Esercizi svolti durante il tutorato del 20 Ottobre 2005

Matematica Applicata
Tutoraggio 1
Discontinuità di diramazione
Esercizio 1
Sia data la funzione w3 = z, e si supponga che per z = 1 si abbia w = 1.
Se partendo dal punto z = 1 si compie un giro in senso antiorario attorno
all’origine, quando
√ si torna la prima volta in z = 1 quanto vale w?
1
[w1 = − 2 + i 23 ]
Se si compiono
√ altri giri?
1
[w2 = − 2 − i 23 poi si ripetono: w3 = 1 ≡ w0 ... ]
In senso orario?√
√
[w−1 = − 12 − i 23 ≡ w2 ; w−2 = − 12 + i 23 ≡ w1 ; w−3 = 1 ≡ w0 poi si
ripetono ... ]
Se il percorso non racchiude l’origine?
[non cambia la fase, quindi non cambia w = 1 ≡ w0 ]
Esercizio 2
Sia data la funzione w = (1−z 2 )1/2 e per z = 0 si abbia w = 1. Se si compie,
partendo da z = 0, un giro completo in senso antiorario tale da racchiudere
il punto z = 1 ma non il punto z = −1, quando si torna in z = 0 quanto
vale la w?
[w1 = −1]
Compiendo più giri?
[i valori si ripetono: w2 = 1 ≡ w0 ...]
E se si compie un giro che racchiude entrambi i punti?
[w = 1 ≡ w0 ]
nessuno dei due punti?
[non cambia la fase, quindi non cambia w = 1 ≡ w0 ]
1
Matematica Applicata
Tutoraggio 1
Funzioni elementari
Esercizio 3
Dimostrare che:
sin2 (z) + cos2 (z) = 1
[uso le formule di eulero]
eiz = cos(z) + i sin(z)
[uso gli sviluppi in serie]
sin(z1 + z2 ) = sin(z1 ) cos(z2 ) + cos(z1 ) sin(z2 )
cos(z1 + z2 ) = cos(z1 ) cos(z2 ) − sin(z1 ) sin(z2 )
[uso le formule di eulero]
Esercizio 4
Dimostrare che gli zeri di sin(z) e cos(z) sono tutti reali, e determinarli.
[sostituisco z = x + iy]
Esercizio 5
Dimostrare che
sin(−z) = − sin(z)
cos(−z) = cos(z)
[uso le formule di eulero]
Esercizio 6
Dimostrare che
1 − tanh2 (z) = sech2 (z)
[uso le formule di eulero ricordando che tanh =
sinh
cosh
e che sech =
1
cosh ]
sin(iz) = i sinh(z)
cos(iz) = cosh(z)
[uso le formule di eulero]
sin(x + iy) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y)
[uso le formule di eulero]
2
Matematica Applicata
Tutoraggio 1
Esercizio 7
Dimostrare che, se si considera il valore principale:
√
sin−1 (z) = −i ln(iz + 1 − z 2 )
[uso le formule di eulero sulla formula inversa poi ricavo eiw ]
tanh−1 (z) = 21 ln 1+z
1−z
[uso le formule di eulero sulla formula inversa poi ricavo e2w ]
Continuità e dominio di definizione
Esercizio 8
Dimostrare che z 2 è continua in z0 . Dimostrare invece che
(
f (z) =
z 2 , z 6= z0
0, z = z0
non è continua in z0 se z0 6= 0.
[uso la definizione di continuità]
Esercizio 9
4
3
2
+8z −2z+5
La funzione 3z −2z z−i
è continua in z = i?
[uso la definizione di continuità e trovo che ha discontinuità eliminabile]
Esercizio 10
Per quali valori di z è continua la funzione csc(z)?
[z 6= nπ ossia non per gli zeri di sin z]
3
Matematica Applicata
Tutoraggio 1
Esercizio 11
Determinare il dominio di definizione, analiticità, e le singolarità delle funzioni:
z 2 −3z
z 2 +2z+2
[z 6= −1 ± i; è analitica perché lo sono numeratore e denominatore]
ln(z+3i)
z2
[z 6= 0; z = −3i è un punto di diramazione]
sin−1 (1/z)
[z 6= 0]
p
z(z 2 + 1)
[z ∈ C; z = 0 e z = ±i sono punti di diramazione; è analitica]
cos(z)
(z+i)3
[z 6= −i; è analitica perché lo sono numeratore e denominatore]
Esercizio 12
Determinare le singolarità al finito e all’infinito di
(z + 3i)2
(z 2 − 2z + 5)2
[z 6= 1 ± 2i; è analitica perché lo sono numeratore e denominatore]
Esercizio 13
2
Dimostrare che ez ha una singolarità essenziale all’infinito. La funzione è
analitica?
[è analitica (vedi pag.31)]
4