trigonometria - ITSOS Marie Curie

TRIGONOMETRIA
E’ quella parte di matematica che tratta le relazioni fra le misure dei lati e le
funzioni goniometriche degli angoli di un triangolo
Consideriamo un triangolo rettangolo
a, b, c sono i lati opposti ai
vertici A, B ,C
a,b, g sono gli angoli aventi i
vertici rispettivamente in A,
B, C
Utilizziamo un sistema di riferimento cartesiano in cui rappresentiamo sia il
triangolo che la circonferenza goniometrica.
Se l’ipotenusa del triangolo è minore del raggio della circonferenza ottengo
la figura a.
Se è maggiore del raggio della circonferenza ottengo la figura b.
Il triangolo ABC è simile al triangolo HOP perché hanno gli angoli ordinatamente
congruenti i e lati sono ordinatamente proporzionali tra loro.
Siccome i triangoli sono simili possiamo scrivere la seguente proporzione :
𝑏
AC : BC = PH : OP da cui otteniamo
𝑎
=
𝑠𝑖𝑛𝛽
1
Moltiplicando per a otteniamo :
b = a sin b
Si può scrivere questa formula in una versione equivalente , ricordando le
relazioni tra le funzioni goniometriche degli angoli complementari
𝜋
2
Siccome b = - g
𝜋
2
 b= a sin ( - g )  b = a cos g
PRIMO TEOREMA
In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è
uguale a quella dell’ipotenusa moltiplicata per il
seno dell’angolo opposto al cateto , o moltiplicata
per il coseno dell’angolo acuto adiacente al cateto
Da questo teorema seguono le seguenti uguaglianze :
b = a sin b
e
c = a cos b
Dividendole membro a membro otteniamo :
𝑏 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝛽
=
= tan 𝛽
𝑐 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛽
Moltiplicando per c otteniamo :
b = c tan b
Si può scrivere questa formula nella versione equivalente tenendo conto degli
𝜋
angoli associati . Poiché b = - g risulta che:
2
tan b =
𝜋
(
2
- g) =
- g)
=
cos ( - g)
sin (
𝜋
2
𝜋
2
cos 𝛾
sin 𝛾
Il reciproco della tan g è chiamata cotangente quindi :
b= cot g
=
1
tan 𝛾
SECONDO TEOREMA
In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è
uguale a quella dell’altro cateto moltiplicata per la
tangente dell’angolo opposto al primo cateto , o
moltiplicata per la cotangente dell’angolo acuto
adiacente al primo cateto
ESEMPI
Risoluzione di un triangolo rettangolo, dati i due cateti
Applicando il teorema di Pitagora :
a = 𝑏 2 + 𝑐 2 = 36 + 64 = 10
Per ricavare la misura degli angoli acuti :
Sin b =
Sin g =
𝑏
𝑎
𝑐
𝑎
=
=
6
10
8
10
=
3
5
b = 37  ( arcoseno )
=
4
5
g = 53 (arcoseno)
ESEMPI
Risoluzione di un triangolo rettangolo , dati l’ ipotenusa e un cateto
Applicando il teorema di Pitagora :
c = 𝑎2 − 𝑏 2 = 25 − 9 = 16
Per ricavare la misura degli angoli acuti :
Sin b =
Sin g =
𝑏
𝑎
𝑐
𝑎
=
3
5
b = 37  ( arcoseno )
=
4
5
g = 53 (arcoseno)
ESEMPI
Risoluzione di un triangolo rettangolo , dati un cateto e un
angolo acuto
Poiché gli angoli acuti di un triangolo sono complementari
( la loro somma è di 90 ° ) :
g = 90° - 70 ° = 20 °
Per ricavare la misura di AB utilizziamo le relazioni del
secondo teorema :
c = 4 * tan 20 ° = 1, 46
Con il teorema di Pitagora si ricava l’ipotenusa :
a = 𝑏2 + 𝑐 2 =
42 + (1,46)2 = 4,26
ESEMPI
Risoluzione di un triangolo rettangolo , dati l’ipotenusa e un angolo
acuto
Calcoliamo la misura di gamma :
g = 90° - 35 ° = 55°
Per ricavare la misura di A e di B utilizziamo le
relazioni del primo teorema :
c = a cos b = 6 * cos 35° = 4,91
b = a sin b = 6 * sin 35° = 3,44