Matematica Discreta I - Matematica e Informatica

Matematica Discreta I
Lezione del giorno 31 ottobre 2007
Vediamo un’applicazione del principio di induzione al calcolo del numero dei sottoinsiemi di un
insieme finito:
Teorema. Il numero dei sottoinsiemi di un insieme finito non vuoto di cardinalità n è 2n.
Dimostrazione:
Si tratta di applicare il principio di induzione al predicato:
P(n)=”Il numero dei sottoinsiemi di un insieme finito non vuoto di cardinalità n è 2n”
per dimostrare che tale predicato é vero per ogni valore naturale di n.
Basta verificare le 2 ipotesi a),b) del principio di induzione:
a) P(1) è vero, perché il numero dei sottoinsiemi di un insieme finito non vuoto A di cardinalità 1 è
21 (i sottoinsiemi sono infatti solo , A)
b) Se per un certo valore di n supponiamo vero P(n)=”Il numero dei sottoinsiemi di un insieme
finito non vuoto di cardinalità n è 2n”, dimostriamo che è vero anche P(n+1)=”il numero dei
sottoinsiemi di un insieme finito non vuoto di cardinalità (n+1) è 2n+1” .
Dato l’insieme finito non vuoto A di cardinalità (n+1), fissiamo un elemento aA e consideriamo
l’insieme B=A-{a} di cardinalità n. Per contare i sottoinsiemi di A, li dividiamo in 2 categorie:
1. I sottoinsiemi di A che non contengono l’elemento a
2. I sottoinsiemi di A che contengono l’elemento a
Quelli della categoria 1 non sono altro che i sottoinsiemi di B, quindi per ipotesi sono in numero di
2n. Quelli della categoria 2 si ottengono ciascuno prendendone uno della categoria 1 e inserendo nel
sottoinsieme l’elemento a, quindi sono anch’essi in numero di 2n. In totale i sottoinsiemi di A sono
in numero di 2n+2n=2n+1, quindi anche P(n+1) è vero, come si voleva.
Si conclude, applicando il principio di induzione, che P(n) è vero per ogni valore naturale n, e si
ottiene la tesi del teorema.
Divisione fra i numeri naturali.
E’ ben noto che, dati 2 numeri interi positivi, si possa “dividere” il primo (dividendo) per il secondo
(divisore) trovando un “quoziente” e un “resto”.
Dimostreremo formalmente tale proprietà:
Teorema dell’algoritmo della divisione.
Comunque dati 2 numeri naturali a,b (detti rispettivamente “dividendo” e “divisore”), esistono due
numeri interi q,r0 (detti rispettivamente ”quoziente” e “resto”) tali che a=bq+r con r<b.
Inoltre q,r sono unici.
Dimostrazione:
Dimostrazione dell’esistenza di q,r: si consideri l’insieme di tutte le differenze della forma a-bx,
con x che varia fra gli interi 0, limitandosi a quelle differenze che danno un risultato 0:
S = { z / z=a-bx, con x intero 0, e con z 0 }
L’insieme S è non vuoto: almeno la differenza a-b0=a è elemento di S.
In S esiste un minimo: infatti se S non contiene 0 , tutti i suoi elementi sono numeri naturali e basta
applicare l’Assioma del minimo; se invece S contiene 0, è proprio 0 il minimo in S.
Chiamiamo r il minimo in S. Per costruzione di S si ha che r è un intero 0, inoltre r=a-bx con x
intero 0. Da cui a=bx+r, e basta scegliere q=x per avere l’esistenza di q ed r. Resta però da
verificare che r<b: se per assurdo fosse rb, si avrebbe r-b0, r-b=(a-bq)-b=a-b(q+1), con q+10
(perché q=x0) dunque il numero r-b sarebbe una delle differenze che appartengono ad S; ma si
avrebbe anche r-b<r (perché b>0), contraddizione perché r è il minimo in S.
Dimostrazione dell’unicità di q,r: se a=bq+r=bq1+r1 (con q,r,q1,r1 interi 0 e con r<b, r1<b) le tesi
sono che r=r1, q=q1 .
Tesi r=r1 : se per assurdo fosse rr1, e se per esempio fosse r>r1 (se è al contrario r<r1 si ragiona in
modo simile) si avrebbe r-r1>0, r-r1=b(q1-q), dunque q1-q>0, ossia q1-q1, r-r1=b(q1-q)b; ma si ha
anche rr-r1=b(q1-q)b , contraddizione perché r<b.
Tesi q=q1 : avendo già dimostrato la prima tesi, si ha bq=a-r=a-r1=bq1, dunque q=q1 .