Analisi dei Dati – Prof. Marozzi

Analisi dei Dati – Prof. Marozzi
Esercitazione 1
86 famiglie sono state classificate in base al numero di auto possedute.
Auto
0
1
2
3
4
Famiglie
4
21
42
14
5
i) Indicare il carattere oggetto di interesse e la sua tipologia.
ii) Calcolare la media aritmetica ed interpretarne il risultato.
iii) Verificare la proprietà di nullità della somma degli scarti dalla media
aritmetica.
iv) Calcolare la media quadratica.
v) Definire e calcolare lo scarto quadratico medio.
vi) Ottenere la varianza del carattere utilizzando media aritmetica e media
quadratica.
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Svolgimento dell’esercitazione
i) Il carattere oggetto di interesse è il numero di auto possedute da una
famiglia. E’ un carattere quantitativo discreto, in quanto le modalità sono
numeri ottenuti per conteggio.
(ii) La formula per il calcolo della media aritmetica è
M =x=
1
n
k
i =1
xi ni ,
essendo k=5 il numero delle modalità.
xi
0
1
2
3
4
totale
ni
4
21
42
14
5
86
x i ni
0
21
84
42
20
167
Segue che
x=
1
n
k
i =1
xi ni =
1
167 = 1,94 .
86
La media aritmetica è pari a circa 1,94; immaginando quindi che il numero
totale delle auto sia equamente distribuito tra le 86 famiglie, spetterebbe a
ogni famiglia 1,94 auto.
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iii) Una della proprietà della media aritmetica afferma che la somma degli
scarti con segno delle osservazioni rispetto alla loro media aritmetica è pari
a zero, in simboli
k
i =1
(xi − x )ni = 0 .
I calcoli nella seguente tabella verificano la proprietà con riferimento al
carattere e alla distribuzione che stiamo studiando.
xi
0
1
2
3
4
totale
(xi − x ) (xi − x )ni
ni
4
21
42
14
5
86
-1,94
-0,94
0,06
1,06
2,06
-
-7,77
-19,78
2,44
14,81
10,29
0
iv) La formula per il calcolo della media quadratica è
Mq =
xi
0
1
2
3
4
totale
ni
4
21
42
14
5
86
1
n
k
i =1
xi2 ni .
xi2
0
1
4
9
16
-
xi2 ni
0
21
168
126
80
395
Quindi
Mq =
1
n
k
i =1
xi2 ni =
1
395 = 4,59 = 2,14 .
86
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v) Lo scarto quadratico medio è la media quadratica degli scarti delle
osservazioni dalla loro media aritmetica.
xi
ni
0
1
2
3
4
4
21
42
14
5
totale
(xi − x )2 ni
15,08
18,63
0,14
15,68
21,18
70,71
Quindi
1
SQM =
n
5
i =1
(xi − x )2 ni
=
70,71
= 0,82 = 0,91 .
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vi) La varianza può essere ottenuta sottraendo al quadrato della media
quadratica il quadrato della media aritmetica
V = (Mq ) − (M ) = 2,14 2 − 1,942 = 0,82.
2
2
Lo stesso valore può essere ottenuto calcolando
V=
1
n
5
i =1
(xi − x )2 ni = 70,71 = 0,82 ,
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ovvero elevando al quadrato lo scarto quadratico medio 0,912=0,82.