Trigonometria1 -AV

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Trigonometria
Contenuti
Facoltà di Ingegneria - Università della Calabria
JJ
II
J
I
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Abstract
Lo scopo di questo lavoro è quello di fornire all’utente uno
strumento per verificare il suo grado di preparazione relativamente all’argomento :Trigonometria.
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Contenuti
1 Trigonometria: primi elementi
3
2 Funzioni trigonometriche
8
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Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 2 di 17
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Riferimenti teorici
18
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Contenuti
JJ
II
J
I
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1.
Trigonometria: primi elementi
In questa sezione sono presentati esercizi a risposta multipla che
riguardano i primi elementi di trigonometria.
Ogni domanda prevede risposte diverse, una soltanto è quella corretta. Per cominciare un qualsiasi esercizio, bisogna selezionarlo
cliccando su “Inizio Quiz” e dunque cliccare sulla casellina che si
ritiene corrisponda alla risposta corretta.
Alla fine dell’esercizio, cliccando su “Fine Quiz” il programma procederà ad indicare il numero di risposte corrette date ed eventualmente a correggere quelle errate.
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Inizio Quiz
1. Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?
Titolo della Pagina
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 4 di 17
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(a) Un angolo e’ un segmento compreso tra due rette che si
incontrano.
(b) Un angolo e’ la piu’ piccola delle due parti del piano in
cui esso e’ diviso da due semirette uscenti da uno stesso
punto.
(c) Un angolo e’ la piu’ grande delle due parti del piano in
cui esso e’ diviso da due semirette uscenti da uno stesso
punto.
(d) Un angolo e’ ciascuna delle due parti del piano in cui esso
e’ diviso da due semirette uscenti da uno stesso punto.
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(e) Un angolo e’ il punto di incontro di due semirette uscenti
da uno stesso punto.
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2. Se un angolo misura 72◦ , la sua misura in radianti e’ :
(a)
π
5
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(b) 23 π
Contenuti
(c) 25 π
JJ
II
(d) 56 π
J
I
(e) 3π
Pagine 5 di 17
3. Se un angolo misura 216◦ , la sua misura in radianti e’ :
(a) maggiore di 2π
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(b) compresa tra
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π
2
eπ
(c) compresa tra π e 32 π
(d) compresa tra 32 π e 2π
(e) compresa tra
π
4
e
π
2
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4. Dati gli angoli α (a sinistra)e β (a destra)in figura.
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JJ
II
J
I
Pagine 6 di 17
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Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?
(a) α e’ positivo e β e’ negativo.
(b) α e β sono entrambi negativi.
(c) α e β sono entrambi positivi.
(d) α e’ negativo e β e’ positivo.
(e) β = α + 2π.
Fine Quiz
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JJ
II
J
I
Pagine 7 di 17
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Se hai risposto erroneamente alle domande puoi verificare la tua
preparazione consultando pagine teoriche relative agli argomenti
trattati in questa sezione del Quiz.
Per visualizzare le pagine teoriche clicca su
RIFERIMENTI TEORICI
Riferimenti teorici 1. Vai alle pagine di teoria
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II
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I
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2.
Funzioni trigonometriche
In questa sezione sono presentati esercizi a risposta multipla che
riguardano le funzioni trigonometriche.
Ogni domanda prevede risposte diverse, una soltanto è quella corretta. Per cominciare un qualsiasi esercizio, bisogna selezionarlo
cliccando su “Inizio Quiz” e dunque cliccare sulla casellina che si
ritiene corrisponda alla risposta corretta.
Alla fine dell’esercizio, cliccando su “Fine Quiz” il programma procederà ad indicare il numero di risposte corrette date ed eventualmente a correggere quelle errate.
Inizio Quiz
1. Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?
(a) Il seno e il coseno sono rispettivamente l’ascissa e
l’ordinata di un punto sulla circonferenza di centro
l’origine degli assi e raggio 1.
(b) La tangente e’ il rapporto tra coseno e seno.
(c) La cotangente e’ un’ordinata.
(d) La tangente e’ un’ascissa.
(e) La tangente e’ il rapporto tre seno e coseno.
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I
2. Quale delle √
seguenti relazioni e’ impossibile?
(a) senx = 3
(b) tgx = 10
(c) cosx =
3
7
(d) ctgx = −7
(e) sen2 3 + cos2 3 = 1
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3. Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?
(a) ∃ un angolo α t.c.senα = 1 e cosα = 1
(b) cosα e’ positivo per 34 π ≤ α ≤ 54 π
(c) La funzione senα e’ periodica di periodo 4π
(d) ∃ la tangente di ogni angolo orientato
(e) senα e’ negativo per 34 π ≤ α ≤ 53 π
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II
J
I
Pagine 10 di 17
4. Quale delle seguenti disuguaglianze e’ falsa?
(a) se
π
4
<α<
(b) se
π
2
< α < π allora senα > tgα
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allora senα > cosα
(c) se 0 < α <
π
2
e π < β < 32 π allora cosα < cosβ
(d) se 0 < α <
π
4
allora tgα < 1
(e) se 0 < α <
π
4
allora ctgα > 1
5. Quali dei seguenti è il valore dell’espressione
sen0 + sec2π + csec π2
cos0 tg0 − sen π4 csec π4
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π
2
(a) -2
(b) 1
(c) -1
(d) 2
(e) 0
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6. Quali dei seguenti è il valore dell’espressione
√
2
π
π
3
π √
√ cos − 3cos + 2 2sen − ctg π
6
6
4
2
3
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I
Pagine 11 di 17
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(a)
3
4
(b) 23
(c)
3
2
(d) 43
(e)
1
2
7. Quali dei seguenti è il valore dell’espressione
√
π
π
π
π
2 π
π
2sen + ctg − tg + 5cos −
tg − tg
3
3
6
4
2
4
3
√
√
√
√
√
(a) 3 2
(b) 2 3
(c) 3 3
(d) 2 2
(e) 1 + 2
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8. L’espressione
3
π
3
3senπ − 5cosπ + 2tg π − ctg + 2sen π
2
2
2
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(a) vale π
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JJ
II
J
I
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(c) −2
(b) 0
(d) non ha senso perche’ la tg 23 π non e’ definita
(e) non ha senso perche’ ctg π2 non e’ definita
9. Se senα =
(a)− 45
10. Se tgα =
3
5
con
π
2
≤ α ≤ π, cosα quanto vale?
(b) 45
1
2
(d) − 34
(c) 34
(e)
3
5
con π ≤ α < 32 π, senα quanto vale?
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(a) − √15
(b)
√1
5
5
11. Se cosα = − 13
con
5
(a) − 12
(b)
5
12
(c) − 12
π
2
(d) − √25
(e)
≤ α < π, ctgα quanto vale?
(c)
12
13
(d)
12
5
(e) − 12
5
√2
5
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JJ
II
J
I
Pagine 13 di 17
12. Se tgα = 2 con 0 < α <
(a)
√
2
(b) 2
(c)
π
2 , ctgα
1
2
quanto vale?
(d) − 12
√
(e)
13. Quale tra le seguenti uguaglianze non e’ un’identita’ ?
(a)
senα secα − tgα = 0
(b)
senα ctgα − cosα = 0
(c)
csecα tgα −
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1
=0
cosα
(d)
tgα cosα − senα = 0
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(e)
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2
2
(1 − sen2 α) secα − 2cosα = 0
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14. Quale tra le seguenti uguaglianze non e’ un’identita’ ?
(a)
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tgα +
(b)
(tgα +
JJ
II
(c)
J
I
Pagine 14 di 17
1
)cos2 α = 2senα
ctgα
senα cosα
= tgα
1 − sen2 α
(d)
ctgα +
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1
= secα csecα
tgα
1
= csecα secα
ctgα
(e)
1 − cos2 α
= tgα
senα cosα
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15. Sia α = π6 e β = π − α. quale delle seguenti eguaglianze e’
vera?
(a) senβ = − 12
√
3
2
(b) cosβ =
Contenuti
√
(c) tgβ =
JJ
II
3
3
(d) cosα + cosβ = 0
J
I
Pagine 15 di 17
(e) tgα − tgβ = 0
16. Siano α e β due angoli legati dalla relazione β = 2π −α. Quale
delle seguenti affermazioni e’ vera?
Indietro
(a)senα = cosβ
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(b) cosβ = cosα
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(c)ctgα = ctgβ
(d)tgβ = tgα
Esci
(e) senα = senβ
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17. Quale delle seguenti eguaglianze e’ falsa?
(a) tg 45 π = 1
Titolo della Pagina
Contenuti
(b) cos 76 π = −
√
3
2
(c) sen 47 π = −
√
2
2
√
JJ
II
(d) ctg 32 π = −
J
I
(e) sen 65 π = − 12
3
3
Pagine 16 di 17
18. Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?
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(a) cos( π2 + π6 ) =
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(b) tg( π2 + π4 ) = 1
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1
2
(c) sen(−α) + sen( π2 − α) + cos(α − π2 ) − cos(−α) = 0
(d) sen(π − α) tg(α + π) + sen(α + π) tg(π − α) = 0
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(e) sen( π2 + α) − ctg( π2 + α) − cosα − tg( π2 + α) =
tg 2 α−1
tg(α)
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Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 17 di 17
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Fine Quiz
Se hai risposto erroneamente alle domande puoi verificare la tua
preparazione consultando pagine teoriche relative agli argomenti
trattati in questa sezione del Quiz.
Per visualizzare le pagine teoriche clicca su
RIFERIMENTI TEORICI
Riferimenti teorici 2. Vai alle pagine di teoria
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Riferimenti teorici
Riferimenti teorici 1.
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ANGOLI,ARCHI E LORO MISURA
Contenuti
JJ
II
J
I
ANGOLO: ciascuna delle due parti del piano in cui esso e’ diviso
da due semirette uscenti da uno stesso punto.
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Il punto O e’ detto vertice, mentre le semirette r ed s sono dette
lati dell’angolo.
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Se le due semirette coincidono, cioe’ se r=s, allora una delle due
parti in cui e’ diviso il piano e’ vuota; in tal caso l’angolo non
vuoto e’ chiamato angolo giro.
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JJ
II
J
I
Pagine 19 di 17
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La meta’ dell’angolo giro e’ chiamata angolo piatto, e corrisponde
a due semirette r, s allineate con versi opposti.
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JJ
II
J
I
Pagine 20 di 17
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La quarta parte dell’angolo giro e’ chiamata angolo retto.
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ARCO: la parte di una circonferenza inclusa in un angolo al
centro della circonferenza stessa.
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JJ
II
J
I
Pagine 21 di 17
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d
Si scrive l’arco AB
A e B sono detti estremi dell’arco. Si dice che l’angolo al centro
sottende l’arco.
MISURA DEGLI ANGOLI
GRADO: la trecentosessantesima parte di un angolo giro. Cosı̀ un
angolo giro e’ 360 gradi, un angolo piatto 180 gradi e un angolo
retto 90 gradi.
RADIANTE: consideriamo la circonferenza di raggio 1 con centro nel vertice dell’angolo. La misura in radianti e’ la lunghezza
dell’arco di circonferenza intercettato dalle due semirette.
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Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 22 di 17
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Cosi un angolo giro misura 2π radianti, un angolo piatto π radianti
e un angolo retto π2 radianti.
PASSAGGIO DA UN SISTEMA DI MISURA ALL’ALTRO.
Indicata con r la misura in radianti di un angolo e con g la misura
in gradi dello stesso angolo, si ha:
360 : 2π = g : r
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da cui:
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r=
π
180
g, e g =
r.
180
π
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Contenuti
JJ
II
J
I
Tali formule consentono di passare dalla misura in gradi alla misura
in radianti di un angolo, o dalla misura in radianti a quella in gradi.
ESEMPI
1)g = 45◦ =⇒ r =
2)g = 30◦ =⇒ r =
π
180 45
π
180 30
=
=
π
4
π
6
3)g = 60◦ =⇒ r =
π
180 60
=
π
3
4)g = 270◦ =⇒ r =
5)r = 54 π =⇒ g =
6)r =
Pagine 23 di 17
7
10 π
π
180 270
180 5
π 4π
=⇒ g =
= 23 π
= 225
180 7
π 10 π
= 126
Nel calcolo differenziale si usa sempre il radiante come unita’ di
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Esci
misura degli angoli.
ANGOLI ORIENTATI:
consideriamo s come retta di riferimento fissata e pensiamo di percorrere la circonferenza di raggio 1 per passare da s ad r. L’angolo
minore formato da s, r e’ percorso in senso antiorario, mentre
l’angolo maggiore in senso orario.
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Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 24 di 17
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Esci
Nel primo caso si dice che l’angolo e’ orientato positivamente, nel
secondo caso che e’ orientato negativamente.
MISURA DI UN ANGOLO ORIENTATO:
la misura dell’angolo presa rispettivamente con il segno positivo
o negativo a seconda che l’angolo sia percorso da s a r in senso
antiorario o in senso orario.
Allo stesso modo, nel movimento da s a r si puo’ percorrere piu’
volte la circonferenza di raggio 1 con centro nel vertice dell’angolo.
Ad esempio consideriamo la retta s fissata e percorriamo la circon-
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ferenza di raggio 1 fino a raggiungere la retta r. Se andiamo in
verso antiorario e ci fermiamo al primo incontro di r, individuiamo
un angolo la cui misura in radianti e’ un numero α positivo. Se
percorriamo in senso antiorario la circonferenza fino ad incontrare
piu’ volte r, individuiamo angoli le cui misure in radianti valgono
Contenuti
α + 2π, α + 4π, α + 6π, ..., α + 2kπ, ...
JJ
II
J
I
Se invece, a partire da s percorriamo la circonferenza in senso orario
fino ad incontrare la semiretta r, in funzione del numero di giri
otteniamo gli angoli le cui misure in radianti valgono
Pagine 25 di 17
α − 2π, α − 4π, α − 6π, ..., α − 2kπ, ...
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Per tornare alla simulazione del Quiz clicca su
Riferimenti teorici 1
RIFERIMENTI TEORICI
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Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 26 di 17
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Riferimenti teorici 2.
Funzioni trigonometriche
SENO E COSENO DI UN ANGOLO ORIENTATO: consideriamo un riferimento cartesiano ortogonale di assi x, y e origine O
ed assumiamo il semiasse positivo delle x come retta di riferimento
per misurare gli angoli. Consideriamo inoltre una circonferenza
di centro O e raggio 1, un punto P sulla circonferenza e l’angolo
orientato che misura α radianti (α ∈ R) che il raggio congiungente
O e P forma con il semiasse positivo delle x.
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Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 27 di 17
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Esci
Il seno di α, indicato senα e il coseno di α, indicato cosα
sono rispettivamente l’ordinata e l’ascissa del punto P sulla circonferenza che sottende l’angolo α;
senα = AP
cosα = OA
Si noti che il seno e’ positivo nel I e nel II quadrante, negativo
altrimenti. Invece il coseno e’ positivo nel I e nel IV quadrante e
negativo nel II e nel III.
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PROPRIETA’ DEL SENO E DEL COSENO.
Molte proprieta’ importanti di cosα e senα sono una conseguenza
del fatto che sono le coordinate di un punto P sulla circonferenza
di equazione x2 + y 2 = 1.
1) Per ogni valore reale α,
Contenuti
−1 ≤ cosα ≤ 1, e − 1 ≤ senα ≤ 1.
JJ
II
J
I
Pagine 28 di 17
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Esci
Pertanto le relazioni
senα = 5, senα = −
√
15
, cosα = −2, cosα > 1, senα < −3
3
sono assurde.
2)Relazione fondamentale della trigonometria. Le coordinate
di P
x = cosα e y = senα devono soddisfare l’equazione della circonferenza di centro O e raggio 1. Pertanto, per ogni valore reale α,
si ha :
cos2 α + sen2 α = 1
Ne segue che
p
p
senα = ± 1 − cos2 α, cosα = ± 1 − sen2 α
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Contenuti
JJ
II
J
I
CASI NOTEVOLI.
Dalla definizione di seno e coseno, si hanno immediatamente i
seguenti casi notevoli.
a) se α = 0 allora senα = 0 e cosα = 1
b) se α =
π
2
allora senα = 1 e cosα = 0
c) se α = π allora senα = 0 e cosα = −1
d) se α = 23 π allora senα = −1 e cosα = 0
e) se α = 2π allora senα = 0 e cosα = 1
SENO E COSENO DI ALCUNI ANGOLI PARTICOLARI
Pagine 29 di 17
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Esci
a)se α =
π
6
allora senα =
b)se α =
π
3
allora senα =
c)se α =
π
4
allora senα =
1
2
√
3
2
√
2
2
√
e cosα =
e cosα =
e cosα =
3
2
1
2
√
2
2
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Titolo della Pagina
Contenuti
JJ
II
J
I
PERIODICITA’ DEL SENO E DEL COSENO.
Il seno e il coseno sono funzioni dell’angolo, vale a dire ad ogni
α ∈ R associano un numero reale appartenente a [−1, 1]. Siccome
la circonferenza e’ lunga 2π, sommando 2π a α si fa compiere a
P un giro completo lungo la circonferenza e si giunge nello stesso
punto di partenza. Quindi, per ogni α,
sen(α + 2kπ) = senα e cos(α + 2kπ) = cosα, k ∈ Z
Pagine 30 di 17
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ESEMPI
1) senα = 1 per α =
π
2
+ 2kπ, k ∈ Z
2)cosα = 1 per α = 2kπ, k ∈ Z
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ATTENZIONE!!
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Esci
senα = 0 per α = kπ e cosα = 0 per α =
π
2
+ kπ, k ∈ Z
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GRAFICI DELLE FUNZIONI SENO E COSENO
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Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 31 di 17
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sinusoide
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sen : R → [−1, 1]
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JJ
II
J
I
Pagine 32 di 17
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cosinusoide
cos : R → [−1, 1]
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Contenuti
JJ
II
J
I
TANGENTE E COTANGENTE DI UN ANGOLO ORIENTATO.
Consideriamo di nuovo la circonferenza di centro O e raggio 1,
il punto P e l’angolo α. Sia Q il punto di intersezione tra la tangente alla circonferenza nel punto A=(1,0) e la retta passante per
O e P.
Si definisce tangente di α, e si scrive tgα l’ordinata del punto Q.
Pagine 33 di 17
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tgα = AQ
Esci
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Contenuti
JJ
II
Dalla definizione segue che per α = π2 e α = 32 π la tangente non
e’ definita. La tangente e’ positiva nel I e III quadrante e negativa
nel II e IV quadrante.
Per α = 0, α = π e α = 2π si ha tgα = 0. La tangente e’ periodica
di periodo π, cioe’ per ogni α per cui e’ definita, risulta
tg(α + kπ) = tgα, k ∈ Z.
Ne segue che la tangente e’ definita per α 6=
J
I
Pagine 34 di 17
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Pieno Schermo
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Esci
π
2
+ kπ, k ∈ Z.
La tangente puo’ assumere qualunque valore positivo, negativo o
nullo. Si esprime questo fatto dicendo che la tangente varia da
−∞ a +∞.
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GRAFICO DELLA TANGENTE
o
n
π
tg : x ∈ Rx 6= + kπ, k ∈ Z → (−∞, +∞)
2
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 35 di 17
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tangentoide
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La cotangente di α , che si indica con ctgα e’ l’ascissa del punto N
intersezione tra la tangente alla circonferenza nel punto B=(0,1) e
la retta passante per O e P.
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Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 36 di 17
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Esci
ctgα = BN
Dalla definizione segue che per α = 0, α = π e α = 2π la cotangente
non e’ definita.
La cotangente e’ positiva nel I e III quadrante e negativa nel II e
IV quadrante.
Per α = π2 e α = 32 π si ha ctgα = 0.
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La cotangente e’ periodica di periodo π, cioe’ per ogni α per cui e’
definita, risulta
ctg(α + kπ) = ctgα, k ∈ Z.
Titolo della Pagina
Contenuti
Ne segue che la cotangente e’ definita per α 6= kπ, k ∈ Z.
Anche la cotangente varia da−∞ a +∞.
GRAFICO DELLA COTANGENTE
JJ
II
ctg : {x ∈ R|x 6= kπ, k ∈ Z} → (−∞, +∞)
J
I
cotangentoide
Pagine 37 di 17
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Esci
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JJ
II
J
I
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Pieno Schermo
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SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL COEFFICIENTE ANGOLARE DI UNA RETTA.
Consideriamo la circonferenza di centro O e raggio 1, il punto P
su di essa,il punto Q intersezione della tangente in A con la retta
OP, il punto N intersezione della tangente in B con la retta OP ,
e l’angolo α. Si ha:
P = (cosα, senα),
Q = (1, tgα),
N = (ctgα, 1).
La retta OP ha equazione r : y = mx dove m e’ il coefficiente
angolare.Ne segue che m = xy .
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Si ha:
Q ∈ r =⇒ m = tgα; P ∈ r =⇒ m =
con α 6= π2 + kπ, k ∈ Z;
1
=⇒ tgα =
N ∈ r =⇒ m = ctgα
senα
cosα
=⇒ tgα =
senα
cosα
1
ctgα
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 39 di 17
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Pieno Schermo
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Esci
con α 6= k π2 ,
k ∈ Z e ctgα =
Pertanto
se α = π6 allora tgα =
se α =
se α =
π
4
π
3
1
tgα
√
3
3
e ctgα =
allora tgα = 1 e ctgα = 1
√
allora tgα = 3 e ctgα =
√
√
=
3
3
3 .
cosα
senα ,
α 6= kπ,
k ∈ Z;
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JJ
II
J
I
SECANTE E COSECANTE DI UN ANGOLO ORIENTATO.
Si definiscono infine altre due funzioni trigonometriche di minore
importanza: la secante e la cosecante.
La secante e la cosecante di un angolo orientato sono rispettivamente il reciproco del coseno e del seno e si scrive:
1
secα =
cosα
definita per α 6= π2 + kπ e
cosecα =
Pagine 40 di 17
definita perα 6= kπ
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Pieno Schermo
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1
senα
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ESERCIZI
1) Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?
A) Il seno e il coseno sono rispettivamente l’ascissa e l’ordinata di
un punto sulla circonferenza di centro l’origine degli assi e raggio 1.
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JJ
II
J
I
B) La tangente e’ il rapporto tra coseno e seno.
C) La cotangente e’ un’ordinata.
D) La tangente e’ un’ascissa.
Pagine 41 di 17
E) la tangente e’ il rapporto tre seno e coseno.
Soluzione: E)
2)Quale delle seguenti relazioni e’ impossibile?
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Pieno Schermo
√
A)senx = 3
B)tgx = 10
C)cosx =
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Esci
3
7
D) ctgx = −7
E) sen2 3 + cos2 3 = 1
Soluzione: A)
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JJ
II
J
I
Pagine 42 di 17
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3) Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?
A) ∃ un angolo α t.c.senα = 1 e cosα = 1
B) cosα e’ positivo per 34 π ≤ α ≤ 54 π
C) La funzione senα e’ periodica di periodo 4π
D) ∃ la tangente di ogni angolo orientato
E) senα e’ negativo per 43 π ≤ α ≤ 35 π
Soluzione:E) perche’ siamo nel III e IV quadrante dove il seno e’
negativo.
La A) e’ falsa perche’ senα = 1 per α = π2 + 2kπ, e cosα = 1
per α = 2kπ;
la B) e’ falsa perche’ siamo nel II e III quadrante dove il coseno e’
Pieno Schermo
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negativo;
la C)e’ falsa perche’il seno e’ periodico di periodo 2π;
la D) e’ falsa perche’ la tgα non esiste per α =
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π
2
+ kπ;
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4) Quale delle seguenti disuguaglianze e’ falsa?
A)se π4 < α < π2 allora senα > cosα
B)se
π
2
< α < π allora senα > tgα
C)se 0 < x <
Contenuti
JJ
II
J
I
π
2
e π < β < 23 π allora cosα < cosβ
D)se0 < α <
π
4
allora tgα < 1
E)se0 < α <
π
4
allora ctgα > 1
Soluzione:la C)
Pagine 43 di 17
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perche’ cosα e’ positivo, mentre cosβ e’ negativo;
la A) e’ vera:per π4 < α < π2 il punto corrispondente sulla circonferenza goniometrica ha ordinata maggiore dell’ascissa;
la B)e’ vera perche’ senα e’ positivo, mentre tgα e’ negativa;
la D) e’ vera:ricordare la definizione di tangente
Pieno Schermo
la E) e’ vera: ricordare la definizione di cotangente
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Contenuti
5)Il valore dell’espressione
sen0+sec2π+csec π
2
π
cos0 tg0−sen π
4 csec 4
e’
A)-2
B)1
C)-1
D)2
JJ
II
E)0
J
I
Pagine 44 di 17
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sen0+sec2π+csec π
2
π
cos0 tg0−sen π
4 csec 4
0+1+1
0−1
= −2
√
6)Il valore dell’espressione √23 cos π6 − 3cos π6 +2 2sen π4 −ctg 32 π e’
Soluzione:A).Infatti
√
=
A) 34
B) 32
C) 32
Pieno Schermo
D) 43
E) 12
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√
√
Soluzione: la C). Infatti √23 cos π6 − 3cos π6 + 2 2sen π4 − ctg 23 π =
√
√ √3
√ √2
3
√2
−
3
+
2
2 2 − 0 = 1 − 32 + 2 = 3 − 23 = 32 .
2
3 2
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JJ
II
J
I
Pagine 45 di 17
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Pieno Schermo
Esci
−
2
π
π
2 tg 4 −tg 3
=
√
A)3√ 2
B)2 3
√
C)3 3
√
D)2 2
√
E)1 + 2
Soluzione: la D).Infatti 2sen π3 +ctg π3 −tg π6 +5cos π4 −
√
√
√
√
√
√
√
2 23 + 33 − 33 + 5 22 − 22 − 3 = 2 2.
√
8)L’espressione 3senπ − 5cosπ + 2tg 23 π − ctg π2 + 2sen 23 π
A)vale π
B)non ha senso perche’ la tg 32 π non e’ definita
C)0
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√
2
π
2 tg 4
7)Il valore dell’espressione 2sen π3 + ctg π3 − tg π6 + 5cos π4 −
tg π3 e’
D)non ha senso perche’ ctg π2 non e’ definita
E)-2
Soluzione: B).
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RELAZIONI TRA LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
Noto il senα si ha
√
p
±senα
± 1 − sen2 α
2
cosα = ± 1 − sen α, tgα = √
;
, ctgα =
senα
1 − sen2 α
noto il cosα si ha
√
p
± 1 − cos2 α
±cosα
2
senα = ± 1 − cos α, tgα =
, ctgα = √
;
cosα
1 − cos2 α
JJ
II
nota la tgα si ha
J
I
senα = p
Pagine 46 di 17
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±tgα
1+
tg 2 α
1
, cosα = ± p
1+
tg 2 α
, ctgα =
1
;
tgα
infine nota la ctgα si ha
±ctgα
1
1
, cosα = p
, tgα =
.
senα = ± p
2
2
ctgα
1 + ctg α
1 + ctg α
Il segno ± dipende dal quadrante di appartenenza della funzione
in questione.
Pieno Schermo
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ESEMPIO
Trovare il seno e la tangente dell’angolo α appartenente all’intervallo
[π, 23 π] per cui cosα = − 13 .
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Soluzione.
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Nell’intervallo in questione il seno e’ negativo e la tangente e’ positiva. Pertanto
r
r
√
p
2 2
1
8
2
=−
senα = − 1 − cos α = − 1 − = −
9
9
2
mentre
JJ
II
J
I
Pagine 47 di 17
ESERCIZI
1. Se senα =
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Pieno Schermo
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Esci
√
√
−2 2
senα
tgα =
= −13 = 2 2
cosα
3
3
5
con
A)− 54
B) 45
C) 34
D)− 43
E) 35
Soluzione :A)
π
2
≤ α ≤ π, cosα quanto vale?
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Contenuti
Nell’intervallo in questione il coseno e’ negativo.
q
q
√
9
Pertanto cosα = − 1 − sen2 α = − 1 − 25
= − 16
25 =
− 54 ;
2. Se tgα =
1
2
con π ≤ α < 32 π, senα quanto vale?
A)− √15
JJ
II
J
I
Pagine 48 di 17
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B) √15
C)− 12
D)− √25
E) √25
Soluzione: A)
Nell’intervallo in questione il seno e’ negativo.
1
Pieno Schermo
Pertanto senα = − √ tgα 2 = − √ 2
1+tg α
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3. Se cosα =
5
A)− 12
5
B) 12
5
− 13
con
π
2
1+ 14
1
= − √2 5 = − √15 ,
4
≤ α < π, ctgα quanto vale?
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C) 12
13
D) 12
5
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E)− 12
5
Soluzione: A)
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 49 di 17
Nell’intervallo in questione la cotangente e’ negativa.
Pertanto ctgα =
4. Se tgα = 2 con 0 < α <
√
A) 2
B)2
C) 12
Indietro
D)− 21
√
Pieno Schermo
E)
2
2
Soluzione: C)
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Esci
√ cosα
1−cos2 α
ctgα =
1
tgα
= 12 ;
= −√
π
2 , ctgα
5
13
25
1− 169
5
5
= − 13
12 = − 12 ;
13
quanto vale?
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IDENTITA’ TRIGONOMETRICA: uguaglianza tra espressioni che
contengono funzioni trigonometriche di uno o piu’ angoli, che e’
verificata qualunque siano i valori che si attibuiscono alle misure
degli angoli contenuti (esclusi quei valori per i quali almeno una
delle due espressioni perde significato).
Contenuti
ESEMPIO
JJ
II
J
I
Pagine 50 di 17
tgα =
senα
cosα
con α 6=
π
2
+ kπ
ESEMPIO
Verificare la seguente identita’ :
tg 2 α − sen2 α = sen2 α tg 2 α
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Soluzione:
Pieno Schermo
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Esci
Trasformando l’espressione al primo membro dell’eguaglianza, si
ottiene:
tg 2 α − sen2 α =
sen2 α tg 2 α
sen2 α
cos2 α
− sen2 α =
sen2 α(1−cos2 α)
cos2 α
2
α
= sen2 α sen
cos2 α =
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ESERCIZI
1. Quale tra le seguenti uguaglianze non e’ un’identita’ ?
A) senα secα − tgα = 0
Contenuti
JJ
II
J
I
B) senα ctgα − cosα = 0
C) csecα tgα −
1
cosα
=0
D) tgα cosα − senα = 0
E) (1 − sen2 α) secα − 2cosα = 0
Soluzione:E)
Pagine 51 di 17
1
La A) e’ un’identita’ : senα secα − tgα = senα cosα
− tgα =
tgα − tgα = 0
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cosα
−cosα =
La B) e’ un’identita’ : senα ctgα−cosα = senα senα
0
Pieno Schermo
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Esci
1
La C) e’ un’identita’ : csecα tgα− cosα
=
La D) e’ un’identita’ : tgα cosα−senα =
0
1
senα
1
senα cosα . cosα = 0
senα
cosα cosα−senα =
La E) non e’ un’identita’ : (1 − sen2 α) secα − 2cosα =
1
cos2 α cosα
− 2cosα = −cosα.
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2. Quale tra le seguenti uguaglianze non e’ un’identita’ ?
A) tgα +
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D)
E)
1−cos2 α
senα cosα
B)
C)
II
J
I
Pagine 52 di 17
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= secα csecα
1
(tgα + ctgα
)cos2 α = 2senα
senα cosα
1−sen2 α = tgα
1
ctgα + ctgα
= csecα secα
Contenuti
JJ
1
tgα
= tgα.
Soluzione: B)
1
La A) e’ un’identita’ :tgα+ tgα
=
1
senα cosα = secα csecα
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senα cosα
1−sen2 α
=
1
La D) e’ un’identita’ : ctgα+ ctgα
=
1
=
secα
csecα
senα cosα
La E) e’ un’identita’ :
Esci
=
sen2 α+cos2 α
senα cosα
=
1
La B) non e’ un’identita’ : (tgα+ ctgα
)cos2 α = 2tgα cos2 α =
2senα cosα
La C) e’ un’identita’ :
Pieno Schermo
senα
cosα
cosα + senα
1−cos2 α
senα cosα
=
senα cosα
cos2 α
= tgα
cosα
senα
senα + cosα
sen2 α
senα cosα
=
cos2 α+sen2 α
senα cosα
= tgα.
=
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ANGOLI ASSOCIATI. Una volta che una funzione trigonometrica
sia nota nel primo quadrante essa viene calcolata per gli altri valori
in base alle formule seguenti:
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Contenuti
JJ
II
1. IDENTITA’ DEGLI ANGOLI SUPPLEMENTARI.
Si dicono supplementari due angoli la cui somma e’ π, vale a
dire α e π − α. Si ha:
sen(π − α) = senα
J
I
cos(π − α) = −cosα
tg(π − α) = −tgα
Pagine 53 di 17
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Pieno Schermo
ctg(π − α) = −ctgα
2. IDENTITA’ DEGLI ANGOLI OPPOSTI.
Due angoli si dicono opposti quando sono uguali in valore
assoluto ma di segno contrario, vale a dire α e −α. Si ha:
sen(−α) = −senα
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Esci
cos(−α) = cosα
tg(−α) = −tgα
ctg(−α) = −ctgα
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Contenuti
JJ
II
Queste formule esprimono il fatto che senα , tgα e ctgα
sono funzioni dispari (ossia il grafico e’ simmetrico rispetto
all’origine); invece cosα e’ una funzione pari (ossia il grafico
e’ simmetrico rispeto all’asse y).
3. IDENTITA’ DEGLI ANGOLI COMPLEMENTARI:
Si dicono complementari due angoli la cui somma e’
a dire α e π2 − α.Si ha:
π
2,
vale
sen( π2 − α) = cosα
J
I
cos( π2 − α) = senα
tg( π2 − α) = ctgα
Pagine 54 di 17
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Pieno Schermo
ctg( π2 − α) = tgα
4. IDENTITA’ DEGLI ANGOLI ANTISUPPLEMENTARI.
Si dicono antisupplementari due angoli che differiscono di π,
vale a dire α e π + α. Si ha:
sen(π + α) = −senα
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cos(π + α) = −cosα
tg(π + α) = tgα
Esci
ctg(π + α) = ctgα
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5. IDENTITA’ DEGLI ANGOLI ANTICOMPLEMENTARI.
Si dicono anticomplementari due angoli che differiscono di π2 ,
vale a dire α e π2 + α. Si ha:
sen( π2 + α) = cosα
Contenuti
JJ
II
J
I
Pagine 55 di 17
cos( π2 + α) = −senα
tg( π2 + α) = −ctgα
ctg( π2 + α) = −tgα
6. IDENTITA’ DEGLI ANGOLI ESPLEMENTARI.
Si dicono esplementari due angoli la cui somma e’ 2π, vale a
dire α e 2π − α. Si ha:
sen(2π − α) = −senα
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Pieno Schermo
cos(2π − α) = cosα
tg(2π − α) = −tgα
ctg(2π − α) = −ctgα
Chiudi
Esci
ESEMPIO
Trovare: a)sen 34 π,
b)cos 43 π,
c)tg 74 π,
d)ctg(− π4 ).
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Contenuti
Soluzione:
a) sen 34 π = sen(π − π4 ) = sen π4 =
√
2
2 ;
b) cos 43 π = cos(π + π3 ) = −cos π3 = − 21 ;
c) tg 74 π = tg(2π − π4 ) = −tg π4 = −1;
JJ
II
J
I
Pagine 56 di 17
Indietro
d) ctg(− π4 ) = −ctg π4 = −1;
ESERCIZI
1. Sia α =
vera?
π
6
e β = π − α. quale delle seguenti eguaglianze e’
A)senβ = − 12
√
B)cosβ =
√
Pieno Schermo
C)tgβ =
3
2
3
3
D)cosα + cosβ = 0
Chiudi
Esci
E)tgα − tgβ = 0
Soluzione:D)
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2. Siano α e β due angoli legati dalla relazione β = 2π − α.
Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?
A)senα = cosβ
B)cosβ = cosα
Contenuti
C)ctgα = ctgβ
D)tgβ = tgα
JJ
II
J
I
E)senα = senβ
Soluzione:B)
3. Quale delle seguenti eguaglianze e’ falsa?
Pagine 57 di 17
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Pieno Schermo
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Esci
A)tg 54 π = 1
√
3
2
√
C)sen 74 π = − 22
√
D)ctg 23 π = − 33
E)sen 56 π = − 12
B)cos 67 π = −
Soluzione:E)
La A)e’ vera: tg 54 π = tg(π + π4 ) = tg π4 = 1;
La B) e’ vera: cos 67 π = cos(π + π6 ) = −cos π6 = −
√
3
2 ;
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La C) e’ vera: sen 74 π = sen(2π − π4 ) = −sen π4 = −
La D) e’ vera: ctg 23 π = ctg(π − π3 ) = −ctg π3 = −
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√
√
2
2 ;
3
3 ;
La E) e’ falsa: sen 65 π = sen(π − π6 ) = sen π6 = 21 .
4. Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?
Contenuti
JJ
II
J
I
A) cos( π2 + π6 ) =
1
2
B) tg( π2 + π4 ) = 1
C) sen(−α) + sen( π2 − α) + cos(α − π2 ) − cos(−α) = 0
D) sen(π − α) tg(α + π) + sen(α + π) tg(π − α) = 0
E) sen( π2 + α) − ctg( π2 + α) − cosα − tg( π2 + α) =
Pagine 58 di 17
Indietro
tg 2 α−1
tg(α)
Soluzione: C)
La A) e’ falsa: cos( π2 + π6 ) = −sen π6 = − 21 ;
La B) e’ falsa: tg( π2 + π4 ) = −ctg π4 = −1;
Pieno Schermo
La C) e’ vera: sen(−α)+sen( π2 −α)+cos(α− π2 )−cos(−α) =
−senα + cosα + cos( π2 − α) − cosα = −senα + senα = 0;
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La D) e’ falsa: sen(π − α) tg(α + π) + sen(α + π) tg(π − α) =
senα tgα − senα (−tgα) = 2senα tgα;
Esci
La E) e’ falsa: sen( π2 + α) − ctg( π2 + α) − cosα − tg( π2 + α) =
cosα + tgα − cosα + ctgα = tgα +
1
tgα
=
tg 2 α+1
tgα ;
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JJ
II
J
I
Pagine 59 di 17
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