χε τ τ χε ε λ λ τ π

Esercitazione 3 ESERCIZIO 1 Si consideri l’equazione (50) delle dispense “BioEMC16_17_2.pdf” che descrive il comportamento della polarizzazione quando viene applicato un campo elettrico che passa da 0 a un valore e0 χε
dp(t ) 1
+ p(t ) = 0 e0
τ
τ
dt
(50)
p(t ) =χε 0e0 ⎡⎣1 − e −t /τ ⎤⎦
(51)
La soluzione dell’equazione, nel caso in cui sia verificata la condizione p(0) = 0 è espressa dalla (51) Fare il grafico della polarizzazione nei primi 10 secondi, considerando come materiale l’acqua che è caratterizzata da una ε r 80 . Il suo tempo caratteristico τ dipende dalla temperatura (T) secondo le relazioni 2513.98
valida per T = 0°,1°,… ,80° . λr (T ) = 0.00033836 ⋅ e T + 273
λ (T )
τ= r
⋅1000
[ picosecondi]
60π
considerare un valore di campo che passa da e0 = 0 a e0 = 1 V m . Modificare in seguito il valore di T per vedere come varia il comportamento. Graficare la polarizzazione per tempi adeguati al τ dell’acqua. (Nota: nella formula (51) τ è espresso in secondi). 1 ESERCIZIO 2 Il modello di Debye approssimato al primo ordine considera come costante dielettrica complessa la seguente espressione ⎛
ε (ω ) = ε 0 ⋅ ⎜1 +
⎝
⎞
χ
⎟
1 + j ⋅ ω ⋅τ ⎠
Fare il grafico del valore assoluto, della fase e della parte reale e immaginaria di ε (ω ) / ε 0 usando la scala logaritmica per l’asse delle ascisse. Si consideri χ = 79.3 e il prodotto ω ⋅τ come variabile indipendente, −3
3
che assume valori nel range [10 …10 ] . (Confrontare con i grafici a pag. 29 e 30 delle dispense “BioEMC16_17_4.pdf”). ESERCIZIO 3 Esercizio ‐ Linee di trasmissione ‐ V+ f = 5 GHz V+ = 4 V ZL = 40 – j30 Ω C = 1.1 pF Le linee di figura hanno tutte la stessa geometria e quella con εr=3 ha 60 Ω di impedenza caratteristica. Le linee sono prive di perdite. a)
b)
c)
d)
Determinare il valore minimo di d2 per avere ZIN,2 reale Per RL= 0 determinare L ed x per massimizzare la potenza sul carico e calcolarla. Ricalcolare la potenza sul carico RL = 10 XC. Considerando il circuito seguente, 2 per ognuno dei casi seguenti: 1. d2= λ/2 ; 2. d2= λ/4 ; 3. d2= λ/8 ; 4. d2= 3λ/4 ; Ricalcolare la potenza sul carico ZL e fare un grafico della potenza in funzione di d2. Svolgimento: a) Per determinare il valore minimo di d2 in maniera tale che ZIN,2 sia reale, occorre imporre Im(ZIN,2)=0. Posto X = tg β d2 = tg √3
si trova dalla espressione (72) delle dispense “BioEMC16_17_5.pdf” tan
tan
Dove nel caso specifico Z0=60 Ω, e ponendo ZL= RL+jXL . Si ottiene quindi la seguente espressione di ZIN,2 : ,
Occorre andare a razionalizzare la relazione precedente, direttamente utilizzando la funzione razionalizza implementata in MatLab, che viene definita in questo modo: function [ num den ] = razionalizza(a, b, c, d)
a1=sym(a) ;
a2=sym(b);
a3=sym(c);
a4=sym(d);
aj=sym(i);
num=expand((a1+aj*a2)*(a3-aj*a4));
den=expand((a3+aj*a4)*(a3-aj*a4));
end
3 Tale funzione, che viene salvata nella directory di lavoro, prende in input la parte reale e la parte immaginaria del numeratore (n_r e n_i rispettivamente) e la parte reale e immaginaria del denominatore (d_r e d_i rispettivamente), e viene richiamata nello script principale in questo modo: n_r='R_L';
n_i='X_L+Z_0*X';
d_i='R_L*X';
d_r='Z_0-X_L*X';
[num den]=razionalizza(n_r, n_i, d_r, d_i);
Zin2=Z_0*(num/den);
A questo punto si ha la funzione razionalizzata per ZIN,2. Ora è possibile estrapolare la parte immaginaria ZIN,2 di tale espressione ed imporla uguale a zero: ·
,
Di conseguenza, si dovrà andare a risolvere la seguente equazione di secondo grado: ·
·
0 Su Matlab, per trovare le soluzioni di questa equazione, si possono utilizzare due procedimenti: 1° procedimento: si va a definire un vettore contenente i coefficienti del polinomio, da sinistra verso destra scrivendo prima quello di dell’elemento di grado più alto, e così via: poli=[-Z_0*X_L Z_0^2-X_L^2-R_L^2 X_L*Z_0];
successivamente si utilizza la funzione roots per andare a calcolare le radici del polinomio: soluzioni=roots(poli);
e si prende il risultato massimo tra le due soluzioni trovate: X=max(soluzioni);
2° procedimento: risoluzione in maniera simbolica; si dichiara il simbolo che si vuole considerare come incognita: syms X ;
si scrive l’espressione: Z_in2=Z_0*(-(R_L)^2*X+(X_L+Z_0*X)*(Z_0-X_L*X))/((Z_0-X_L*X)^2R_L*X^2);
e si va a risolvere con la funzione solve: a=solve(Z_in2,X);
a=max(double(a))
4 anche in questo caso si prende la soluzione positiva e quindi massima tra le due, cioè l’unica considerabilmente valida a livello fisico. Dalla risoluzione si ricava quindi il seguente valore di X (si prende il valore positivo poiché fisicamente è l’unico considerabile): X = 0.74 A questo punto si va a trovare il valore di d2 direttamente dalla formula inversa di X = tg β d2 = tg √3
d2 = : = 3.51 mm infine si va a trovare il valore di ZIN,2 sostituendo il valore di X nella formula ,
descritta precedentemente, ottenendo ZIN,2 = 29.2 Ω b) Imponendo RL uguale a 0 si ha il seguente circuito: Il circuito equivalente da considerare, che ha come carico ZIN, è il seguente: 5 Dove si può andare a calcolare il valore di ZIN applicando la (72) delle dispense “BioEMC16_17_5.pdf”: tan
tan
Dove ZC = ZIN,2 – jXC con XC = . Quindi si scrive il seguente codice Matlab: X_c=1/(2*pi*freq*1.1e-12);
Z_c=Z_in2-i*X_c;
beta4=sqrt(4)*beta_0
Z_4=(60*sqrt(3))/(sqrt(4));
Z_IN=Z_4*(Z_c+i*Z_4*tan(beta4*7.5e-3))/(Z_4+i*Z_c*tan(beta4*7.5e-3));
si ottiene: ZIN = 46.7 + j46.2 Ω Poiché ZIN ha parte immaginaria positiva, non è utilizzabile l’adattamento coniugato, in quanto l’applicazione di esso non porta ad una soluzione fisicamente sensata. Occorre perciò andare a calcolare la potenza derivando rispetto ai parametri liberi. Posto ZIN ‘ = ZIN + jωL = RA + jXA È possibile quindi scrivere la potenza come 1
2
|2
·
|2
|
2
·
|
1
·
Tenendo conto del fatto che per massimizzare la potenza la parte immaginaria dell’impedenza ZIN ‘ deve essere la più piccola possibile, si impone L = 0 e si fa in modo che | | sia minimo (poiché appare al denominatore). Al fine di massimizzare la potenza come richiesto è dunque necessario derivare rispetto all’unica incognita (e parametro da minimizzare) ZX2. Sostituendo ZX2 = t, si calcola la derivata rispetto a tale parametro, e si impone uguale a 0, ottenendo il seguente polinomio finale: 0 Occorre prima ricavare Z1. Come si può notare dal testo, tutte le linee hanno la stessa geometria. Assumendo il fatto che l’impedenza di una generica linea è uguale a , se si va a cambiare la costante dielettrica di tale linea si ha una variazione della capacità di linea. Quindi si ottiene un’impedenza pari a √
Sfruttando questa proprietà si può ricavare √
60 √3
Ora, trovato il valore di Z1 si ottiene: 6 103.9 Ω Zx=sqrt(sqrt((Z1^2)*(Ra^2+Xa^2))); quindi ZX = 82.6 Ω Ora, con la stessa tecnica utilizzata per ricavare Z1 è possibile ricavare x, che sarà uguale a 1.58 Il valore della potenza sul carico sarà quindi: P = 0.0639 W c) La risoluzione di questo punto è molto simile al punto b. Il codice Matlab è il seguente: Resistenza_L=10*X_c;
Z_c=Z_in2-i*X_c+Resistenza_L;
beta4=sqrt(4)*beta_0
Z_4=(60*sqrt(3))/(sqrt(4));
Z_IN=Z_4*(Z_c+i*Z_4*tan(beta4*7.5e-3))/(Z_4+i*Z_c*tan(beta4*7.5e-3))
Ra=real(Z_IN);
Xa=imag(Z_IN);
Z1=60*sqrt(3);%[ohm]
Zx=sqrt(sqrt((Z1^2)*(Ra^2 + Xa^2)))
epsilon_x=(Z1/Zx)^2
%quindi la potenza al carico vale
P=((2*V)^2/2)*Zx^2*Ra*1/((Z1*Ra+Zx^2)^2 + (Z1*Xa)^2)
Si ottiene il seguente valore di potenza: P = 0.0768 W 7 d) Considerando quindi il circuito seguente, Si procederà al calcolo delle impedenze equivalenti Zeq1, Zeq2, Zeq3 per ottenere l’equivalente di Thevenin del circuito iniziale al fine di calcolare la relativa corrente e tensione e poter risalire, mediante l’applicazione dell’equazione dei telegrafisti (32) del file “BioEMC15_16_2.pdf”, alla corrente e alla tensione sul carico e poter andare a calcolare la potenza su di esso. Procedendo con il calcolo delle impedenze equivalenti si ha: tan
tan
8 tan
tan
7.5
7.5
tan
tan
Conviene definire un vettore d2 contente le diverse lunghezze della linea di trasmissione, come richiesto dall’esercizio, e andare a calcolare le impedenze equivalenti per ciascun elemento del vettore: d_lambda=[lambda_0/2, lambda_0/4, lambda_0/8, 3*lambda_0/4];
Z_eq_1= (Z_L +
i.*Z_0.*tan(beta3.*d_lambda))./(Z_0+i.*Z_L.*tan(beta3.*d_lambda));
beta4=sqrt(4)*beta_0;
Z_eq_2= (Z_eq_1 + i.*Z_4.*tan(beta4.*7.5e-3))./(Z_4+
i.*Z_eq_1.*tan(beta4.*7.5e-3));
betaX=sqrt(epsilon_x)*beta_0;
d1=3*lambda_0/4;
Z_eq_3= (Z_eq_2 + i.*Zx.*tan(betaX.*d1))./(Zx+ i.*Z_eq_2.*tan(betaX.*d1));
Essendo il circuito ridotto nella forma d Thevenin, è possibile applicare la legge di Ohm per ottenere la corrente che circola all’interno dello stesso e conseguentemente la tensione al carico. Perciò il codice MatLab è il seguente: I3=2*V./(Z1+Z_eq_3);
Veq3=Z_eq_3.*I3;
Tali valori di corrente I3 e tensione Veq3, sono i valori di tensione e corrente alla linea Zx. Applicando l’equazione dei telegrafisti, e quindi utilizzando la funzione telegrafisti implementata in MatlLab nel seguente modo: function [V,I]=telegrafisti(V_0, I_0, Z_0, d, epsilon_r, f)
lambda_0=3e8/f; % [m] lunghezza d'onda nel vuoto alla frequenza fornita dal
testo
beta_0=2*pi/lambda_0; % costante di propagazione nel vuoto
beta=sqrt(epsilon_r)*beta_0; % costante di propagazione nel mezzo
V=V_0.*cos(beta.*d)-i.*Z_0.*I_0.*sin(beta.*d);
I=I_0.*cos(beta.*d)-i.*(V_0./Z_0).*sin(beta.*d);
end
9 Per comprendere i parametri presi in ingresso dalla funzione telegrafisti basterà scrivere <<help telegrafisti>> nel terminale, ottenendo la seguente descrizione: %Equazione dei telegrafisti.
%variabili d'ingresso:
%V_0 : tensione di riferimento alla linea;
%I_0 : corrente di riferimento alla linea;
%Z_0 : impedenza della linea;
%d : lunghezza della linea;
%epsilon_r : costante dielettrica del mezzo di cui è costituita la linea;
%f : frequenza di lavoro.
In questo modo si ottengono i valori di corrente I2 e tensione Veq2 alla linea Z4, i valori di corrente I1 e tensione Veq1 alla linea Z0 (60 Ω), e infine la corrente IL e la tensione VL al carico ZL. Il codice Matlab dove si richiama la funzione telegrafisti è il seguente: [Veq2, I2]=telegrafisti(Veq3,I3,Zx,d1,epsilon_x,freq);
[Veq1, I1]=telegrafisti(Veq2,I2,Z_4,7.5e-3,4,freq);
[VL, IL]=telegrafisti(Veq1,I1,Z_0,d_lambda,3,freq);
Trovate la tensione VL e la corrente IL al carico, si può andare a calcolare la potenza sullo stesso e tracciarne l’andamento: P_L=(1/2*VL.*conj(IL));
plot(d_lambda,real(P_L))
grid on
xlabel('d2 [m]')
ylabel('P [W]')
P [W]
10 I valori di potenza ottenuti sono: Potenza= [0.0039 0.0017 0.0014 0.0017] W 11