I numeri complessi

I numeri complessi
I numeri complessi nascono da una esigenza di carattere “pragmatico”, in quanto costituiscono un
ampliamento dell’insieme dei numeri reali, quello in cui noi di solito lavoriamo. I numeri complessi
sono costituiti dai numeri immaginari, così chiamati in quanto rappresentano soluzioni
“immaginarie” di equazioni. Per quanto il nome possa far pensare a inutili invenzioni diaboliche
matematiche, essi sono utilizzati in molti ambiti della fisica e dell’ingegneria. Tanto per fare un
esempio, le soluzioni delle equazioni di un pendolo che rallenta, sono date da numeri complessi, pur
descrivendo un fenomeno fisico perfettamente reale e tangibile.
Lemma 1 (teorema fondamentale dell’algebra): Il teorema fondamentale dell’algebra asserisce che
un polinomio di grado n ha esattamente n soluzioni:
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0
Questo teorema non è valido per il numeri reali, in quanto, per esempio l’equazione:
𝑥2 + 1 = 0
Non ammette soluzioni. Ciò va contro il teorema fondamentale dell’algebra che, come dice il nome,
è piuttosto fondamentale ed è un cardine sul quale si regge tutta la matematica attuale. Se esso non
fosse vero, bisognerebbe riformulare tutta la matematica!
L’equazione precedente può essere risolta:
𝑥 2 = −1
𝑥 = ±√−1
𝑥 = ±𝑖
Definizione 1 (unità immaginaria)
Con i si indica l’unità immaginaria, ovvero 𝑖 = √−1.
In questo modo si possono risolvere tutte le equazioni.
Definizione 2 (numero complesso)
Un numero complesso è formato da una parte reale e da una parte immaginaria. Per esempio 5 + 3𝑖
è un numero complesso, con parte reale uguale e 5 e parte immaginaria uguale a 3i.
Notare come tutti i numeri reali possano essere scritti come numeri complessi. Per esempio il numero
reale 3 può essere scritto come: 3 + 0𝑖.
Proviamo a risolvere una equazione di secondo grado utilizzando i numeri complessi:
3𝑥 2 + 4𝑥 + 2 = 0
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −4 ± √16 − 24 −4 ± √−8 −4 ± 2𝑖√2
=
=
=
2𝑎
6
6
6
𝑥1 =
−2 + 𝑖√2
−2 − 𝑖√2
∨ 𝑥2 =
3
3
Quindi il teorema fondamentale dell’algebra è dimostrato, e abbiamo trovato due soluzioni.
Lemma 2 (operazione di coniugio)
Con i numeri complessi si può definire una nuova operazione, che con i numeri reali non ha senso
definire, l’operazione di coniugio. Il coniugato di un numero complesso z si indica con 𝑧̅.
Introduciamo subito l’operazione con un esempio:
𝑧 = 3 + 2𝑖
𝑧̅ = 3 − 2𝑖
Ovvero si cambia semplicemente il segno della parte immaginaria. Facciamo un esempio con un
numero reale:
𝑧 = 2 + 0𝑖
𝑧̅ = 2 − 0𝑖
Che è sempre uguale a 2. Quindi possiamo dedurre che:
𝑧 = 𝑧̅
E’ vera solo per i numeri reali.
Curiosità. La più bella formula matematica.
Una volta introdotta l’unità immaginaria possiamo esibire la formula forse più bella di tutta la
matematica, e quella che collega le cinque più importanti costanti matematiche:
𝑒 𝑖𝜋 + 1 = 0
Infatti essa lega:





La costante di Eulero o di Nepero (e);
L’unità immaginaria i;
La costante per eccellenza, pi greco;
L’unità matematica, 1;
Lo zero
E’ una identità quasi inafferrabile, e contiene l’intimo segreto della matematica. Il matematico
Benjamin Peirce ebbe modo di dire:
“Signori, posso dirlo con certezza, è assolutamente paradossale; non possiamo capirla, e non
sappiamo che cosa significa. Ma l'abbiamo dimostrata, e quindi sappiamo che deve essere la
verità.”
Alcuni matematici hanno espresso il desiderio di veder incisa sulla propria lapide questa identità , in
quanto degna rappresentante della quintessenza della matematica.