7_Corrente Elettrica

Conduzione e Corrente Elettrica
I conduttori (metallici) sono solidi costituiti da atomi disposti in maniera
ordinata nello spazio, che hanno perso uno o più elettroni (negativi) che
sono liberi di muoversi nello spazio tra gli ioni positivi.
NA ≈ 8 1028 m-3, Ne =1÷4 NA m-3 =1÷4 x 8 1022 cm-3
In un corpo in equilibrio elettrostatico il moto degli elettroni avviene ad
elevatissima velocità ma in maniera caotica: vmed = 0.
In presenza di un campo elettrico gli elettroni acquistano una piccola
velocità nella direzione opposta al campo elettrico, vmed ≠ 0.
Questo moto di chiama corrente elettrica.
Q
1
In realtà si considera sempre la corrente costituita da cariche positive che,
che
quindi, si muovono nel verso del campo elettrico.
La corrente può essere istantanea (es: tra due corpi a diverso potenziale
messi a contatto), oppure stazionaria.
La corrente (stazionaria) deve circolare in un circuito, percorso chiuso
costituito
i i da
d più
iù conduttori
d
i collegati.
ll
i
Per ottenerla è necessario un generatore, dispositivo in grado di mantenere
una d.d.p. (e quindi un campo elettrico) costante nel tempo.
Simbolo circuitale di un generatore (in continua)
2
Il campo elettrico prodotto dal generatore non può essere conservativo!
Quindi è un Campo elettromotore che genera una forza elettromotrice
(f
(f.e.m.).
)
E Pila,
Es.
Pil accumulatore,
l t
di
dinamo,
alternatore,…
lt
t
gassosi,, elettrolitici e semiOltre ai conduttori metallici,, esistono conduttori g
conduttori!
Il moto delle cariche incontra sempre una resistenza,
resistenza dovuta agli urti contro
vari ostacoli.
M d ll semplice
Modello
li della
d ll conduzione
d i
elettrica
l tt i (di Drude)
D d )
Hp:
p n p
portatori di carica p
per unità di volume che,
con E = 0, si muovono con velocità termica media
vt (random).
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In presenza di un campo elettrico E,
E
all’interno
all
interno del conduttore,
conduttore
prodotto da un generatore, su ogni carica, tra due urti successivi, agisce
una forza
f
F = e E e un’accelerazione
’
l
i
a = e E/m,
E/ lungo
l
una distanza
di t
f i
fra
due urti l e per un tempo τ = l / v
Dato che la media delle velocità termiche è zero,
a ogni elettrone resta solo la velocità di deriva (drift)
=μ
E
μ si chiama mobilità del materiale.
unità di misura: μ = vd /E = m/s m/V = m2/ V s
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Se consideriamo
id i
il numero di elettroni
l
i che
h attraversano una sezione
i
dΣ
di un conduttore nell’unità di tempo, esso sarà (v. def. di flusso):
n dΦ (vd ) = n vd dΣ cosθ
con θ l’angolo tra vd e un , normale a dΣ,
Il flusso di carica (per unità di tempo) attraverso dΣ, indichiamolo con di,
sarà quindi:
di = q n vd dΣ cosθ = n q vd ⋅un dΣ
Se chiamiamo il vettore
Allora si ha
j = n q vd
densità di corrente
di = j ⋅un dΣ
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Chiamiamo corrente, i, la carica che , nell’unità di tempo, attraversa tutta
la sezione Σ del conduttore; si ha:
j un
•
se j e costante su tutta Σ e parallelo a un
i=jΣ
e
j=i/Σ
Unità di misura: i = C/s = A , Ampere
j = i/ Σ = A/m2
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N.B. I portatori veri sono elettroni di carica q = - e, ma la loro velocità è
opposta
pp
al campo
p elettrico. Q
Quindi
j + = n +e vd e
j- = n- (-e) (-)vd
sono concordi.
concordi
N i semiconduttori
Nei
i d
i e negli
li elettrolitici
l
li i i cii sono portatorii + e - quindi
i di
jtot = j+ + j- = n+e vd + n- (-e) (-)vd
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In genere la carica totale che passa in ogni sezione di un conduttore è
costante (Condizione di stazionarietà della corrente).
Quindi :
j è solenoidale, non ci sono né pozzi né sorgenti
Ma se
≠
≠0
Σ
q è la
l quantità
i à di carica
i dentro
d
Equazione
q
di continuità della corrente (o della carica (!))
8
Applichiamo
pp
il teo. della divergenza
g
inoltre
o e
Quindi ll’equazione
equazione di continuità diventa
da cui
Forma locale dell’equazione di continuità
9
Ma per la legge di Gauss
in forma locale la legge di Gauss è:
per cui
per cui
stazionarietà:
non stazionarietà:
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Leggi di Ohm
Oh ha
Ohm
h verificato
ifi t che
h per una certa
t categoria
t
i di conduttori,
d tt i detti
d tti metallici,
t lli i
il rapporto tra la tensione ai capi del conduttore, V e la corrente che scorre
in esso, i, è una costante, indicata con R, Resistenza del conduttore.
V/ i = R
(I “Legge”)
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Ri
Riprendiamo
di
j = n q vd = n q μ E = σ E
σ = nqμ
con
σ , si chiama conduttività/conducibilità del materiale
La relazione
j =σE
è la legge
gg di Ohm p
per la conduttività ((Legge
gg di Ohm microscopica,
p
locale))
Se chiamiamo ρ = 1/σ resistività (del materiale di cui è fatto il conduttore)
allora
j =σE =E/ρ
E= j/σ = jρ
ρ = E / j (R = V/I)
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Per un conduttore di forma irregolare,
irregolare in un
tratto dh di sezione Σ, si ha
E= ρj
con
Questa è una definizione più generale di R, resistenza del conduttore.
Infatti
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Se il conduttore di lunghezza h, ha sezione
Σ e resistività ρ costanti la resistenza R si
può scrivere come
“ II legge di Ohm”.
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Unità di misura
R = V/ i ≡ Volt/Ampere ≡ V/A = Ohm ≡ Ω
G = Conduttanza = 1/ R ≡ Ω -1 (Mho) ≡ Siemens ≡ S
ρ=
≡ Ohm cm2/cm ≡ Ω cm
σ = 1/ ρ ≡ ( Ω cm) -1 = S/cm
ρ varia con la temperatura: ρ = ρ0 ( 1 +α Δ t)
α = coefficiente termico
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Effetto Joule
Se una carica dq si muove nel conduttore
sotto l’azione di un campo elettrico, in
presenza di resistenza al moto, il campo
compie il lavoro
dW = dq V = V i dt
producendo una potenza P = dW/dt =
iV = i2 R = V2 /R
Dopo un tempo t è stato prodotto il lavoro
P
Se i è costante nel tempo: W = i2 R t
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Di solito si finge che la resistenza sia tutta concentrata in alcuni elementi,
elementi
mentre si trascura quella del resto del circuito (fili di collegamento, ecc.)
Q ti elementi
Questi
l
ti sii chiamano
hi
R i t i (Resistors),
Resistori
(R i t ) ognuno caratterizzato
tt i t
dalla sua resistenza R.
Simbolo circuitale di un resistore (resistenza!)
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Più resistori possono essere collegati tra loro per ottenere valori di
resistenza diversi da quella dei singoli resistori.
Due modalità: In serie, in parallelo.
Calcoliamo la resistenza equivalente nei due casi:
Resistori in serie
Nei resistori in serie passa in tutti la stessa corrente, la d.d.p. dipende dalla R
Dobbiamo trovare la resistenza equivalente
alla serie di R1 e R2 : Req
Req = R1 + R2
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Per n resistori in serie
Req = R1 + R2 + R3 + R4 … + Rn
N.B. Req > Max{ Ri}
La potenza totale spesa dal generatore vale :
P = (VA – VC ) i = (R1 + R2 ) i2 = R1 i2 + R2 i2 = P1 + P2
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R i t i in
Resistori
i parallelo
ll l
Nei resistori in parallelo,
parallelo c’è la stessa d.d.p.
d d p V ai
capi di tutti. La corrente si divide.
In condizioni stazionarie:
i = i1 + i2
Per n resistori in parallelo:
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N.B.: Req < min { Ri}
Quanto valgono le due correnti i1 e i2 ?
La potenza spesa dal generatore:
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F
Forza
elettromotrice
l tt
t i
Per la I legge di Ohm la d.d.p. ai capi di un conduttore di resistenza R è:
Se il circuito è costituito dal solo conduttore
l’integrale circuitale diviene
e rappresenta la Forza Elettromotrice (f.e.m.) che fa circolare la corrente,
prodotta dal generatore,
generatore nella resistenza totale RT
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Se l’integrale circuitale non è 0, il campo E non può essere elettrostatico
e conservativo!
All’interno del generatore ci sono forze di natura non elettrostatica che
provocano il moto delle cariche. Tali forze possono essere di varia natura:
chimica, elettromagnetica,…
Ovviamente nel generatore è presente anche
un campo elettrostatico Eel che, però, farebbe
muovere le cariche in senso opposto al campo
E*, ed e minore di E*.
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E* è presente solo nel generatore, quindi
E
Il generatore possiede anche una sua resistenza
interna r,
r della quale si dovrebbe sempre tener
conto.
Quindi per il semplice circuito in figura si ha:
E = (r
( + R)) i
E
E
e può disegnare ll’andamento
andamento a fianco:
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Partitore resistivo
Se ci sono n resistori in serie,
serie ai capi di
ognuno si ha la d.d.p., Vi :
ma VAB = E - r i < E
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C i
Carica
dii un condensatore attraverso un resistore
i
(Circuito RC)
Per t < 0, circuito aperto, non circola corrente,
VC = 0
A t = 0, il tasto T viene chiuso, inizia a
circolare corrente.
Applichiamo la Legge di Ohm:
26
27
τ=
28
S i
Scarica
dii un condensatore (carico)
( i )
attraverso un
resistore
Per t < 0, C carico, < T aperto, non scorre
corrente
A t = 0,, si chiude T,, inizia a scorrere corrente
da + a −
q: carica sul condensatore
29
30
C
Corrente
dii spostamento
Durante la carica o scarica del condensatore nel
circuito scorre corrente anche se il condensatore
è una interruzione del circuito.
Ogni +dq che si accumula sulla faccia sup. di C
induce una carica –dq sulla faccia inferiore, che
allontana una carica +dq e fa proseguire il moto
di cariche.
Chiamiamo questa corrente fittizia tra le armature del condensatore
p
, is
Corrente di Spostamento,
31
Per un C.f.p.p.
Cfpp
La corrente di spostamento dipende dalla variazione nel tempo del flusso
di E. C’è finche Φ(E) varia.
Definiamo densità di CdS:
In un circuito RC durante la carica o la scarica la corrente è formata da
due componeneti
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ic e jc : nei conduttori
f le
fra
l armature
t
d l C.f.p.p.
del
Cf
Se nel condensatore c’è un dielettrico
di cost. diel. realtiva k si
moltiplica ε0 per k.
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Leggi di Kirchhoff per le reti elettriche
Reti
elettriche:
circuiti
più
complessi.
Contengono nodi, rami e maglie
N d punto
Nodo:
t nell quale
l convergono almeno
l
t conduttori
tre
d tt i
Ramo: tratto di circuito tra due nodi. (Può contenere elementi attivi o
passivi)
Maglia: cammino chiuso di più rami.
N.B. Un ramo può appartenere a più maglie.
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L’ li i delle
L’analisi
d ll retii può
ò essere molto
l
complessa.
l
(V Corso
(V.
C
di
Elettrotecnica).
Si usano le due Leggi di Kirchhoff.
I)
(Legge dei Nodi): La somma algebrica delle correnti entranti in un
nodo deve essere nulla
Σ k ik = 0
II) (Legge delle maglie): La somma algebrica delle f.e.m. presenti nei rami
della maglia deve essere uguale alla somma dei prodotti Rk ik
Σ k Rk ik = Σ kEk
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I segni
g delle f.e.m. e dei p
prodotti Rk ik ((d.d.p.)
p ) si ricavano dalle seguenti
g
regole:
1) Si fissa
fi arbitrariamente
bit i
t come positivo
iti un verso
di percorrenza della maglia. (es. orario).
2) se nel k-esimo ramo la corrente è concorde
con il verso scelto, Rk ik si prende positivo,
altrimenti si prende negativo.
3) se una f.e.m. viene attraversata dalla corrente
arbitraria dal – al +, di prende positiva,
altrimenti negativa.
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Es.:
VP + E1 - R1 i1 +E2 - R2 i2 - E3 - R3 i3 –Ek - R4 i4 = VP
E1 +E2 - E3 -Ek = R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 + R4 i4
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Strumenti di misura di I e V
Per misurare la corrente si deve aprire il circuito e inserire uno
strumento nel quale scorra la corrente da misurare.
Amperometro,
p
, milli- , micro-,, Galvanomtro
Anche
ha
interna!
Ideale:
h l’amperometro
l
h una sua resistenza
i
i
d l rg = 0 !
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L corrente misurata
La
i
non è V/R ma V/(R+r
V/(R g)
Shunt
Se si mette in parallelo all
all’amperometro
amperometro una resistenza di “shunt”
shunt più
piccola di rg ( ad es. 1/9 rg), la maggior parte della corrente passa nello
shunt
h t (9/10) e 1/10 nell’Amperometro.
ll’A
t
Così si può aumentare di 10 volte la massima corrente che si può
misurare.
Misure di d.d.p
d d p.
Per misurare la d.d.p.
d d p tra due punti di un
circuito si deve sfrutta la misura di i e la si
moltiplica per R.
R Si deve mettere lo
strumento (Voltmetro, milli-, micro-,…,
El
Elettrometro)
) in
i parallelo
ll l all circuito
i i tra i
due punti.
La resistenza interna del voltmetro deve essere molto alta così che ci passi
pochissima corrente.
corrente
Ma la corrente che ora scorre nel circuito i’ è > della precedente i e il
prodotto i’R ≠ iR.