Programma d`esame - statistica@unimib

ANALISI MATEMATICA I (Corso di Laurea SSE)
Programma d’esame
1. Numeri e logica: Concetti di base sugli insiemi, insiemi di numeri: i naturali, gli interi,
√
i razionali, i reali. 2 6∈ Q (Th.∗ 1.2) (Cap. 1, Par. 1). Sommatorie e coefficienti binomiali:
somma di una progressione geometrica (Pro.∗ 1.1), il fattoriale di n, coefficienti binomiali (Cap.
1, Par. 2). Formula del binomio di Newton e triangolo di Tartaglia. (Cap.1, Par. 2). La
relazione d’ordine su R e le sue proprietà (Cap.1, Par. 3). Maggioranti, minoranti, massimi,
minimi, estremo superiore ed estremo inferiore di un sottoinsieme di R, assioma di continuità
(proprietà dell’estremo superiore) (Cap.1 Par. 4).
2. Funzioni: Il concetto di funzione, dominio e codominio di una funzione (Cap. 2, Par. 1).
Iniettività, suriettività e biettività di una funzione (Cap. 2, Par 4.2). Insiemi equipotenti e
cardinalità di un insieme. Insiemi infiniti: equipotenza di N e Z e cardinalità del numerabile
(ℵ0 ). Numerabilità di Q (Th.∗ 1.5). Non numerabilità di R e cardinalità del continuo (c) (Th.∗
1.6) (Cap 1. Par. 6). Valore assoluto e sue proprietà (Cap. 1, Par. 4.3). Intervalli e semirette
(Cap. 1, Par. 4.4). Composizione di funzioni (Cap. 2 Par. 4). Grafico di una funzione di
variabile reale (Cap. 2 Par. 2). Funzioni limitate (Cap. 2, Par 2.2), funzioni simmetriche (Cap.
2, Par. 2.3), funzioni monotone (Cap. 2, Par. 2.4), funzioni periodiche (Cap. 2, Par. 2.5).
Operazioni sui grafici (Cap. 2, Par. 3.7). Funzioni invertibili; funzioni inverse: Teorema 2.1
(Cap. 2, Par. 4.2), le funzioni trigonometriche inverse (Cap. 2, Par. 4.3).
3. Limiti e continuità: Successioni di numeri reali: definizione di successione e di successione
convergente. Concetto di limite (Cap. 3, Par. 1.1). Successioni divergenti e successioni irregolari. Successioni monotone e teorema di monotonia (Th.∗ 3.1), limite di successioni monotone
non limitate (Cor. 3.2), limite della successione geometrica (Cap. 3, Par. 1.2). Algebra dei
limiti (Th. 3.3), teorema del confronto (Th. 3.6), sue conseguenze (Cor. 3.7), limite della successione armonica generalizzata, infiniti ed infinitesimi, algebra dei limiti in presenza di infiniti
ed infinitesimi, forme di indecisione (Cap. 3, Par. 1.3). Il numero e (Th. 3.8, Th. 3.9) (Cap. 3,
Par. 1.4). Confronti e stime asintotiche: infiniti dello stesso ordine, di ordine superiore/inferiore,
non confrontabili, successioni asintotiche, gerarchia degli infiniti (Th. 3.10), criterio del rapporto
(Th. 3.11) (Cap. 3, Par. 1.5). Limiti di funzioni, continuità ed asintoti: definizione successionale
di limite (Def. 3.8), intorni di elementi di R e di +∞ e −∞ (Def. 3.13); definizione topologica di limite (Def. 3.15) e sue specializzazioni (limite finito al finito, limite infinito al finito,
limite finito all’infinito, limite infinito all’infinito); limiti destro e limite sinistro (Def. 3.10) e
loro relazioni con il limite (Cap. 3, Par. 2). Asintoti: asintoti orizzontali, asintoti obliqui, una
condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza di un asintoto obliquo (Pro. 3.2), ed asintoti
verticali. Continuità (Def. 3.11). Continuità delle funzioni elementari (Th. 3.22) (Cap. 3,
Par. 2). Proprietà del limite: teorema del confronto (Th. 3.13) e sue conseguenze (Cor. 3.15);
teoremi di permanenza del segno (Th. 3.16, Th. 3.17, Th. 3.18). Teoremi di calcolo dei limiti:
teorema sull’algebra dei limiti (Th. 3.19) e aritmetizzazione parziale di ∞, teorema sull’algebra
delle funzioni continue (Th. 3.21); teorema di cambio di variabile nel limite (Th. 3.23), teorema
x ln(1+x)
di continuità della funzione composta (Th. 3.24). Alcuni limiti notevoli: sinx x , 1−cos
,
,
x2
x
α
x
(1+x)
−1
e −1
1 x
per x → 0, e (1 + x ) per x → ±∞ (Cap. 3, Par. 3).
x ,
x
4. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale: Introduzione al calcolo
differenziale: retta tangente al grafico di una funzione (Cap. 4, Par. 1). Derivabilità di una
1
funzione in un punto del suo campo d’esistenza e derivata prima (Def. 4.1). Equazione della
retta tangente al grafico di una funzione derivabile in un suo punto. Derivata seconda (Cap.
4., Par. 2.1). Derivate di alcune funzioni elementari e loro giustificazione (Cap. 4, Par. 2.3).
Continuità e derivabilità (Th.∗ 4.1). Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate (Th.
4.2), derivata di una funzione composta e regola a catena (Th. 4.3), derivata di funzione inversa
(Th. 4.4). Punti di non derivabilità (Cap. 4, Par. 2.4)
Proprietà globali delle funzioni continue su un intervallo: teorema degli zeri (Th.∗ 3.26).
Punti di massimo e punti di minimo assoluti (Def. 4.4) e relativi (Def. 4.5) di una funzione,
teorema di Weierstrass (Th. 3.27). Teorema di Darboux (Th.∗ 3.28) (Cap. 3, Par. 4.1).
Metodi per la ricerca di punti di massimo/minimo: teorema di Fermat (Th.∗ 4.5) e condizione
di stazionarietà. Teorema di Lagrange (Th.∗ 4.6); test di monotonia (Th.∗ 4.7) e suo utilizzo
nella ricerca di massimi e minimi (Cap. 4, Par. 4.2). Il teorema di de L’Hospital (Th. 4.8) e sue
applicazioni (Cap. 4, Par. 4.4). Derivata seconda, convessità e concavità: sottoinsiemi convessi
di R2 ; epigrafico di una funzione, funzioni convesse e funzioni concave (Def. 4.6). Riformulazione
equivalente della convessità per funzioni e sua interpretazione geometrica. Funzioni strettamente
convesse/concave. Caratterizzazione della convessità/concavità per funzioni derivabili (Th. 4.11).
Convessità e rette tangenti (Th. 4.12). Punti di flesso (Def. 4.8) e condizione di flesso per funzioni
con derivata seconda (Th. 4.13). Calcolo differenziale e approssimazioni: il differenziale di una
funzione. Il simbolo “o piccolo” (Def. 4.9) (Cap. 4, Par. 7.1). Approssimazioni polinomiali:
formula di MacLaurin all’ordine n, con resto di Peano (Th. 4.16 + Th. 4.17); formula di Taylor
all’ordine n, con resto di Peano (Th. 4.18). Alcuni esempi: funzione esponenziale, seno e coseno
(Cap. 4, Par. 7.3). Formula di Taylor all’ordine n, con resto di Lagrange (Th. 4.19) (Cap.4,
Par. 7.4).
5. Serie: Successione delle somme parziali e definizione di serie. Carattere di una serie (Def. 5.1).
Somma di una serie. Serie geometrica (Es. 1.1), serie armonica (Es. 1.2), serie di Mengoli (Es.
1.3). Una condizione necessaria per la convergenza (Th.∗ 5.1) e comportamento della successione
dei resti (Th.∗ 5.2) (Cap. 5, Par. 1.1). Serie a termini non negativi: i due caratteri possibili;
criteri di convergenza: criterio del confronto, criterio del confronto asintotico e carattere della
serie armonica generalizzata (Es. 1.5 + Es. 1.6); criterio della radice; criterio di condensazione;
criterio del rapporto (Cap. 5, Par. 1.2). Serie a termini di segno variabile: assoluta convergenza
(Def. 5.2) e sua relazione con la convergenza semplice (Th. 5.3). Serie a termini di segno
alternato. Criterio di Leibniz (Th. 5.4). Serie di Taylor: sviluppabilità in serie di Taylor di
funzioni derivabili infinite volte. La serie esponenziale e le serie delle funzioni trigonometriche
elementari (Cap. 5, Par. 2.1).
6. Calcolo integrale per funzioni di una variabile: La definizione di integrale come limite
di somme di Cauchy-Riemann (Def. 6.1). Interpretazione geometrica: area con segno. Classi di
funzioni integrabili (Th. 6.1, Th. 6.2, Th. 6.3). Proprietà dell’integrale: linearità, additività,
positività e monotonia (Th. 6.4). Teorema della media (Th.∗ 6.5). Il teorema fondamentale del
calcolo integrale: primitiva (Def. 6.2), teorema fondamentale (Th.∗ 6.6). Primitive di alcune
funzioni elementari. Integrazione per sostituzione, uso delle simmetrie (Cap. 6, Par. 5.1).
Integrazione di funzioni razionali (Par. 5.2). Integrazione per parti (Cap. 6, Par. 5.3). Integrali
generalizzati: integrazione di funzioni non limitate, funzioni integrabili in senso generalizzato
R b dx
(Def. 6.3), analisi della convergenza dell’integrale a (b−x)
α (Par. 8.1). Criteri di integrabilità al
finito: criterio del confronto e criterio del confronto asintotico (Par. 8.2). Assoluta integrabilità
(Th. 6.8). Integrazione su intervalli illimitati (Def. 6.4), analisi della convergenza dell’integrale
R +∞ dx
xα . Un’applicazione: divergenza della serie armonica e convergenza della serie armonica
1
2
generalizzata (Cap. 6, Par. 8.3). Criteri di integrabilità all’infinito: criterio del confronto e
criterio del confronto asintotico (Cap. 6, Par. 8.4). Assoluta integrabilità (Th. 6.9). Funzioni
integrali: definizione. Un esempio: la “funzione degli errori”. Secondo teorema fondamentale del
calcolo integrale (Th.∗ 6.10) e sue conseguenze (Cap. 6, Par. 9).
Legenda:
Th. = Teorema
Th.∗ = Teorema + dimostrazione
Pro. = Proposizione
Cor. = Corollario
Def. = Definizione
Pro.∗ = Proposizione + dimostrazione
Cap. = Capitolo
Par. = Paragrafo
Es. = Esempio
[BPS08] M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli, Bologna, 2008.
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