Massimi e Minimi

MASSIMI E SUI MINIMI: QUESTIONI NUMERICHE
MASSIMI
Proposizione 1. Se la somma di due numeri positivi x e y è costante ed uguale ad s, allora il loro prodotto è
massimo quando essi sono uguali.
(La proposizione è equivalente a: il quadrilatero di area massima fra quelli equiperimetrici è il quadrato)
Ipotesi: x+y=s,
Tesi: x∙y è massimo quando x=y.
Dimostrazione: Da x+y=s segue y=s-x. Quindi il prodotto x∙y può scriversi x∙(s-x). Si ha la funzione
z x · s x x sx
che esprime una parabola con la concavità
rivolta verso il basso per cui il vertice è il
y
punto di massimo ed ha ascissa x .
V
Perciò y s . Quindi x y O
x
Proposizione 2. Se la somma di due numeri positivi x e y è costante ed uguale ad s, il prodotto delle loro
potenze ad esponenti positivi n e m è massimo quando i numeri sono proporzionali ai rispettivi esponenti.
Ipotesi: x+y=s,
Tesi: xn∙ym è massimo se
.
Dimostrazione: Siano n,m є . Intanto osservo che
·
· · ··· · · ··· n volte
m volte
e
· · ··· ··· ··· n volte
m volte
Inoltre
·
·
· · n+m volte
Pertanto
· · · · ··· · n∙m volte
Poiché si vuole · massimo allora il membro a destra della precedente uguaglianza è massimo.
Quindi · è massimo e · · è costante. Per la proposizione precedente si ha
∙
MINIMI
Proposizione 3. Se il prodotto di due numeri positivi x e y è costante allora la loro somma è minima quando
essi sono uguali.
Ipotesi: xy = q (q costante),
Tesi: x+y = è minima se x=y.
Dimostrazione: Si osservi che (x+y)2=(x-y)2+4xy. Affinchè (x+y)2 sia minimo, anche il secondo membro
deve essere tale. Ma xy, e quindi 4xy, è costante per ipotesi per cui è sufficiente che sia minimo (x-y)2. Di
qui x=y.
Proposizione 4. Se il prodotto x ! ∙x" #### x di n potenze di basi positive variabili e di esponenti positivi è
costante, la somma delle basi è minima quando esse sono proporzionali ai rispettivi esponenti.
Ipotesi: x ! ∙x" #### x =p (p costante),
$
$
$
Tesi: x1+x2+∙∙∙+xn è minima se &% (' ### *) .
Dimostrazione: Per semplificare consideriamo il caso di due potenze: se x !∙x" cost. allora x1+x2 è
minima se !% "' . Infatti
x1+x2=a∙ !% +b∙
'
"
=
%
!
### a volte
$
&
$
(
%
!
'
"
### b volte
$ / $0
'
"
a+b volte
Ma &% · (' &%/ ('0 è costante per ipotesi. Per la proposizione 3. Si ha
12 14
·
3
5
!% "' ### !% '
.
"