4. Gauss ei numeri triangolari - Liceo Scientifico G. Marinelli

4. Gauss e i numeri triangolari
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fu uno dei più grandi matematici
di tutti i tempi. Il seguente aneddoto ci mostra che il suo
straordinario talento si manifestò già durante la scuola
elementare: si racconta che un giorno il suo maestro, per tenere
gli alunni impegnati ed uscire un momento dall’aula, avesse assegnato il compito di sommare i
primi cento numeri naturali 1 + 2 + 3 + 4 + …………+ 98 + 99 + 100 (a prima vista, un compito
molto noioso e ripetitivo!). Mentre il maestro stava per uscire e tutti gli alunni avevano iniziato a
sommare i numeri uno dopo l’altro, il piccolo Gauss annunciò il risultato: incredibile, il risultato era
perfetto!
Il maestro non poté uscire dall’aula e dovette continuare la lezione.
Come aveva fatto Gauss a trovare subito il risultato corretto? Cerchiamo di scoprirlo insieme.
1. Inizia con il caso semplice di dover trovare la somma dei primi tre numeri
( 1 + 2 + 3 ) ed associa ad ogni numero naturale n una riga di n pallini
come nella figura accanto. Ora il tuo obiettivo è quello di trovare quanti
pallini hai in tutto. Come fare? Prova a raddoppiare il numero dei pallini…
e ad organizzarli in una figura di cui sia facile calcolarne i pallini totali, ad esempio:
Come puoi calcolarne il numero totale?......................
Siccome i pallini sono in numero doppio, quanti sono i pallini iniziali (cioè quanto vale la somma
1 + 2 + 3 )?..................................
Prova ora tu con i primi quattro numeri:
Cosa puoi dire allora se vuoi sommare i primi n numeri naturali? Riesci a fare una congettura che
esprima questa somma? S (n) = ..........
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C’è un modo semplice ed elegante (e quindi molto
bello!) per spiegare l’uguaglianza appena scritta: è la
risoluzione trovata da Gauss.
Il giovanissimo Gauss, in pochi minuti, osservò che se
si riscrivono i numeri in ordine decrescente, la somma
delle coppie incolonnate è sempre 101.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +…+ 98 + 99 +100 +
100+ 99 + 98 + 97 + 96 + 95 +…+ 3 + 2 + 1
= 101+101+101+101+101+101+…101+101+101
2. Prova a continuare tu il ragionamento fatto da Gauss:
3. Nel punto 1 dovresti aver scoperto la formula per ricavare la somma dei primi n numeri
naturali.
Prova a dimostrarla utilizzando il principio di induzione.
4. Osserva infine i numeri che si ottengono nelle varie somme:
N° addendi
Somme da eseguire
n
Somme totali
S (n)
1
2
3
4
5
1
1+2
1+2+3
1+2+3+4
1+2+3+4+5
1
3
6
10
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Questi numeri furono chiamati dai pitagorici numeri triangolari, in quanto possono essere disposti
a triangolo, come già hai osservato:
T1 = 1
T2 = 3
T3 = 6
Possiamo quindi affermare che l’ n -esimo
numero triangolare Tn è uguale alla somma
S (n) dei primi n numeri naturali.
Disponendo in modo opportuno due numeri
triangolari consecutivi, cosa puoi dire della
loro somma? Completa le seguenti
uguaglianze:
T4 = 10
T1 + T2 = ......
T2 + T3 = ......
T3 + T4 = ......
T5 = 15
e scrivi la congettura finale:
Tn + Tn +1 = .........
Prova a dimostrare
congettura formulata.
la
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PER IL DOCENTE
Gauss e i numeri triangolari
Classe consigliata: 1^ o 2^
Strumenti: nessuno
PREREQUISITI
•
•
Elementi di calcolo letterale
Formula per il quadrato di binomio
OBIETTIVO DELL’ATTIVITA’
•
•
•
•
•
•
•
Dare una modellizzazione geometrica di una situazione
Trovare la somma dei primi n numeri naturali
Esprimere una congettura in italiano ed in linguaggio algebrico
Dimostrare visivamente la proprietà
Conoscere la formulazione del principio di induzione (vedi la scheda “Tra angoli e
rettangoli…”)
Comprendere il principio induttivo
Dimostrare per induzione la proprietà trovata
CONCETTI SOGGIACENTI (eventualmente sviluppabili)
L’insegnante sottolinea l’importanza di formule generali che permettono di valutare la numerosità
di cose che non possono essere contate direttamente mediante l’osservazione diretta.
1. I suggerimenti dati guidano lo studente, tramite una “dimostrazione visiva”, alla conclusione
che, con n addendi, si può costruire un rettangolo di n ⋅ (n + 1) pallini, quindi la somma iniziale
è la sua metà.
La formula è perciò: S (n) = 1 + 2 + 3 + ... + (n − 1) + n =
2. Il ragionamento prosegue così:
La somma di tutte le 100 coppie sarà quindi
n ⋅ (n + 1)
2
101 + 101 + 101 +…… .+ 101 = 100⋅101
( 100 volte )
Per ottenere la somma dei primi 100 numeri naturali, basterà allora dimezzare il risultato:
1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 =
100 ⋅ 101
2
3. Se gli studenti conoscono già il principio di induzione, si può proseguire nell’attività, altrimenti si
può utilizzare questa scheda per introdurlo (si può vedere a tal proposito la scheda “Tra angoli
e rettangoli…”) e chiedere poi ai ragazzi la dimostrazione della congettura appena trovata.
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Dimostrazione della formula S (n) =
a)
b)
n ⋅ (n + 1)
con n ≥ 1 :
2
1 ⋅ (1 + 1)
è vera per n = 1
2
(n + 1) ⋅ (n + 2) :
n ⋅ (n + 1)
Supposto vero che S (n) =
, devo dimostrare che S ( n + 1) =
2
2
n = 1 : ho un solo addendo (1), la somma è 1, quindi S (1) = 1 =
S (n + 1) = 1 + 2 + 3 + ... + n + (n + 1) = S (n) + (n + 1) =
n ⋅ (n + 1)
n ⋅ (n + 1) + 2 ⋅ (n + 1)
+ (n + 1) =
=
2
2
(n + 1) ⋅ (n + 2)
2
Allora per il principio di induzione la proprietà è vera per ogni n ≥ 1 .
4. Gli studenti dovrebbero giungere a congetturare che la somma di due numeri triangolari
2
consecutivi è sempre un quadrato, più precisamente Tn + Tn+1 = (n + 1) per ogni n ≥ 1 .
Dimostrazione:
n ⋅ (n + 1) (n + 1)(n + 2 ) n 2 + n + n 2 + n + 2n + 2 2n 2 + 4n + 2
+
=
=
Tn + Tn +1 =
2
2
2
2
2
2 n + 2n + 1
2
=
= (n + 1)
2
(
)
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