Programma del corso di Analisi Matematica 2

Politecnico di Bari
Programma svolto nel corso di Analisi Matematica - II Modulo - 6 CFU
Laurea in Ingegneria Informatica e dell’Automazione - A. A. 2014/2015
Docente: Luigi Sportelli
Avvertenze
Tutti gli argomenti si intendono comprensivi di definizioni, proprietà, enunciati, esempi, contro-esempi, applicazioni e,
per le parti in grassetto, dimostrazioni.
Integrali impropri
Integrabilità in senso improprio. Integrali su intervalli illimitati. Integrali di funzioni non limitate.
Criteri di convergenza: criterio del confronto. Assoluta integrabilità in senso improprio. Integrabilità in senso improprio non implica assoluta integrabilità in senso improprio.
Serie numeriche
Definizione e primi esempi. Carattere di una serie. Serie geometrica, serie di Mengoli, serie telescopiche, serie armonica e serie armonica generalizzata. Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica. Resto di una serie e sua convergenza. Serie a termini positivi e loro
criteri di convergenza: criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio del rapporto,
criterio della radice e criterio integrale. Serie assolutamente convergenti. Serie a termini di segno
alternato: criterio di Leibniz e criterio di convergenza assoluta. Operazioni algebriche sulle serie.
Equazioni differenziali ordinarie
Equazioni differenziali ordinarie. Ordine, forma implicita o esplicita, omogeneità, linearità, coefficienti. Equazioni lineari del primo ordine. Teorema su soluzione generale della omogenea e soluzione del problema di Cauchy. Teorema sulla soluzione generale di equazioni lineari del primo ordine. Calcolo della soluzione particolare dell’equazione non omogenea: variazione della costante
(metodo di Lagrange). Teorema sulla struttura delle soluzioni dell’equazione non omogenea.
Equazioni del primo ordine a variabili separabili. Risultati di esistenza e unicità per il problema di
Cauchy. Teorema su esistenza e unicità del problema di Cauchy. Teorema di esistenza globale.
Equazioni lineari del secondo ordine. Definizione di soluzioni linearmente indipendenti. Determinante wronskiano. Lemma su determinante wronskiano e indipendenza. Teorema sulla struttura
dell’integrale dell’equazione lineare del secondo ordine. Equazioni lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti. Teorema sulla soluzione generale dell’equazione lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti. Equazioni lineari del secondo ordine non omogenee a
coefficienti costanti.
Funzioni di più variabili
Lo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Base canonica, prodotto scalare, norma euclidea. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare. Distanza e prodotto esterno. Intorno
sferico. Punti interni, esterni e di frontiera. Insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione e isolati.
Insiemi limitati e compatti. Insiemi convessi e connessi. Funzioni di più variabili a valori reali.
L’insieme di livello. Definizione di continuità e relativi criteri. Definizione di limite per funzioni a
valori reali. Definizione di insieme denso. Definizione di limite per funzioni vettoriali. Definizione
di continuità. Uso dei teoremi di carattere generale per il calcolo dei limiti. Richiami sul simbolo
o(1) e relative regole di calcolo. Prima formula dell’incremento finito. Restrizione di una funzione a
una curva e non esistenza del limite. Uso di maggiorazioni con funzioni radiali per provare
l’esistenza del limite. Funzioni continue su un compatto: teorema di Weierstrass, definizione di uniforme continuità e teorema di Hein-Cantor. Definizione di funzione lipschitziana.
Calcolo differenziale
Derivata parziale di una funzione di due variabili. Definizione di gradiente. Definizione di derivata
direzionale. Proprietà elementari delle derivate direzionali. Regola della catena. Differenziabilità di
funzioni a valori scalari. Teorema sulla continuità e derivabilità delle funzioni differenziabili.
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Formula del gradiente. Piano tangente. Direzione di massima e minima crescita. Teorema del differenziale totale. Definizione di funzioni di classe C1. Teorema del valore medio. Studio della differenziabilità con l’uso della definizione. Derivate di ordine superiore. Funzioni k volte differenziabili. Teorema di Schwarz. Matrice hessiana. Definizioni d’insieme convesso e di funzione convessa.
Teorema sulla regolarità delle funzioni convesse. Teorema su convessità e piano tangente. Teorema
sulla convessità di f in un insieme convesso e aperto. Teorema su convessità e matrice hessiana.
Corollario su convessità e matrice hessiana per n=2. Caratterizzazione delle forme quadratiche mediante gli autovalori. Definizione di punto critico. Teorema di Fermat. Definizione di punto di sella.
Studio degli estremi liberi di funzioni a valori scalari. Derivabilità e differenziabilità di funzioni a
valori vettoriali: derivata direzionale e definizione di funzione differenziabile, teorema sulla continuità e derivabilità delle funzioni differenziabili, matrice jacobiana e regola della catena.
Integrali multipli
Integrali doppi su rettangoli. Definizione di suddivisione. Definizioni di funzione integrabile e di
integrale. Teorema (Se f è continua allora f è integrabile). Proprietà dell’integrale. Formule di riduzione su rettangoli. Formula per le funzioni a variabili separate. Integrali doppi: il caso generale.
Definizione di misura secondo Peano-Jordan. Teorema sull’additività rispetto al dominio di integrazione. Domini semplici (o normali) rispetto a un asse. Formule di riduzione per domini semplici.
Teorema sull’integrabilità per l’unione di domini semplici. Cambiamento delle variabili di integrazione per gli integrali doppi. Corollario sul cambiamento delle variabili di integrazione: coordinate
polari. Funzione di Gauss.
Testo di riferimento (Teoria ed esercizi)
1. M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, seconda edizione, McGrawHill, 2011
Testi di consultazione
1. M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli, 2009 (Teoria)
2. P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, volume II, parte prima e parte seconda, Liguori Editore, 1995 (Esercizi)
3. S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 2, Zanichelli, 2011 (Esercizi)
Bari, 10 giugno 2015
Il docente
Luigi Sportelli
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