Dal Problema All`Algoritmo

Algoritmi di Ricerca
e Ordinamento
Prof. Francesco Accarino
IIS Altiero Spinelli Sesto San Giovanni
Appunti Di Informatica Prof. Accarino
1
Algoritmi classici

In ambito informatico alcuni problemi si
presentano con elevata frequenza in più
ambiti e sono stati ampiamente studiati
 Ricerca di un elemento in un vettore
 Ricerca del minimo e del massimo
 Ordinamento

Gli algoritmi impiegabili in questi casi sono
numerosi. I più noti, di seguito presentati,
vengono spesso impiegati anche come
termini di paragone per valutare le
prestazioni di nuove soluzione proposte
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2
Algoritmi di ricerca

Il problema della ricerca di un elemento in un
vettore si presenta frequentemente:
 Occorre verificare se l’elemento appartiene al vettore
 Ad un elemento (o alla sua posizione) sono associate
informazioni supplementari

Esistono due algoritmi “standard” per la
risoluzione di questo problema
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Ricerca sequenziale

L’idea di fondo è semplice: Si scorre l’intero
vettore dalla prima posizione e si confronta ogni
elemento con quello ricercato
0
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4
Ricerca sequenziale
0
1
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5
Ricerca sequenziale
2
3
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6
Ricerca sequenziale

L’algoritmo di ricerca sequenziale funziona senza
richiedere particolari ipotesi sull’ordinamento dei dati

Mediamente occorre scandire metà vettore per trovare
l’elemento cercato (se c’è) infatti è possibile trovare
l’elemento al primo tentativo o dopo N tentativi quindi in
media: N+1 (casi favorevoli 1, N fratto i casi possibili)
2


se non c’è, occorre fare tutti gli N tentativi
Si dice che il tempo di esecuzione cresce linearmente al
variare di N
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7
Flowchart e Codifica in C
#include “stdio.h”
#include “conio.h”
#define NumMax 20
Void Main(){
Int vet[NumMax],i,N;
Printf(“inserisci il numero da cercare”);
Scanf(“%d”,&N);
Char Trovato=0;
i=0;
While(Trovato==0&&i<NumMax){
If(vet[i]==N
Trovato=1;
i++;
}
If(Trovato==1)
Printf(“trovato il numero %d”,N);
Else
Printf(“non trovato il numero %d”,N);
}
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8
Ricerca binaria




Se il vettore è ordinato, allora è possibile utilizzare
approcci più efficienti rispetto alla ricerca sequenziale
La ricerca binaria prevede l’osservazione dell’elemento
al centro del vettore e dei due estremi.
Se uno di questi è l’elemento cercato termina, altrimenti
scarta tutta una metà del vettore a seconda che
l’elemento centrale sia maggiore o minore di quello
cercato
Il processo si ripete fino a trovare l’elemento cercato o a
scartarli tutti
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9
Ricerca binaria

L’approccio è lo stesso adottato per cercare una parola
nel dizionario o un nome nella rubrica telefonica








Es. cerco il numero di Rossi Mario
Apro circa a metà, sulla lettera N
Vado avanti di diverse pagine
Arrivo alla lettera S
Torno indietro a Ra…
Vado avanti di poco, arrivando a Rov..
Ci sono quasi, torno indietro di una pagina
etc…
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Ricerca binaria

Rispetto all’algoritmo sequenziale, la ricerca
binaria usa due ulteriori indici per individuare
gli estremi della porzione del vettore non
ancora esclusa
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Ricerca binaria

L’indice iniziale è sempre a metà tra gli indici
degli estremi
8

16
L’elemento cercato (10) è minore di 18, per
cui si esclude la seconda metà del vettore
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Ricerca binaria

La metà tra 0 e 7 è 3,5: poiché gli indici devono
essere interi, si sceglie tra 3 e 4
3

7
Questa volta l’elemento centrale è precedente a
quello cercato, per cui si prosegue nella ricerca
escludendo la metà di sinistra
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13
Ricerca binaria

Come nel caso precedente, si tronca il valore
dell’indice all’intero inferiore
5

7
L’elemento cercato, viene quindi trovato. La risposta
fornita dall’algoritmo è 5, cioè la posizione
corrispondente al valore cercato
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Ricerca binaria



L’algoritmo di ricerca binaria dimezza la
dimensione dello spazio di ricerca ad ogni passo
Il tempo necessario all’esecuzione dell’algoritmo
è dunque proporzionale al logaritmo di N
Visto che logN cresce più lentamente di N, la
ricerca binaria è più efficiente di quella
sequenziale (ma richiede l’ipotesi
supplementare di ordinamento dei dati)
Nel caso peggiore l’algoritmo termina quando la
dimensione dello spazio di ricerca diventa 1
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Flowchart e Codifica in C
#include “stdio.h”
#include “conio.h”
#define NumMax 20
Void Main(){
Int vet[NumMax],i,N,Inizio,Fine,Medio;
Printf(“inserisci il numero da cercare”);
Scanf(“%d”,&N);
Char Trovato=0;
Inizio=0;
Do{
Medio=(Fine+Inizio)/2;
If(vet[Inizio]==N||Vet[Medio]==N||Vet[Fine]==N)
Trovato=1;
else
}
If(Vet[medio<=N)
Fine=Medio+1;
Else
Inizio=Medio-1;
}while(Inizio<=Fine&&Trovato==0);
If(Trovato==1)
Printf(“trovato il numero %d”,N);
Else
Printf(“non trovato il numero %d”,N);
}
}
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Ricerca del minimo

Un secondo problema riguarda la ricerca del
valore minimo (o massimo) all’interno di un
vettore non ordinato


Naturalmente il problema è banale se il vettore è
ordinato!
Dato che i problemi di ricerca del minimo e di
ricerca del massimo sono del tutto analoghi, di
seguito si farà riferimento esclusivamente alla
ricerca del minimo
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Ricerca del minimo

Per risolvere il problema vengono utilizzate
due variabili di supporto, contenenti:



il valore minimo trovato sinora
la posizione (indice) di tale valore
L’algoritmo scorre l’intero vettore e confronta
ciascun elemento col minimo contenuto nella
variabile di supporto

Se l’elemento nel vettore è inferiore a quello nella
variabile di appoggio, allora sostituisce la variabile
di supporto con l’elemento considerato
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Ricerca del minimo

Si inizializzano le variabili di supporto con la
posizione e il valore del primo elemento
0
0

In questo modo il minimo temporaneo è non
inferiore al minimo del vettore
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Ricerca del minimo
0
0
1
1
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20
Ricerca del minimo
1
2
1
3
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Ricerca del minimo
1
4
5
5
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Ricerca del minimo
5
6
5
7
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Ricerca del minimo

Al termine dell’algoritmo le variabili di
supporto contengono il valore e la posizione
del minimo


Se fossero presenti più minimi uguali sarebbe
possibile decidere quale tenere in considerazione
Data la lunghezza N del vettore, è necessario
effettuare N confronti

Il tempo necessario al completamento
dell’esecuzione è proporzionale alla dimensione
del vettore
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Flowchart e Codifica in C
#include “stdio.h”
#include “conio.h”
#define NumMax 20
Void Main(){
Int vet[NumMax],i,min,pos;
min=vet[0];
pos=0;
for(i=0; i<NumMax;i++)
if(vet[NumMax<min){
min=vet[i];
pos=i;
}
printf(“il minimo è %d e si trova in posizione %d”, min, pos);
}
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Ordinamento per sostituzione
I passi da seguire sono i seguenti :
1) Posizionamento sul primo elemento dell’array
2) Confronto dell’elemento con tutti gli elementi successivi e scambio ogni
volta che se ne trova un più piccolo
3) Posizionamento sul secondo elemento dell’array
4) Confronto dell’elemento con tutti gli elementi successivi e scambio ogni
volta che se ne trova un più piccolo
5) Posizionamento sul terzo elemento dell’array
6) Confronto dell’elemento con tutti gli elementi successivi e scambio ogni
volta che se ne trova un più piccolo
7) Tale procedimento viene ripetuto N-1 volte
Osservazione : Per implementare l’Algoritmo abbiamo bisogno di 2 indici :
 Uno che tiene conto della posizione in cui si trova l’elemento considerato
( primo, secondo, terzo, … )
 Uno che permette di scorrere la parte successiva dell’array per effetuare i
confronti e gli eventuali scambi
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Ordinamento per sostituzione
7
5
5
2
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27
Ordinamento per sostituzione
5
4
3
4
8
7
7
5
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5
4
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Ordinamento per sostituzione
8
7
5
7
8
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7
29
Ordinamento per sostituzione
11
8
Per implementare l’Algoritmo si devono usare 2 indici :


Uno (I) che tiene conto della posizione in cui si trova
l’elemento da ordinare (primo, secondo, terzo, … )
Uno (J) che permette di scorrere l’array per effettuare il
confronto ed eventualmente lo scambio
I
J
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Flowchart e Codifica in C
void Ordina(void){
Int I,J,C;
I=0;
while(I<Dim-1)
{
J=I+1;
while(J<Dim)
{
if(V[I]>V[J])
{
C=V[I];
V[I]=V[J];
V[J]=C;
}
J=J+1
}
I=I+1;
}
}
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Bubble-sort (ordinamento a bolle)
L’ordinamento a bolle è un algoritmo semplice basato sul metodo degli
scambi.
Si fanno “salire” gli elementi più piccoli verso l’inizio del vettore
scambiandoli con quelli adiacenti.
Si procede confrontando gli elementi a coppie e ogni qualvolta si trova una
coppia non ordinata si scambiano di posto i due elementi.
Dato il vettore A[n], si opera confrontando A[1] con A[2] e se A[1] è maggiore
di A[2], si effettua uno scambio tra i due; vengono poi confrontati A[2] con
A[3], A[3] con A[4], …A[n-1] con A[n] scambiando di posto quegli elementi
che non formano coppie ordinate.
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Esempio: Sia A il vettore da ordinare
BubbleSort(A,n,scambio,temp)
i:=1
repeat
La condizione
è falsa
j=2
A
11
5
1
j=3
j=4
j=4 j=5
scambio:=
scambio:=00
for j=i+1 to n do
if (A[j] < A[j-1]) then
temp:=A[j]
temp:=A[j]
11
11 11
1
5
1 11
11
7
15
7 15
7 19
15
Scambio=0
j-1=1
j-1=1j-1=2j-1=3
j-1=3
j-1=4
Vettore Ordinato!
5
1
7
7
temp
A[j]:=A[j-1]
A[j-1]:=temp
scambio:=1
scambio:=1
Scambio=0
Scambio=1
endif
endfor
until scambio=0
end
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Flowchart e Codifica in C
void Ordina(void){
Int I, Temp;
Char scambio
Do{
I=0;
Scambio=0;
Do{
If(Vet[I]>Vet[I+1])
{
Temp=Vet[I];
Vet[I]=Vet[I+1];
Vet[I+1]=Vet[I];
scambio=1;
}
I=I+1;
}while(i<N-1);
N=N-1;
}while(scambio==1&&N>0);
}
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34
Ordinamento per inserzione




Un esempio di ordinamento per inserzione si applica
quando si gioca a carte.
Per ordinare le carte, in ordine crescente o
decrescente, si estrae una carta, scalando quelle
rimanenti, ed inserendo la carta estratta nel posto
corretto.
Il procedimento si ripete finché tutte le carte sono
nella sequenza corretta.
Il metodo di ordinamento ad inserzione trae lo
spunto dall'idea che un vettore ordinato si ottiene
inserendo le sue componenti una per una "al posto
giusto".
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Flow Chart e codifica in C
void Ordina(void){
Int I,J,P;
I=1
While(I<Dim)
{
P=Vet[i];
J=I-1;
while(J>0&&Vet[J]>P)
{
Vet[J+1]=Vet[J];
J=J-1;
}
Vet[J+1=P;
I=I+1
}
}
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Ordinamento per Selezione
I passi da seguire sono i seguenti :
1) Posizionamento sul primo elemento dell’array
2) Ricerca dell’elemento più piccolo e scambio con il primo elemento
dell’array
3) Posizionamento sul secondo elemento dell’array
4) Ricerca dell’elemento più piccolo tra gli N-1 elementi rimasti e scambio con
il secondo elemento dell’array
5) Posizionamento sul terzo elemento dell’array
6) Ricerca dell’elemento più piccolo tra gli N-2 elementi rimasti e scambio con
il terzo elemento dell’array
7) Tale procedimento viene ripetuto N-1 volte
Osservazione : Per implementare l’Algoritmo abbiamo bisogno di 2 indici :
 Uno che tiene conto della posizione in cui si trova l’elemento da ordinare
( primo, secondo, terzo, … )
 Uno che permette di scorrere l’array alla ricerca del valore maggiore
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
Per implementare l’Algoritmo si devono usare
2 indici :


I
Uno (I) che tiene conto della posizione in cui si
trova l’elemento da ordinare (primo, secondo,
terzo, … )
Uno (J) che permette di scorrere l’array alla
ricerca del valore minore
J
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Flow Chart e Codifica in C
void Ordina(void){
Int I,J,Pmin,Min;
I=0
While(I<Dim-1)
{
Min=Vet[I];
Pmin=I;
J=I+1;
while(J<Dim)
{
if(Vet[j]<Min){
Min=Vet[J];
Pmin=J;
}
J=J+1;
}
if(Pmin>I){
Vet[Pmin]=Vet[I];
Vet[I]=Min;
}
I=I+1;
}
}
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