∑ ∑ = ∑ ∑

Enunciato
Per i fenomeni stazionari, nel vuoto, la circuitazione del campo magnetico è uguale alla
permeabilità magnetica nel vuoto per la somma algebrica delle intensità delle correnti concatenate.
In sintesi:
r
C B = µ o I concatenate
()
Le correnti concatenate sono tutte quelle correnti che attraversano una qualunque superficie che
abbia come contorno la linea lungo la quale si calcola la circuitazione. Il segno di I è da considerarsi
positivo se la corrente è nel verso del pollice della mano destra che si chiude nel verso di
percorrenza della linea, negativo se è nel verso opposto.
Dimostrazione
Per fare la dimostrazione in modo rigoroso servirebbero alcuni strumenti matematici di cui ancora
non disponiamo. Procediamo quindi per via elementare dimostrando il teorema in casi particolari e
generalizzando poi il risultato.
Primo passo
Sorgente di campo magnetico: filo indefinito percorso da corrente di intensità I
Linea chiusa considerata: una generica linea di campo, cioè una circonferenza con
centro sul filo di raggio R.
N r
N r
r
r
r
Per definizione C ( B) = ∑ Bi ⋅ ∆ri = ∑ Bi ∆ri cos α i fatta su un percorso chiuso.
i =1
i =1
I
R
r
Nel particolare caso scelto se ∆r i → 0 allora α i → 0 , si ha quindi:
N r
r
r
C ( B) = ∑ Bi ∆ri , lungo la circonferenza però il modulo del campo magnetico è
i =1
costante, si può quindi portare fuori dalla sommatoria, ricordando la legge di Biotr
r µ I
r
µ I N
r
Savart B = o , quindi C ( B) = o ∑ ∆ri .
B
2πR
2πR i =1
∆r
Osserviamo infine che la sommatoria dei moduli degli spostamenti infinitesimi è la
I
r
µ I
lunghezza del percorso, cioè la circonferenza: C ( B ) = o ⋅ 2πR = µ o I
2πR
Rimane così dimostrata la tesi in questo primo caso, infatti la corrente I è concatenata
alla linea scelta per il calcolo della circuitazione.
Osserviamo che se la corrente avesse avuto verso opposto l’angolo tra spostamento infinitesimo e
campo sarebbe stato 180° e non 0° , di conseguenza il coseno sarebbe stato -1 e la circuitazione pari
a − µ o I , in accordo con la regola enunciata per l’attribuzione del segno all’intensità di corrente.
Secondo passo
Sorgente di campo magnetico: filo indefinito percorso da corrente di intensità I
Circuitazione del campo elettrostatico
1
r
B
Linea chiusa considerata: una generica linea concatenata con la corrente. Una generica linea può
sempre essere vista come l’unione di archi con centro sul filo e tratti radiali (come mostrato in
figura).
N r
N r
r
r
r
Dalla definizione C ( B) = ∑ Bi ⋅ ∆ri = ∑ Bi ∆ri cos α i .
i =1
P4
P5
R2
I
P3
R3
P6
P2
R1
i =1
Sui tratti rettilinei, campo e spostamento infinitesimo
sono perpendicolari, quindi non c’è contributo alla
sommatoria, mentre lungo gli archi di circonferenza
campo e spostamento infinitesimo formano un angolo di
0°, non solo, su ciascun arco il modulo del campo non
varia in virtù della legge di Biot- Savart. Si ha pertanto:
r
r
r
r
C ( B ) = B1 ⋅ arco( P1 P2 ) + B2 ⋅ arco( P3 P4 ) + B3 ⋅ arco( P5 P6 ) =
=
µo I
µ I
µ I
arco( P1 P2 ) + o arco( P3 P4 ) + o arco( P5 P6 ) =
2πR1
2πR2
2πR3
µ o I  arco( P1 P2 ) arco( P3 P4 ) arco( P5 P6 ) 


+
+
2π 
R1
R2
R3

Ricordando la definizione di angolo in radianti, indicando con O il centro degli archi di
circonferenza si ha che:
arco( P3 P4 )
arco( P5 P6 )
arco( P1 P2 )
= P1Oˆ P2 ;
= P3Oˆ P4 ;
= P5 Oˆ P6 , ma naturalmente
R1
R2
R3
P1
=
r µ I
P1Oˆ P2 + P3Oˆ P4 + P5Oˆ P6 = 2π , quindi si ritrova anche in questo caso la tesi: C ( B ) = o (2π) = µ o I
2π
Terzo passo
Sorgente di campo magnetico: filo indefinito percorso da corrente di intensità I
Linea chiusa considerata: una generica linea non concatenata con la corrente. Una generica linea
può sempre essere vista come l’unione di archi con centro sul filo e tratti radiali (come mostrato in
figura).
P2
i =1
P3
I
N r
N r
r
r
r
Dalla definizione C ( B) = ∑ Bi ⋅ ∆ri = ∑ Bi ∆ri cos α i . Sui tratti
R2
P4
R1
i =1
rettilinei, campo e spostamento infinitesimo sono perpendicolari,
quindi non c’è contributo alla sommatoria, mentre lungo l’arco P1P2
campo e spostamento infinitesimo formano un angolo di 0°, quindi
il coseno vale 1, mentre lungo l’arco P3P4 campo e spostamento
infinitesimo formano un angolo di 180°, quindi il coseno vale -1.Su
ciascun arco il modulo del campo non varia in virtù della legge di
Biot- Savart. Si ha pertanto:
P1
r
r
r
C ( B ) = B1 ⋅ arco( P1 P2 ) − B2 arco( P3 P4 ) =
=
µo I
µ I
µ I  arco( P1 P2 ) arco( P3 P4 ) 

arco( P1 P2 ) − o arco( P3 P4 ) = o 
−
2πR1
2πR2
2π 
R1
R2

Circuitazione del campo elettrostatico
2
Come nel caso precedente, ricordando la definizione di angolo in radianti si ha:
arco( P3 P4 )
arco( P1 P2 )
= P1Oˆ P2 ;
= P1Oˆ P2 ;
R1
R2
r
µ I
Si ha quindi: C ( B ) = o P1Oˆ P2 − P1Oˆ P2 = 0
2π
In effetti la corrente non è concatenata e correttamente la circuitazione è nulla.
(
)
Quarto passo
Per considerare il caso generale, cioè il campo generato
da N fili infiniti, ricordiamo il principio di
sovrapposizione degli effetti, cioè il campo magnetico è
la somma vettoriale dei campi che ciascuna sorgente
r r
r
r
genererebbe se fosse da sola: B = B1 + B2 + .... + B N ,
essendo la circuitazione un operatore lineare (cioè la
circuitazione di una somma è uguale alla somma delle
circuitazioni), si potrà scrivere:
r
r
r
r
C ( B) = C ( B1 ) + C ( B2 ) + .... + C ( B N ) , ciascuna di
queste circuitazioni è nulla se la corrente non è
concatenata con la linea (terzo passo), mentre è pari a
I1
I2
I3
µ o I in caso contrario (secondo passo), ciò che rimane è
quindi la somma di tutte le intensità di correnti concatenate moltiplicata per la permeabilità
magnetica. Come volevasi dimostrare.
r
Nel caso in figura si avrebbe: C B = µ o (− I1 + I 2 )
()
Osservazione
Il caso generale è in realtà ancor più complicato perché una qualunque sorgente di campo
magnetico non è necessariamente l’insieme di tanti fili infiniti. Una dimostrazione rigorosa richiede
la conoscenza degli integrali di linea e degli operatori differenziali.
Circuitazione del campo elettrostatico
3