠ Ø.
v
v
v
v
v
v
f
f
f
f
f
f
Sottoinsiemi
50 | Dato l’insieme A = {a , b , c}, determina i suoi sottoinsiemi formati da un solo elemento e stabilisci
se sono esatte le seguenti scritture.
a ∉ A
{a} ∈ A
{a , b} ⊂ A
{a} ⊂ {a}
sì
sì
sì
sì
no
no
no
no
c ∈ A
{a} ⊂ A
{a , b , c} ⊂ A
{a , b} ⊂ {a}
sì
sì
sì
sì
no
no
no
no
27
Algebra|
| esercizi
Teoria
degli insiemi
51 | Osserva il diagramma di Venn rappresentato in figura ed indica se ciascuna delle seguenti scritture
è vera o falsa.
A
•c
B
•a
a ∈ B
B ⊂ A
c ∉ A
v
v
v
f
f
f
•b
v
v
v
A ⊂ B
a ∈ A
c ∉ B
f
f
f
52 | Dati i seguenti insiemi, scrivi almeno quattro sottoinsiemi di ciascuno di essi.
{attrezzi del falegname}
{roditori}
{città della Toscana}
{attori cinematografici}
{cantanti di musica leggera}
{isole del Mediterraneo}
{calciatori italiani}
{zucchero , miele , marmellata}
53 | Rappresenta con un diagramma di Venn i sottoinsiemi propri del seguente insieme:
A = {leone , agnello , cane , gatto}
54 | Scrivi i sottoinsiemi, sia propri che impropri, dell’insieme A = {x , y , z}.
55 | Completa la seguente tabella, inserendo l’insieme mancante in modo che risulti sempre A ⊂ B.
L’insieme mancante lo puoi rappresentare per elencazione o per caratteristica.
Insieme A
Insieme B
{parallelogrammi}
{Parigi , Bordeaux , Marsiglia}
{Ebraismo , Cristianesimo , Islamismo}
{divisori di 36}
{città della Svizzera}
{▲ , ■ , ●}
{1 , 3 , 5 , 7}
{animali domestici}
{personaggi di Walt Disney}
28
Algebra|
Teoria
degli insiemi
| esercizi
56 | Vero o falso?
a.
b.
c.
d.
v
v
v
v
Se A = {fiumi d’Italia} e B = {Po , Adige , Piave}, allora A ⊂ B.
Se A = {italiani} e B = {pugliesi}, allora B ⊂ A.
Dato l’insieme A, i sottoinsiemi impropri di A sono l’insieme Ø e lo stesso insieme A.
Se A ⊂ B e B ⊂ A, allora A = B.
f
f
f
f
57 | Considera i seguenti insiemi e indica in quali casi è A ⊂ B ed in quali è B ⊂ A.
A = {grano , mais , insalata}
A = {abiti per uomo}
A = {2 , 3 , 7}
B = {vegetali}
B = {giacca , pantaloni}
B = {numeri}
Rappresenta graficamente le relazioni che legano i seguenti insiemi A, B e C. Verifica che B e C sono sottoinsiemi di A e che i loro elementi non esauriscono tutti gli
elementi di A.
58 | a. A = {u , n , i , v , e , r , s , o}
b.
c.
d.
e.
A
A
A
A
=
=
=
=
{i , p , o , t , e , n , u , s , a}
{t , e , m , p , o , r , a , l , i}
{c , a , p , i , t , o , n , e}
{d , o , c , u , m , e , n , t , i}
59 | a. A = {s , g , o , n , f , i , a , r , e}
b.
c.
d.
e.
A
A
A
A
=
=
=
=
{t , u , l , i , p , a , n , o}
{s , u , r , g , e , l , a , t , o}
{s , e , n , a , t , o , r , i}
{a , t , o , m , i , c , h , e}
B
B
B
B
B
=
=
=
=
=
{v , e , n , i , r}
{u , s , o}
{l , o}
{i , n}
{u , n}
C
C
C
C
C
=
=
=
=
=
{s , u}
{p , a , n , e}
{m , e , r , i , t , a}
{e , p , o , c , a}
{m , e , d , i , c , o}
B
B
B
B
B
=
=
=
=
=
{o , g , n , i}
{p , i , n , o}
{s , u , l}
{t , r , e}
{c , h , i}
C
C
C
C
C
=
=
=
=
=
{s , e , r , a}
{a , l , t , o}
{g , r , e , t , o}
{n , a , s , i}
{t , e , m , o}
60 | Completa la seguente tabella, inserendo l’insieme mancante in modo che risulti sempre A ⊂ B ⊂ C.
Insieme A
Insieme B
Insieme C
{Madrid , Siviglia}
{città della Spagna}
{tigre , leopardo}
{felini}
{tedeschi}
{europei}
{2 , 4 , 6}
{2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12}
{trombe , violini}
{strumenti musicali}
{B , L , A}
{lettere della parola BIOLOGIA}
{pugnali , pistole}
{armi}
29
Algebra|
Teoria
degli insiemi
| esercizi
61 | Verifica che:
{o , r , e} ⊂ {m , o , r , e} ⊂ {u , m , o , r , e}
{m , e , n , o} ⊂ {m , e , n , t , o} ⊂ {m , o , n , e , t , a} ⊂ {a , u , m , e , n , t , o}
{l , a , g , o} ⊂ {l , a , r , g , o} ⊂ {r , e , g , a , l , o}
{t , e , r , n , a} ⊂ {i , n , t , e , r , a} ⊂ {i , d , r , a , n , t , e}
{g , i , u , r , a , t , o} ⊂ {f , i , g , u , r , a , t , o} ⊂ {f , u , l , g , o , r , a , t , i}
62 | Dati gli insiemi:
A = {o , c , a}
D = {s , c , a , r , t , o}
G = {m , o , r , s , i , c , a , t , e}
I = {o , s , c , u , r , a , m , e , n , t , i}
B = {c , a , s , o}
E = {s , t , o , r , i , c , a}
H = {c , r , i , s , a , n , t , e , m , o}
C = {t , o , s , c , a}
F = {s , c , i , a , t , o , r , e}
verifica che A ⊂ B ⊂ C ⊂ D ⊂ E ⊂ F ⊂ G ⊂ H ⊂ I
63 | Scrivi due sottoinsiemi dell’insieme degli anfibi.
64 | Rappresenta mediante i diagrammi di Venn la seguente situazione: A è l’insieme degli Italiani, B è
l’insieme dei Siciliani e C è l’insieme dei Siracusani.
65 | Sia A l’insieme degli alunni che frequentano la tua scuola. Scrivi un insieme B che sia incluso in A,
un insieme C che sia incluso in B, e così via.
66 | Dati gli insiemi:
A
A = {t , r , e , p , i , d , a , n , o}
B = {t , r , e}
C = {p , e , d , o , n , i}
verifica che B e C sono sottoinsiemi di A, che hanno qualche elemento in comune e che i loro elementi non esauriscono tutti quelli
di A. Lo schema accanto è adatto a rappresentare la situazione
sì
no
descritta?
Giustifica la risposta.
B
C
Come nell’esercizio precedente nel caso che sia:
67 | a. A = {s , t , i , p , u , l , a , r , e}
b. A = {i , p , o , t , e , n , u , s , a}
c. A = {m , a , c , i , l , e , n , t , o}
d. A = {c , e , n , t , o , m , i , l , a}
68 | a. A = {u , s , t , i , o , n , a , r , e}
b. A = {d , o , c , u , m , e , n , t , i}
c. A = {p , r , e , c , i , s , a , t , o}
d. A = {l , e , g , u , m , i , n , o , s , a}
30
B
B
B
B
=
=
=
=
{s , a , p , e , r}
{s , e , i}
{c , l , i , m , a}
{t , a , n , e}
C
C
C
C
=
=
=
=
{p , a , t , i , r , e}
{p , o , e , t , i}
{m , i , t , e}
{c , o , l , m , e}
B
B
B
B
=
=
=
=
{s , u , o , r , a}
{o , n , d , e}
{p , o , r , t , i}
{o , g , n , i}
C
C
C
C
=
=
=
=
{t , i , n , a}
{m , u , t , e}
{p , a , c , e}
{u , m , i , l , e}
Algebra|
Teoria
degli insiemi
| esercizi
69 | Verifica che la situazione precedente è simile a quella che si presenta quando si studiano i tre insiemi seguenti: numeri interi, numeri dispari e numeri primi.
70 | Rappresenta con i diagrammi di Venn:
A = {l , e , g , u , m , i , n , o , s , a}
C = {m , a , g , o}
B = {i , l}
D = {s , u , o , n , a}
71 | Dati gli insiemi A = {p , e , r}, C = {o , p , e , r , a} ed E = {o , p , e , r , a , t , i}, costruisci gli insiemi
B e D in modo che risulti A ⊂ B ⊂ C ⊂ D ⊂ E.
Esamina i seguenti insiemi e stabilisci se gli ultimi due sono sottoinsiemi propri o
impropri del primo.
72 | a. {s , t , r , a , d , e}
b. {r , o , s , e , t , i}
c. {o , r , c , h , i , d , e , a}
d. {s , t , i , p , a , r , e}
73 | a. {r , i , p , o , s , a , t , e}
b. {l , a , d , r , o , n , e}
c. {s , c , a , l , i , n , o}
d. {r , e , g , a , l , i , n , o}
{d , a , r , e}
{s , t , o , r , i , e}
{r , e , c , i , d , o}
{a , r , p , i , s , t , e}
{d , e , s , t , r , a}
{t , e , s , o , r , i}
{r , a , d , i , c , e}
{s , p , a , r , i , t , e}
{p , o , r , t , a}
{l , o , d , a , r , e}
{l , a , n , c , i , o}
{r , e , g , a , l , o}
{s , a , p , o , r , i , t , e}
{l , e , a , n , d , r , o}
{s , c , a , l , o , n , i}
{g , i , o , r , n , a , l , e}
Insiemi disgiunti
74 | Spiega perché l’insieme delle vocali e quello delle consonanti sono insiemi
disgiunti.
75 | L’insieme dei numeri interi di due cifre e quello dei numeri interi di tre cifre sono insiemi disgiunti?
sì
no
Giustifica la risposta.
76 | L’insieme dei rettili e quello dei mammiferi sono insiemi disgiunti?
sì
no
Giustifica la risposta.
77 | L’insieme delle farfalle e quello degli uccelli sono insiemi disgiunti?
sì
no
Giustifica la risposta.
78 | Scrivi tre esempi di insiemi disgiunti.
Verifica che i seguenti insiemi sono disgiunti.
79 | a. {u , n}
{p , r , e , m , i , o}
b. {d , u , e} {m , a , n , i}
c. {t , r , e} {m , o , d , i}
d. {f , a , r , e} {p , u , n , t , i}
31
Algebra|
Teoria
degli insiemi
| esercizi
80 | a. {u , n , o}
{s , t , i , l , e}
b. {d , u , e} {p , o , l , i}
c. {c , i , n , q , u , e} {t , r , a , m}
d. {p , o , r , t , a} {s , e , m , i}
Riconosci quali insiemi sono disgiunti e quali no.
81 | a. {u , n}
b.
c.
d.
e.
{r , e , g , a , l , o}
{d , u , e} {s , e , m , i}
{d , u , e} {t , r , a , m , p , o , l , i}
{n , o , r , d} {s , u , d}
{s , o , l , e} {l , u , n , a}
82 | a. {u , n , a}
b.
c.
d.
e.
{r , e , g , o , l , a}
{c , a , m , p , i} {v , e , r , d , i}
{o , g , n , i} {s , e , r , a}
{m , a , n , i} {s , p , o , r , c , h, e}
{c , e , n , t , o} {n , a , v , i}
Intersezione di insiemi
83 | Vero o falso?
a.
b.
c.
d.
A ∩ A = A.
A ∩ Ø = Ø.
Se a ∈ A ed a ∈ B, allora a ∈ A ∩ B.
Dati gli insiemi A = {lettere della parola PENSIERO}
e B = {lettere della parola PANE}, risulta A ∩ B = Ø.
e. Se a ∉ A ed a ∈ B, allora a ∉ A ∩ B.
f. Se A ⊂ B, allora A ∩ B = B.
v
v
v
f
f
f
v
v
v
f
f
f
84 | Dati gli insiemi:
A = {a , b , c , d}
B = {b , d , e , f}
rappresenta per elencazione e con un diagramma di Venn l’insieme A ∩ B.
85 | Dati gli insiemi:
A = {a , b , c , d , e}
B = {b , d , e , f , g}
rappresenta A ∩ B per elencazione e mediante un diagramma di Venn.
86 | Dati gli insiemi A e B rappresentati in figura, tratteggia la regione
A
B
relativa alla loro intersezione.
87 | Dati gli insiemi A = {f , u , c , h , i} e B = {c , h , i , m , o}, rappresenta graficamente gli insiemi A, B
ed A ∩ B.
32
Algebra|
| esercizi
Teoria
degli insiemi
88 | Dati gli insiemi A = {a , m , b , o} e B = {t , e , r , n , o}, determina l’insieme A ∩ B.
89 | Se A è l’insieme degli studenti di 18 anni e B è l’insieme delle persone munite di patente automobilistica, qual è l’insieme A ∩ B?
90 | Dati gli insiemi A = {t , r , e , n , o} e B = {p , a , r , t , e}, rappresenta per elencazione e mediante un
diagramma di Venn gli elementi dell’insieme A ∩ B.
91 | Se A è l’insieme dei numeri interi minori di 20 e B è l’insieme dei numeri dispari di due cifre, qual
è l’insieme A ∩ B?
92 | Dati gli insiemi A = {s , u , g , o} e B = {s , u , o , c , e , r , a}, rappresenta per elencazione e mediante
un diagramma di Venn gli elementi della loro intersezione.
93 | Dati gli insiemi A, B e C rappresentati in figura, tratteggia la regione relativa alle seguenti coppie
di insiemi:
A
A
B
C
A ∩ B
B
e
C
A ∩ C
94 | Completa la seguente tabella.
Insieme A
Insieme B
{rettangoli}
{parallelogrammi}
{lettere della parola casa}
{lettere della parola chiesa}
{do , re , mi}
{note musicali}
{1 , 2 , 3}
{4 , 5 , 6}
{2 , 4 , 6 , 8}
{8 , 10 , 12 , 14}
{città italiane}
{città francesi}
{sostanze combustibili}
{sostanze minerali}
Insieme A ∩ B
33
Algebra|
Teoria
degli insiemi
| esercizi
Per ciascuna delle seguenti coppie di insiemi A e B determina l’insieme A ∩ B,
rappresentandolo per elencazione oppure per caratteristica.
95 | A = {● , ■ , ▲ , ▲}
B = {● , ■ , ▲}
96 | A = {20 , 30 , 40}
B = {40 , 50 , 20}
97 | A = {x , y , z , w}
B = {a , x , b , w}
98 | A = {donne italiane}
B = {piemontesi}
99 | A = {uccelli}
B = {pipistrelli}
100 | A = {automobili rosse}
B = {automobili FIAT}
101 | A = {isole italiane}
B = {Eolie , Baleari}
102 | A = {animali carnivori}
B = {rettili}
103 | A = {note musicali}
B = {articoli determinativi}
104 | A = {pesci}
B = {animali rossi}
105 | Se A è l’insieme delle persone di 50 anni e B è l’insieme degli analfabeti, qual è l’insieme A ∩ B?
106 | Se A è l’insieme dei mammiferi e B è l’insieme degli animali che volano, indica almeno un elemento
dell’insieme A ∩ B.
107 | Dati gli insiemi A = {c , a , n , t , o} e B = {a , n , t , i , c , o}, verifica che A ∩ B = A.
108 | Dati gli insiemi A = {m , a , r , i , o} e B = {d , i , m , o , r , a}, verifica che A ∩ B = A.
109 | Se A è l’insieme dei laureati e B è l’insieme dei disoccupati, qual è l’insieme A ∩ B?
110 | Se A è l’insieme degli insegnanti e B è l’insieme dei laureati, qual è l’insieme A ∩ B?
111 | Dati gli insiemi A = {r , a , m , o} e B = {c , a , m , p , o}, rappresenta per elencazione e mediante
un diagramma di Venn gli elementi dell’insieme A ∩ B.
34
Algebra|
Teoria
degli insiemi
| esercizi
112 | Se A è l’insieme delle persone illuminate da un primo riflettore e B è l’insieme delle persone illumi-
nate da un secondo riflettore, qual è l’insieme A ∩ B? Può accadere che A ∩ B sia l’insieme vuoto?
Esamina le diverse possibilità.
113 | Dati gli insiemi A = {r , u , s , p , a , n , t , i} e B = {s , p , a , r , u , t , i}, verifica che A ∩ B = B.
114 | Dati gli insiemi A = {f , u , l , g , o , r} e B = {o , r , a , t , e}, rappresenta mediante un diagramma di
Venn gli insiemi A, B, ed A ∩ B.
115 | Se A è l’insieme delle persone nate prima del 1980 e B è l’insieme delle persone nate dopo il 1970,
qual è l’insieme A ∩ B?
116 | Dati gli insiemi A = {d , u , e} e B = {s , a , p , o , r , i}, verifica che A ∩ B è l’insieme vuoto.
117 | Dati gli insiemi A = {d , a , r , n , e} e B = {m , o , l , t , i}, verifica che A ∩ B = Ø.
118 | Dati gli insiemi A = {u , n , o} e B = {s , t , i , v , a , l , e}, determina l’insieme A ∩ B.
119 | Scrivi i risultati delle seguenti operazioni.
{d , u , e} ∩ {p , a , l , i}
{s , t , r , a , n , e} ∩ {v , o , c , i}
{s , a , l , e} ∩ {u , m , i , d , o}
{n , o , v , e} ∩ {u , s , i}
{o , g , n , i} ∩ {f , r , a , s , e}
{q , u , a , n , t , e} ∩ {n , o , c , i}
120 | Osserva il seguente diagramma di Venn e determina gli insiemi richiesti.
A
•5
C
•1
•3
•6
B
•2
• 10
•7
•4
•9
• 11
•8
A ∩ C =
{....................................................}
B ∩ C =
{....................................................}
A ∩ B =
{....................................................}
A ∩ B ∩ C =
{..........................................}
121 | Dati gli insiemi A = {a , b , c, d , e}, B = {a , b , c, d} e C = {a , b , c}, completa la seguente tabella.
∩
A
B
C
A
B
C
35
Algebra|
| esercizi
Teoria
degli insiemi
Negli esercizi seguenti determina l’insieme A ∩ B ∩ C, rappresentandolo per elencazione oppure per caratteristica.
122 | A = {a , b , c , d}
123 | A = {● , ● , ■ , ■}
B = {● , ■ , ▲ , ▲}
C = {● , ■ , ■ , ▲}
B = {a , c , d , f}
C = {b , c , d , f}
124 | A = {veicoli a motore}
125 | A = {corpi celesti}
B = {veicoli a due ruote}
C = {veicoli rossi}
126 | Osserva
A ∩ B,
B = {sistema solare}
C = {pianeti abitati}
il seguente diagramma di Venn e rappresenta per elencazione gli insiemi
B ∩ C, A ∩ C e A ∩ B ∩ C.
A
B
•b
•a
•e
•c
•d
•f
C
•g
•h
•i
•l
•m
•n
•p
•q
•o
•r
127 | Dati gli insiemi:
A = {lettere della parola OGGETTO}
B = {lettere della parola GATTO}
C = {lettere della parola RATTO}
rappresenta per elencazione gli insiemi A ∩ B, B ∩ C, A ∩ C
e
A ∩ B ∩ C.
128 | Metti al posto dei puntini le scritture corrispondenti alle parti colorate del diagramma di Venn.
A
B
C
A = {serpenti}
B = {animali velenosi}
C = {scorpioni}
= {
}
= {
}
129 | Dati gli insiemi:
A = {lettere della parola convolare}
B = {lettere della parola volare}
C = {lettere della parola volere}
rappresenta per elencazione gli insiemi A ∩ B, B ∩ C, A ∩ C
36
e
A ∩ B ∩ C.
Algebra|
| esercizi
Teoria
degli insiemi
130 | Osserva il seguente diagramma di Venn e determina gli insiemi richiesti.
A
C
B
•1
• 11
•6
D
•9
• 10
•7
• 13
• 12
•8
•2
•5
E
•4
•3
A ∩ B={
}
A ∩ C={
}
A ∩ D={
}
B ∩ C={
}
B ∩ D={
}
B ∩ E={
}
A ∩ B ∩ C={
} B ∩ C ∩ D={
131 | Dati gli insiemi
A = {n , a , v , i},
l’insieme A ∩ B ∩ C.
132 | Dati gli insiemi
B = {v , i , t , e}
A = {p , a , r , t , e},
l’insieme A ∩ B ∩ C.
} A ∩ B ∩ D={
e
}
C = {v , e , l , i}, determina
B = {s , a , r , t , e}
e
C = {m , a , r , t , e} determina
133 | Se A è l’insieme dei cinquantenni, B è l’insieme degli analfabeti e C è l’insieme dei disoccupati,
qual è l’insieme A ∩ B ∩ C?
134 | Dati gli insiemi
A = {a , r , o , m , i},
verifica che A ∩ B ∩ C = A.
135 | Dati gli insiemi
B = {d , i , m , o , r , a}
A = {t , e , l , a}, B = {l , a , g , o}
136 | Dati gli insiemi
A = {s , p , a , r , i},
che A ∩ B ∩ C = Ø.
e
e
C = {m , a , r , i , t , o},
C = {g , o , t , e}, verifica che A ∩ B ∩ C = Ø.
B = {r , i , v , e}
e
C = {v , e , s , p , a}, verifica
Unione di insiemi
137 | Vero o falso?
a.
b.
c.
d.
L’unione di due insiemi non vuoti è un insieme non vuoto.
L’unione di due insiemi non vuoti può essere uguale ad uno dei due insiemi.
Dati gli insiemi A = {città d’Italia} e B = {Genova , Torino}, risulta A ∪ B = A.
L’operazione di unione fra due insiemi gode della proprietà commutativa,
cioè A ∪ B = B ∪ A.
e. Dati gli insiemi A = {▲ , ■ , ●} e B = Ø, risulta A ∪ B = B.
v
v
v
v
f
f
f
f
v
f
37
Algebra|
Teoria
degli insiemi
| esercizi
v
v
f. Se a ∈ A ed a ∉ B, allora a ∈ A ∪ B.
g. Dati gli insiemi A = {c , a , p , i}, B = {p , i , t , o , n , e}, C = {c , a , n , e}
e D = {t , o , p , i}, risulta A ∪ B = C ∪ D.
f
f
138 | Dati gli insiemi
A = {0 , 2 , 4 , 6} e B = {1 , 3 , 5},
rappresenta per elencazione l’insieme A ∪ B.
139 | Dati gli insiemi
A = {f , a , t , i} e B = {t , i , n , a},
rappresenta per elencazione l’insieme A ∪ B.
140 | Dati gli insiemi
D = {v , e , n , a};
141 | Dati gli insiemi
D = {e , s , t , r , o};
A = {s , p , i , e}, B = {p , i , e , g , a}; C = {n , o , v , e},
E = {l , a , t , o} ed F = {t , o , r , i},
rappresenta per elencazione l’insieme A ∪ B, C ∪ D ed E ∪ F.
A = {r , o , m , a}, B = {m , a , n , i}, C = {c , a , n , e},
E = {s , p , a , r , i} ed F = {r , i , t , o},
rappresenta per elencazione gli insiemi A ∪ B, C ∪ D ed E ∪ F.
142 | Completa la seguente tabella.
Insieme A
Insieme B
{lettere della parola VIOLE}
{lettere della parola LENZA}
{do , re , mi}
{fa , sol , la , si}
{il , lo , la}
{i , gli , le}
{lettere della parola PENSA}
{lettere della parola TORI}
{Pacifico , Indiano}
{oceani}
{lettere della parola AUTO}
{lettere della parola AIUTO}
143 | Dati gli insiemi
A = {m , o , l , i}, B = {l , i , r , e}, C = {f , i , l , m},
per elencazione gli elementi degli insiemi A ∪ B e C ∪ D.
Insieme A ∪ B
D = {m , a , r , e}, rappresenta
144 | Dati gli insiemi
A = {v , o , l , g , a}, B = {g , a , r , e}, C = {r , i , p , o , s , a},
D = {p , o , s , a , t , e}, E = {s , u , r , g , e , l , a}, F = {g , e , l , a , t , i};
G = {s , p , r , e , c , a} ed H = {r , e , c , a , t , i},
determina l’unione e l’intersezione degli insiemi A e B, C e D, E ed F, H e G.
145 | Considera gli insiemi
A = {s , c , u , d , i}, B = {e , r , o}; C = {d , a , m , e},
D = {r , i , n , o} e determina l’unione e l’intersezione degli insiemi A e B, C e D.
38
Algebra|
Teoria
degli insiemi
| esercizi
146 | Dati gli insiemi
A = {1 , 2}, B = {3 , 4}, e C = {5 , 6},
rappresenta per elencazione e mediante un diagramma di Venn l’insieme A ∪ B ∪ C.
147 | Dati gli insiemi
A = {f , r , a}, B = {u}, C = {d , o , l , e , n , t , i}; D = {f , u , r , t , o},
E = {d , i}, F = {l , e , n , a}; G = {d , u , r , i}, H = {n , e , l} e K = {f , a , t , o},
verifica che: A ∪ B ∪ C = D ∪ E ∪ F = G ∪ H ∪ K.
148 | Considera gli insiemi
A = {r , e , g , a , l , o}
e verifica che A ∪ B = B.
e
B = {v , o , l , g , a , r , e}
149 | Esamina gli insiemi A, B, C, D, E ed F e tratteggia le zone relative agli insiemi A ∪ B, C ∪ D, E ∪ F.
A
B
C
D
E
F
150 | Dati gli insiemi
e
C = {m , u , s , i , c , a , n , t , e},
151 | Dati gli insiemi
e
C = {a , r , g , o , m , e , n , t , i},
A = {c , a , n , t , i}, B = {m , u , s , e}
verifica che A ∪ B = C e che A ∩ B = Ø.
A = {g , a , r , e}, B = {m , o , n , t , i}
verifica che A ∪ B = C e che A ∩ B = Ø.
152 | Dati gli insiemi
A = {a , b , c, d , e},
B = {a , b , c, d}
e
C = {a , b , c}, completa la seguente
tabella.
∪
A
B
C
A
B
C
153 | Considera gli insiemi
e
A = {i , n}, B = {t , r , e}, C = {s , a , l , e}
D = {s , t , e , r , l , i , n , a} e verifica che A ∪ B ∪ C = D.
39
Algebra|
| esercizi
Teoria
degli insiemi
154 | Esamina il seguente diagramma di Venn e rappresenta per elencazione gli insiemi
A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C e A ∪ B ∪ C.
A
B
C
•d
•g
•m
•h
•i
•l
•n
•e
•f
155 | Dati gli insiemi
A = {p , i , a , c , e}, B = {s , t , o , r , i , a}, C = {p , e , r},
D = {c , a , s , t , o , r , i}, E = {p , e , s , c , a} e F = {t , o , r , i},
verifica che A ∪ B = C ∪ D = E ∪ F.
156 | Dati gli insiemi:
A = {lettere della parola SOLE}
B = {lettere della parola SILA}
C = {lettere della parola SERA}
determina A ∪ B , A ∪ C , B ∪ C , A ∪ B ∪ C , A ∩ B e A ∩ B ∩ C.
157 | Considera gli insiemi:
A = {Napoli , Varese , Venezia , Nuoro , Vercelli , Novara , Viterbo}
B = {Verona , Novara , Napoli , Vicenza , Nuoro}
Stabilisci quale dei seguenti diagrammi li rappresenta correttamente.
A
A
158 | Esamina gli insiemi
e
40
B
B
A
B
B
A
A = {v , i , n , o}, B = {g , e , l , a , t , o}
C = {v , e , n , t , a , g , l , i , o} e verifica che A ∪ B = C.
Algebra|
| esercizi
Teoria
degli insiemi
159 | Dati gli insiemi
A = {t , o , n , i}, B = {s , p , e , r , a}, C = {t , r , e},
D = {s , a , p , o , n , i}, E = {i , n , s , p , e , r , a , t , o}, F = {s , i}, G = {e , n , t , r , a}
ed H = {p , o , i}, verifica che:
A∪B=C∪D=F∪G∪H=E
160 | Considera gli insiemi
e
A = {s , g , o , n , f , i , a , r , e}, B = {o , g , n , i}
C = {s , f , e , r , a} e verifica che A ∪ B ∪ C = A. È vero che A ∩ B ∩ C = Ø?
sì
no
Giustifica la risposta.
161 | Dati gli insiemi
A = {l , e , g , a , r , t , i},
verifica che A ∪ B ∪ C = C.
B = {s , u , i}
e
C = {s , u , r , g , e , l , a , t , i},
162 | Considera i seguenti insiemi:
A = {lettere della parola BISONTE}
B = {lettere della parola BISCOTTO}
C = {lettere della parola BARILOTTO}
Stabilisci quale dei diagrammi (a pagina seguente) li rappresenta correttamente.
Determina inoltre A ∩ (B ∪ C), dandone una rappresentazione tabulare e con un diagramma di Venn.
A
B
B
A
C
C
A
163 | Dati gli insiemi
B
A
C
A = {u , r , t , a}, B = {g , l , i}
che A ∪ B ∪ C = {f , u , l , g , o , r , a , t , i}.
e
B
C
C = {u , f , o}, verifica
164 | Dati gli insiemi
e
A = {s , t , r , a , n , o}, B = {m , i , s , t , e , r , o}
C = {t , r , a , s , i, m , e , n , o}, verifica che A ∪ B = C.
165 | Dati gli insiemi
e
A = {a , r , g , o}, B = {m , e , n , t , i},
D = {g , e , n , t , i}, verifica che A ∪ B = C ∪ D.
C = {r , o , m , a , n , e}
41
Algebra|
| esercizi
Teoria
degli insiemi
166 | Dati gli insiemi
A = {c , a , p , i}, B = {p , i , t , o , n , e},
e D = {t , o , p , i}, verifica che A ∪ B = C ∪ D.
C = {c , a , n , e}
167 | Dati gli insiemi
A = {o , s , c , u , r , a}, B = {m , e , n , t , i},
e D = {c , u , r , a , n , o}, verifica che A ∪ B = C ∪ D.
C = {m , e , s , t , i}
168 | Dati gli insiemi
e
A = {m , i , l , a , n , o}, B = {g , e , s , u}, C = {l , e , g , u , m , i}
D = {l , u , m , i , n , o , s , a}, verifica che A ∪ B = C ∪ D.
169 | Dati gli insiemi
ed
A = {l , o}, B = {d , i , c , e}, C = {a}, D = {t , e}
E = {d , e , l , i , c , a , t , o}, verifica che A ∪ B ∪ C ∪ D = E.
170 | Dati gli insiemi
e
A = {p , o , n , t , i}, B = {a}, C = {m , a , r , e}
D = {r , a , p , i , m , e , n , t , o}, verifica che A ∪ B ∪ C = D.
171 | Dati gli insiemi
A = {u , n , i , r , e},
verifica che A ∪ B = C.
B = {a , s , t , i , o},
C = {u , s , t , i , o , n , a , r , e},
172 | Dati gli insiemi
e
A = {t , a , l , ej, B = {i , m , p , e , r , o}
C = {t , e , m , p , o , r , a , l , i}, verifica che A ∪ B = C.
173 | Dati gli insiemi
e
A = {l , e , g , a}, B = {i}, C = {c , o , s , t , i}
D = {g , e , s , t , i , c , o , l , a}, verifica che A ∪ B ∪ C = D.
174 | Dati gli insiemi
A = {u , s , a , n , o}, B = {r , e , t , i}
verifica che A ∪ B = C e che A ∩ B = Ø.
e
C = {u , s , t , i , o , n , a , r , e},
175 | Dati gli insiemi
e
A = {m , i , s , t , o}, B = {r , a , n , e}
C = {t , r , a , s , i , m , e , n , o}, verifica che A ∪ B = C e che A ∩ B = Ø.
176 | Dati gli insiemi
A = {m , o , l , t , e},
verifica che A ∪ B = C ∪ D.
B = {a , p , i},
C = {a , l},
177 | Dati gli insiemi
A = {s , a , l , i , t , e}, B = {u , n}, C = {p , o},
E = {s , a , p , u , t , o , n , e} verifica che A ∪ B ∪ C = D ∪ E.
178 | Dati gli insiemi
calcola:
A∪B
A∪C
B∪C
42
A = {1 , 2 , 3 , 4},
B = {2 , 3 , 4 , 5 , 6},
D = {t , e , m , p , i , o}
D = {i, l},
C = {0 , 2 , 5 , 8}
Algebra|
Teoria
degli insiemi
| esercizi
A∩B
A∩C
B∩C
A∪B∪C
A∩B∩C
(A ∩ B) ∪ C
(A ∪ B) ∩ C
(A ∪ B) ∩ (B ∪ C)
(A ∪ B) ∪ (B ∪ C)
Differenza tra due insiemi.
Insieme complementare
179 | Vero o falso?
a. Dati gli insiemi A = {4 , 6 , 8 , 10} e B = {2 , 3 , 4 , 5 , 6} risulta
A — B = {8 , 10}.
b. Dati gli insiemi A = {n , a , p , o , l , i} e B = {t , u , l , i , p , a, n , o}
risulta A — B = Ø.
c. Dati due insiemi A e B, si ha sempre A — B = B — A.
d. Se A ⊂ B, allora B — A è il complementare di A rispetto a B.
v
f
v
v
v
f
f
f
180 | Completa la seguente tabella.
Insieme A
{2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7}
Insieme B
Insieme A – B
{4 , 5 , 7 , 8 , 9}
{lettere della parola BOTTONE} {lettere della parola BOTTA}
{lettere della parola MARE}
{lettere della parola REMA}
{lettere della parola AMORE}
{lettere della parola MARE}
{a , b , c}
{Ø}
{m , n , p}
{q , r , s}
181 | Dati gli insiemi:
A = {città d’Italia}
rappresenta per caratteristica A — B.
B = {città della Calabria}
43
Algebra|
Teoria
degli insiemi
| esercizi
182 | Considera gli insiemi:
A = {penne , lapis}
B = {penne con inchiostro rosso}
Verifica con un diagramma di Venn che A — B ≠ B — A.
183 | Indica sul diagramma a lato:
A
B
A ∩ B , A ∪ B , A — B.
184 | Dati gli insiemi:
A = {1 , 3 , 5 , 7}
B = {3 , 6 , 9 , 12}
determina A ∩ B , A ∪ B e A — B. Verifica inoltre che A — B = (A ∪ B) — B.
Per ciascuna delle seguenti coppie di insiemi A e B determina A — B e B — A.
185 | A = {note musicali}
B = {mi , fa , sol , si}
186 | A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}
B = {4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9}
187 | A = {a , b , c , d , e}
B = {f , g , h , i}
188 | Dati gli insiemi:
A = {4 , 5 , 6 , 7}
B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}
determina A — B , B — A , A ∪ B e A ∩ B. Verifica che (A — B) ∩ (B — A) = Ø.
189 | Considera gli insiemi:
A = {automobili}
Qual è il complementare di A rispetto a B?
B = {veicoli a motore}
190 | Esamina l’insieme:
A = {esseri umani} costituito dall’unione dei seguenti insiemi disgiunti:
B = {uomini adulti}
C = {donne adulte}
Determina A — B , A — C , B — C e A — D.
D = {minorenni}
Partizione di un insieme
191 | Dato l’insieme
A = {mesi dell’anno}, determina per elencazione una partizione di A.
192 | Dato l’insieme
A = {Roma , Viterbo , Latina , Rieti , Frosinone}, esamina i suoi sottoinsiemi:
B = {Roma , Viterbo , Latina}
D = {Rieti , Frosinone , Viterbo}
44
C = {Latina}
Algebra|
Teoria
degli insiemi
| esercizi
I tre sottoinsiemi costituiscono una partizione dell’insieme A?
Giustifica la risposta.
193 | Dato l’insieme
sì
no
A = {lettere della parola MATEMATICA}, esamina i suoi sottoinsiemi:
B = {A , E , I}
C = {C , M , T}
I due sottoinsiemi costituiscono una partizione dell’insieme A?
Giustifica la risposta.
sì
no
194 | Dati gli insiemi
A = {s , t , a , r , e , m , o}, B = {i , n} e C = {m , o , n , a , s , t , e , r , i}, verifica
che A ∪ B ∪ C = C e che A e B costituiscono una partizione di C.
195 | Considera l’insieme A i cui elementi sono gli alunni della tua classe e determina almeno due suoi
sottoinsiemi in modo che costituiscano una partizione di A.
196 | Scegli un insieme (≠ Ø) e determina una sua partizione.
197 | Calcola il numero dei sottoinsiemi (≠ Ø) in cui si può ripartire l’insieme A = {1 , 2 , 3}.
198 | Dato l’insieme
A = {lettere della parola IPOTENUSA}, esamina i suoi sottoinsiemi:
B = {U , N , O}
C = {T , I}
I tre sottoinsiemi costituiscono una partizione dell’insieme A?
Giustifica la risposta.
199 | Dato l’insieme
D = {P , E , N , S , A}
sì
no
A = {pianeti del sistema solare}, esamina i suoi sottoinsiemi:
B = {Terra , Marte}
C = {Mercurio , Venere}
D = {Giove , Saturno , Urano}
E = {Nettuno , Plutone}
I quattro sottoinsiemi costituiscono una partizione dell’insieme A?
Giustifica la risposta.
sì
no
200 | Fornisci tre esempi di diverse partizioni dell’insieme A = {note musicali}.
201 | Fornisci tre esempi di diverse partizioni del seguente insieme:
A = {Palermo , Trapani , Enna , Messina , Catania , Agrigento , Ragusa , Caltanissetta , Siracusa}.
202 | Considera l’insieme
A = {pianeti del sistema solare} ed i seguenti sottoinsiemi:
B = {Mercurio , Venere , Terra , Marte}
C = {Terra , Giove}
D = {Marte , Saturno , Urano , Nettuno}
E = {Plutone , Giove}
Individua quali tra gli insiemi:
B,C,D,E,A ∩ B,A ∩ C,B ∩ E,C — B,A — E
costituiscono una partizione di A.
45
Algebra|
Relazioni
prerequisiti
• Possedere semplici conoscenze sugli insiemi numerici e sulla geometria del piano.
• Aver acquisito gli elementi fondamentali della teoria degli insiemi.
obiettivi
sapere
saper fare
• Introdurre il concetto di relazione ed evidenziare la
sua vasta portata.
• Pervenire ai concetti di corrispondenza univoca e
biunivoca tra insiemi.
• Conoscere e comprendere le proprietà di una relazione.
• Individuare le relazioni d’ordine e di equivalenza.
• Acquisire il concetto di funzione.
• Interpretare e rappresentare graficamente le relazioni tra insiemi diversi e tra elementi di uno stesso
insieme.
• Distinguere tra corrispondenza univoca e corrispondenza biunivoca.
• Riconoscere ed analizzare le relazioni d’ordine e di
equivalenza definite in un insieme.
• Calcolare i valori di una funzione matematica.
Prodotto cartesiano
Consideriamo i due insiemi (figura 1):
A = {a, b} B = {m, n, p}
e scriviamo tutte le possibili coppie formate da un elemento di A e da uno di B,
però in modo tale che il primo elemento di ogni coppia sia un elemento di A (si
seguano le frecce nella figura 1):
(a , m) (a , n) (a , p) (b , m) (b , n) (b , p)
Tali coppie si dicono or­dinate, proprio perché gli elementi che le costituiscono
sono scritti se­condo un certo ordine (prima un elemento di A e poi uno di B).
Le coppie ordinate così ottenute costituiscono un insieme P, al quale si dà il nome
di prodotto cartesiano degli insiemi A e B.
A
(a,m)
a
b
Fig.1 |
(a,n)
(a
m
(b
,m
(b,n
,p
)
B
)
n
)
(b,p)
p
Il prodotto cartesiano si scrive nel modo seguente:
P=A×B
e si legge «A moltiplicato per B».
In generale:
Il prodotto cartesiano A × B è l’insieme formato da tutte le coppie ordinate
(a , b), con a ∈ A e b ∈ B.
p
n
m
Fig.2 |
2
(a,p)
(b,p)
(a,n)
(b,n)
(a,m)
(b,m)
a
b
Dalla definizione deriva, evidentemente, che il prodotto
cartesiano non gode della proprieta commutativa, cioè risulta:
A×B≠B×A
Se i due insiemi A e B sono finiti, come nel nostro caso, si
può rappresentare graficamente il prodotto cartesiano nel modo
illustrato in figura 2.
Si tratta di una rete a maglie rettangolari, ad ogni nodo della
quale corrisponde una coppia.
Una rappresentazione molto chiara del prodotto cartesiano è
anche quella illustrata nella figura 3, sempre riferita agli insiemi A
e B, ottenuta nel modo seguente: da un qualunque punto Q si
Algebra|
Relazioni
fanno partire tanti segmenti quanti sono gli elementi dell’insieme A e da ciascuna
estremità di essi se ne fanno partire tanti altri quanti sono gli elementi dell’insieme B.
Le rappresentazioni grafiche di questo tipo vengono dette diagrammi ad
albero, perché ottenute mediante successive ramificazioni, proprio come negli
alberi.
Come ben si vede dalla figura 3, è facile individuare tutte le coppie ordinate,
l’insieme delle quali è il prodotto cartesiano A × B.
a
(a
,m
(a,n)
(a
,p
r
m
)
n
b
Fig.3 |
Diagramma ad albero del
prodotto cartesiano A × B.
,p
z
x
y
z
x
r
m
y
z
(b,n)
(b
x
y
Q
Q
(b
)
s
p
,m
r,x
a
)
)
(a,
b
n
x
Fig.4 |
Diagramma ad albero
del prodotto cartesiano A × B × C.
)
p
s
(b,
s,z
y
)
z
Con quest’ultimo metodo si può anche rappresentare il prodotto cartesiano di
più di due insiemi; per esempio (figura 4):
A = { a, b } B = { r, s } C = { x, y, z }
A×B×C=
{
(a , r , x)
(a , s , y)
(b , r , z)
,
,
,
(a , r , y)
(a , s , z)
(b , s , x)
,
,
,
(a , r , z)
(b , r , x)
(b , s , y)
,
,
,
(a , s , x) ,
(b , r , y) ,
(b , s , z) .
}
Un’altra efficace rappresentazione del prodotto cartesiano si ottiene con la
cosiddetta tabella a doppia entrata.
Se consideriamo gli insiemi:
A = { a, b } e B = { r, s }
possiamo costruire la seguente tabella:
A
a
b
r
{a,r}
{b,r}
s
{a,s}
{b,s}
B
3
In essa sono riportati in alto, orizzontali, gli elementi del primo insieme e a sinistra,
verticali, gli elementi del secondo insieme. Nelle caselle formate dall’incontro delle
righe con le colonne, si scrivono gli elementi delle coppie ordinate.
Evidentemente nulla cambia quando A e B sono lo stesso insieme. Così, ad
esempio, il prodotto dell’insieme A = { a, b } per se stesso è l’insieme:
A × A = {(a , a) , (a , b) , (b , a) , (b , b)}
Spesso, anziché scrivere A × A, si preferisce scrivere semplicemente A2.
Relazioni tra insiemi
Dati due insiemi non vuoti X ed Y, ci proponiamo di abbinare gli elementi di X
con quelli di Y, associandoli in base ad un criterio che sarà fissato caso per caso.
Dati ad esempio gli insiemi:
X = {2, 4, 6, 8} Y = {1, 3, 5}
X
1
2
4
8
stabiliamo di abbinare un generico elemento x del primo insieme con
un elemento y del secondo insieme solo se la loro somma è 7.
Le coppie che soddisfano a questa condizione sono:
Y
3
(2 , 5) (4 , 3) (6 , 1)
L’uso dei diagrammi a frecce (figura 5) permette di rappresentare
efficacemente i risultati ottenuti.
Il verso delle frecce mette in evidenza che in ogni coppia il primo
elemento appartiene ad X ed il secondo a Y, ossia che: X è l’insieme
di partenza ed Y è l’insieme di arrivo.
5
6
Fig.5 |
Ogni qual volta si fissa una legge che permette di associare gli elementi di un
insieme X agli elementi di un insieme Y, si dice che tra i due insiemi X e Y è
stata definita una relazione ℜ.
y
A
5
4
B
3
2
C
1
1
O
Fig.6 |
4
2
3
4
5
6
x
La relazione x + y = 7 stabilita tra gli insiemi X ed Y assegnati
all’inizio, può essere rappresen­tata anche sul piano cartesiamo
(figura 6).
Per rappresentare la coppia (2, 5), partiamo dal punto 2 della
semiretta x (quella cioè che corrisponde alla prima componente
della coppia) e da questo punto conduciamo la parallela alla
semiretta y; analogamente, dal punto 5 della semiretta y
conduciamo la parallela alla semiretta x.
Il punto A nel quale si intersecano queste due parallele si
chiama immagine della coppia (2, 5).
Allo stesso modo si rappresenta la coppia (4, 3). Precisamente,
dal punto 4 della semiretta x conduciamo la parallela ad y, e dal
punto 3 della semiretta y conduciamo la parallela ad x.
Algebra|
Relazioni
Il punto d’intersezione B di queste due parallele è l’immagine della coppia (4, 3).
Ognuno riconosce che il punto C è l’immagine della coppia (6, 1) e che il grafico
della relazione inizialmente posta tra gli insiemi X ed Y è rappresentata dai tre punti
A, B, C.
Una rappresentazione grafica di questo tipo si chiama rappresentazione
cartesiana della relazione.
L’esempio proposto mostra che l’elemento 8 del primo insieme non è in
relazione con alcun elemento del secondo insieme.
Come secondo esempio consideriamo gli insiemi
X = {do, re, ape, pane} Y = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}
e stabiliamo di far corrispondere a ciascuna parola del primo insieme il numero
delle lettere che la compongono.
Le coppie individuate dalla relazione ℜ sono:
(do, 2) (re, 2) (ape, 3) (pane, 4)
X
Y
do
1
re
2
ape
pane
3
4
5
Possiamo notare che questa volta la relazione ℜ non ricopre
interamente l’insieme Y; infatti gli elementi 1 e 5 non sono in relazione
con alcun elemento di X. Inoltre il diagramma a frecce della figura 7
fa anche chiaramente vedere che ai primi due elementi dell’insieme
X corrisponde lo stesso elemento dell’insieme Y.
In generale una relazione si può anche rappresentare mediante
una tabella a doppia en­trata, nella quale il segno X si trova
all’incrocio tra i due elementi che sono in relazione.
Nell’ultimo caso esaminato avremo dunque:
Fig.7 |
ℜ
do
re
X
X
ape
pane
1
2
3
X
4
X
5
La definizione di relazione tra due insiemi non esclude la possibilità che A e B
siano lo stesso insieme.
Così ad esempio la relazione ℜ: «x è la metà di y» nell’insieme A = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
è verificata dalle coppie:
(1 , 2) (2 , 4) (3 , 6) (4 , 8)
5
Questa relazione nell’insieme A può essere rappresentata con un diagramma
a frecce o con un diagramma cartesiano; ma in questo caso possiamo limitarci
a rappresentare una sola volta l’insieme A (figura 8), e collegare con una freccia
quegli elementi x che sono in relazione con y.
A
2
1
8
3
6
Così la freccia che va da 1 a 2 segnala che 1 è in relazione con 2, ossia che
1 è la metà di 2; la freccia che va da 2 a 4 segnala che 2 è in relazione con 4; e
così via.
4
La relativa tabella a doppia entrata è:
Fig.8 |
ℜ
1
2
3
4
6
8
1
2
X
3
4
X
6
X
8
X
Corrispondenza univoca
Sono dati gli insiemi X e Y:
X = {ramo, soste, coste, fretta} Y = {amo, do, oste, ape, retta}
e la relazione: «x genera y per soppressione d’iniziale», cioè la relazione che
associa ad ogni parola di X quella che si forma sopprimendone la prima lettera.
Le coppie individuate dalla relazione sono:
X
Y
ramo
soste
coste
fretta
Fig.9 |
6
amo
do
oste
ape
retta
(ramo, amo) (soste, oste) (coste, oste) (fretta, retta)
Il diagramma a frecce della figura 9 mo­stra che ogni elemento
del primo insieme ha il suo corrispondente nel secondo insieme;
più precisamente possiamo notare che: ad ogni elemento di X
corrisponde un unico elemento di Y.
Ciò è confermato dal fatto che le coppie ottenute sono tante quanti
sono gli elementi del primo inisieme.
Naturalmente anche le frecce disegnate so­no tante quanti sono gli
elementi di X; infatti da ogni elemento di X parte una sola freccia.
Algebra|
Relazioni
Esistono invece elementi di Y nei quali arrivano due o più frecce, ed altri nei
quali non ne arriva alcuna.
Ogni relazione ℜ tra due insiemi X ed Y che fa corrispondere a ciascun elemento del primo insieme un solo elemento del secondo insieme prende il nome
di corrispondenza univoca tra X ed Y.
Ad esempio, dati gli insiemi X ed Y:
X
3
0
15
1
16
24
Y
30
X = {3, 15, 16, 24, 30} Y = {0, 1, 2, 3, 4}
La relazione ℜ che ad ogni x associa il numero delle sue decine, è una
corrispondenza univoca. Infatti, come mostra il diagramma a frecce della figura
10, ad ogni elemento del primo insieme corrisponde un solo elemento del secondo
insieme.
Per contro, dati gli insiemi X ed Y:
2
3
4
X = {amare, e, tremare} Y = {mare, remare}
Fig.10 |
la relazione: «x genera y per soppressione d’iniziale», non è una corrispondenza
univoca in quanto all’elemento «e» del primo insieme non corrisponde alcun
elemento dell’insieme Y.
Corrispondenza biunivoca
Sono dati gli insiemi X ed Y:
X = {coppia, retta, tono, belato}
Y = {doppia, fetta, cono, gelato}
e la relazione ℜ che associa due parole nelle quali muta solo la lettera iniziale.
Y
X
coppia
retta
tono
belato
Fig.11 |
doppia
fetta
cono
gelato
Le coppie individuate dalla relazione ℜ sono rappresentate dal diagramma
a frecce illustrato in figura 11.
Dall’esame di questo diagramma scopriamo non solo che la corrispondenza
è univoca nel verso che procede da X a Y, ma scopriamo anche che
ciascun elemento di Y proviene da un unico elemento di X. In altre parole:
la corrispondenza assegnata è univoca nel verso che procede da X a Y ed
anche nel verso che procede da Y a X.
Proprio perché univoca nei due versi, una corrispondenza siffatta è detta
corrispondenza biunivoca.
Come secondo esempio consideriamo gli insiemi X ed Y:
X = {2, 4, 6, 8} Y = {1, 2, 3, 4}
e la relazione ℜ: «x è il doppio di y», ossia la relazione che ad ogni numero del
primo insieme associa la sua metà.
7
Questa corrispondenza è biunivoca perché ad ogni numero del primo
insieme corrisponde un solo numero (la sua metà) del secondo insieme, e
viceversa a ciascun numero del secondo insieme corrisponde un solo numero
(il suo doppio) del primo insieme.
Cioè, è univoca la relazione: «x è il doppio di y» e per di più è univoca anche
la relazione: «y è la metà di x».
Il grafico della relazione ℜ è rappresentato dai quattro punti A, B, C, D segnati
in figura 12.
y
D
4
C
3
B
2
A
1
Fig.12 |
O
1
2
3
4
5
6
7
8
x
Dagli esempi riportati si ricava che:
Una corrispondenza tra due insiemi X ed Y si dice biunivoca quando a ciascun
elemento del primo insieme corriponde un unico elemento del secondo, e viceversa a ciascun elemento del secondo insieme corrisponde un unico elemento
del primo.
Appare chiaro che se X ed Y sono in corrispondenza biunivoca, il primo
insieme possiede tanti elementi quanti ne possiede il secondo; ed inversamente,
due insiemi che hanno lo stesso numero di elementi possono senz’altro essere
posti in corrispondenza biunivoca.
Come ulteriore esempio consideriamo gli insiemi:
B
A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}
4
3
2
1
Fig.13 |
2
3
A
e la relazione ℜ: «a è l’antecedente di b». Si riconosce subito che per
effetto della ℜ ogni elemento di A ha una sola immagine in B e che ogni
elemento di B ha una sola immagine in A. Dunque la corrispondenza tra A
e B istituita dalla relazione ℜ è una corrispondenza biunivoca.
La figura 13 mostra che ogni orizzontale ed ogni verticale contengono
un solo punto in rosso ciascuna. La proprietà descritta da questa figura
è una proprietà caratteristica della rappresentazione cartesiana di una
corrispondenza biunivoca.
Due insiemi tra i quali è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca vengono definiti equipotenti.
8
Algebra|
Relazioni
Ecco altri esempi di corrispondenza biunivoca e quindi di insiemi equipotenti
(fi­gu­re 14 e 15).
A
B
a•
E
• Anna
e•
• Emilio
i•
• Ivano
o•
• Oscar
u•
• Ugo
F
Milano •
Torino •
• Piemonte
Firenze •
• Toscana
• Lazio
Roma •
• Campania
Napoli •
• Puglia
Bari •
Fig.14 |
• Lombardia
Fig.15 |
Proprietà delle relazioni
Le relazioni definite in un insieme possono godere di alcune proprietà.
Servendoci di esempi, esamineremo le più importanti.
Proprietà riflessiva
Consideriamo l’insieme:
A = {1, 2, 3, 4}
e la relazione ℜ: «è divisore di». Le coppie individuate dalla relazione ℜ sono:
(1 , 1) (1 , 2) (1 , 3) (1 , 4) (2 , 2) (2 , 4) (3 , 3) (4 , 4)
e le rappresentazioni mediante diagramma a frecce e grafico cartesiano sono
le se­guenti:
A
A
4
1
2
3
2
3
4
1
0
1
2
3
4
A
9
Notiamo subito che ogni elemento di A è in relazione con se stesso, ossia
la relazione ℜ così definita fa corrispondere ad ogni elemento di A l’elemento
stesso.
Questo fatto si esprime dicendo che la relazione ℜ è riflessiva.
Una relazione ℜ definita in un insieme A è riflessiva se ogni elemento appartenente ad A è in relazione con se stesso, quando cioè:
∀x ∈ A , xℜx.
In una rappresentazione cartesiana di una qualsiasi relazione riflessiva i punti
che verificano la relazione sono sempre disposti sulla diagonale del prodotto
cartesiano A × A. In altri termini, si può dire che ℜ è riflessiva se la diagonale di
A × A è inclusa in ℜ.
Se la rappresentazione viene fatta mediante un diagramma a frecce, allora in
ogni punto c’è il cosiddetto cappio, cioè da ogni elemento di A parte una freccia
che ritorna sull’elemento.
E S E M P I O 1
In una squadra di calcio la relazione ℜ: «ricopre lo stesso ruolo di» è riflessiva
poiché ciascun calciatore ricopre lo stesso ruolo di se stesso.
E S E M P I O 2
In un qualunque insieme numerico la relazione di uguaglianza è riflessiva:
infatti ogni numero è uguale a se stesso.
E S E M P I O 3
Nell’insieme N dei numeri naturali la relazione ℜ: «x è formato dalle stesse cifre
di y» è banalmente riflessiva: ogni numero è formato dalle sue stesse cifre.
Proprietà simmetrica
È dato l’insieme:
A = {1, 2, 3, 4}
e la relazione ℜ: «entrambi gli elementi della coppia devono essere pari». Le
coppie individuate dalla relazione ℜ sono:
(2 , 2) (2 , 4) (4 , 2) (4 , 4)
10
Algebra|
Relazioni
Le relative rappresentazioni mediante diagramma a frecce e grafico cartesiano
sono le seguenti:
A
A
1
2
4
3
2
3
4
1
0
1
2
3
4
A
Osserviamo che se un elemento di A è in relazione con un altro elemento,
anche quest’ulimo è in relazione con il primo. Infatti:
2 ℜ 4 ⇒ 4 ℜ 2
Diciamo allora che la relazione ℜ è simmetrica.
Una relazione ℜ definita in un insieme A gode della proprietà simmetrica se,
quando un elemento x è in relazione con y, anche y è in relazione con x.
Si ha cioè:
∀x, y ∈ A se xℜy , allora yℜx.
Nella rappresentazione cartesiana di una qualsiasi relazione simmetrica i punti
so­no sempre disposti simmetricamente rispetto alla diagonale del prodotto
cartesiano A × A. Se la rappresentazione viene fatta mediante un diagramma a
frecce, allora as­sieme alla freccia che va da x a y esiste sempre anche la freccia
che da y ritorna ad x.
E S E M P I O 1
Nell’insieme degli alunni di una classe consideriamo la relazione ℜ: «ha lo
stesso peso di». Tale relazione gode della proprietà simmetrica, infatti se Luca
pesa come Marco, anche Marco pesa come Luca.
E S E M P I O 2
Nell’insieme Z la relazione ℜ: «è l’opposto di» è simmetrica poiché se x
è l’opposto di — x, — x è l’opposto di x.
E S E M P I O 3
Nell’insieme dei poligoni del piano la relazione ℜ: «ha lo stesso perimetro di» è simmetrica. Infatti se un certo poligono P 1 ha lo stesso
11
perimetro di un poligono P2, anche P2 ha, evidentemente, lo stesso perimetro
di P1.
E S E M P I O 4
Nell’insieme delle rette di un piano la relazione ℜ: «è perpendicolare a» è
simmetrica. Infatti se la retta r è perpendicolare alla retta s, anche la retta s
è perpendicolare a r. Osserviamo che tale relazione non è riflessiva: una retta
non può essere perpendicolare a se stessa.
Proprietà transitiva
Consideriamo la relazione:
ℜ: «ha la stessa forma di»
definita nell’insieme A i cui elementi sono le figure geometriche qui rappresentate:
A
a
b
d
h
e
i
c
f
g
Notiamo subito che a ha la stessa forma di b e b ha la stessa forma di c,
dunque anche a ha la stessa forma di c. Graficamente:
12
Algebra|
Relazioni
A
a
b
d
h
e
f
c
i
g
Questa proprietà è detta transitiva.
Una relazione ℜ definita in un insieme A gode della proprietà transitiva
quando, considerati tre elementi a, b e c appartenenti ad A, se a è in relazione
con b e b è in relazione con c, allora anche a è in relazione con c.
In simboli: a , b , c ∈ A se aℜb e bℜc , allora aℜc.
In una rappresentazione cartesiana di una relazione transitiva le coppie devono
occupare i vertici consecutivi di metà quadrato (vedi figura 16). Infatti se la coppia
(1 , 2) soddisfa la relazione ℜ e così pure la coppia (2 , 5), allora la proprietà
transitiva vuole che esista nella rappresentazione anche la coppia (1 , 5).
La figura 17 offre una rappresentazione mediante un diagramma a frecce della
proprietà transitiva.
A
c
6
5
b
2
1
1
Fig.16 |
a
2
5
6
A
Fig.17 |
13
E S E M P I O 1
Nell’insieme degli alunni di una classe consideriamo la relazione ℜ: «ha lo
stesso colore di capelli di». Questa relazione è chiaramente transitiva. Infatti
se Maria ha lo stesso colore di capelli di Lucia e Lucia ha lo stesso colore dei
capelli di Erminia, anche Maria ha lo stesso colore di capelli di Erminia.
E S E M P I O 2
Nell’insieme R dei numeri reali la re­lazione:
«è maggiore di» è transitiva.
Infatti se x, y e z sono tre nu­meri reali
e x > y e y > z, allora è pure x > z.
E S E M P I O 3
In un insieme di ragazzi la relazione ℜ: «a indossa jeans della stessa marca
di b» è transitiva; se infatti Luca indossa jeans della stessa marca di Marco
e Marco indossa jeans della stessa marca di quelli che indossa Franco, allora
anche Luca e Franco indossano jeans della stessa marca.
Proprietà antisimmetrica
Nell’insieme A = {1, 2, 3, 4} consideriamo la relazione ℜ: «è minore di» ed
osserviamo che le coppie che la verificano sono le seguenti:
(1 , 2) (1 , 3) (1 , 4) (2 , 3) (2 , 4) (3 , 4)
La relazione è rappresentata con i soliti metodi nelle seguenti figure:
A
A
1
2
4
3
2
3
4
1
0
14
1
2
3
4
A
Algebra|
Relazioni
Possiamo immediatamente osservare che se un elemento di A, ad esempio 1,
è in relazione con un altro elemento, per esempio 2, non accade mai il contrario,
cioè 2 non è in relazione con 1.
Diciamo in tal caso che la relazione ℜ gode della proprietà antisimmetrica o
semplicemente che ℜ è antisimmetrica.
Una relazione ℜ in un insieme A è antisimmetrica quando, dati due elementi
a, b ∈ A, se risulta che a è in relazione con b, non può mai essere che b è in
relazione con a.
In simboli: ∀a , b ∈ A se aℜb , allora bℜa (a ≠ b).
E S E M P I O 1
La relazione di inclusione tra insiemi è chiaramente antisimmetrica. Infatti:
se A ⊂ B allora B ⊄ A (A ≠ B)
E S E M P I O 2
In un insieme di persone la relazione ℜ: «è figlio di» è antisimmetrica, come
si può facilmente constatare.
Relazione d’ordine
Esistono insiemi in cui gli elementi possono essere ordinati, nel senso che è
possibile stabilire se un elemento precede, oppure segue un altro.
Ad esempio, possiamo ordinare:
a. gli alunni di una classe alfabeticamente;
b. i consanguinei di un albero genealogico secondo l’anno di nascita;
c. i numeri naturali secondo le relazioni «essere maggiore di» oppure «essere
non maggiore di».
Cerchiamo, mediante altri esempi, di precisare queste considerazioni.
Relazione d’ordine totale
Dato l’insieme A = {3 , 6 , 12 , 24} sia ℜ la relazione: «x è multiplo di y»
Osserviamo che ℜ è:
• antisimmetrica, perché comunque prendiamo due elementi distinti x ed y,
se x è multiplo di y, non può essere y multiplo di x;
• transitiva, perché comunque prendiamo tre elementi distinti x , y , z, se è vero
che x è multiplo di y ed y è multiplo di z, è anche vero che x è multiplo di z.
15
Per queste proprietà diremo che ℜ è una relazione d’ordine totale, nel
senso che permette di riconsiderare A come un insieme di elementi tali che, presi
comunque due di essi, uno è sempre multiplo dell’altro.
È facile ora comprendere la seguente definizione.
Chiamiamo relazione d’ordine totale in un insieme A una relazione che sia:
• antisimmetrica
• transitiva.
In parole povere, possiamo dire che una relazione d’ordine esprime ciò che noi
diciamo con le frasi: «prima viene a e poi viene b» oppure «a viene prima di b» ecc.
Un insieme in cui è definita una relazione d’ordine totale si chiama insieme
totalmente ordinato.
E S E M P I O 1
Nell’insieme A = {7 , 14 , 28 , 56} consideriamo la relazione ℜ: «è di­visore di».
Tale relazione è:
• antisimmetrica, perché, ad esempio, 7 è divisore di 14, ma 14 non è divisore di 7;
• transitiva, perché se 7 è divisore di 14 e 14 è divisore di 28, allora 7 è
divisore di 28.
Si tratta dunque di una relazione d’ordine totale.
Osserviamo che tale relazione è anche riflessiva, in quanto ogni nu­mero diverso da zero è sempre divisore di se stesso.
E S E M P I O 2
Negli insiemi N, Q e R la relazione (detta d’ordine naturale): «x è maggiore o
uguale a y» è una relazione d’ordine totale, come si può facilmente verificare.
Tale relazione è anche riflessiva, perché, per ogni x e ℜ, risulta sempre: x ≥ x.
Relazione d’ordine parziale
Dato l’insieme A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} sia ℜ la relazione: «x è multiplo di y».
In questo caso diremo che ℜ è una relazione d’ordine parziale, perché
presi due elementi di A, ad esempio 3 e 6, è vero che 6 è multiplo di 3, ma tale
circostanza non vale per qualunque coppia di elementi di A. L’insieme A è dunque
parzialmente ordinato rispetto ad ℜ.
16
Algebra|
Relazioni
Relazione di equivalenza
Nell’insieme delle cravatte esposte nella vetrina di un negozio consideriamo la
relazione ℜ: «x ha lo stesso costo di y».
Tale relazione è:
• riflessiva, infatti ogni cravatta ha il suo stesso costo;
• simmetrica, infatti se la cravatta x ha lo stesso costo della cravatta y, anche
la cravatta y ha lo stesso costo della cravatta x;
• transitiva, infatti se x ℜ y e y ℜ z, allora x ℜ z, ove, evidentemente, x, y e z
sono cravatte del nostro insieme.
Una relazione di questo tipo, che gode cioè delle tre precedenti proprietà, si
dice relazione di equivalenza.
Ogni relazione ℜ definita in un insieme A che sia contemporaneamente riflessiva, simmetrica e transitiva, si chiama relazione di equivalenza.
E S E M P I O 1
La relazione di uguaglianza tra numeri o tra grandezze è riflessiva, simmetrica
e transitiva: l’uguaglianza è dunque una relazione di equivalenza.
E S E M P I O 2
Se si considerano parallele due rette anche quando sono coincidenti, la relazione di parallelismo è di equivalenza. Essa infatti è riflessiva perché ogni
retta è parallela a se stessa; è simmetrica perché se una retta r è parallela
alla retta s, allora s è parallela ad r; transitiva perché se una retta r è parallela
alla retta s ed s è parallela ad una terza retta t, allora anche r è parallela a t.
E S E M P I O 3
Nell’insieme P dei poligoni del piano la relazione ℜ «ha la stessa estensione
superficiale di» è una relazione di equivalenza. Infatti gode della proprietà
riflessiva (ogni poligono ha la stessa estensione superficiale di se stesso), simmetrica (se un poligono S ha la stessa estensione superficiale di un poligono
T, anche T ha la stess estensione superficiale del poligono S), transitiva (se il
poligono S ha la stessa estensione superficiale del poligono T e, T ha la stessa
estensione superficiale del poligono U, allora S ha la stessa estensione superficiale di U).
E S E M P I O 4
Nell’insieme dei giocatori di calcio che, in un certo anno, formano la serie
A, la relazione ℜ: «è nella stessa squadra di» è di equivalenza, come è facile
constatare.
17
E S E M P I O 5
La relazione di equipotenza tra insiemi (≠ ∅) gode delle proprietà:
• riflessiva, cioè ogni insieme è equipotente a se stesso;
• simmetrica, cioè se l’insieme A è equipotente a B, anche l’insieme B è
equipotente ad A (figure 18 e 19).
A
B
a•
B
• la
A
la •
•a
e•
• le
le •
•e
i•
• li
li •
•i
o•
• lo
lo •
•o
u•
• lu
lu •
•u
Fig.18 |
Fig.19 |
• transitiva, cioè se l’insieme A è equipotente a B e l’insieme B è equipotente
a C, anche l’insieme A e equipotente a C (figure 20, 21, 22).
A
a•
B
• la
B
la •
C
• ta
e•
• le
le •
• te
i•
• li
li •
• ti
o•
• lo
lo •
• to
• lu
lu •
• tu
u•
Fig.20 |
Fig.21 |
A
a•
C
• ta
e•
• te
i•
• ti
o•
• to
u•
• tu
Fig.22 |
In conclusione l’equipotenza, godendo della proprietà riflessiva, simmetrica e
transitiva, è una relazione di equvalenza.
Concetto di funzione
Siano A e B due insiemi non vuoti. Conveniamo di indicare con x un elemento
qualsiasi di A e con y un elemento di B; x si chiama variabile indipendente; y
variabile dipendente.
Se esiste una legge che ad ogni elemento x ∈ A associ uno ed un solo elemento
y ∈ B, diciamo che la legge stabilisce una funzione fra gli elementi dell’insieme di
partenza A e quelli dell’insieme di arrivo B.
18
Algebra|
Relazioni
Tale relazione possiamo indicarla con ƒ e scriviamo:
ƒ
ƒ : A → B oppure A → B
Inoltre diciamo che, nella funzione ƒ, ad ogni x ∈ A corrisponde y ∈ B; scriviamo:
ƒ : x → y oppure y = ƒ(x)
che si leggono rispettivamente: «ƒ di x in y» oppure «y funzione di x».
L’elemento y = ƒ(x) ∈ B dicesi immagine di x ∈ A.
Ogni elemento x1 ∈ A ed il suo corrispondente y1 ∈ B, se esiste,
ƒ : x1 → y1
determinano una coppia ordinata di elementi che si indica con:
(x1 , y1)
E S E M P I O 1
La relazione:
x «ha come capitale» y
è una funzione.
Infatti ad ogni stato x1 ∈ A corrisponde una ed una sola capitale y1 ∈ B. Tale
relazione determina il seguente insieme di coppie ordinate:
{(Italia , Roma) , (Francia , Parigi) , (Spagna , Madrid) , ...}
E S E M P I O 2
La relazione:
x «è la moglie di» y
in un insieme A di donne ed un insieme B di uomini è una funzione.
Infatti nella nostra società ad ogni donna corrisponde uno ed un solo marito
se è sposata; se non è sposata non corrisponde alcun marito.
E S E M P I O 3
La relazione:
a «ha come padre» b
è una funzione; mentre la relazione inversa b «è il padre di» a non è una funzione perché un padre può avere anche più figli.
E S E M P I O 4
La relazione:
x «è divisore di» y
definita nell’insieme N dei numeri naturali, è una relazione binaria ma non una
funzione, perché, per esempio 3 è divisore di 6, di 9, di 12, ... e non di un sol
numero.
19
A
B
A`
B`
2•
•2
4•
•4
5•
•7
Fig.23 |
Per chiarire meglio questo esempio, consideriamo gli insiemi
A = {2 , 4 , 5} e B = {2 , 4 , 7}
e la relazione ℜ:
«a ∈ A è divisore di b ∈ B».
Tale relazione non è una funzione e determina il seguente insieme
di coppie in cui il primo elemento, appartenente ad A, è divisore del
secondo che appartiene a B (figura 23):
{(2 , 2) , (2 , 4) , (4 , 4)}
Osserviamo che, nella rappresentazione grafica, dal punto 2 partono due frecce e
non una, infatti 2 è divisore di 2 e di 4. Da 5 non parte alcuna freccia perché non
è divisore di alcun numero appartenente a B. Al punto 7 non arriva alcuna freccia
perché non è in corrispondenza con alcun punto di A.
Possiamo ora dare la seguente definizione.
Una relazione ƒ tra gli elementi di A ed elementi di B si dice funzione, se
ad ogni elemento di x di A è associato uno ed un solo elemento y di B.
Osserviamo che in una funzione non è detto:
1. che ogni elemento di A debba avere un’immagine in B (figura 23);
2. che ogni elemento di B debba essere l’immagine di un elemento di A.
Il sottoinsieme A′ ⊆ A, formato dagli elementi di A per i quali esiste l’immagine
y = ƒ(x) in B si chiama insieme di definizione (o insieme di esistenza o dominio)
della funzione ƒ.
Il sottoinsieme B′ ⊆ B degli elementi di B che sono corrispondenti a qualche
elemento di A dicesi immagine (o codominio) della ƒ e si indica con
ƒ(A) = B′ ⊆ B
E S E M P I O 1
F
0
0
F = {0 , 1 , 2 , 3}
1
1
2
2
3
Fig.24 |
20
G
Nell’insieme N dei numeri naturali la relazione:
y=3–x
è una funzione il cui insieme di definizione è:
3
costituito dai soli numeri naturali che possono essere sottratti
aritmeticamente da 3.
L’insieme immagine è:
G = {3 , 2 , 1 , 0}
In questo caso F è uguale a G ed i due insiemi, quello di partenza e
quello di arrivo, sono identici.
Da ogni punto di F parte una ed una sola freccia (figura 24).
Algebra|
G
Relazioni
Segue che la funzione y = 3 – x, determina il seguente insieme di
coppie ordinate di numeri:
{(0 , 3) , (1 , 2) , (2 , 1), (3 , 0)}
3
2
Tale funzione si può anche rappresentare mediante un grafico
cartesiano (figura 25).
1
0
Fig.25 |
0
1
2
F
3
E S E M P I O 2
La stessa relazione precedente:
y=3–x
considerata nell’insieme Z degli interi relativi è una funzione nella quale l’insieme di definizione e l’insieme immagine sono identici a Z; infatti in Z la sottrazione è un’operazione sempre possibile.
E S E M P I O 3
Z
0•
-1 •
+1 •
+2 •
-2 •
N
•1
Fig.26 |
••
• 0 ••
•4
-3 •
+3 •
B`
•9
•3
•5
•8
•7
•6
Sia l’insieme Z dei numeri interi relativi quello di partenza e sia
l’insieme N dei numeri naturali quello di arrivo; la relazione:
y = x2 con x ∈ Z, y ∈ N
è una funzione, il cui insieme di esistenza è lo stesso insieme di
par­tenza Z, mentre l’insieme immagine ƒ(z) è l’insieme
B′ = {0 , 1 , 4 , 9 , ...}
dei quadrati perfetti, il quale è un sottoinsieme di N (figura 26).
E S E M P I O 4
A
Consideriamo gli insiemi A = {1 , 2 , 3} e B = {2 , 4 , 6 , 9} e la
relazione ℜ: «y è il doppio di x» (figura 27).
B
1•
•0
2•
•4
3•
•6
•9
Tale relazione è una funzione il cui insieme di definizione è
A ed il cui codominio è B′ = {2 , 4 , 6} ⊂ B. La sua espressione
analitica è evidentemente:
ƒ : x ∈ A →2 x ∈B
Fig.27 |
21
Funzioni empiriche
e funzioni matematiche
Una funzione può essere empirica oppure matematica.
Una funzione si dice empirica se i valori di y (variabile dipendente) corrispondenti a quelli di x (variabile indipendente) non possono essere calcolati, ma
risultano dall’esperienza, cioè dall’osservazione diretta.
E S E M P I O
Indicando con x i giorni di un certo mese e con y l’incasso giornaliero di un
supermercato, è chiaro che per conoscere il valore di y corrispondente al giorno
15 non c’è che un modo: attendere l’ora di chiusura in tale giorno e contare i
quattrini che sono nella cassa. Non c’è calcolo matematico che possa sostituire
l’esperienza diretta.
Una funzione si dice matematica se la si può esprimere con una formula,
la quale consente di calcolare il valore di y corrispondente ad un qualsiasi
elemento del dominio di x.
E S E M P I O 1
L’area y di un quadrato è funzione matematica del suo lato. Infatti, se
indichiamo con x la misura del lato di un quadrato, sappiamo che esiste una
regola ben precisa che permette di trovare l’area y quando sia conosciuta la
lunghezza del lato del quadrato.
Precisamente sappiamo che i valori della y dipendono da quelli assegnati alla
x secondo la formula:
y = x2
E S E M P I O 2
La legge che ad ogni numero naturale x associa il suo successivo è espressa
dalla formula:
y=x+1
E S E M P I O 3
La legge che ad ogni numero naturale x associa il successivo del suo quadrato
è espressa dalla formula:
y = x2 + 1
la quale è l’espressione di una funzione matematica.
22
Algebra|
OSSERVAZIONE
Relazioni
Ogni formula contiene in sé la legge che fa dipendere la y dalla x. Ad esempio
la formula:
y=3x+2
ci dice che la legge di passaggio dalla x alla y è quella che ad ogni x associa il suo
triplo aumentato di 2.
Una formula, dunque, ci indica quali operazioni occorre eseguire sulla x per ottenere
il corrispondente valore della y.
23
VERIFICA LE CONOSCENZE
Rispondi ai seguenti quesiti sul tuo quaderno.
1
Che cos’è il prodotto cartesiano di due insiemi A e B?
7
Scrivi le definizioni delle proprietà riflessiva,
simmetrica, transitiva ed antisimmetrica. Per
ciascuna fai un esempio.
2
Spiega perché il prodotto cartesiano A × B
non è, in generale, uguale al prodotto cartesiano B × A.
8
Quando una relazione ℜ si dice di or­dine totale? Quando si dice di or­dine parziale?
3
Illustra il concetto di relazione e porta almeno
due esempi.
9
Illustra il concetto di relazione di equivalenza
e fai almeno un esempio.
4
In che modo una corrispondenza uni­voca impegna gli elementi del primo insieme?
10
Spiega che cosa si intende per funzione.
5
Quando una corrispondenza tra due insiemi
si dice biunivoca?
11
Quali diversità esistono tra funzioni matematiche e funzioni empiriche?
6
Porta un esempio di corrispondenza tra due
insiemi che sia univoca ma non biunivoca.
ATTENZIONE
Se la risposta a qualcuno dei precedenti quesiti
non è stata tempestiva oppure hai avuto dubbi
o non vi è stata affatto, rileggi attentamente i relativi argomenti.
24
Algebra|
Relazioni
| autovalutazione
AUTOVALUTAZIONE
Segna con una crocetta la risposta esatta.
1
2
3
4
S
apendo che A × B = {(a , 1) , (a , 2) , (b , 1) , (b , 2) , (c , 1) , (c , 2)}, riconosci quale delle seguenti
coppie di insiemi individua A e B.
A A = {a , b} , B = {1 , 2}
B A = {b , c} , B = {a , 1}
C A = {a , b , c} , B = {1 , 2}
D A = {a , c} , B = {b , 2}
Dati gli insiemi non vuoti A e B, A × B e B × A hanno lo stesso numero di elementi?
A Sì;
B no;
C dipende dai casi;
D non è possibile stabilirlo.
Quale delle seguenti coppie di insiemi A e B ha il prodotto cartesiano A × B formato da cinque
elementi?
A A = {1 , 2 , 3} , B = {a , b}
B A = {2} , B = {a , b , c , d}
C A = {0 , 1 , 2 , 3 , 4} , B = {a}
D A = ∅ , B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}
Considera gli insiemi:
A
Po
Arno
Tevere
5
B
Piemonte
Lombardia
Toscana
Umbria
Lazio
A = {Po , Arno , Tevere}
B = {Piemonte , Lombardia , Toscana , Umbria , Lazio}
e la relazione ℜ di A verso B definita dalla frase: «attra­
versa la regione». La rappresentazione di ℜ è:
Tale relazione:
A non ha alcun significato matematico;
B esprime una generica corrispondenza di A verso B;
C rappresenta una corrispondenza biunivoca tra A e B;
D rappresenta una corrispondenza univoca tra A e B.
Considera gli insiemi:
A = {ascoltare , cantare , mangiare , correre , camminare}
B = {transitivo , intransitivo}
e la relazione ℜ di A verso B definita dalla frase: «è un verbo». Tale relazione:
A non ha alcun significato matematico;
B esprime una generica corrispondenza di A verso B;
C rappresenta una corrispondenza biunivoca tra A e B;
D rappresenta una corrispondenza univoca tra A e B.
25
Algebra|
6
7
9
A
sserva attentamente gli insiemi A e B e le frecce
O
che associano gli elementi di A e di B. Quale
delle seguenti frasi esprime l’esatta corrispondenza
tra A e B?
A A
d ogni elemento di A possono corrispondere più
elementi di B;
B n
on è possibile stabilire alcun tipo di corrispondenza;
C a d ogni elemento di A corrisponde un solo elemento
di B e non viceversa;
D ad ogni elemento di A corrisponde un solo elemento
di B e viceversa (corrispondenza biunivoca).
E
samina gli insiemi A e B e le frecce che as­
sociano gli elementi di A e di B. La relazione
ℜ di A verso B definita dalla frase: «è nato in»:
A non ha alcun significato matematico;
B esprime una generica corrispondenza tra A e B;
C r appresenta una corrispondenza biunivoca tra
A e B;
D rappresenta una corrispondenza biunivoca tra
A e l’insieme C = {Gennaio , Aprile , Agosto ,
Ottobre}.
8
| autovalutazione
Relazioni
B
Fragola
F
M
Mela
P
Pera
U
Uva
A
B
Gennaio
Febbraio
Marzo
Aprile
Maggio
Giugno
Luglio
Agosto
Settembre
Ottobre
Novembre
Dicembre
Guido
Luca
Martina
Vincenzo
Una relazione ℜ definita in un insieme A (≠∅) è riflessiva se:
A
B
C
D
ogni elemento di A è in relazione con se stesso;
da xℜy segue yℜx, con x , y ∈ A;
aℜb e bℜc allora aℜc, con a , b , c , ∈ A;
aℜb allora b ℜ
⁄ a, con a , b , ∈ A.
onsidera l’insieme A = {1 , 2 , 3 , 4} e riconosci di quali
C
proprietà gode la relazione ℜ rappresentata dal seguente
diagramma cartesiano.
A
B
C
D
Riflessiva, simmetrica e transitiva;
solo transitiva;
solo riflessiva;
non è possibile individuare alcun tipo di proprietà.
A
4
3
2
1
1
26
2
3
4
A
Algebra|
Relazioni
| autovalutazione
10 Dati un insieme A di persone e la relazione ℜ: «è figlio di», definita in A, tale relazione risulta:
A riflessiva;
B simmetrica;
C transitiva;
D antisimmetrica.
11 La relazione ℜ: «ha lo stesso perimetro di», definita nell’insieme dei poligoni del piano, è:
A solo riflessiva;
B solo antisimmetrica;
C di equivalenza;
D d’ordine totale.
La relazione ℜ: «ha lo stesso nome e cognome di», definita nell’insieme della popolazione italiana, è:
12 A solo riflessiva;
B solo antisimmetrica;
C d’ordine totale;
D di equivalenza.
13 Dati gli insiemi (non vuoti) A e B, si dice che tra A e B esiste una funzione ƒ se:
A a qualche elemento x ∈ A corrisponde qualche elemento y ∈ B;
B ad un elemento x ∈ A possono corrispondere anche più elementi di B;
C ad ogni elemento y ∈ B corrisponde un elemento x ∈ A;
D ad ogni elemento x ∈ A corrisponde uno ed un solo elemento y ∈ B.
14 iconosci quali delle seguenti funzioni sono empiriche e quali matematiche:
R
1. La temperatura corporea di un malato è funzione dell’ora in cui viene effettuata la misurazione.
2. Il guadagno di un operaio è funzione del numero di ore lavorate.
3. L’area del cerchio è funzione del raggio.
A Tutte le funzioni elencate sono di tipo matematico;
B la prima funzione è empirica, la seconda e la terza sono di tipo matematico;
C la prima e la seconda funzione sono empiriche, la terza è di tipo matematico;
D la prima e la terza funzione sono empiriche, la seconda è di tipo matematico.
I valori di una funzione matematica:
15 A si ottengono attribuendo alla variabile indipendente i valori del dominio e calcolando, tramite una formula matematica, i corrispondenti valori dell’altra variabile;
B si ricavano da una misurazione diretta;
C si determinano in modo arbitrario;
D non si possono determinare.
Considera la relazione dell’insieme A verso l’insieme B
16 rappresentata dal se­guente diagramma di Venn. Tale re­
lazione:
A è una relazione ma non una funzione;
B genera una funzione tra A e B;
C non è una funzione e neppure una relazione matematica;
D è assolutamente indecifrabile, per cui nul­la si può affermare.
A
B
1
2
3
a
b
c
d
27
Algebra|
17 | autovalutazione
Relazioni
Riconosci la legge matematica che esprime la relazione tra le coppie di numeri riportate in tabella:
A y = 4x — 1
x
1
2
3
4
5
y
4
7
10
13
16
B y = 3x + 1
C y = 4x
D y = 2x + 2.
SOTTO (CAPOVOLTE) TROVERAI LE RISPOSTE ESATTE: CALCOLA 1 PUNTO PER
CIASCUNA RISPOSTA CORRETTA E DETERMINA IL PUNTEGGIO TOTALE.
Punteggio
Comportamento consigliato
Da 0 a 9 punti
da 10a 13 punti
da 14a 17 punti
Devi rivedere con cura ed attenzione gli ar­gomenti trattati:
hai ancora dubbi ed in­certezze diffuse.
Devi rileggere solo alcuni argomenti che non ti sono chiari: individua quali sono.
Puoi proseguire il tuo studio.
A 16 A 17 B
15
9
A 8
2
C 1
C 10 D 11 C 12 D 13 D 14 B
A 3
C 4
B 5
D 6
D 7
D
RISPOSTE
28
IMPARA GIOCANDO
Un particolare cruciverba
Sono dati i seguenti insiemi ed il diagramma a frecce (in figura):
A=
B=
C=
D=
E=
F=
{x | x è un triangolo isoscele}
{x | x è un triangolo}
{x | x è un rombo}
{x | x è un rettangolo}
{x | x è un triangolo rettangolo}
{x | x è un quadrato}
R
1•
•a
2•
S
•b
3•
4•
•c
Riempi il cruciverba scegliendo tra le parole proposte quella che corrisponde ad affermazioni giuste.
1
2
3
4
C A S A
5
6
7
8
9
10
11
Svolgimento
Per esempio, per 1 orizzontale, siccome delle tre affermazioni:
a. B ⊂ A b. A ⊂ B c. A ⊂ C
quella giusta è A ⊂ B (infatti un triangolo isoscele è un triangolo) allora scegliamo la parola CASA.
Orizzontali
1. a. B ⊂ A : CARA
5. a. A ∩ B = B : LATI
7. a.
∈ A : CL
8. a. A ∩ B ⊄ A : RESE
10. a. A ∪ B ⊂ A : RASA
b. A ⊂ B : CASA
b. C ∩ D = ∅ : NANA
b.
∈ D : NN
b. A ∩ B ⊄ B : ROCA
b. A ⊂ A ∪ B : RESA
c. A ⊂ C : RATA
c. C ∩ D ≠ ∅ : NATI
c.
∈ D : TN
c. A ∩ B ⊂ A : ROSE
c. D ⊂ C : RETE
11. a. Il diagramma rappresenta una corrispondenza univoca: BAIA
b. Il diagramma rappresenta una corrispondenza biunivoca: PAIA
c. Il diagramma rappresenta una generica relazione: TANA.
Verticali
2. a. A ∩ C = ∅ : ANCORA
3. a. A ∪ E = B : RA
4. a. E ⊂ F : ANNATA
6. a. E ⊂ D : AL
9. a.
⊄ D : CAI
b. B ∩ D = E : ANFORA
b. B ∪ E = B : SA
b. E ⊄ B : ASCESA
b. D ⊂ E : IL
b.
∈ E : SAI
c. B ∪ D = E : ALTERA
c. C ∪ D = F : TA
c. C ∩ D = F : ATTESA
c. F ⊂ D : IN
c.
∈ D : SEI
29
approfondimenti ed estensioni
Per ogni relazione ℜ tra due insiemi A e B si può
considerare la relazione inversa, ossia quella relazione ℜ—1 tra B ed A che abbina un elemento b di
B con un elemento a di A solo se la coppia (a , b)
appartiene ad ℜ.
In sostanza la definizione di relazione inversa dice
che:
Se una coppia (a , b) appartiene ad ℜ, allora (e
solo allora) la coppia (b , a) appartiene ad ℜ—1.
| Relazione inversa
e la relazione ℜ = «è la capitale di» da A verso B. Le
coppie del prodotto cartesiano A × B che verificano
la relazione sono le seguenti:
(Madrid, Spagna) , (Parigi, Francia) ,
(Roma, Italia) , (Vienna, Austria)
e la rappresentazione a frecce della relazione ℜ è:
A
Madrid •
Poiché la coppia (b , a) si ottiene da (a , b) scambiandone le componenti, si ha che:
Le coppie individuate dalla ℜ—1 si ottengono da
quelle individuate dalla ℜ scambiandone semplicemente le componenti.
Ad esempio, dati gli insiemi A = {2 , 4 , 6}, B = {3,
5, 7} e la relazione ℜ: «a è maggiore di b», si ha:
ℜ = {(4 , 3) , (6 , 3) , (6 , 5)}
per cui la relazione inversa (ossia b < a) è:
ℜ—1 = {(3 , 4) , (3 , 6) , (5 , 6)}
Si vede che le coppie di ℜ sono quelle di ℜ con le
componenti scambiate.
Ovviamente nella rappresentazione a frecce si passa
dalla rappresentazione di ℜ a quella di ℜ—1 invertendo il verso di ciascuna freccia.
Come ulteriore esempio, consideriamo i seguenti
insiemi A e B:
—1
A = {Madrid , Parigi , Roma , Vienna}
B = {Austria , Francia , Italia , Spagna} ,
30
B
• Austria
Parigi •
• Francia
Roma •
• Italia
• Spagna
Vienna •
Scambiando le componenti del prodotto cartesiano
A × B si ottengono le seguenti coppie appartenenti
al prodotto cartesiano B × A:
(Spagna, Madrid) , (Francia, Parigi), (Italia, Roma),
(Austria, Vienna)
ed è evidente che da esse si può dedurre la seguente
relazione «ha per capitale» da B verso A, la cui rappresentazione a frecce è:
B
Austria •
A
• Madrid
Francia •
• Parigi
Italia •
• Roma
Spagna •
• Vienna
La nuova relazione ricavata è ovviamente l’inversa
di ℜ.
Frammenti di storia
Un genio contestatore: Evaristo Galois
Uno dei personaggi più affascinanti della storia della matematica è certamente Evaristo Galois.
Galois nacque il 25 ottonre del 1811 vicino Parigi e fu un ragazzo normale
fino alle prime classi delle scuole superiori. Quando la sua passione per la
matematica esplose, lo studio delle altre materie iniziò ad annoiarlo profondamente. Cominciò ad andare così male che i suoi professori furono costretti
anche a fargli ripetere delle classi.
Eppure questo ragazzo leggeva direttamente non soltanto libri classici di matematica, ma anche i risultati delle ricerche dei grandi matematici contemporanei. Nel 1829 Galois pubblicò un suo studio originale sui numeri reali e
questo gli diede la spinta per ulteriori importanti ricerche. Raccolse i risultati
delle sue ricerche in uno scritto che presentò al più famoso matematico dell’epoca, Agostino Cauchy, perché lo sottoponesse all’Accademia delle scienze;
ma il manoscritto andò perduto.
Nel 1830 entrò all’Università e raccolse i risultati delle sue ricerche in uno
scritto da presentare all’Accademia, ma anche questo manoscritto è finito
dimenticato sul tavolo di qualche burocrate.
A questo punto Galois, che certamente aveva contribuito a creare intorno a sé
un’atmosfera di antipatia con la sua ambizione, cominciò a sentirsi perseguitato e divenne un acceso contestatore del sistema burocratico di quel tempo.
Si trovò poi coinvolto in un duello per questione di onore e cosciente che non
ne sarebbe uscito vivo, Galois passò la notte precedente il duello a scrivere freneticamente in una lunga lettera al suo amico Augusto Chevalier i risultati più
importanti delle sue ricerche. Scrisse molti di questi risultati senza la dimostrazione, scrivendo in margine con disperazione «Non ho tempo! Non ho tempo!».
Ci sono voluti molti anni per ricostruire la teoria che egli aveva sviluppato
senza riuscire a suscitare su di essa l’interesse che meritava.
Galois era riuscito a dare un grande contributo al problema della ricerca delle
soluzioni delle equazioni algebriche di qualsiasi grado. Quando finalmente
fu capita e riordinata, la teoria divenne famosa come la teoria di Galois delle
equazioni algebriche.
Come aveva previsto, Galois perdette il confronto nel duello e morì il giorno
dopo a causa del proiettile che gli aveva perforato l’intestino. Era il 30 maggio del 1832. Quel giorno, Galois aveva venti anni, cinque mesi e sei giorni.
31
unità|7|
Relazioni
| esercizi
Prodotto cartesiano
1 | Vero o falso?
Dati gli insiemi A = {
, , }eB={
,
}, risulta:
a. {
,
} ∈ A × B
b. { ,
} ∈ A × B
c. {
, } ∈ A × B.
d. Il prodotto cartesiano fra due insiemi A e B è costituto dalle seguenti coppie ordinate di
elementi: (b , x) , (a , x) , (b , y) , (a , y).
In tal caso risulta A = {a , b} e B = (x , y).
e. Il prodotto cartesiano di A = {1 , 2} per B = (c , d) è C = {(1 , c) , (2 , d)}. f. Il prodotto cartesiano degli insiemi A = {a , e , i , o , u} e B = {6 , 7}
è formato da sette elementi. g. A × ∅ = ∅. v
v
v
f
f
f
v
v
f
f
v
v
f
f
2 | Lucia ha fatto ambo con i numeri 6 e 43. In questo caso, interviene il concetto di coppia ordinata?
3 | La tappa ciclistica Benevento-Caserta è stata vinta da Marco. In questo caso, tacitamente, è detto
che la partenza... e che il traguardo... Interviene il concetto di coppia ordinata?
4 | Segnala due o più situazioni (non necessariamente di natura strettamente matematica) in cui intervengono coppie ordinate.
5 | Verifica che le coppie ordinate (2x — 1, 3y + 1) e (x + 1, y + 3) risultano uguali per x = 2 ed y = 1.
6 | V erifica che le coppie ordinate (5x + 3, 6y — 4) e (2x — 1, 2y + 1) risultano uguali per x = — —43 ed
5.
y= —
4
Considera i seguenti insiemi A e B e scrivi gli elementi di A × B.
7 | A = {2 , 3} 32
B = {5 , 6}.
8 | A = {rosso , verde}
B = {giallo , blu}.
Algebra|
| esercizi
Relazioni
9 | A = {9}
B = {7 , 8 , 10}
10 | A = {x , y , z}
B = {t}.
11 | A = {a , b , c}
B = {d , f}
12 | A = {x , y}
B={
13 | A = {1 , 2 , 3}
B = {a , b , c}
14 | A = {do , re , mi}
B = {fa , sol , la , si}.
,
,
}
15 | Per ciascuno degli esercizi precedenti fornisci una rappresentazione grafica mediante un reticolo a
maglie rettangolari.
Scrivi i prodotti cartesiani A × B relativi ai seguenti insiemi.
16 | A
B
17 |
A
B
Luigi •
• Roma
Paolo •
• Napoli
Giallo •
• Bari
Verde •
Franco •
Rosso •
• Verde
• Violetto
18 | Un ghiottone va in una trattoria dove il menù del giorno prevede:
Primi piattiSecondi piatti
Spaghetti al sugo
Pollo arrosto
Lasagne
Trota al forno
Risotto alla milanese
Bistecca ai ferri
Determina tutte le possibili combinazioni tra primi e secondi piatti.
19 | Se A = {a , b}, allora A × A = {(a , a) , (a , b) , (b , a) , (b , b)}.
Tenendo presente ciò, costruisci i prodotti cartesiani B × B e C × C relativi agli insiemi
B = {1 , 2 , 3} e C = {a , b , c , d}.
20 | Dati gli insiemi A = {1 , 3 , 5} e B = {2 , 4 , 6},
scrivi i prodotti cartesiani A × B e B × A e verifica che A × B ≠ B × A.
21 | C ompila una tabella a doppia entrata con gli elementi del prodotto cartesiano degli insiemi rappresentati dai diagrammi di Venn in figura.
A
B
33
Algebra|
| esercizi
Relazioni
22 | S crivi l’insieme i cui elementi sono le coppie rappresentate
dai nodi del reticolo cartesiano.
f
e
d
c
b
a
1
2
3
4
5
6
23 | Dati gli insiemi A = {a , b , c , d} e B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5},
calcola il numero delle coppie ordinate che compongono l’insieme A × B.
24 | Dato l’insieme A = {a , b , c}, elenca gli elementi (coppie ordinate) dell’insieme A × A.
25 | Dato l’insieme A = {1 , 2 , 3}, rappresenta l’insieme A × A con una tabella a doppia entrata.
26 | D ato l’insieme A = {a , e , i , o , u}, calcola il numero delle coppie ordinate che compongono l’insieme
A × A.
27 | D ato l’insieme A = {1 , 2 , 3, 4}, disegna il diagramma cartesiano dell’insieme A × A e segna con un
tondino i punti che rappresentano le coppie (1 , 1) , (2 , 2) , (3 , 1) , (3 , 4) , (4 , 3) e (4 , 4).
28 | D ato l’insieme A = {1 , 2 , 3, 4}, calcola il prodotto A × A ed elenca le coppie (x , y) per le quali
x + y = 5.
29 | R appresenta mediante un diagramma ad albero il prodotto cartesiano A × B × C dei seguenti insiemi:
A={
, + } B = {
, x } C = {
,—}
30 | C onsidera l’insieme: W = {(a , 1) , (a , 2) , (b , 1) , (b , 2) , (c , 1) , (c , 2)}.
Quali sono gli insiemi A e B tali che A × B = W?
31 | Dati gli insiemi: A = {a , b} B = {c , d} C = {e , f}
determina B ∪ C e A × (B ∪ C).
32 | Esamina la seguente tabella e rappresenta per elencazione gli insiemi A e B.
Determina poi A ∩ B e A ∪ B.
34
A
B
(a , c)
(a , d)
(a , e)
(b , c)
(b , d)
(b , e)
(f , c)
(f , d)
(f , e)
Algebra|
| esercizi
Relazioni
Completa le seguenti tabelle rappresentative del prodotto cartesiano di due insiemi A e B e rappresenta
gli insiemi stessi graficamente.
33 |
A
34 |
B
A
B
(1 , a)
(
, 2)
(2 , b)
( , 4)
(3 , c)
35 |
A
( , 6)
B
(do , re)
(re , mi)
(sol , fa)
36 | Il sig. Rossi chiede ad un negoziante una cravatta, dicendo che deve essere azzurra o rossa, di seta
o di lana. Rappresenta mediante una tabella a doppia entrata i tipi di cravatte che vengono mostrate
al sig. Rossi.
Relazioni tra insiemi
Osserva attentamente le seguenti rappresentazioni grafiche e per ognuna di esse scrivi una frase che
definisca una relazione dell’insieme A verso l’insieme B.
37 |
A
B
capra •
leopardo •
• erba
A
38 |
A
Messi •
Adriano •
• Argentina
• Brasile
Ronaldo •
• Italia
Cannavaro •
Toni •
b
B
Maradona •
a
• Piazza
Garibaldi, 12
Paola •
a
• Via Roma, 5
• Via Diaz, 8
Giorgio •
• insetti
formichiere •
Antonio •
Carla •
• carne
avvoltoio •
B
A
B
23 aprile •
5 maggio •
• Toro
• Leone
10 agosto •
1 ottobre •
• Bilancia
20 ottobre •
b
35
Algebra|
39 |
A
B
Luigi •
A
• 140 cm
Mario •
Relazioni
| esercizi
• 132 cm
Maggio •
Simona •
• 128 cm
Giugno •
Valeria •
• 154 cm
Novembre •
Stefano •
B
Febbraio •
a
• 28 giorni
• 30 giorni
• 31 giorni
b
Ciascuna delle seguenti tabelle a doppia entrata individua una relazione dell’insieme A verso l’insieme B.
Esaminale e, per ognuna di esse, scrivi una frase che definisca una relazione tra i due insiemi.
40 |
A
B
a
b
l
m
B
2
3
5
11
B
Iuventus
Milan
Inter
Napoli
aquila
puma
marmotta
lepre
pellicano
41 |
A
8
10
15
33
121
42 |
A
Ivan
Giacomo
Amedeo
Raimondo
Gianni
36
p
Algebra|
43 |
B
A
Pittore
| esercizi
Relazioni
Scienziato
Poeta
Musicista
Picasso
Galilei
Leopardi
Mozart
Newton
44 | S ono dati gli insiemi X = {corvo , gallina , cane , cavallo} ed Y = {1 , 2 , 3, 4} e la relazione che associa
a ciascun animale il numero delle sue zampe. Quali coppie verificano la relazione assegnata?
45 | D ati gli insiemi X = {8 , 9 , 14 , 15} ed Y = {2 , 3 , 6}, rappresenta con un diagramma a frecce la relazione ℜ: «x è multiplo di y».
46 | S ono dati gli insiemi X = {1 , 2 , 3} ed Y = {2 , 3 , 4 , 5 , 6}. Rappresenta con un diagramma cartesiano
la relazione ℜ: «x è la metà di y».
47 | D ati gli insiemi
{
}
{
}
1,—
3,—
4 ed Y = —
1,—
1,—
1,—
1 , rappresenta con un diagramma a frecce la
2,—
X= —
3 3 5 5
2 3 4 5
relazione ℜ: «x ha lo stesso denominatore di y».
48 | S ono dati gli insiemi X = {melo , cubo , rame , pane} ed Y = {pero , tubo , cane , vaso}, e la relazione
ℜ: «x ha le stesse vocali di y». Quali coppie verificano la relazione assegnata?
49 | D ati gli insiemi X = {1 , 2 , 3} ed Y = {1 , 4 , 9}, rappresenta con un diagramma cartesiano la relazione
ℜ: «x ha come quadrato y».
50 | D ati gli insiemi A = {3 , 6 , 9} e B = {2 , 4 , 6 , 8}, elenca le coppie ordinate individuate dalla relazione
ℜ: «a è minore oppure uguale a b».
51 | D ati gli insiemi A {ape , arco , angolo} e B = {do , re , primo , secondo}, elenca le coppie ordinate
individuate dalla relazione ℜ: «a ha una lettera meno di b».
52 | D ati gli insiemi A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} e B = {2 , 4 , 6 , 8 , 10}, rappresenta con un diagramma
a frecce la relazione ℜ: «a + b dà un quadrato perfetto».
53 | D ati gli insiemi A = {2 , 3 , 4 , 5 , 6} e B = {1 , 3 , 5 , 7 , 9}, rappresenta con un diagramma cartesiano
la relazione ℜ: «a è uguale alla metà del successivo di b» e scrivi il sottoinsieme del prodotto A × B
che è formato da tutte le coppie che appartengono ad ℜ.
37
Algebra|
Relazioni
| esercizi
54 | S ia A = {a , b , c , d , e , f} un insieme di persone e B = {1 , 2 , 3} un insieme di televisori. Si sa che a
e b guardano il televisore 3, che c e d leggono e che e ed f guardano il televisore 1. Disegna il diagramma a frecce e quello cartesiano della relazione ℜ: «a guarda il televisore b».
55 | Tra gli insiemi A = {a , b , c , d} e B = {1 , 2 , 3 , 4} è definita la relazione:
ℜ = {(a , 2) , (a , 3) , (b , 3) , (d , 2)}
di cui si chiede la rappresentazione sagittale (ossia, a frecce) e la rappresentazione mediante tabella a doppia
entrata.
56 | Tra gli insiemi A = {1 , 2 , 3} e B = {4 , 5 , 6} è data la relazione:
ℜ = {(1 , 4) , (1 , 5) , (2 , 6) , (3 , 4), (3 , 6)}
di cui si chiede la rappresentazione cartesiana e la rappresentazione mediante tabella a doppia entrata.
57 | Tra A = {a , b , c , d} e B = {x , y , z} è definita la relazione:
ℜ = {(a , y) , (b , x) , (b , z) , (c , y) , (d , y) , (d , z)}
di cui si chiede la rappresentazione sagittale, quella cartesiana e quella mediante ta­bella a doppia entrata.
58 | Spiega perché l’insieme di coppie ordinate:
ℜ = {(x , y) , (a , b) , (1 , 2)}
non definisce una relazione.
59 | D ati gli insiemi A = {1 , 2 , 3} e B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} rappresenta con un diagramma cartesiano la
relazione ℜ: «a è un divisore di b». (Poiché 1 è …, devi segnare undici punti in …).
60 | S ull’insieme A = {3 , 5 , 8} è definita la relazione ℜ: «x è minore di y». 1. Elenca le coppie che appar-
tengono ad ℜ. 2. Rappresenta due volte l’insieme A e rappresenta la ℜ con un normale diagramma
a frecce. 3. Rappresenta una sola volta l’insieme A e rappresenta la ℜ con un diagramma a frecce
semplificato.
61 | D isegna la rappresentazione cartesiana della re­lazione ℜ
sull’insieme A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7} rappresentata a lato.
A
1
2
4
3
6
5
7
62 | Dato l’insieme A = {1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8}, rappresenta la relazione ℜ: «a è il doppio di b».
38
Algebra|
| esercizi
Relazioni
63 | Quella rappresentata a lato, è la relazione ℜ: «x + y = 7»
sull’insieme A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7}. Sai spiegare perché
intervengono tre frecce doppie? (Perché, ad esempio, sono
in relazione non solo 4 e 3, ma anche 3 e 4).
A
6
4
5
1
64 | Q uella rappresentata a lato, è la relazione ℜ: «x + y = 6»
sull’insieme A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}.
Oltre alle frecce doppie, c’è anche un cappio che si avvita attorno
al punto 3. Sai spiegarlo?
A
7
3
2
1
2
6
3
5
4
65 | R appresenta la relazione ℜ: «x + y è un quadrato perfetto» sull’insieme
A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8}.
66 | V erifica che la relazione ℜ: «a + b = 10» tra gli insiemi A = {1 , 2 , 3} e B = {4 , 5 , 6} è la relazione
vuota; ossia, non è verificata da nessuna coppia.
67 | S ia A un insieme di 10 ragazzi e B un insieme di 10 persone anziane. Se la relazione ℜ tra A e B è:
«a è coetaneo di b», è ragionevole pensare che qualche coppia (a, b) ve­rifica la ℜ? È possibile invece
che la stessa ℜ ammetta qualche soluzione nell’insieme A ∪ B?
68 | C onsidera la relazione ℜ: «essere fratelli». Se A è un insieme di 10 persone asiatiche e B è un insieme
di 10 persone europee, molto probabilmente la ℜ è vuota. Essa, tuttavia, è una relazione tra A e B?
(Si, perché assegna il criterio…).
69 | S ia A l’insieme dei lati di un triangolo ABC.
È vero che la relazione ℜ: «essere lati opposti» è vuota?
sì
no . Giustifica la risposta.
70 | S ia A l’insieme dei lati di un quadrilatero ABCD. Studia la relazione ℜ: «essere lati opposti» sull’insieme A.
39
Algebra|
Relazioni
| esercizi
Corrispondenza univoca e biunivoca
insiemi equipotenti
71 | Vero o falso?
a. Una corrispondenza tra due insiemi si dice univoca quando a ciascun elemento del
primo insieme corrisponde un unico elemento del secondo e viceversa.
b. Una corrispondenza univoca è anche biunivoca.
c. Una corrispondenza biunivoca è anche univoca.
d. Dati gli insiemi A = {mucca , leopardo , aquila , coccodrillo} e B = {mammiferi , uccelli,
rettili}, la relazione ℜ: «appartiene all’ordine dei» stabilisce una corrispondnza biunivoca
tra A e B.
e. Dati gli insiemi A = {Omero , Dante , Shakespeare} e B = {Odissea , La Divina
Commedia , Romeo e Giulietta}, la relazione ℜ: «è l’autore di» stabilisce una
corrispondnza biunivoca tra A e B. f. Due insiemi si dicono equipotenti se fra essi è possibile stabilire una corrispondenza
biunivoca. g. È possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra un insieme di 4 elementi ed un
altro di 5 elementi.
v
v
v
f
f
f
v
f
v
f
v
f
v
f
72 | S ia X l’insieme delle materie da te studiate e Y l’insieme dei tuoi professori. Puoi stabilire una corrispondenza univoca tra X ed Y?
sì
no . Giustifica la risposta.
73 | D ati gli insiemi X = {Colombo , Garibaldi , Mazzini} ed Y = {Cristoforo , Giuseppe}, sai stabilire una
corrispondenza univoca tra X ed Y?
74 | Considera gli insiemi:
X = {nipote , facile , regina , aroma} ed Y = {pitone , cefali , argine , amaro}.
Stabilisci se la relazione: «x è l’anagramma di y» è una corrispondenza biunivoca.
75 | Dati gli insiemi:
A = {nomi femminili} B = {nomi delle tue compagne di classe}
stabilisci il tipo di corrispondenza esistente tra i due insiemi e giustifica la risposta.
76 | Considera i due insiemi:
A = {nuoto , rugby , tennis , pugilato , canottaggio}
B = {palla ovale , racchetta , acqua , guantoni}
Associa ad ogni elemento di A un elemento di B disegnando delle frecce in un diagramma di Venn. Stabilisci il tipo
di corrispondenza esistente tra i due insiemi e giustifica la risposta.
77 | Stabilisci il tipo di corrispondenza esistente tra i due seguenti insiemi:
A = {Dante , Manzoni , Omero}
B = {Divina Commedia , Promessi Sposi , Odissea}
Giustifica la risposta.
40
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| esercizi
Relazioni
78 | Dati gli insiemi:
A = {nuoto , rugby , tennis , pugilato , canottaggio}
B = {palla ovale , racchetta , acqua , guantoni}
elimina un elemento in modo che i due insiemi vengano ad essere in corrispondenza biunivoca.
79 | S ono dati gli insiemi X = {c , o , n , t , e} ed Y = {c , o , n , t , e , a}. Che tipo di corrispondenza è quella
che associa gli elementi di X agli elementi uguali di Y? Giustifica la risposta.
80 | C ome nell’esercizio precedente, nel caso che sia
X = {c , e , r , t , o , s , a} ed Y = {c , a , n , e , s , t , r , o}.
81 | Dati gli insiemi X = {1 , 3 , 5 , 7 , 9} ed Y = {2 , 4 , 6}, rappresenta con un diagramma cartesiano la
corrispondenza assegnata nella tabella. Di che tipo di corrispondenza si tratta?
x
1
3
5
7
9
y
2
4
6
4
2
82 | Sia X l’insieme delle Regioni italiane ed Y = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10}.
Studia la corrispondenza che associa a ciascuna Regione il numero delle sue Province.
83 | Q uale relazione si può istituire tra gli insiemi X e Y rappresentati in figura? Giustifica la risposta.
X
Y
Italia •
• Francia
Egitto •
• Marocco
India •
• Cina
84 | E samina la corrispondenza tra i due insiemi A e B e barra la casella esatta.
A è in corrispondenza univoca con B? B è in corrispondenza univoca con A? Giustifica le risposte.
sì
sì
no
no
A
B
41
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Relazioni
Esamina i seguenti diagrammi di corrispondenza fra gli insiemi A e B e stabilisci per ciascun diagramma
il tipo di corrispondenza. Giustifica la risposta.
85 | 87 | A
B
Anna
Carla
Cinzia
Diana
Elvira
Ester
A
a
86 | A
B
4
2
3
c
6
9
d
e
B
5
6
7
8
55
A
88 |
66
77
88
99
B
a
b
c
d
x
y
z
89 | C onsidera gli insiemi:
X = {retta , sementi , margine} ed Y = {fretta , segmenti , argine , regina}.
Studia la corrispondenza data dalla relazione: «x contiene tutte le lettere di y meno una».
90 | D ato l’insieme X = {2 , 4 , 6 , 8}, individua gli elementi dell’insieme Y sapendo che tra X ed Y intercorre
la relazione: «x è la metà di y» e che X e Y sono in corrispondenza biunivoca.
91 | C onsidera gli insiemi:
X = {atto , uovo , ente} ed Y = {patto , nuovo , lente}.
Individua una relazione tra X ed Y e rappresentala con un diagramma a frecce.
92 | D ati gli insiemi
{
}
{
}
2 5 3 9
4 8 3 7
X = —, —, —, — ed Y = —, —, —, — , rappresenta con un diagramma a frecce la
3 4 7 8
5 9 2 3
corrispondenza biunivoca che ad ogni x associa il proprio inverso y.
93 | E samina la tabella a doppia entrata e individua la
relazione che intercorre tra A e B. Stabilisci se tale
relazione genera una corrispondenza univoca o
biunivoca tra i due insiemi.
42
A
B
Algebra|
Relazioni
| esercizi
94 | Perché non è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi
X = {0 , 1 , 2} ed Y = {1 , 2 , 3 , 4}?
95 | Rita è la moglie di Mario, Anna è la moglie di Ugo, Emma è la moglie di Silvio.
La corrispondenza data dalla relazione ℜ: «x ha per marito y» tra gli insiemi
X = {Rita , Anna , Emma} ed Y = {Ugo , Mario , Silvio},
è una corrispondenza biunivoca?
sì
no . Giustifica la risposta.
Dati i seguenti insiemi A e B e la relazione ℜ di A verso B, stabilisci il tipo di corrispondenza (univoca o
biunivoca), rappresentala mediante un diagramma di Venn e mediante una tabella a doppia entrata.
96 | A = {1 , 4 , 9 , 16} B = {1 , 2 , 3 , 4}
ℜ: «è il quadrato di».
97 | A = {2 , 5 , 6 , 9} B = {4 , 10 , 12 , 18}
ℜ: «è la metà di».
98 | A = {Punto , Tipo , Dedra , Clio} B = {fiat , lancia , renault}
ℜ: «è costruita dalla».
99 | A = {pane , caramella , cioccolato} B = {farina , zucchero , cacao , ferro}
ℜ: «si fa con».
100 | A = {parrucchiere , sarto , macellaio} B = {capelli , stoffa , carne}
ℜ: «taglia».
101 | A = {falegname , fabbro , contadino} B = {legno , ferro , terra , pietra}
ℜ: «lavora».
102 | Sia X l’insieme dei lati di un triangolo ed Y quello dei rispettivi punti medi. La relazione: «x ha per
punto medio y» è una corrispondenza univoca oppure biunivoca? Giustifica la risposta.
103 | Dati gli insiemi:
X = {voto , osso} ed Y = {voti , ossi , ossa},
definisci la relazione tra X ed Y rappresentati in figura e spiega perché
non è una corrispondenza univoca.
X
Y
voto
voti
ossi
ossa
ossa
43
Algebra|
Relazioni
| esercizi
104 | V erifica che la relazione ℜ: «a è contenuto in b» tra gli insiemi
A = {viso , mento , uso , resto} e B = {visone , cemento , fuso , presto} istituisce una corrispondenza biunivoca tra A e B.
105 | Q uale relazione intercorre tra un insieme A di figli unici e l’insieme B delle rispettive madri?
106 | Quale relazione intercorre tra un insieme A di alunni e l’insieme B delle rispettive pagelle?
B
107 | Per quale motivo la relazione tra A e B che è qui
rappresentata non è una corrispondenza biunivoca? Giustifica la risposta.
4
3
2
1
a
b
c
d
A
108 | S ia X l’insieme delle squadre di calcio che militano in serie A ed Y l’insieme delle rispettive città.
La relazione che associa ad ogni squadra la rispettiva città è una corrispondenza univoca oppure
biunivoca? Giustifica la risposta.
109 | Considera gli insiemi:
X = {alba , aurora , crepuscolo} ed Y = {a , b , c}.
Esamina la relazione che ad ogni x associa la propria iniziale y.
110 | Sia X l’insieme dei vertici di un triangolo ed Y quello dei lati dello stesso triangolo. Studia la corrispondenza data dalla relazione: «x è opposto ad y».
111 | Considera gli insiemi:
X = {a , b , c , d , e} ed Y = {1 , 2 , 3}
e la rappresentazione cartesiana di una relazione tra X ed Y.
Quali coppie verificano tale relazione? È una corrispondenza univoca? Giustifica la risposta.
y
3
2
1
a
112 | Dati gli insiemi:
b
c
d
e
x
= {addizione , sottrazione , moltiplicazione} ed Y = {somma , differenza , prodotto}, quale corrispondenza si può
X
istituire tra X e Y?
44
Algebra|
Relazioni
| esercizi
113 | Considera gli insiemi:
X = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} ed Y = {2 , 5 , 10 , 17 , 26}.
Studia la relazione che ad ogni x associa il successivo del suo quadrato.
114 | Esamina gli insiemi:
X = {Arezzo , Latina , Salerno , Taranto} ed Y = {SA , LT , TA , AR}.
Definisci e studia la più naturale relazione che esiste tra X ed Y.
115 | Osserva attentamente il diagramma di Venn e individua
la relazione che intercorre tra A e B. Stabilisci se tale relazione genera una corrispondenza univoca o biunivoca
tra i due insiemi.
A
1a ora •
2a ora •
3a ora •
4a ora •
5a ora •
B
• Italiano
• Storia
• Matematica
• Ed. Fisica
116 | S ia X l’insieme degli oggetti regalati negli ultimi sei mesi ed Y l’insieme delle persone che hanno
ricevuto il regalo. Definisci e studia una relazione tra X ed Y.
117 | Considera gli insiemi X = {1 , 3 , 6} ed Y = {3 , 5 , 8}. Definisci e studia una relazione che intercorre
tra X ed Y. (Quella che ad x associa x + 2 è la più …).
118 | Dati gli insiemi X = {20º , 30º , 40º , 80º} ed Y = {70º , 60º , 50º , 10º}, definisci e studia una relazione
tra X ed Y. (Ricorda che la somma di due angoli complementari è…).
119 | Dati gli insiemi X = {rondine , pinguino , aquila} ed Y = {vola , non vola}, definisci e studia una relazione tra X ed Y.
120 | Dati gli insiemi X = {lunedì , martedì , mercoledì}, ed Y = {Luna , Marte , Mercurio}, de­finisci e studia
una relazione tra X ed Y.
121 | Dati gli insiemi X = {1 , 2 , 3 , 3} ed Y = { —32 , —52 , —72 , —92 }, definisci e studia una relazione tra X ed Y.
2 —
2 3
— , 23
— , 27
— ed Y = { —
, , — . Ricordando come una frazione impropria
122 | Esamina gli insiemi X = { —83 , 12
5 5 5 }
3 5 5 }
si trasforma in numero misto, definisci e studia la corrispondente relazione che intercorre tra X ed Y.
123 | Ogni alunno di una classe della tua scuola ha sia un nome che un cognome:
N = {nomi} C = {cognomi}
quindi la corrispondenza tra N e C (o tra C e N) è sempre biunivoca. Giustifica la risposta.
124 | Stabilisci se gli insiemi di ciascuna delle seguenti coppie sono equipotenti oppure no.
a. Due squadre di calcio all’inizio della partita.
sì
no
45
Algebra|
Relazioni
| esercizi
b. Le dita del cavallo e quelle del bue.
c. I giorni festivi e le domeniche in un anno.
d. I professori e le materie di insegnamento.
e. I portieri e gli arbitri in una partita di calcio.
f. Le dita della mano e le vocali.
sì
sì
sì
sì
sì
no
no
no
no
no
125 | Verifica che {a , m , u , l , e , t , o} ed {e , m , u , l , a , t , o} sono due insiemi equipotenti.
126 | Verifica che l’insieme:
{d , i , n , o} ∪ {r , e , m , a} è equipotente all’insieme {d , a , m , e , r , i , n , o}.
127 | Verifica che l’insieme:
{p , o , l , i} ∪ {m , a , r , t , e} è equipotente all’insieme {t , e , m , p , o , r , a , l , i}.
128 | Verifica che l’insieme:
{a , m , i , c , o} ∪ {l , e , n , t , o} è equipotente all’insieme {m , a , c , i , l , e , n , t , o}.
129 | Verifica che l’insieme:
A = {m , u , s , i , c , h , e} è equipotente all’insieme B delle note musicali.
130 | Considera gli insiemi:
A = {lettere della parola marte} B = {lettere della parola trema}
A e B sono equipotenti? A e B sono uguali?
Determina A ˘ B , A — B e A ¯ B.
131 | F ai un esempio di tre insiemi aventi come intersezione un insieme equipotente (non uguale) ad
uno di essi.
132 | F ai un esempio di tre insiemi aventi come unione un insieme equipotente alla unione di due di essi,
non però uguale a tale unione.
Proprietà delle relazioni
133 | S piega per iscritto quando una relazione ℜ in un insieme A gode della proprietà riflessiva. Fai
almeno un esempio.
134 | S piega per iscritto quando una relazione ℜ in un insieme A gode della proprietà simmetrica. Fai
almeno un esempio.
135 | Spiega per iscritto quando una relazione ℜ in un insieme A gode della proprietà transitiva. Fai
almeno un esempio.
46
Algebra|
Relazioni
| esercizi
136 | S piega per iscritto quando una relazione ℜ in un insieme A gode della proprietà antisimmetrica.
Fai almeno un esempio.
137 | Illustra il significato delle seguenti scritture e riconosci le relative proprietà.
a. ∀x ∈ A , xℜx Proprietà ...................................................................
b. a , b , c ∈ A , se aℜb e bℜc allora aℜc Proprietà ...................................................................
⁄ a (a ≠ b) Proprietà ...................................................................
c. ∀a , b ∈ A , se aℜb allora b ℜ
Riconosci, fra le seguenti relazioni, quali sono riflessive.
138 | ℜ: «x è il successivo di y», con x , y ∈ N.
139 | ℜ: «x ha la stessa area di y», definita nell’insieme dei poligoni del piano.
140 | ℜ: «x è parallela a y», definita nell’insieme delle rette del piano.
141 | ℜ: «x abita nella stessa città di y», definita in un insieme di persone.
142 | D ato l’insieme A = {a , b , c , d} individua tutte le coppie che formano una relazione ℜ affinché tale
relazione sia riflessiva.
143 | L a relazione ℜ definita nell’insieme A = {3 , 5 , 7} è stata
rappresentata mediante una tabella a doppia entrata.
Spiega per iscritto perché si tratta di una relazione che gode
della proprietà riflessiva.
Riconosci, fra le seguenti relazioni, quali sono simmetriche.
ℜ
3
3
X
5
7
X
5
X
7
144 | ℜ : «a è il doppio di b», con a , b ∈ N.
145 | ℜ : «x ha la stessa cilindrata della moto y», definita nell’insieme delle moto circolanti in Italia.
146 | ℜ: «x ha lo stesso cognome di y», definita nell’insieme della popolazione italiana.
147 | ℜ: «x è nato nello stesso mese di y», definita nell’insieme della popolazione italiana.
148 | La relazione ℜ definita nell’insieme A = {2, 4, 6, 9} è
stata rappresentata mediante una tabella a doppia
entrata.
Spiega per iscritto perché si tratta di una relazione che gode
della proprietà riflessiva e simmetrica.
Riconosci, fra le seguenti relazioni, quali sono transitive.
ℜ
2
4
2
X
X
4
X
X
9
X
X
6
9
6
X
X
47
Algebra|
Relazioni
| esercizi
149 | ℜ: «a è più vecchio di b», definita in un insieme di persone.
150 | ℜ: «x ha lo stesso colore degli occhi di y», definita in un insieme di persone.
151| ℜ: «a è fratello di b», definita in un insieme di persone.
152 | ℜ: «la lettera x precede la lettera y», definita nell’insieme A = {n , a , p , o , l , i}.
153 | ℜ: «a è padre di b», definita in un insieme di persone.
154 | ℜ: «x inizia con la stessa cifra di y», con x , y ∈ N.
155 | ℜ: «x è il consecutivo di y», con x , y ∈ N.
Riconosci, fra le seguenti relazioni, quali sono antisimmetriche.
156 | ℜ: «x è divisore di y», con x , y ∈ No.
157 | ℜ: «x conosce la lingua di y», definita in un insieme di persone di diversa nazionalità.
158 | ℜ: «a è madre di b», definita in un insieme di persone.
159 | ℜ: «x è il quadruplo di y», con x , y ∈ N.
160 | ℜ: «a è il marito di b», definita in un insieme di persone.
161 | ℜ: «a ha la lunghezza doppia di b», definita nell’insieme dei segmenti di un piano.
162 | L a relazione ℜ definita nell’insieme A = {9 , 11 , 13} è stata
rappresentata mediante una tabella a doppia entrata.
Spiega per iscritto perché si tratta di una relazione che gode della
proprietà transitiva ed antisimmetrica.
ℜ
9
11
9
11
13
X
X
X
13
163 | La relazione di perpendicolarità fra rette di un piano è riflessiva?.
sì
no
È simmetrica?
sì
no
È transitiva?
sì
no
Giustifica le tue risposte. [R. Solo simmetrica]
48
Algebra|
Relazioni
| esercizi
164 | Di quali proprietà godono le seguenti relazioni?
Relazione
In un insieme di persone la relazione:
ℜ: «essere nato nello stesso giorno».
In un insieme di ragazzi la relazione:
ℜ: «avere la stessa marca di bicicletta».
In un insieme di persone la relazione:
ℜ: «è più ricco di».
In un insieme di persone la relazione:
ℜ: «è più povero di».
In un insieme di persone la relazione:
ℜ: «è più alto di».
In un insieme di pacchi:
ℜ: «x pesa più di y».
In un insieme di parenti:
ℜ: «a è cugino di b».
Riflessiva
Simmetrica
Transitiva
Antisimmetrica
165 | C onsidera un insieme di circonferenze di un piano. Di quali proprietà gode la relazione ℜ: «a ha
lo stesso centro di b»?
166 | Considera l’insieme delle rette di un piano. Di quali proprietà gode la relazione ℜ: «a interseca b»?
167 | C onsidera l’insieme N dei numeri naturali. Di quali proprietà gode la relazione ℜ: «a e b sono primi
tra loro»?
168 | Considera l’insieme R dei numeri reali. Di quali proprietà gode la relazione ℜ: «x è l’inverso di y»?
169 | Considera l’insieme R dei numeri reali. Di quali proprietà gode la relazione ℜ: «x è la radice di y»?
170 | C onsidera un insieme di libri e la relazione ℜ: «x ha un numero di pagine maggiore o uguale a y».
Di quali proprietà gode tale relazione?
171 | Nell’insieme A = {1 , 2 , 3 , 4} è definita la relazione ℜ: «x è diverso da y».
a. Individua le coppie che verificano la relazione.
b. R
iconosci di quali proprietà gode tale relazione e rappresentala mediante un diagramma a frecce ed un grafico
cartesiano.
172 | Nell’insieme X = {1 , 3 , 4 , 5} è definita la relazione ℜ: «x + y è un numero pari».
a. Individua le coppie che verificano la relazione.
b. R
iconosci di quali proprietà gode tale relazione e rappresentala mediante un diagramma a frecce ed un grafico
cartesiano.
49
Algebra|
| esercizi
Relazioni
173 | Nell’insieme N è definita la relazione ℜ: «x + y = 8».
a. Individua le coppie che verificano la relazione.
b. R
iconosci di quali proprietà gode tale relazione e rappresentala mediante un diagramma a frecce ed un grafico
cartesiano.
174 | È dato l’insieme X = {scuola , mare , corso , astro , Sole , logica} e la relazione ℜ: «x ha lo stesso
numero di lettere di y». Rappresenta la relazione ℜ mediante un diagramma a frecce ed indica le
proprietà di cui gode tale relazione.
175 | Riconosci di quali proprietà godono le relazioni rappresentate dalle seguenti figure.
1
4
2
3
5
2
a.
1
1
2
3
4
b.
4
4
3
3
2
2
1
1
1
2
3
4
1
2
3
c.d.
a. Proprietà ...........................................................................
b. Proprietà ...........................................................................
c. Proprietà ...........................................................................
d. Proprietà ...........................................................................
50
4
Algebra|
Relazioni
| esercizi
Relazioni d’ordine e di equivalenza
176 | S piega per iscritto quando una relazione ℜ in un insieme A si dice d’ordine totale. Fai almeno un
esempio.
177 | S piega per iscritto quando una relazione ℜ in un insieme A si dice d’ordine parziale. Fai almeno
un esempio.
178 | S tabilisci se la relazione ℜ: «x è nato dopo y», definita nell’insieme degli studenti di una scuola, è
una relazione d’ordine.
Giustifica la risposta.
sì
no . In caso affermativo si tratta di un or­dine totale o parziale?
179 | U n preparatore atletico di una squadra di calcio vuole mettere i calciatori in ordine di altezza, ma
si trova in difficoltà. La relazione ℜ definita nell’insieme dei calciatori:
«x è più alto di y»
è una relazione d’ordine totale?
sì
no . Giustifica la risposta.
180 | C ome nell’esercizio precedente, nel caso che la relazione ℜ sia:
«x ha statura maggiore o uguale a quella di y»
Si tratta di una relazione d’ordine totale?
sì
no . Giustifica la risposta.
181 | Esamina l’insieme:
A = {caso , libro , zucca , ape , pioggia}
e la relazione ℜ: «x inizia con una lettera che precede quella con cui inizia y».
Si tratta di una relazione d’ordine totale?
sì
no . Giustifica la risposta.
182 | Esamina l’insieme:
A = {poesia , colore , penna , palma , cuore}
e la relazione ℜ: «x inizia con una lettera che precede quella con cui inizia y».
Si tratta di una relazione d’ordine totale?
sì
no . Giustifica la risposta.
183 | È dato un insieme non vuoto A. La relazione ⊆ definita nell’insieme delle parti ℘(A) è una relazione
d’ordine?
sì
no . In caso affermativo, si tratta di una relazione d’ordine totale o parziale?
Giustifica la risposta.
184 | Su di una retta orientata la relazione ℜ: «il punto A precede il punto B» è di ordine totale?
sì
no .
Giustifica la risposta.[R. Sì]
185 | Considera gli insiemi:
A = {1} B = {1 , 2} C = {1 , 2 , 3} D = {1 , 2 , 3 , 4}
e l’insieme I = {A , b , c , d}.
La relazione ℜ: «x è incluso in y», con x , y ∈ I, è una relazione d’ordine?
sì
no .
In caso affermativo, si tratta di una relazione d’ordine totale o parziale? Giustifica la risposta.
51
Algebra|
Relazioni
| esercizi
186 | Esamina l’insieme:
X = {soldato semplice , tenente , capitano , generale}
e la relazione ℜ: «x riceve ordini da y».
Verifica che ℜ è una relazione d’ordine totale.
187 | È dato l’insieme:
X = {maggio , tempo , stagione , sera , meteorologia}
e la relazione ℜ: «x ha un numero di lettere maggiore di y».
Che tipo di relazione è ℜ?
188 | Completa le seguenti tabelle come nell’esempio.
Relazione
Riflessiva
Simmetrica
Transitiva
È una relazione di
equivalenza?
sì
sì
sì
sì
Nell’insieme dei segmenti di un piano:
ℜ: «a ha la stessa lunghezza di b».
Nell’insieme degli alunni di una classe:
ℜ: «x è compagno di classe di y».
In un insieme di ragazzi:
ℜ: «x è coetaneo di y».
Nell’insieme dei segmenti di un piano:
ℜ: «a ha lunghezza diversa da quella di b».
Nell’insieme P dei poligoni di un piano:
ℜ: «P1 ha la stessa forma di P2»,
con P1, P2 ∈ P.
189 |
Relazione
Riflessiva
Simmetrica
Transitiva
È una relazione di
equivalenza?
In un insieme di persone:
ℜ: «a è nato nello stesso anno di b».
In un insieme di rette di un piano:
ℜ: «a è perpendicolare a b».
In un insieme di rette di un piano:
ℜ: «a interseca b».
Nell’insieme degli alunni che frequentano una scuola:
ℜ: «x è della stessa sezione di y».
190 | L a relazione ℜ: «x divide y» definita nell’insieme N0 (insieme dei numeri naturali privato dello zero)
non è una relazione di equivalenza. Perché? Spiega per iscritto la tua risposta.
52
Algebra|
Relazioni
| esercizi
191 | N ell’insieme N dei numeri naturali la relazione ℜ: «a + b = 2c» (2c numero pari), con a , b , c ∈ N è
una relazione di equivalenza.
Perché? Spiega per iscritto la tua risposta.
192 | N ell’insieme delle città italiane la relazione ℜ: «x è nella stessa regione di y» è una relazione di
equivalenza. Perché? Spiega per iscritto la tua risposta.
193 | N ell’insieme delle auto circolanti in Italia la relazione ℜ: «x è della stessa marca di y» è una relazione di equivalenza. Spiega perché.
194 | Nell’insieme dei triangoli di un piano la relazione di congruenza è una relazione di equivalenza.
Spiega perché.
195 | Esamina l’insieme:
X = {Amelia , Cecilia , Bice , Bruno , Ciro , Ada , Carlo , Adele , Antonio}
e la relazione ℜ: «x inizia con la stessa lettera di y».
Verifica che ℜ è una relazione di equivalenza.
196 | Considera l’insieme N0 dei numeri naturali privati dello zero e la relazione ℜ: «x è primo con y».
Verifica che ℜ non è una relazione di equivalenza né una relazione d’ordine.
197 | Considera l’insieme N0 e la relazione ℜ: «x è il triplo di y».
Verifica che ℜ non è una relazione di equivalenza né una relazione d’ordine.
198 | Considera l’insieme dei punti di un piano α e sia O ∈ α.
Verifica che la relazione ℜ: «essere equidistanti da O» è una relazione di equivalenza.
Concetto di funzione
199 | Sia A l’insieme di 10 alunni della tua classe e B l’insieme dei seguenti nomi:
B = {Luca , Marco , Claudio , Anna , Maria , Ada}
La relazione ℜ: «a ∈ A ha per nome b ∈ B» è una funzione?
sì
no .
Motiva la tua risposta. .........................................................................................................................................
................................................................................................................................... ..........................................
200 | S e A l’insieme di tutti gli alunni della tua classe e B l’insieme dei dodici mesi dell’anno, la relazione ℜ:
a ∈ A è nato nel mese di b ∈ B
è una funzione?
sì
no .
Motiva la tua risposta. .........................................................................................................................................
................................................................................................................................... ..........................................
201 | Se A l’insieme di tutti gli alunni della tua classe e B l’insieme:
B = {Roma , Viterbo , Milano , Firenze , Napoli , Torino}
53
Algebra|
| esercizi
Relazioni
la relazione ℜ: «a ∈ A ha è nato a b ∈ B» è una funzione?
sì
no .
Motiva la tua risposta. .........................................................................................................................................
................................................................................................................................... ..........................................
202 |
La relazione ℜ: «a ∈ A ha per padre b ∈ B», definita in un insieme di persone adulte e dei propri
figli è una funzione?
sì
no .
Motiva la tua risposta. .........................................................................................................................................
................................................................................................................................... ..........................................
203 | La relazione ℜ: «a ∈ A ha per sorella b ∈ A», definita in un insieme A di ragazze è una funzione?
sì
no .
Motiva la tua risposta. .........................................................................................................................................
................................................................................................................................... ..........................................
204 | Fra un insieme A di ragazzi e l’insieme B dei loro genitori (padre o madre), la relazione ℜ: «a ∈ A
ha come genitore b ∈ B», è una funzione?
sì
no .
Motiva la tua risposta. .........................................................................................................................................
................................................................................................................................... ..........................................
205 | Individua almeno una grandezza dalla quale dipende ciascuna di quelle qui indicate.
a. Il perimetro di un rombo dipende da ..................................................................................................................
b. L’area di un cerchio dipende da .........................................................................................................................
c. Il costo di un appartamento dipende da ..........................................................................................................
d. Il tempo impiegato per percorrere una certa distanza dipende da ...................................................................
e. Il consumo di carburante di un’auto dipende da ..............................................................................................
206 | a. Il peso di un individuo dipende da .......................................................................................................
b. L’altezza del Sole sull’orizzonte dipende da .........................................................................................
c. La pressione che agisce su un corpo sommerso dipende da ..............................................................
d. Il costo di una telefonata dipende da ...................................................................................................
e. Il costo di un biglietto aereo dipende da ..............................................................................................
Ciascuno dei seguenti diagrammi di Venn rappresenta una relazione dell’insieme A verso l’insieme B.
Specifica per ogni rappresentazione se si tratta di una relazione oppure di una funzione (Attenzione: tieni
presente che non sempre una relazione è un funzione).
A
B
A
B
207 |
1
a
2
b
3
c
a
1
b
2
c
3
a. 54
d
b.
Algebra|
208 |
A
B
1
b
3
c
4
209 |
A
a
2
| esercizi
Relazioni
B
b
2
c
3
a. A
a
1
d
b.
B
A
1
a
2
b
3
c
B
1
a
2
b
3
c
4
a. b.
210 | Data una funzione y = f(x) è possibile che
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) = f(x2)? Giustifica la tua risposta fornendo qualche esempio.
211 | Data una funzione y = f(x) è possibile che
x1 = x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)? Prima di rispondere rifletti attentamente.
sì
no
sì
no
E
E
E
E
E
E
E
E
E
M
M
M
M
M
M
M
M
M
Funzioni empiriche
212 | Stabilisci se le seguenti funzioni sono empiriche E oppure matematiche M
.
a. Lo spazio percorso da un corpo è funzione del tempo impiegato a percorrerlo.
b. Il valore di un’auto usata è funzione della sua cilindrata.
c. Il raccolto di grano è funzione dell’area della superficie seminata.
d. La temperatura dell’acqua del mare è funzione della profondità.
e. Il tempo impiegato per eseguire un lavoro è funzione del numero di ore impiegate per farlo.
f. La lunghezza di una sbarra di ferro è funzione della sua temperatura.
g. Il consumo di acqua di una famiglia è funzione del numero di componenti della famiglia. h. L’importo della bolletta del gas è funzione del costo di un metro cubo di gas.
i. Il peso di un corpo è funzione del suo peso specifico.
Disegna il diagramma cartesiano di ciascuna delle seguenti funzioni empiriche.
213 | Potenza elettrica assorbita da un condominio nelle varie ore di un certo giorno.
ora (x)
6
9
12
15
18
21
24
potenza in kw (y)
2
10
14
5
3
8
1
55
Algebra|
| esercizi
Relazioni
214 | N umero dei nati in una città nei primi 8 mesi dell’anno (i mesi vengono indicati 1 = Gennaio, 2 =
Febbraio, ecc.).
mese (x)
numero nati (y)
1
2
3
4
5
6
7
8
560
500
480
540
600
520
440
580
(Assegna all’origine dell’asse delle ordinate il valore 400 e considera 40 nati = 1 cm).
215 | Incasso (in migliaia di Euro) di un supermercato nei vari giorni di una certa settimana (i giorni vengono indicati con 1 = lunedì, 2 = martedì, ecc.).
giorno (x)
incasso (y)
1
2
3
4
5
6
3,2
2,8
2,6
3,0
3,4
1,8
216 | N umero di km percorsi nei vari giorni di una settimana da un rappresentante di commercio (1 =
lunedì, 2 = martedì, ecc.).
giorno (x)
numero km (y)
1
2
3
4
5
6
350
250
200
300
250
100
alle ore 15.
Quante soste ha fatto l’au­tocarro?
Quale è stata la durata di ciascuna e la durata com­plessiva?
Quanti km erano stati per­corsi alle ore 13?
In quali ore ha percorso il maggior numero di km?
Quanti km sono stati per­corsi complessivamente?
Km
217 | Il diagramma rappresenta il numero di km percorso da un autocarro in un giorno, dalle ore 7
200
150
100
50
7
218 | Il diagramma rappresenta i guada­gni di Paperone (in
milioni di dol­lari) nel corso di una settimana (il simpatico avaro lavora anche la domenica). Quanto ha
guadagna­to Paperone il se­condo giorno della settimana? Quanto com­plessiva­mente alla fine della set­
tima­na? Che co­sa è accaduto giovedì? In quale giorno
ha rea­lizzato il maggior guadagno?
8
9
10
11
12
13
15 ore
14
6
5
4
3
2
1
L
56
M
M
G
V
S
D
Algebra|
219 | Il diagramma rappresenta la velocità (in km/h)
v
di una automobile da corsa in ogni pun­to del
circuito ABCD, che viene percorso nel senso
indicato dalla freccia. Con d si in­dicano le distanze progressive dal punto di partenza A,
nel quale l’automobile è inizialmente ferma.
In quale punto viene raggiunta la massima
velocità? In quale tratto l’automobile rallen­ta
maggiormente? Quale tratto viene percorso
con velocità costante?
A
D
| esercizi
Relazioni
300
200
100
B
C
A
B
C
D
A
d
Funzioni matematiche
220 | Compila la seguente tabella.
FUNZIONE MATEMATICA
DOMINIO
(insieme dei valori di x)
y = 3x
{ 0, 1, 2, 3 }
y=x–2
{ 0, 2, 4 }
y=–x+3
{ 0, 5, 6, 8 }
y = – 3x – 5
{ – 2, -1, 0, 1 }
y = x2 – 4
{ – 1, 0, 1, 2 }
y = – x2 + 4
{ – 1, 0, 1, 2 }
y = 2x2 – 5
{ x/x ∈ N, – 2 < x < 2 }
y = x2 – 2x
{ x/x ∈ N, – 2 ≤ x ≤ 2 }
2
y = __
x
1
4
__
__
{ – 1, 2 , 2, 5 }
1
5
__
__
{ – 2, – 5 , 2, 2 }
{ – 3, – 1, 0, 1, 2 }
5
2y = __
x
3y = x2 – 3
3y - x2 = – 4
1
y = _____
x–1
2
_____
y= 2
x +1
CODOMINIO
(insieme dei valori di y
corrispondenti agli assegnati valori di x)
{ – 2, 0, 1, 2 }
{ – 1, 0, 2, 3 }
{ – 1, 0, 1, 2 }
57
Algebra|
Relazioni
DOMINIO
(insieme dei valori di x)
FUNZIONE MATEMATICA
y = 2x + 3
{ x/x ∈ Z, – 2 < x < 0 }
y = – 3x + 7
1
7
__
y = __
2 x– 4
{ x/x ∈ Z, 0 < x < 10 }
| esercizi
CODOMINIO
(insieme dei valori di y
corrispondenti agli assegnati valori di x)
{ x/x ∈ Z, 1 < x < 3 }
221 | Indica tra i seguenti numeri dentro parentesi quelli che non possono appartenere al do­minio della
funzione e spiega perché.
1
1 (— 2, – 1, 0, 1) y = —
y=—
(— 3 , — 2 , 0 , 2 , 3)
2
x x —9
2 (— 1 , 0 , 1 , 2 , 3) y = 1 (— 2 , 0 , 1 , 2 , 3)
y=—
—
3
x—2
x —8
222 | Tra le seguenti coppie, sottolinea quelle che verificano l’uguaglianza y = 4x + 1.
(1 , 5) (2 , 10) (2 , 9) (4 , 17) (5 , 20) (6 , 25)
223 | Sapendo che una funzione y = f(x) può assumere i seguenti valori:
f(2) = 6 f(3) = 9 f(5) = 15 f(8) = 24
rappresenta per elencazione il dominio ed il codominio e sostituisci la generica scrittura y = f(x) con la giusta
formula.
224 | Se il dominio di entrambe le funzioni y = 2x e y = 2x + 1 è l’insieme N, qual è il codominio di ciascuna?
225 | Indicando con l la misura del lato e con 2p quella del perimetro, scrivi la funzione 2p = f(l) nel
caso del triangolo equilatero, del quadrato, del pentagono re­golare e del decagono regolare.
226 | I La misura dell’altezza di un rettangolo assume costantemente il valore 5 (espresso in una qualunque unità di misura), mentre la misura b della base varia. Indicando con 2p la misura del perimetro, scrivi la funzione 2p = f(b).
227 | Scrivi la funzione y = f(x) che fa corrispondere ad ogni numero x il suo doppio aumentato di 3.
Calcola f(5), f(9), f(16).
[R. 13 ; 21 ; 35]
228 | Scrivi la funzione y = f(x) che fa corrispondere ad ogni numero x il quoziente tra il numero stesso
7
diminuito della sua metà e 4. Calcola [f(6) + f(8)] : f(10).
[R. —5 ]
229 | Scrivi la funzione y = f(x) che fa corrispondere ad ogni numero x il triplo del numero stesso più —34 .
58
Algebra|
Relazioni
| esercizi
230 | Sapendo che il dominio della funzione dell’esercizio precedente è {x/x [ N , 1 < x < 9 , x è numero
pari}, calcola la somma degli elementi del codominio.
[R. 63]
231 | Il patrimonio di Paperon de’ Paperoni, che inizialmente era di 106 dollari, ogni giorno è aumentato
di 103 dollari. Indicando con n il numero dei giorni e con p l’ammontare del patrimonio, scrivi la
funzione p = f(n) e calcola f(1.000).
[R. 2 milioni di dollari]
232 | Data la funzione y = x
2
— 3 ed il dominio A = {2 , 6 , 7 , 12 , 13} trova il codominio B.
[R. B = {1 , 33 , 46 , 141 , 166}]
233 | Data la funzione y = 2x — 1 ed il codominio B = {5 , 15 , 17 , 23} trova il dominio A.
[R. A = {3 , 8 , 9 , 12}]
234 | D ata la funzione y = x
2
— 2x + 3 ed il dominio (vedi tabella), scrivi nella tabella gli elementi del
codominio.
0
x
1
2
3
4
5
6
7
10
16
24
y
235 |Data la funzione y = x — 5, completa la seguente tabella.
5
x
7
8
9
6
y
Conoscendo il dominio ed il codominio di una funzione, individua la formula matematica che esprime tale funzione.
Esempio
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
2
3
4
5
6
7
8
9
La funzione è evidentemente y = x + 1; infatti una qualsiasi coppia di valori corrispondenti verifica l’uguaglianza
y = x + 1.
236 |
237 |
x
0
1
3
4
5
9
11
15
y
0
2
6
8
10
18
22
30
x
0
1
2
5
6
9
12
13
y
2
3
4
7
8
11
14
15
59
Algebra|
238 |
239 |
240|
241|
242|
243|
Relazioni
| esercizi
x
0
1
2
3
4
5
6
7
y
1
4
7
10
13
16
19
22
x
0
2
4
6
8
10
12
24
y
1
2
3
4
5
6
7
13
x
3
4
5
6
7
10
15
20
y
0
1
2
3
4
7
12
17
x
0
1
2
3
4
5
6
7
y
0
2
8
18
32
50
72
98
x
3
6
9
12
15
21
30
33
y
1
2
3
4
5
7
10
11
x
2
4
6
8
10
12
14
16
y
2
8
18
32
50
72
98
128
244| Le formule di geometria esprimono delle funzioni. Verifica questa affermazione sulle seguenti for-
mule, precisando qual è la variabile indipendente, quale la dipendente, quali le eventuali costanti.
a. Perimetro del quadrato 2p = 4l
b. Area del quadrato A = l2
c. Lunghezza della circonferenza C = 2 π r
d.Area del cerchio A = π r2
e. Perimetro dell’esagono regolare 2p = 6l
f. Volume del cubo V = l3
60
Algebra|
Logica
prerequisiti
• Saper riflettere sul linguaggio.
• Saper analizzare una frase della lingua italiana.
• Possedere coscienze sui numeri naturali, sulla geometria del piano e sulle operazioni
insiemistiche.
obiettivi
sapere
saper fare
• Operare una distinzione tra linguaggio comune
e linguaggio matematico.
• Acquisire il concetto di enunciato ed il significato
logico dei vari connettivi.
• Sviluppare le capacità di riflessione e di astrazione.
• Utilizzare le tabelle di verità per lo studio di semplici
enunciati composti.
• Tradurre semplici enunciati dal linguaggio comune
in un linguaggio formale.
Che cos’è la logica
Il nostro linguaggio comune è fornato da proposizioni che possono essere valutate da diversi punti di vista: si può affermare se sono grammaticalmente corrette,
si può valutare se sono interessanti o se sono parzialmente vere o, ancora, se
destano in noi particolari sensazioni. Per valutare una singola proposizione oppure
un insieme di proposizioni che formano un ragionamento, si può utilizzare il criterio
della correttezza da un punto di vista logico. Ad esempio le proposizioni:
L’oro è un metallo o un numero dispari.
Se spunta il Sole, allora Roma è la capitale della Francia.
suscitano sicuramente in noi perplessità sulla loro coerenza e validità logica.
Sorgono quindi spontanee due domande: come si può valutare se è corretto
il passaggio da una proposizione ad un’altra? Com’è possibile affermare se un
ragionamento è corretto?
La logica matematica risponde a queste domande: essa è infatti un ramo
della matematica che studia le regole per svolgere ragionamenti rigorosi e corretti.
I primi oggetti di cui si interessa la logica sono le proposizioni.
Enunciati
Come la matematica, così anche la logica si è sviluppata nel corso dei secoli in
varie direzioni dando origine a tanti grossi capitoli. Noi però ci interessiamo solo
della logica delle proposizioni e prendiamo in esame solo quelle proposizioni che
esprimono fatti sicuramente veri o sicuramente falsi.
Così, delle quattro proposizioni:
1. Il ferro è un metallo.
2. L’acqua è un elemento chimico.
3. Il quadrato è bello.
4. Il prisma ha molti spigoli.
la logica si occupa della prima perché è vera e della seconda perché è
falsa, ma ignora le altre due perché sono ambigue (non tutti pensano che il quadrato sia bello; il prisma: molti spigoli: quanti, precisamente?).
La logica dunque si interessa solo di quelle proposizioni alle quali può essere
attribuito con certezza un valore di verità: vero oppure falso.
Una proposizione alla quale può essere assegnato il valore vero o il valore falso
si chiama anche enunciato.
Nella logica valgono due principi, i quali sono talmente evidenti da non richiedere alcuna spiegazione.
Principio di non contraddizione: un enunciato non può essere contemporaneamente vero e falso.
2
Algebra|
Logica
Per esempio: se Carla dice che in questo momento piove e Gisella dice che
non piove, è chiaro che una delle due è una bugiarda.
Principio del terzo escluso: se un enunciato è vero, il suo contrario è falso;
non esiste una terza possibilità.
Per esempio: se Gianni dice di essere stato promosso, esistono due sole possibilità: è vero oppure non è vero; non c’è una terza possibilità.
Molti enunciati possono essere formati collegando due enunciati semplici con
la particella “e” oppure con la particella “o” (ed in altri modi ancora).
Un enunciato ottenuto in questo modo si chiama enunciato composto.
Così ad esempio l’enunciato:
Adele legge e Bice disegna.
è un enunciato composto dagli enunciati semplici «Adele legge», «Bice disegna» e dal connettivo «e».
Ci proponiamo di mostrare che: la verità o la falsità di un enunciato composto dipende dal valore di verità degli enunciati costituenti e dal connettivo
usato per unirli.
Congiunzione
Dati due enunciati p e q, si chiama congiunzione di p e q l’enunciato composto p q ottenuto legando p e q col connettivo «e».
L’operazione di congiunzione, dunque, consiste nel legare insieme due enunciati semplici col connettivo «e».
Mostreremo ora che: nota la verità o la falsità di p e q, è sempre possibile stabilire quando p q è vero e quando è falso.
E S E M P I O 1
p = 2 è un numero pari (vero). q = 3 è un numero dispari (vero).
p q = 2 è un numero pari e 3 è un numero dispari (vero).
Conclusione: Se p e q sono veri, anche la loro congiunzione è vera.
E S E M P I O 2
p = 4 è un numero pari (vero). q = 5 è un numero pari (falso).
p q = 4 è un numero pari e 5 è un numero pari (falso).
Conclusione: Se p è vero e q è falso, la loro congiunzione è falsa.
E S E M P I O 3
p = 3 è un numero pari (falso). q = 4 è un numero pari (vero).
p q = 3 è un numero pari e 4 è un numero pari (falso).
Conclusione: Se p è falso e q è vero, la loro congiunzione è falsa.
3
E S E M P I O 4
p = 6 è un numero dispari (falso). q = 7 è un numero pari (falso).
p ` q = 6 è un numero dispari e 7 è un numero pari (falso).
Conclusione: Se p e q sono falsi, anche la loro congiunzione è falsa.
Usando i simboli seguenti:
VERO
=
V
oppure
1
FALSO
=
F
oppure
0
possiamo costruire una tabella, che viene detta tabella di verità della congiunzione:
p
q
p
q
V
V
V
1
1
1
V
F
F
1
0
0
F
V
F
0
1
0
F
F
F
0
0
0
p
q
oppure
p
q
Non è difficile riconoscere che la seconda tabella è anche la tabella della moltiplicazione eseguita nell’insieme {1 , 0}.
Abbiamo visto che:
Dati due enunciati p e q, la loro congiunzione p
entrambi gli enunciati costituenti p e q.
q è vera solo se sono veri
Mostriamo ora che: della congiunzione logica può essere data una interpretazione insiemistica.
Consideriamo ad esempio l’enunciato:
I triangoli che hanno il perimetro di 6 cm e l’area di 8 cm2.
Una traduzione più accurata dell’enunciato proposto è:
I triangoli che hanno il perimetro di 6 cm ed i triangoli che hanno l’area di 8 cm2.
Ebbene, se rappresentiamo con A l’insieme dei triangoli che hanno il perimetro
di 6 cm e con B l’insieme dei triangoli che
hanno l’area di 8 cm2, scopriamo subito
che l’insieme A ∩ B è formato proprio dai
triangoli che hanno il perimetro di 6 cm e
l’area di 8 cm2.
4
A
Fig.1
B
Algebra|
Logica
Dunque:
La congiunzione di due enunciati p e q può essere rappresentata dall’intersezione dei due insiemi che rappresentano p e q rispettivamente.
P
Fig.2
Q
G
L
Mostriamo ancora che: la congiunzione si comporta come un circuito elettrico
nel quale siano inseriti due interruttori in serie.
Esaminate il circuito disegnato in figura 2: vi sono gli interruttori P e Q disposti
uno dopo l’altro (in serie, appunto), la lampadina L ed il generatore di corrente G.
Se P e Q sono entrambi aperti, come in figura, la lampadina L non si accende
perché nel circuito non passa corrente elettrica.
Se uno dei due interruttori è chiuso ma l’altro è aperto, nel circuito non passa
corrente e la lampadina non si accende neppure in questo caso.
Solo se entrambi gli interruttori sono abbassati, la lampadina L si accenderà.
Come si vede, la situazione rispecchia fedelmente quella della congiunzione.
Per precisarla meglio, si usa scrivere 1 per segnalare che la corrente passa, e
0 per segnalare che la corrente non passa.
Così, ad esempio, la scrittura:
1 e 0 = 0
indica che la corrente passa attraverso l’interruttore P (perché chiuso) ma non
passa attraverso l’interruttore Q (perché aperto), per cui non passa neppure attraverso la lampadina L che pertanto rimane spenta.
Se raccogliamo in una tabella i risultati dei quattro casi possibili
(1 e 1 = 1, 1 e 0 = 0, 0 e 1 = 0, 0 e 0 = 0),
troveremo riprodotta la tabella di verità della congiunzione.
Perché è importante questo risultato? È importante perché 0 e 1 sono le cifre
del sistema di numerazione binario, sistema nel quale qualsiasi numero è rappresentato da una sequenza di cifre 1 e 0. E allora? Allora è possibile interpretare una
successione di «passa corrente», «non passa corrente» come una successione di
cifre binarie, ossia come un numero espresso nella base due.
Da ciò è nata l’idea di costruire un calcolatore che utilizzasse il sistema binario
per rappresentare numeri, per eseguire calcoli, per ricevere informazioni, per elaborare dati, eccetera. Sapete bene quanta strada ha fatto un’idea così semplice.
Disgiunzione vel
L’operazione di disgiunzione consiste nel legare due enunciati semplici col connettivo «o».
Occorre però subito premettere che nella lingua italiana la particella «o» viene
usata con due significati.
Ad esempio la promessa di Luigi:
Ti regalerò un libro o un orologio.
sarà mantenuta in tre casi: se ti regala un libro, se ti regala un orologio, se ti
regala sia un libro che un orologio.
5
Invece l’affermazione di Alfredo:
Tornerò in treno o in aereo.
sarà vera solo in due casi: se torna in treno, se torna in aereo (sarà infatti impossibile usare contemporaneamente il treno e l’aereo).
Quando, come nell’esempio di Luigi, la «o» che unisce due enunciati p e q
viene usata nel senso di «p o q od anche tutti e due», si dice che la «o» ha significato inclusivo.
Quando invece la «o» viene usata nel senso di «o p o q, ma non tutti e due», si
dice che la «o» ha significato esclusivo.
Poiché il latino usa la parola VEL nelle disgiunzioni inclusive e la parola AUT in
quelle esclusive, anche nella logica si distigue la disgiunzione VEL dalla disgiunzione AUT.
Qui ci occuperemo solo della disgiunzione vel, il cui simbolo ∨ è per l’appunto
l’ini­ziale della parola vel, e la chiameremo semplicemente disgiunzione senza ag­
giungere la specificazione vel. Diremo:
Dati due enunciati p e q, si chiama disgiunzione di p e q l’enunciato composto
p ∨ q ottenuto legando p e q col connettivo «o».
L’affermazione:
Fabio è geometra o ingegnere.
risulta vera in tre casi: se Fabio è geometra senza essere ingegnere, se Fabio
è inge­gnere senza essere geometra, se Fabio è sia geometra che ingegnere.
L’affermazione è falsa solo se Fabio non è né geometra né ingegnere.
In generale:
La disgiunzione p ∨ q di due enunciati p e q è vera se è vero p, se è vero q, se
è vero p ed è vero anche q; è falsa solo se è falso p ed è falso anche q.
Abbiamo perciò la seguente tabella di verità della disgiunzione:
p
q
p∨q
p
q
p∨q
V
V
V
1
1
1
V
F
V
1
0
1
F
V
V
0
1
1
F
F
F
0
0
0
oppure
Mostriamo ora che anche della disgiunzione vel può essere data un’interpretazione insiemistica.
Consideriamo ad esempio l’enunciato:
Le persone che sono maggiorenni o sono sposate.
6
Algebra|
Logica
Se rappresentiamo con A l’insieme delle persone maggiorenni e con B l’insieme delle persone sposate, ci accorgiamo subito che l’in­sieme delle persone
di cui parla l’enuncia­to proposto è costituito dall’unione dei due insiemi A e B
(figura 3).
Dunque:
A
B
Fig.3
La disgiunzione di due enunciati p e q viene rappresentata dall’unione dei due
insiemi che rappresentano p e q rispettivamente.
Mostriamo infine che anche la disgiunzione può essere rappresentata da un
circuito elettrico nel quale siano inseriti due interruttori in parallelo.
L
P
Q
Fig.4
G
Esaminiamo il circuito disegnato in figura 4 e le quattro possibili eventualità.
Se abbassiamo l’interruttore P, la corrente lo attraversa e la lampadina si accende (anche se Q è aperto).
Se abbassiamo l’interruttore Q, la corrente lo attraversa e la lampadina si accende (anche se P è aperto).
Se abbassiamo entrambi gli interruttori, la corrente li attraversa e la lampadina
si accende.
Solo se entrambi gli interruttori sono aperti (come in figura) la lampadina non
si accende.
Scrivendo 1 per segnalare che la corrente passa e 0 per segnalare che la
corrente non passa, si ottiene una tabella identica alla tabella di verità della disgiunzione.
Dunque un circuito con due interruttori in parallelo è in grado di simulare
l’opera­zione logica disgiuntiva. In ogni calcolatore dovrà perciò essere presente
anche questo tipo di circuito.
Negazione
Sappiamo che la negazione di una proposizione richiede l’uso del connettivo
«non».
Il modo più semplice per ottenere la negazione di una proposizione consiste
nel premettere all’enunciato da negare l’espressione «non è vero che».
La negazione di un enunciato p si indica con − p.
7
Esaminiamo ora i seguenti esempi.
1. p = Il triangolo è un poligono (vero).
− p = Non è vero che il triangolo è un poligono (falso).
2. p = Il delfino è un pesce (falso).
− p = Non è vero che il delfino è un pesce (vero).
Troviamo che:
Se l’enunciato p è vero, la sua negazione è falsa; se l’enunciato p è falso, la
sua negazione è vera.
Poiché la negazione opera su un solo enunciato, la sua tabella di verità avrà il
seguente aspetto:
p
−p
V
F
F
V
oppure
p
−p
1
0
0
1
Mostriamo con un esempio che anche la negazione ha la sua interpretazione
in­sie­mistica. Consideriamo l’enunciato:
p = Antonio è una persona sposata.
e la sua negazione:
− p = Antonio non è una persona sposata.
M
Fig.5
A
A'
Ebbene: l’enunciato p dice che Antonio appartiene all’insieme A delle persone
sposate, mentre l’enunciato − p dice che Antonio appartiene all’insieme A′ delle
persone che non sono sposate (figura 5).
Si opera così una partizione dell’insieme M di tutte le persone in due classi, ma
è chiaro che Antonio può essere il rappresentante di una sola classe.
Si dice che A ed A′ sono l’uno il complementare dell’altro rispetto ad M.
Ed allora: se A è il dominio di verità dell’enunciato p, il suo complementare A′
rispetto ad M sarà il dominio di verità dell’enunciato − p. E viceversa.
Esaminiamo il circuito disegnato in figura 6.
I casi possibili sono due: l’interruttore T gira a sinistra e chiude il circuito P;
l’interruttore T gira a destra e chiude il circuito P′.
T
L
P
Fig.6
8
G
L'
P'
Algebra|
Logica
Nel primo caso la lampadina L si ac­cende e la lampadina L′ rimane spenta; nel
secondo caso la lampadina L rimane spenta ed L′ si accende.
L’impianto cioè riproduce il comportamento della ne­ga­zione: se p è vero, la
sua negazione è falsa; e se p è falso la sua negazione è vera.
Il matematico inglese George Boole fu il primo studioso di logica matematica.
Lo sviluppo delle sue teorie e la possibilità tecnica di costruire circuiti elettrici
sempre più piccoli hanno condotto alla realizzazione dei moderni calcolatori
capaci di eseguire operazioni sempre più complesse in tempi sempre più ridotti.
Premesse e conclusioni.
Nesso logico
Consideriamo i seguenti enunciati semplici:
a = Ho fame. b = Studio la matematica.
Se li colleghiamo tra loro mediante le parole:
se .........., allora ..........
otteniamo il seguente enunciato composto:
Se ho fame allora studio la matematica.
Ma, se qualcuno dicesse una cosa del genere, tutti si metterebbero a ridere,
perché tra i due enunciati semplici che compongono la frase non c’è alcun collegamento logico (si dice che non c’è nesso logico); infatti non ha senso considerare
la fame un motivo logico per mettersi a studiare la matematica.
I due enunciati a e b sono del tutto indipendenti l’uno dall’altro; quindi il fatto
che a sia vero non può in alcun modo aiutarci a capire se b sia vero o falso. Invece
in matematica, e non solo in matematica, la verità (o falsità) delle conclusioni che si
traggono deve sempre essere conseguenza della verità (o falsità) delle premesse.
Implicazione
a = Cade la neve.
b = Fa freddo.
Se cade la neve, allora fa freddo (vero).
Sostituendo ai due enunciati semplici le rispettive lettere, possiamo scrivere:
Se a, allora b.
Si dice che un enunciato ne implica un altro quando appare evidente che
il secondo è conseguenza del primo; siccome proprio questo è il nostro caso,
possiamo scrivere:
a implica b; ovvero: a ⇒ b
Il simbolo ⇒ è detto simbolo di implicazione.
In altre parole: dal fatto che cade la neve (a) si deduce che fa freddo (b) e la
cosa può essere espressa indifferentemente in uno dei seguenti modi:
9
Se a, allora b a implica b
a ⇒ b da a si deduce b
a, quindi b
Questo tipo di relazione tra due enunciati si chiama implicazione. Il termine
alla sinistra del simbolo ⇒ è il primo membro, quello a destra il secondo; però, a
seconda dei casi, vengono anche usati nomi diversi:
primo membro
premessa
ipotesi
antecedente
secondo membro
conclusione
tesi
conseguente
Scriviamo ora il nostro enunciati composto nella forma inversa, cioè in modo
che la premessa diventi conclusione (e viceversa):
Se fa freddo, allora cade la neve.
Si può affermare che b ⇒ a? NO; infatti, anche se fa freddo, non è detto che
cada la neve; può darsi che cada, ma non si può esserne certi, e quindi non si
può parlare di implicazione (in matematica non sono ammesse incertezze).
Se consideriamo gli enunciati contrari (− a = Non cade la neve, − b = Non fa
freddo), è facile constatare che l’implicazione cambia senso:
− a ⇒ — b (falso).
− b ⇒ — a (vero).
Infatti non è logico dire:
Se non nevica, allora non fa freddo.
mentre è logico dire:
Se non fa freddo, allora non nevica.
Ora rispondete a queste semplici domande:
È necessario che cada la neve affinché faccia freddo? È sufficiente che cada la neve affinché faccia freddo? È sufficiente che faccia freddo affinché cada la neve? sì
sì
sì
no
no
no
Avrete senz’altro risposto correttamente e quindi vi sarete resi conto che la
relazione a ⇒ b può anche essere letta nel modo seguente:
a è condizione sufficiente per b.
b è condizione necessaria per a.
La premessa cade la neve è sufficiente per dedurre che fa freddo (non può
cadere neve se non fa freddo), però non è affatto necessaria (non è necessario
veder nevicare per sentire freddo).
La premessa fa freddo è necessaria per dedurre che cade la neve, però non
è sufficiente (non basta che faccia freddo per avere una nevicata).
Le espressioni condizione necessaria, condizione sufficiente, ed anche condizione necessaria e sufficiente, si usano molto spesso in matematica
10
Algebra|
Logica
Doppia implicazione o equivalenza
a = La mia auto è in moto.
b = La mia auto sta consumando carburante.
Se la mia auto è in moto, allora sta consumando carburante (vero).
Se a, allora b; ovvero: a ⇒ b.
Scriviamo anche la forma inversa:
Se la mia auto sta consumando carburante, allora è in moto (vero).
Se b, allora a; ovvero: b ⇒ a.
L’implicazione è quindi sia in un senso che in quello opposto, cioè si ha una
doppia implicazione, per cui si usa come simbolo una freccia a due punte (simbolo
di equivalenza):
a ⇔ b
a equivalente b
I due enunciati sono equivalenti
Infatti dire che l’auto è in moto equivale senza dubbio a dire che sta consumando
carburante (e viceversa): non può consumare se non è in moto e non può essere
in moto se non sta consumando.
Ragionando un po’, non vi sarà difficile convincervi che vale anche la relazione
− a ⇔ − b
È facile rendersi conto che la relazione a ⇔ b può essere letta nel modo
seguente:
a è condizione necessaria e sufficiente per b
ed anche:
b è condizione necessaria e sufficiente per a.
La premessa auto in moto è non solo necessaria, ma anche sufficiente per
dedurre che sta consumando carburante.
La premessa sta consumando carburante è non solo necessaria, ma anche
sufficiente per dedurre che l’auto è in moto.
11
VERIFICA LE CONOSCENZE
Rispondi ai seguenti quesiti sul tuo quaderno.
1
Di quali proposizioni si occupa la logica?
6
In quanti e quali casi è vera la di­sgiunzione di
due enunciati?
7
Illustra l’interpretazione insiemistica della disgiunzione.
8
Costituisci la tabella di verità della ne­gazione.
2
Che cosa afferma il principio di non contraddizione?
3
Che cosa afferma il principio del terzo
escluso?
4
Che cosa s’intende per congiunzione di due
enunciati?
9
Attraverso un esempio, spiega quando un
enunciato implica un altro.
5
Descrivi il circuito elettrico che è capace di
simulare la congiunzione di due enunciati.
10
Spiega quando due enunciati si dicono equivalenti.
ATTENZIONE
Se la risposta a qualcuno dei precedenti quesiti
non è stata tempestiva oppure hai avuto dubbi
o non vi è stata affatto, rileggi attentamente i relativi argomenti.
12
unità|1|
Circonferenza, cerchio
e loro misura
| autovalutazione
AUTOVALUTAZIONE
Segna con una crocetta la risposta esatta.
1
2
3
Che cos’è un enunciato?
A Un’esclamazione;
C una proposizione vera;
B una proposizione vera o falsa;
D l’espressione di un dubbio.
La proposizione «Londra non è la capitale della Gran Bretagna» è:
A un enunciato vero;
B un enunciato falso;
C una esclamazione;
D un enunciato di tipo probabilistico.
Il principio del terzo escluso afferma che, in un ragionamento:
A possono essere contemporaneamente falsi un enunciato a ed il suo contrario − a;
B possono essere contemporaneamente veri un enunciato a ed il suo contrario − a;
C un enunciato o è vero o è falso, non esiste una terza possibilità;
D un enunciato non può essere contemporaneamente vero e falso.
4
5
6
La negazione dell’enunciato «Tutti i gatti sono grigi» è:
A vi sono pochi gatti grigi;
B non vi sono gatti grigi;
C non tutti i gatti sono grigi;
D vi sono moltissimi gatti grigi.
Se un enunciato è falso:
A la sua negazione è vera;
B anche la sua negazione è falsa;
C la sua negazione può essere vera o falsa, dipende dai casi;
D la sua negazione è un enunciato di tipo probabilistico.
L’enunciato «Luca ha studiato l’italiano e l’inglese» è vero se:
A Luca non ha studiato né l’italiano né l’inglese;
B Luca ha studiato solo l’italiano;
C Luca ha studiato solo l’inglese;
D Luca ha effettivamente studiato sia l’italiano che l’inglese.
13
Algebra|
7
8
9
| autovalutazione
Logica
Qual è la tabella di verità della congiunzione?
A B C D p
q
p∧q
p
q
p∧q
p
q
p∧q
p
q
p∧q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
Dati gli enunciati:
a = Batman è un personaggio dei fumetti.
b = Torino si trova in Puglia.
l’enunciato composto a ∨ b:
A è vero;
C è falso;
B è privo di significato logico;
D non è né falso né vero.
Se tra due enunciati semplici p e q si interpone il simbolo ⇒ di implicazione, l’enunciato composto
p ⇒ q assume il seguente significato:
A q è la negazione di p;
B p è la negazione di q;
C da p probabilmente si deduce q;
D se p, allora q oppure, equivalentemente, da p si deduce q.
Una giusta implicazione dell’enunciato «Giulio è italiano» è:
10 A Giulio è nato a Roma;
C Giulio è nato da genitori italiani;
B Giulio è europeo;
D Giulio è siciliano.
L’enunciato «Elena e Lucio sono fratelli» è logicamente equivalente all’enunciato:
11 A Elena e Lucio hanno la stessa età;
C Elena e Lucio hanno lo stesso padre;
B Elena e Lucio hanno lo stesso cognome;
D Elena e Lucio hanno gli stessi genitori.
SOTTO (CAPOVOLTE) TROVERAI LE RISPOSTE ESATTE: CALCOLA 1 PUNTO PER
CIASCUNA RISPOSTA CORRETTA E DETERMINA IL PUNTEGGIO TOTALE.
Devi rivedere con cura ed attenzione gli ar­gomenti trattati:
hai ancora dubbi ed in­certezze diffuse.
Devi rileggere solo alcuni argomenti che non ti sono chiari: individua quali sono.
Puoi proseguire il tuo studio.
9
2
B 1
D 10 B 11 D
B 3
C 4
C 5
A 6
D 7
B
RISPOSTE
14
A Da 0 a 5 punti
da 6a 8 punti
da 9a 11 punti
Comportamento consigliato
8
Punteggio
IMPARA GIOCANDO
Un enunciato ed il suo contrario
Quante parole ci sono nel riquadro?
Cinque.
Chiaramente l’enunciato è falso.
Quindi il suo contrario dovrebbe essere vero.
Giusto?
Sbagliato!
Il suo contrario contiene esattamen­te sei parole.
Com’è possibile risolvere questi strani dilemmi?
Gli enunciati precedenti sono esempi di paradossi, cioè enunciati o ragionamenti apparentemente corretti, che
però portano a conclusioni assurde o in contrasto con risultati già noti.
Ecco un altro paradosso anonimo relativo alla verità e falsità degli enunciati,
Qui ci sono tre enunciati falsi. Sapete riconoscerli?
a.
b.
c.
d.
e.
2+2=4
3 x 6 = 17
8:4=2
13 — 6 = 5
5 + 4 = 9.
Risposta: solo gli enunciati b. e d. sono falsi. Quindi l’affermazione che ci sono tre enunciati falsi è falsa e costituisce, quindi, il terzo enunciato falso. O no?
Adattato da M. Gardner, Ah! Ci sono!, Mondadori−De Agostini
15
approfondimenti ed estensioni | tautologie
e contraddizioni
I connettivi logici permettono, come si è visto, di
costruire enunciati composti utilizzando due o più
enunciati. Il valore di verità di un enunciato composto
dipende poi dagli enunciati semplici che lo compongono. Per verificare il valore di verità di un enunciato
composto si ricorre alla costruzione delle tabelle di
verità.
Sia p un enunciato. Formiamo l’enunciato composto
con il connettivo ∨ utilizzando l’enunciato p e la sua
negazione − p e costruiamo la relativa tabella di verità.
Si ha:
p
−p
p∨−p
V
F
V
F
V
V
Notiamo subito che l’enunciato composto con il connettivo p ∨ − p è sempre vero, qualunque siano i valori di verità di p e di − p.
Un enunciato composto si definisce tautologia
se è vero qualunque sia il valore di verità degli
enunciati semplici che lo formano.
E
S
E
M
P
I
Gli enunciati composti:
Mangio o non mangio.
Roma è la capitale d’Italia o non è la capitale
d’Italia.
Il 6 è un numero pari o il 6 non è pari.
costituiscono altrettanti esempi di tautologie.
16
Appare evidente che ogni enunciato composto strutturato come i tre esempi precedenti è una tautologia.
Consideriamo ora un enunciato p. Costruiamo l’enunciato composto con il connettivo ∧ servendoci di p e
dell’enunciato − p e scriviamo la relativa tabella di
verità.
Otterremo:
p
−p
p∧−p
V
F
F
F
V
F
Cioè l’enunciato composto p ∧ − p è sempre falso,
qualunque siano i valori di verità di p e di − p.
Un enunciato composto si chiama contraddizione se è falso qualunque sia il valore di verità
degli enunciati semplici che lo formano.
E
S
E
M
P
I
Rido e non rido.
9 è dispari e non è vero che 9 è dispari.
6 + 7 = 13 e 6 + 7 ≠ 13.
sono contraddizioni.
Per verificarlo basta osservare che le relative tabelle di verità sono uguali alla precedente tabella.
Anche in questo caso è ovvio che ogni enunciato composto strutturato come i tre esempi precedenti è una
contraddizione.
Tautolofie e contraddizioni sono importanti strumenti
per il matematico, in quanto consentono di analizzare i
cosiddetti ragionamenti deduttivi per la dimostrazione
di teoremi.
Frammenti di storia
Giorgio Boole e la nascita
della logica matematica
Nelle pagine precedenti abbiamo accennato alla logica matematica (o logica
simbolica), scopo della quale è la co­struzione di quel complesso di nozioni
necessarie e sufficienti per rappresentare, mediante dei simboli, le verità matematiche e per dimostrarle, cioè per ricavare alcune verità da altre già note.
La logica simbolica permette di ragionare, anziché con le parole, con dei precisi simboli. Il linguaggio matematico è infatti un linguaggio simbolico, fatto
di segni che rappresentano nu­meri, operazioni, relazioni.
La creazione di un sistema semplice e pratico di logica matematica è opera
dell’inglese Giorgio Boole (1815-1864). Ma co­me spesso accade a chi propone delle no­vità che turbano equilibri lungamente consolidati, l’opera di
Boole venne osteggiata, non solo da molti suoi contemporanei, ma addirittura
fino ai primi decenni del nostro secolo; i più tenaci detrattori erano proprio
persone che di matematica ne masticavano ben poca e, tanto per fare un esempio, si esprimevano in questi termini:
«… la matematica inaridisce lo spirito…»;
«… in matematica la sciocchezza è elevata al grado d’ingegno e l’ingegno
ab­bassato a quello d’incapacità».
Oggi tutti riconoscono che la logica simbolica è indispensabile per qualsiasi
serio tentativo di comprendere la natura della ma­tematica e le basi sulle quali
poggia tut­ta la sua struttura. La mente umana sa­rebbe forse incapace di affrontare tali questioni se non disponesse di questo metodo, che permette di
fissare in modo inequivocabile il significato delle parole e dei simboli e di
condurre ragionamenti senza possibilità di errore.
17
Algebra|
Logica
| esercizi
Enunciati
1 | Indica con una crocetta quali delle seguenti proposizioni interessano la logica. (Attenzione a non
☐
☐
☐
☐
☐
☐
confondere una proposizione falsa con una di cui la logica non si occupa).
Il triangolo isoscele ha due lati uguali.
Il numero 27 è un numero primo.
Quello di Pitagora è il teorema più bello di tutti.
2 è maggiore di − 6.
Le penne verdi scrivono meglio di quelle rosse.
Il rettangolo è un poligono regolare.
2 | ☐ Tutti gli uccelli volano.
☐ 2 è un numero razionale.
☐ In collina si vive bene.
☐ La Luna è una stella.
☐ Il valore assoluto di 2 è minore del valore assoluto di − 6.
☐ Ogni triangolo ha tre altezze.
3 | ☐ Silenzio, arriva il Preside!
☐ Che ora è?
☐ Ho tanta sete.
☐ Il Po non è un fiume.
☐ Garibaldi sbarcò in Sicilia.
☐ Il cane ruggisce.
4 | ☐ Il Tevere sfocia nel Mar Adria­tico.
☐ Non uscire, piove!
☐ Il gatto è un rettile.
☐ Armando è simpatico.
☐ Come ti chiami?
☐ Un anno è formato da 13 mesi.
18
Algebra|
Logica
| esercizi
5 | ☐ Questa città è grande.
☐ Settembre è il secondo mese dell’anno.
☐ Giocare a tennis è divertente.
☐ Il libro di geografia è interessante.
☐ Chiudi quella porta!
☐ Ilaria è bella.
6 | ☐ Forse verrò da te.
☐ Il Sole è una stella.
☐ Firenze è una bella città.
☐ Milano si trova in Lombardia.
☐ Oggi fa caldo.
☐ Dammi la matita!
Alcuni dei seguenti enunciati sono veri, altri falsi. Sottolinea quelli veri.
7 | a = Bologna è una città della Sicilia.
c = La tartaruga è un rettile.
e = Il triangolo ha quattro lati.
8 | a = Diego Maradona è uno scrittore.
c = Il telefono è un mezzo di comunicazione.
e = Il lago di Garda si trova in Sicilia.
9 | a = L’astronomia è una scienza.
c = Il tatto è uno dei cinque sensi.
e = La torre Eiffel si trova a Londra.
10 | a = Una squadra di calcio è formata da sei giocatori.
c = 8 è un numero decimale.
e = I colori dell’arcobaleno sono 5.
11 | a = I francesi sono europei.
c = 7,51 è un numero intero.
e = Il 25 Dicembre è Natale.
12 | a = La metà di 20 è 10.
c = Manzoni scrisse la Divina Comme­dia.
e = La giraffa è un carnivoro.
b = L’Italia è un’isola.
d = L’idrogeno è un elemento chimico.
f = L’automobile ha solo due ruote.
b = La frutta è ricca di vitamine.
d = La benzina ed il carbone sono combustibili.
f = L’ossigeno è un gas.
b = I pesci vivono solo nel mare.
d = L’Italia è un’isola del Mediterraneo.
f = Il cristianesimo è una religione.
b = Il cane è un animale domestico.
d = Il cavallo è un mammifero.
f = Nerone fu un imperatore romano.
b = La foca è un pesce.
d = La Luna ruota attorno alla Terra.
f = Napoli è una città delle Mar­che.
b = Napoleone fu un grande scienziato.
d = L’uomo appartiene ai mammiferi.
f = La Coca Cola è una bevanda.
13 | Inventa e scrivi cinque enunciati veri.
14 | Inventa e scrivi cinque enunciati falsi.
15 | Inventa e scrivi cinque proposizioni di tipo probabilistico.
19
Algebra|
| esercizi
Logica
16 | Completa le seguenti frasi in modo da ottenere enunciati veri.
a=
b=
c=
d=
e=
........................................................... è un pesce.
.......................................................... servono per ta­­­gliare.
........................................................... è uno sport.
........................................................... bagna la cit­tà di Roma.
........................................................... è un carnivo­ro.
17 | Completa le seguenti frasi in modo da ottenere enunciati falsi.
a=
b=
c=
d=
e=
...........................................................
...........................................................
...........................................................
...........................................................
...........................................................
è un pianeta.
è il doppio del numero 30.
fu un musicista.
hanno le zampe palmate.
è una be­van­da alcolica.
Attribuisci a x un valore tale da ottenere enunciati veri.
18 | x + 3 = 10.,
x =
x + 9 > 15.,
x = ...................
19 | x − 8 = 102.,
x =
x2 > 3., x = ...................
20 | x è un numero primo.,
x =
x è un divisore di 30.,
x = ...................
21 | x è un numero pari.,
x =
x2 = 25.,
x = ...................
22 | x è un multiplo di 11.,
x =
Il triplo di x è 27.,
x = ...................
23 | Il quadruplo di x è 20.,
x =
x3 > 100.,
x = ...................
24 | x = m.c.m. (7 ; 21)., x =
x =
M.C.D. (15 ; 30).,
x = ...................
25 | La terza parte di x è 20.,
x =
5 ⋅ x = 100.,
x = ...................
Congiunzione
26 | Vero o falso?
a. Se p è vero e q è falso, allora p ∧ q è vero.
b. Se p è falso e q è falso, allora p ∧ q è falso.
c. La congiunzione di due enunciati p e q può essere rappresentata dall’unione di insiemi.
d. La congiunzione si comporta come un circuito elettrico nel quale sono inseriti due
interruttori in parallelo.
e. Se p = V e q = F, allora p ∧ (p ∧ q) è vero.
20
v
v
v
f
f
f
v
v
f
f
Algebra|
Logica
| esercizi
27 | Dati gli enunciati:
p = Il cane di Tullio è spavaldo.
q = Andrea è andato in vacanza.
scrivi l’enunciato composto p ∧ q e stabilisci caso per caso il suo valore di verità. (Se p e q sono veri, allora p ∧
q è …; se p è vero e q…).
28 | Dati gli enunciati:
p = Il rombo ha le diagonali perpendicolari.
q = Il rettangolo è un parallelogrammo.
stabilisci il valore di verità della loro congiunzione p ∧ q.
29 | Dato l’enunciato: «Arturo è alto e grasso», traducilo sotto forma di congiunzione di due enunciati
semplici p e q.
30 | Dato l’enunciato: «ABC è un triangolo rettangolo isoscele», presentalo sotto forma di congiunzione
di due enunciati semplici.
31 | Riscrivi l’enunciato: «2 e 3 sono rispettivamente numeratore e denominatore della frazione
come congiunzione di due enunciati semplici. (2 è il numeratore della frazione
»
e 3 è…).
32 | Riscrivi l’enunciato: «ABCD è un quadrato» come congiunzione di due enunciati semplici. (ABCD
è un quadrilatero equilatero e ABCD è …).
33 | Riscrivi l’enunciato: «Luca è un ragazzo intelligente» come congiunzione di due enunciati semplici.
(Luca è un ragazzo e…).
34 | Riscrivi l’enunciato: «6 è un numero multiplo di 3» come congiunzione di due enunciati semplici.
(6 è un numero e 6 è…).
35 | Riscrivi l’enunciato: «Il triangolo isoscele ABC ha l’area di 90 cm » come congiunzione di due enun2
ciati semplici. (Il triangolo ABC è isoscele e…).
36 | Riscrivi l’enunciato: «Il recipiente, che contiene 30 litri di acqua, è alto 45 cm» come congiunzione
di due enunciati semplici.
37 | Riscrivi l’enunciato: «r è una retta perpendicolare ad s» come congiunzione di due enunciati semplici.
38 | Riscrivi l’enunciato: «35 è un numero di due cifre» come congiunzione di due enunciati semplici.
39 | Perché l’enunciato: «35 è un multiplo di 5» non si può porre sotto forma di congiunzione di due
enunciati semplici?
21
Algebra|
| esercizi
Logica
40 | Considera gli enunciati:
a = Oggi piove. b = Mi chiamo Carlo.
A quali condizioni l’enunciato a ∧ b è vero?
Costruisci gli enunciati a ∧ b e stabilisci se sono veri o falsi.
41 | a = 12 è un numero pari.
a = Tutti i giorni sorge il Sole.
a = Napoli è un fiume.
a = Il numero 3 è minore di 4.
42 | a = Gli italiani sono europei.
a = Atene è in Spagna.
a = Gli uccelli hanno le penne.
a = Il Sole è una stella.
43 | a = Il gatto ha la coda.
a = Giotto era un pittore.
a = Il quadrato ha 4 lati.
a = Il Sole tramonta a mezzogiorno.
b = 12 è un numero divisibile per 3.
b = Tutti i cani hanno un padrone.
b = Il triangolo è un poligono.
b = Agosto è un mese invernale.
b = La rosa non è un fiore.
b = 14 è il doppio di 5.
b = 12 è la metà di 24.
b = Il Sole è verde.
b = Il cane ha quattro zampe.
b = Le nuvole sono bianche.
b = Il quadrato è rotondo.
b = Il violino è uno strumento musicale.
44 | Scrivi tre enunciati composti con la congiunzione
45 | Scrivi tre enunciati composti con la congiunzione
in modo che siano veri.
in modo che siano falsi.
46 | Alcuni dei seguenti enunciati sono veri, altri falsi. Sottolinea quelli veri.
(Milano è nel Veneto.) ∧ (Il Veneto è in Italia.)
(Parigi è in Francia.) ∧ (Tutte le pecore sono nere.)
(Il Tevere è un fiume.) ∧ (La balena è un pesce.)
(Una pecora è un asino.) ∧ (Gli asini volano.)
47 | L’enunciato a è vero, l’enunciato b è vero, l’enunciato c è falso. L’enunciato composto a ∧ b ∧ c
è vero o falso?
Disgiunzione
48 | Vero o falso?
a. Se p è falso e q è vero, allora p ∨ q è falso.
b. Se p è vero e q è falso, allora p ∨ q è falso.
c. Se p = V e q = F, allora p ∨ (p ∨ q) è falso.
d. La congiunzione e la disgiunzione hanno la stessa tabella di verità.
e. La disgiunzione di due enunciati p e q può essere rappresentata dall’unione di
due insiemi. f. La disgiunzione può essere rappresentata da un circuito elettrico nel quale siano
inseriti due interruttori in serie.
22
v
v
v
v
f
f
f
f
v
f
v
f
Algebra|
Logica
| esercizi
Analizza i seguenti enunciati collegati mediante il connettivo «o» e precisa se questo viene usato con significato
inclusivo (può verificarsi l’uno o l’altro dei due enunciati oppure possono verificarsi entrambi contemporaneamente) oppure con significato esclusivo (il verificarsi di uno dei due enunciati esclude il verificarsi dell’altro).
49 | a = Elena studia o ascolta la radio.
b = Luigi dorme o mangia.
c = Prendo l’automobile o la motocicletta.
50 | a = Andrò in vacanza al mare o in montagna.
b = Darò ascolto alle parole di mio padre o di mia madre.
c = Indosserò la giacca o il cappotto.
51 | a = Luca dipinge o ascolta musica classica.
b = Un numero intero è pari o è dispari.
c = Cercasi cuoco o maggiordomo.
52 | a = Il sangue è rosso o verde.
b = Francesco dorme o Silvia cucina.
c = Oggi vado in palestra o sto in casa.
53 | Inventa e scrivi 5 enunciati composti mediante il connettivo «o» con significato inclusivo.
54 | Inventa e scrivi 5 enunciati composti mediante il connettivo «o» con significato esclusivo.
55 | Scrivi due enunciati semplici di cui uno sia vero e l’altro falso e collegali con la disgiunzione vel.
Stabilisci se l’enunciato composto così ottenuto è vero o falso.
Costruisci gli enunciati a ∨ b e stabilisci se sono veri o falsi.
56 | a = Ogni siciliano è italiano.
a = 6 è maggiore di 3.
a = La tigre è un insetto.
a = L’orata è un mammifero.
57 | a = La mamma compra la pasta.
a = Leonardo era uno scienziato.
a = La fiat assume laureati in ma­te­ma­tica.
a = 2 è un numero pari.
58 | a = Gli elefanti sono grandi.
a = La rosa è un fiore.
a = 4 è un numero dispari.
a = Cenerentola è una fiaba.
59 | a = Il mio nome è Mario.
b = L’America è stata scoperta nel 1492.
b = 10 è un numero dispari.
b = Amburgo è una città della Turchia.
b = 9 + 7 = 16.
b = La mamma compra i fagioli.
b = Leonardo era un architetto.
b = La fiat assume laureati in ingegneria.
b = 3 è un numero dispari.
b = I topolini sono piccoli.
b = La rosa è un frutto.
b = 7 è un numero pari.
b = Cenerentola è un film di Walt Dis­ney.
b = Il Sole riscalda la Terra.
Costruisci le tavole di verità a ∧ b e a ∨ b.
23
Algebra|
Logica
| esercizi
60 | Scrivi due enunciati a e b tali che a ∧ b ed a ∨ b siano entrambi veri.
61 | Scrivi due enunciati a e b tali che a ∨ b sia vero ed a ∧ b sia falso.
62 | Verifica che l’enunciato: «Zero è un numero positivo o negativo» è un enunciato falso. Quali sono
gli enunciati costituenti della disgiunzione p ∨ q?
63 | «La parola deve contenere la lettera a o la lettera n». Ecco le parole: sedia, vertice, cane, studio,
angolo, oriente. Quali scarti?
64 | «Disegna un quadrilatero equilatero o equiangolo». Antonio disegna un rombo, Giuseppina disegna un rettangolo, Carla disegna un quadrato e Fabio disegna un trapezio. Chi ha sbagliato?
65 | Compila la seguente tabella di verità.
a
b
V
V
V
F
F
V
F
F
a∨b
a∧b
(a ∨ b) ∨ (a ∧ b)
(a ∨ b) ∧ (a ∧ b)
Negazione
66 | Vero o falso?
a. La negazione di un enunciato falso è un enunciato anch’esso falso.
b. La negazione dell’enunciato p = Il triangolo ha tre angoli. è un enunciato
c. Se p = V e q = F, allora − (p ∧ q) è vero.
d. Se p = V e q = V, allora − (p ∨ q) è falso.
e. Il comportamento della negazione può essere riprodotto da un circuito elettrico in cui
è inserito un interruttore. v
v
v
v
f
f
f
f
v
f
67 | Dato l’enunciato p = Michele ha paura del buio. scrivi la sua negazione.
68 | Considera l’enunciato q = Le diagonali di un parallelogrammo si intersecano in uno stesso punto
che dimezza ciascuna du esse. È vero o falso? Scrivi la sua negazione.
Nega ciascuno dei seguenti enunciati e poi, se l’enunciato ottenuto è vero, sottolinealo.
69 | a = Roma è bagnata dall’Arno.
b = La Terra ha cinque satelliti naturali.
c = Milano si trova in Puglia.
d = 5,21 è un numero intero.
24
− a = ....……………………………………………………
− b = .....……………………………………………………
− c = .....……………………………………………………
− d = .....……………………………………………………
Algebra|
70 | a = Il quadrato ha cinque lati.
Logica
| esercizi
− a = .....……………………………………………………
− b = .....……………………………………………………
− c = .....……………………………………………………
− d = .....……………………………………………………
b = Tutti i numeri sono dispari.
c = Al semaforo si passa con il verde.
d = Gli elefanti volano.
71 | a = Madrid si trova in Polonia.
− a = .....……………………………………………………
b = I giapponesi non hanno gli occhi a
mandorla.
c = In un giorno vi sono 24 ore.
d = Il condor è un uccello rapace.
− b = .....……………………………………………………
− c = .....……………………………………………………
− d = .....……………………………………………………
72 | Gli enunciati a e − a possono essere contemporaneamente veri?
sì
no
v
f
v
f
Per quale principio?
73 | Considera il seguente enunciato:
a = Il Sole sorge a Oriente (vero). e la sua negazione:
− a = Il Sole non sorge a Oriente (falso).
La negazione della negazione di a è:
− (− a) = Non è vero che il Sole non sorge a Oriente (vero).
Che cosa puoi osservare? A che cosa equivale dunque una doppia negazione?
74 | a = Ai bambini piacciono le mele.
Se l’enunciato a è vero, − (− a) è vero o falso?
Giustifica la risposta.
75 | b = Studio volentieri.
Se l’enunciato b è vero, − (− b) è vero o falso?
Giustifica la risposta.
| Completa la seguente tabella.
76
a
−a
− (− a)
V
F
Individua e scrivi gli enunciati dei qua­li i seguenti costituiscono la negazione.
77 | a = Roma non è la capitale d’Italia.
− a = ……………………………………………………………
b = Non è vero che 15 è il triplo di 5. − b = ……………………………………………………………
c = L’aquila non è un mammifero.
− c = ……………………………………………………………
d = Non è vero che la Stella Po­lare indica il nord.− d = ……………………………………………………………
25
Algebra|
Logica
| esercizi
78 | a = Il leopardo non è un erbivoro.
− a = ……………………………………………………………
b = Non è vero che il garofano è un fiore. − b = ……………………………………………………………
c = Non mi piace il gelato alla fragola.
− c = ……………………………………………………………
d = Non è vero che 2 > 7.
− d = ……………………………………………………………
79 | Individua le coppie di enunciati che sono uno la negazione dell’altro.
a = L’automobilismo è uno sport.
b = Parigi non è la capitale della Francia.
c = La Luna gira intorno alla Terra.
d = Non è vero che l’automobilismo è uno sport.
e = La Luna non gira intorno alla Terra.
f = Parigi è la capitale della Francia.
80 | Scrivi le tabelle di verità della congiunzione, della disgiunzione e della negazione, utilizzando sia i
simboli V, F che i numeri 0 , 1.
81 | Dati gli enunciati:
p = A Marco non piace la storia.
q = Marco studia l’inglese.
Scrivi gli enunciati: p ∧ − q ; − p ∨ − q.
82 | Considera gli enunciati:
a = Saturno è un pianeta.
e scrivi gli enunciati:
b = La Luna non è una stella.
− a ; − b ; a ∧ b ; − a ∧ b ; a ∧ − b ; − (a ∧ b).
83 | Considera gli enunciati:
a = 8 è un numero pari.
e scrivi gli enunciati:
b = Il pentagono ha 5 lati.
− a ; − b ; a ∧ b ; − a ∧ b ; a ∧ − b ; − (a ∧ b).
84 | Considera gli enunciati:
a = Ho 10 anni (vero).
b = È mezzogiorno (falso).
v
f
L’enunciato − a ∧ − b è vero o falso?
Giustifica la risposta.
Compila le seguenti tabelle di verità.
85 |
26
a
−a
a ∧ −a 86 |
a
V
V
F
F
− (− a) a ∧ − (− a)
Algebra|
87 |
88 |
89 |
90 |
a
b
V
V
V
F
F
V
F
F
a
b
V
V
V
F
F
V
F
F
a
b
V
V
V
F
F
V
F
F
a
b
V
V
V
F
F
V
F
F
−b
a ∨ −b
a∧−b
−a
−b
−a∨−b
− (− a)
−b
a∧−b
| esercizi
Logica
(a ∨ − b ) ∧ (a ∧ − b)
−a∧−b
− (− a) ∨ − b
− (a ∧ b)
− (−a) ∧ − b
a∨−b
−a∧b
(− a ∨ − b ) ∨ (− a ∧ − b)
− [(a ∧ b ) ∨ − (a ∧ b)
27
Algebra|
91 |
a
b
V
V
V
F
F
V
F
F
a ∨b
| esercizi
Logica
− (a ∨ b)
− [(a ∨ b ) ∧ − (a ∨ b)
Sono dati i seguenti enunciati:
p = Il Po scorre in Grecia.
q = 18 è un numero pari.
r = 12 < 13.
Dopo aver stabilito per ciascun enunciato il valore di verità, calcola il valore di verità delle seguenti
espressioni logiche.
92 | p ∨ q ∨ r
p ∧ q ∧ r
93 | p ∨ q ∧ r
p∧q∨r
94 | p ∨ (q ∨ r)
(p ∧ q) ∧ r
95 | (p ∨ q) ∧ r
p ∧ (q ∨ r)
96 | − p ∨ q ∨ r
− p ∧ q ∧ r
97 | p ∨ − q ∧ r
p∧q∨−r
98 | p ∨ − (q ∨ r)
− (p ∧ q) ∧ r
99 | (p ∨ q) ∧ − r
− p ∧ − (q ∨ r)
100 | − p ∧ (− q ∨ r)
p ∨ (q ∧ − r)
101 | (p ∨ − q) ∧ − r
p ∨ (− q ∧ − r)
Considera il valore di verità attribuito ai seguenti enunciati:
p = F q = V r = F s = V.
e calcola il valore di verità delle seguenti espressioni logiche.
102 | p ∧ q ∨ s
p ∧ r ∨ s
103 | p ∧ − q ∧ s
104 | − p ∨ (q ∧ s)
p ∧ (q ∨ − r)
105 | p ∨ q ∧ r ∨ s
−p∨r∨s
106 | (p ∧ q) ∨ (r ∧ − s)
107 | (p ∧ q) ∨ (− r ∧ s)
108 | (p ∨ − q) ∧ (− r ∨ s)
109 | (− p ∧ q) ∨ (r ∨ − s)
110 | − (− p ∧ q) ∧ (r ∧ s)
111 | (p ∨ − q) ∨ (− r ∨ − s)
28
Algebra|
Logica
| esercizi
Implicazione ed equivalenza
Collega gli enunciati a e b mediante le parole se ……………………………… allora ………………………………
Stabilisci in quali casi esiste un nesso logico tra a e b.
112 | a = Nino è mio compagno di classe.
a = Lidia è nata a Bari.
a = Spendo quanto possiedo.
a = Bruxelles è la capitale del Belgio.
a = Il cavallo ha quattro zampe.
113 | a = La mia penna è blu.
a = Sono stato promosso.
a = I prati sono fioriti.
a = Guardo la televisione.
a = Il telefono sta suonando.
b = Nino frequenta la mia scuola.
b = Lidia è italiana.
b = Rimango senza soldi.
b = Madrid è la capitale della Spa­gna.
b = Il cavallo è un animale molto veloce.
b = Tutte le penne sono blu.
b = Salto per la gioia.
b = È primavera.
b = Scrivo un romanzo.
b = Qualcuno chiama questo nu­mero.
Considera le seguenti coppie di enunciati a e b, costruisci a ⇒ b e b ⇒ a e stabilisci se tali implicazioni
sono vere o false; verifica infine se a è condizione necessaria per b o viceversa.
114 | a = Diego e Lino sono fratelli.
a = Cipro è un’isola del Medi­terraneo.
a = Maria è più alta di Lea.
a = Un numero che termina con lo zero.
a = Bugno è un corridore ciclista.
115 | a = La trota è un pesce.
a = Il rettangolo ha quattro lati.
a = Maria sta dormendo.
a = Ho camminato a lungo.
a = Ho freddo.
b = Diego e Lino hanno lo stesso cogno­me.
b = Cipro ha un clima mite.
b = Lea è più bassa di Maria.
b = Un numero pari.
b = Bugno partecipa al giro d’Ita­lia.
b = La trota respira sott’acqua.
b = Il rettangolo non è circolare.
b = Maria sta sognando.
b = Sono stanco.
b = Mi trovo al Polo Nord.
116 | S crivi cinque implicazioni e giustificale.
Indica ciascun enunciato semplice con una lettera e riscrivi i seguenti enunciati composti in
forma simbolica, cioè usando le lettere e gli opportuni simboli logici (− , ∧ , ∨ , ⇒ , ⇔).
117 | ☐ Se vado a scuola, allora imparo a leggere.
☐ Condizione necessaria e sufficiente affinché Marco vinca la gara è che superi tutti gli altri concorrenti.
☐ Quella casa è grande e bella.
☐ Vinci una caramella se dal mazzo di carte estrai un re od una re­gina.
118 | ☐
☐
☐
☐
Mi piace giocare al calcio e non mi piace studiare.
Quell’animale ha due gambe, quindi è un bipede.
Marco e Carlo hanno gli stessi genitori, dunque sono fratelli.
Se due rette sono parallele sono anche equidistanti.
29
Algebra|
| esercizi
Logica
119 | Considera gli enunciati:
a = Vado all’estero.
b = Faccio un viaggio.
Stabilisci se uno dei due enunciati implica l’altro e scrivi l’eventuale implicazione in forma simbolica.
120 | Se è falso che non è vero che non sono bello, allora sono bello.
Stabilisci se tale enunciato composto è vero o falso. v
f
sì
no
Giustifica la risposta.
121 | Sapendo che sono veri i due enunciati:
a = Tutti gli uomini sono mammiferi.
b = Alcuni mammiferi vivono nell’acqua.
b = puoi dedurre la verità dell’enunciato:
c = Alcuni uomini vivono nell’acqua?
Giustifica la risposta.
122 | In quali dei seguenti casi è giusto affermare che a ⇔ b?
a = Luca e Ugo hanno la stessa età.
a = Siamo nel mese di Luglio.
a = Fuori piove.
a = Il quadrato ha 4 angoli.
a = È notte.
a = Salgo le scale.
Confronta le relazioni a ⇔ b con le – a ⇔ − b.
b = Luca e Ugo sono fratelli gemelli.
b = Il prossimo mese è Agosto.
b = Le strade sono bagnate.
b = Il quadrato ha 4 lati.
b = Il Sole è tramontato.
b = L’ascensore non funziona.
123 | Considera gli enunciati:
a = Questa figura è un triangolo.
a è condizione necessaria e sufficiente per b?
− b è condizione necessaria e sufficiente per − a?
b = Questa figura ha tre lati.
sì
no
sì
no
124 | Considera gli enunciati:
a = Vittorio sa guidare l’automobile.
a è condizione necessaria e sufficiente per b?
b implica a? b = Vittorio corre in Formula 1.
sì
no
sì
no
125 | Considera gli enunciati:
a = Vado in Spagna.
a è condizione necessaria e sufficiente per b?
a implica b?
b = Vado in un paese europeo.
sì
no
sì
no
126 | Considera gli enunciati:
a = Ho 32 anni.
a è condizione necessaria e sufficiente per b?
a implica b? 30
b = Sono maggiorenne.
sì
no
sì
no
Algebra|
Logica
| esercizi
127 | Considera gli enunciati:
a = Ho la febbre.
a è condizione necessaria e sufficiente per b?
a implica b?
b = Sono ammalato.
sì
no
sì
no
128 | Considera gli enunciati:
a = Il quadrilatero è un rombo.
a è condizione necessaria e sufficiente per b?
a implica b?
b = Il quadrilatero ha le diagonali perpendicolari.
sì
no
sì
no
31