La matematica barocca sul continente Leibniz e i pionieri del calcolo
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Progetto Lauree Scientifiche Torino, 20 novembre 2007 Dipartimento di Matematica – Università di Torino Storia dell’analisi infinitesimale Clara Silvia Roero I Fondamenti dell’Analisi infinitesimale Erika Luciano Problemi – calcolo infinitesimale ¾ determinazione della retta tangente ¾ calcolo di aree e volumi uguaglianza per equiscomposizione criteri di inclusione Grecia: Archimede, Euclide, Apollonio IL METODO DI ESAUSTIONE • per affrontare problemi di integrazione • affonda le sue radici nelle considerazioni infinitesimale dei filosofi del V secolo a.C. di tipo • rigoroso, ma non euristico doppia riduzione all’assurdo A=B A<B e A>B portano ad assurdi si basa sul "postulato di Eudosso" e sulla Proposizione X. 1 degli Elementi di Euclide A < B, ∃m: mA> B Archimede Area segmento di parabola Approssimata con una poligonale 1 1 1 T + T + 2 T + 3 + ... 4 4 4 S-P < qualsiasi area data In termini moderni n ⎛ 1 ⎛ ⎞ ⎞ 1⎞ ⎛ ⎜ 1− ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 1− n ⎟ 4 ⎠ ⎝ 1 1 ⎞ 4 ⎛ ⎟ = lim⎜ T 4 ⎟ = T lim⎜ T + T + ...+ n −1 T ⎟ = lim⎜⎜ T 1 ⎟ n→ ∞ ⎜ 3 ⎟ 3 n→ ∞ ⎝ ⎠ n→ ∞ 4 4 1− ⎟ ⎜ ⎝ 4 ⎠ 4 ⎠ ⎝ B Area segmento di parabola D E S = 4/3 T Metodo di esaustione A C doppia riduzione all’assurdo Sia S > 4/3 T T T T P = T + + 2 + ...+ n 4 4 4 T T T 1 T 4 T + + 2 + ...+ n + ⋅ n = T 4 4 4 34 3 P < 4/3 T S – P < S – 4/3 T da cui P > 4/3 T assurdo! Volume della sfera Prop. 2 del Metodo sui teoremi meccanici J. L. Heiberg 1906 AI2 = AC AS=d x AI2 = AS2+SI2=x2+ y2 d d d x = x2+ y2 d2 x = (x2+ y2) d sez. cil.=sez.cono+ sez. sfera Vol. cil. = Vol. cono+ vol. sfera d x y Periodo precedente la matematica infinitesimale del XVII secolo ¾ ¾ ¾ ¾ gli studi medioevali della scuola di Oxford (Bradwardine) e della scuola di Parigi (Oresme) portano alla meccanica del Rinascimento, caratterizzata dal passaggio dalla statica alla dinamica; vengono riscoperti, studiati, commentati e tradotti i classici dell’antichità greca; l’algebra si sviluppa e si risolvono le equazioni di 3° e 4° grado; geometria e algebra si fondono a creare una nuova geometria, più tardi chiamata ‘analitica’ Geometria degli indivisibili 1635 Italia, Francia, Olanda, Inghilterra Geometria cartesiana 1637 Francia, Olanda Calcolo differenziale e integrale 1686 [1672-76] 1684 Acta Eruditorum Germania, Svizzera, Italia, Francia, Olanda, … Calcolo delle fluenti e delle flussioni Inghilterra [1665-66] 1704, 1711, 1736 Italia Scuola di Galileo Galileo Galilei B. Cavalieri E. Torricelli 1564-1642 1598-1647 1608-1647 Gli indivisibili di Bonaventura Cavalieri 1635 Principio di Cavalieri, nel caso delle figure piane “se due aree piane, tagliate da un sistema di rette parallele intercettano, sopra ognuna di queste, due corde uguali le due aree sono uguali; se le corde corrispondenti hanno un rapporto costante, lo stesso rapporto passa tra le aree”. B. Cavalieri, Geometria degli indivisibili, a cura di Lucio Lombardo Radice, Classici della Scienza, UTET, 1966. Evangelista Torricelli Opera Geometrica Volume del solido iperbolico acutissimo 1 y= x +∞ V= ∫ 1 a 1644 0<x<a 1 A( y )dy + π a ⋅ a 2 O La superficie laterale di un generico indivisibile: 2π x · y = 2π x ·1/x = 2π totalità riempie un cilindro V= 2π a a Francia René Descartes 1596-1650 Pierre Fermat 1601-1665 Retta tangente Géométrie 1637 normale F ( x , y) = 0 ( x − c) + y 2 = r 2 2 Φ ( x , c, r ) = 0 n ⎛ 2 n−2 n −i ⎞ (x − a ) ⎜ x + ∑α i x ⎟ = 0 i =3 ⎝ ⎠ Retta tangente - FERMAT Metodo dei massimi e minimi funzione ƒ(x) si voglia trovare il massimo o il minimo. Nelle vicinanze di un massimo o di un minimo le variazioni sono insensibili. Se a è il punto di massimo di ƒ si avrà ƒ(a) ~ ƒ(a + E) se E è molto piccola. L’uguaglianza approssimata o, come dice Fermat, l’adaequatio, permette di determinare il max o min. Raccogliendo i termini e dividendo per E Fermat ottiene ƒ (a + E) – ƒ (a) ~ 0 E e ponendo E=0 giunge al risultato, con un procedimento poco rigoroso, che tuttavia anticipa il rapporto incrementale e porterà dopo l’introduzione del limite alla derivata. Gilles Personne de Roberval 1601-1675 retta tangente per via cinematica P "La direzione del movimento di un punto che descrive la curva è la retta tangente della curva in ogni posizione di quel punto." ISAAC BARROW (1630-1677) Lectiones opticae et geometricae (1669-70) Fornisce le regole per passare direttamente dall’equazione della curva all’espressione della sua tangente in un punto, considerando degli incrementi infinitesimi delle variabili e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore Applicabile solo quando le variabili non sono separate ISAAC BARROW (1630-1677) Lectiones opticae et geometricae (1669-70) Retta tangente F ( x, y) = 0 F ( x + a, y + e) = 0 a, e infinitesimi P T B a e applicabile solo quando le variabili sono separate TB: PB = a : e Barrow Teorema fondamentale del calcolo integrale Y P P’ S y legame fra tangente e area R Q T N x dY Y NP = = dx TN TN y = MN NP TN = MN M PQ NP PQ 1 1 PQ < MNP ' Q = P ' Q RQ = TN = = PN MN PN MN MN FRANCIA Blaise Pascal 1623-1662 OLANDA Christiaan Huygens 1629-1695 Gottfried Wilhelm Leibniz Lipsia 1646 - Hannover 1716 ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ 1 luglio 1646 1661-1666 Lipsia, Jena Filosofia, Diritto 1667 laurea Altdorf 1672-1676 Parigi 1687-1690 viaggi 1691 bibliotecario consigliere storico … 1700 Accademia di Berlino presidente 14 novembre 1716 Gottfried Wilhelm Leibniz Lipsia 1646 - Hannover 1716 Matematico • Calcolo infinitesimale • Geometria differenziale • Analysis situs • Characteristica universalis, Logica matematica • Determinanti • Macchine calcolatrici • Aritmetica binaria • ... Parigi 1672-1676 Luigi XIV Académie des Sciences Christiaan Huygens 1629-1695 Parigi 1672-1676 Trovare la somma dei reciproci dei numeri triangolari NUMERI TRIANGOLARI T1 T2 1 3 T3 6 T4 10 1 1 1 1 + + + ... + + ... 3 6 n(n + 1) 2 Trovare la somma dei reciproci dei numeri triangolari 1 1 1 2 ⎛1 1 ⎞ = = = =2⎜ − ⎟ Tn 1+2+3+...+n n( n+1) 2 n( n+1) ⎝ n n+1⎠ 1 1 1 + ... = 1 + + + ... + n(n + 1) 2 3 6 ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎤ 2 ⎢⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ...⎥ = 2 ⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 3 4 ⎠ ⎦ Triangolo aritmetico 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 ... 2 3 4 5 ... 3 6 10 15 ... 4 10 20 35 ... 5 15 35 70 ... ... ... ... ... ... n ah ,n = ∑ ah−1,k k =1 ah ,n = ah+1,n − ah+1,n−1 Misterioso legame fra somme e differenze ! Triangolo armonico 1 1 1 2 1 3 1 4 1 2 1 6 1 12 1 20 1 3 1 12 1 30 1 60 1 4 1 20 1 60 1 140 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 5 1 30 1 105 ah ,n = ah−1,n − ah−1,n+1 Somma dei primi n-1 quadrati x −1 1 3 1 2 1 z = ∑i = x − x + x 3 2 6 i =1 2 x = 0 ,1 , 2 , 3 ,... dx = ( x + 1 ) − x = 1 Operatore differenza successioni aritmetiche 2 d (x ) = 2x + 1 d (x3) = 3x2 + 3x + 1 dz = x 2 z = lx + mx + nx dz = ld ( x ) + md ( x ) + ndx 3 2 3 2 Traité du sinus du quart de cercle 1658 (ds ) 2 = (dx) 2 + (dy ) 2 E' B D K E γ C R I R' A Triangolo caratteristico Blaise Pascal 1623-1662 Parigi 1672-1676 Calcolo differenziale Retta tangente Calcolo integrale Aree, volumi, … Equazioni differenziali Problema inverso delle tangenti dy = y ( x + dx ) − y ( x ) dy y St dx S t : y = dx : dy dx St = y dy Acta Eruditorum Lipsia 1684 il manifesto del calcolo differenziale Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus ottobre 1684 E. W. von Tschirnhaus Difficoltà incontrate dai contemporanei: ¾Eccessiva brevità e concisione ¾Errori tipografici ¾Nessuna dimostrazione delle regole del calcolo differenziale ¾Uso nascosto degli infinitesimi … recta aliqua pro arbitrio assumta vocetur dx Nessuna dimostrazione delle regole del calcolo differenziale Uso nascosto degli infinitesimi Differenziazione del prodotto ms. 1680 d ( yz ) = y ( x + dx )z ( x + dx ) − yz = = ( y + dy )( z + dz ) − yz = = yz + ydz + zdy + dydz − yz = = ydz + zdy + dydz = = ydz + zdy … et omissa quantitate quae infinite parva est respectu reliquorum… Esempi di applicazione del calcolo differenziale Nova methodus ... 1684 1. Tangente alla curva di equazione 2 x (a + bx )(c − x 2 ) y 2 2 + ax g y + + + 2 =0 2 2 2 y h + lx + mx (ex + fx ) 2. Rifrazione della luce minimo 3. Tangente alla curva di equazione Fermat-Descartes Fermat-Descartes ... + ... + ... + ... + ... + ... = g 4. Trovare la curva di sottotangente costante Descartes- de Beaune 1638-39 I PUNTI DI FLESSO LEIBNIZ nella Nova Methodus 1684 dà due caratterizzazioni 1) Il punto di flesso è un punto di massimo o di minimo dell’incremento dv 2) Il punto di flesso è un punto in cui la concavità e la convessità si scambiano fra loro (lapsus concavitas-convexitas) dv > 0 x crescenti, v crescenti dv < 0 x crescenti, v decrescenti v crescenti v decrescenti dv > 0 dv < 0 non sempre vere max, min [ dv ] x0 = 0 giustificazione geometrica intuitiva LEIBNIZ, Nova Methodus 1684 Convessità Concavità v crescenti Concavità Convessità v decrescenti dv crescenti ddv > 0 dv decrescenti ddv < 0 dv decrescenti ddv < 0 dv crescenti ddv > 0 [dv] x0 massimo [ddv] x0 = 0 [dv] x0 minimo [ddv] x0 = 0 LEIBNIZ, Nova Methodus 1684 Convessità Concavità v decrescenti Concavità Convessità v crescenti dv crescenti ddv > 0 dv decrescenti ddv < 0 dv decrescenti ddv < 0 dv crescenti ddv > 0 [dv]x0 massimo [ddv] x0 = 0 [dv]x0 minimo [ddv] x0 = 0 Leibniz non considera nel 1684 i flessi a tangente orizzontale, né i punti angolosi (cuspidi, ...) e inverte il teorema “Itaque punctum flexus contrarii locum habet quando neque v neque dv existente 0, tamen ddv est 0.” v ≠ 0, [dv ]x0 ≠ 0 max o min, [ddv ]x0 = 0 ⇔ P ( x 0 , v 0 ) flesso esclusi nel 1684 massimo minimo Methodus Tangentium inversa, Agosto 1673 “Esto infinite parva EF = b = dx” Integrazione come “antidifferenziazione” in Leibniz y f(x) Leibniz concepisce ∫ b a f(x) f ( x)dx a dx b x come “somma” di tutte le aree f(x)dx. Partendo da f(x)dx si determina, se possibile, F(x) tale che dF = f(x)dx, si pensi poi di dividere l’intervallo (a, b) in n parti uguali e di considerare i punti x0 = a, x1, x2, …, xn-1, xn = b; avremo i seguenti successivi dF: F(x1) – F(a), F(x2) – F(x1), F(x3) – F(x2) …, F(b) – F(xn-1) n ∑ (F ( x ) − F ( x )) = F (b) − F (a) i =1 i i −1 ∫ b a f ( x)dx = F (b) − F (a) ISAAC NEWTON (1642-1727) 25 dicembre 1642 nasce a Woolstorp 1661 Trinity College di Cambridge 1663 segue le lezioni di I. Barrow 1665-66 biennium mirabilis 1687 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica 1704 Tractatus de Quadratura curvarum 1711 De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (1669) 1727 muore a Londra 1736 De Methodis serierum et fluxionum (1670-71) γ A P B analisi fondata sulla cinematica x fluente, grandezza matematica generata dal moto di un ente x& flussione, velocità di accrescimento delle fluenti Tractatus de quadratura curvarum (1704) “Considero in questo lavoro le grandezze matematiche come generate da un moto continuo. Le linee vengono descritte per moto continuo di punti, le superfici per moto di linee, chiamando flussioni queste velocità di accrescimento e fluenti le quantità generate giunsi negli anni 1665-66 al metodo delle flussioni” Retta tangente flussioni F (x + x&o , y + y& o ) = 0 F(x,y)=0 ∂F ∂F x& + y& = 0 ∂x ∂y x − ax + ax − y = 0 3 2 3 (3x − 2ax + ay)x& + (ax − 3y ) y& = 0 2 x&o T B y& o 2 x& TB = y y& 3y −axy TB= 3x −2ax+ ay 3 2 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) “Per gli ultimi rapporti delle quantità evanescenti, si deve intendere il rapporto … delle quantità non prima di diventare nulle e non dopo, ma quello col quale si annullano. […] Gli ultimi rapporti con cui quelle quantità si annullano non sono in realtà i rapporti delle ultime quantità, ma i limiti ai quali i rapporti delle quantità decrescenti si avvicinano sempre, illimitatamente, e ai quali si possono avvicinare più di qualunque differenza data e che però non possono mai superare, né toccare, prima che le quantità siano diminuite all’infinito.” Teorema fondamentale del calcolo integrale – metodo dei primi e ultimi rapporti 2 z = x 3 4 z = x 9 3 2 2 4 (z +ov) = ( x +o) 9 2 3 K D d H Bob 3 o →0 y=x 1 2 e viceversa, se y è la curva, z sarà l’area ... IL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE – metodo delle flussioni De quadratura… u, z aree . u = BC = y . 1 BE z u& = y “Poiché le aree ABC, ABED sono descritte dalle ordinate BC, EB, che si muovono con moto uniforme lungo la base AB, le flussioni di queste aree staranno fra loro come le ordinate BC, EB che le descrivono e si possono esprimere con quelle ordinate, poiché quelle ordinate sono nello stesso rapporto degli accrescimenti nascenti delle aree.” Leibniz e Newton a confronto z Newton, fisico : – padre del concetto di “primitiva” di una funzione (si pone nell’ordine di idee di trovare la funzione F(x) la cui “derivata” è la funzione f(x) data) – La sua analisi infinitesimale è interpretazione del continuo generato dal moto e le serie sono uno degli strumenti basilari del suo calcolo con cui risolvere anche le equazioni differenziali – 1665-66 “Biennium mirabilissimum” ideazione metodi infinitesimali z Leibniz, matematico con mentalità algebrica : – padre del concetto di “differenziale” (differenza infinitesima) di una funzione; gli operatori inversi d e ∫ sono gli strumenti basilari – continuo generato dagli indivisibili: una superficie piana è concepita come una totalità di ordinate dotate di spessore ydx. Il simbolo ∫ sta ad indicare la ‘somma’ di tali porzioni infinitesime che danno l’area. – perviene all’integrale definito, ∫ b f ( x ) dx non passando attraverso una primitiva F(x), ma concepisce l’area fornita da questo simbolo come una “somma di infinite differenze” – 1672-1676 ideazione calcolo differenziale a Huygens a Leibniz, 24.8.1690 «Ho visto di tanto in tanto qualcosa del Vostro nuovo calcolo Algebrico negli Atti di Lipsia, ma trovandovi delle oscurità, non l'ho sufficientemente studiato per capirlo» Huygens a Leibniz, 9.10.1690 «Ho cercato dopo la mia citata lettera di capire il vostro calcolo differenziale e ho così insistito che capisco ora, ma soltanto dopo due giorni, gli esempi che ne avete dati, l'uno sulla Cicloide, che si trova nella vostra lettera, l'altro nella ricerca del Teorema del signor Fermat, che è nel Giornale di Lipsia del 1684. E ho anche riconosciuto i fondamenti di questo calcolo, e di tutto il vostro metodo, che io stimo molto buono e molto utile.» Huygens a Leibniz, 17.9.1693 «Apprezzo sempre di più la bellezza della geometria, per i nuovi progressi che si fanno giornalmente, nei quali voi avete così grande parte, Signore, se non altro grazie al vostro meraviglioso calcolo. Eccomi ora mediocremente addentro in quello, ma non capisco ancora nulla del ddx, e vorrei sapere se avete incontrato dei problemi importanti dove occorre usarlo, poichè questo mi darebbe il desiderio di studiarlo.» Matematici e Fisici nella famiglia BERNOULLI 17°-18° sec. Jacob BERNOULLI 1654-1705 1687 professore di matematica all’Università Basilea Johann Bernoulli 1667-1748 1695 professore di matematica all’Università di Groninga 1705 Basilea Bernoulli Jacob a Leibniz, 15.12.1687 «io penso, o Ill.mo, che tu tenga celate qui le tracce di una matematica più sublime, che finora non sono ancora riuscito a penetrare mediante la comune analisi cartesiana. Desidero conoscere quella matematica, mediante la quale tu e il nobilissimo Tschirnhaus avete trovato tante cose e tanto importanti sulla quadratura del cerchio e sulle dimensioni di altre curve. Se mi giudicherai degno di essere fatto partecipe di un raggio di luce di questo vostro metodo (cosa che io desidero ardentemente), per quanto ti sarà permesso dalle tue importantissime occupazioni, farai sì che io, una volta messo al corrente delle tue scoperte, diventerò non solo un loro ammiratore, ma anche un degno estimatore e diffusore.» VIAGGIO DI LEIBNIZ IN ITALIA marzo 1687-marzo 1690 I pionieri BERNOULLI 1705 prolusione di Johann a Basilea … accadeva che non solo [mio fratello ed io] comprendevamo chiaramente alcune cose molto oscure e per primi afferravamo l'eleganza e l'utilità di questo nuovo calcolo, ma in breve tempo lo rendevamo anche così familiare, che senza grande sforzo rimuovevamo gli scogli più impervi e le difficoltà che prima sembravano insuperabili in questo profondo mare. I pionieri BERNOULLI Se è vero che questi approcci iniziali furono i più felici, certo il progresso in questa direzione non ci riuscì meno felicemente: tanto ci struggevamo per una recente scoperta, tanto eravamo in preda al suo fascino, che eccitati da uno spirito di emulazione quasi frenetico, ci esercitavamo a gara l'un con l'altro, proponendoci a vicenda questioni di attualità, difficili e sublimi, che prima di noi matematici di prim'ordine a mala pena avevano osato affrontare e noi ne trovavamo allora le soluzioni come giocando. I fratelli BERNOULLI pionieri del calcolo leibniziano Niente sembrava tanto difficile, né tanto intricato, che muniti del nostro metodo non sperassimo di scioglierlo, purché fossimo disposti a rivolgervi l’attenzione. Un'immensa messe di nuove scoperte poi si dispiegava abbondantemente sotto i nostri occhi; ci sembrava di essere stati improvvisamente trasportati dall'angusto golfo, nel quale prima nuotavamo, nel vastissimo oceano in cui veleggiando velocemente, grazie allo spirare di un vento favorevole, scoprivamo moltissime terre di verità impenetrabili. Allora pensavamo di aver infine trovato la chiave con cui poter aprire le serrature della natura e penetrare in tutti i suoi arcani. Acta Eruditorum 1690-1710 G. W. Leibniz Jacob Bernoulli Johann Bernoulli curve trascendenti e problemi aperti z z z z z z z z z Cicloide Isocrona Spirale logaritmica Catenaria Elastica Brachistocrona Trattoria Velaria Lintearia Curve che Descartes aveva escluso dalla geometria equazioni differenziali settembre 1687 ISOCRONA Nouvelles de la Republique des Lettres Leibniz ai Cartesiani: determinare la natura della curva lungo la quale un corpo soggetto al suo peso discende uniformemente e si avvicina ugualmente all’orizzonte in tempi uguali velocità costante nella direzione verticale = -b 1687 Huygens soluzione senza dimostrazione 1689 Leibniz è la curva parabolica quadrato-cubica 1690 Jacob Bernoulli formulazione analitica col calcolo leibniziano b y − a dy = a dx 2 3 “Ergo et horum integralia aequantur” 3 ( 2 2 3 b y−a 2 3b ) 3 2 = a x 3 trattoria determinare la curva descritta su un piano orizzontale da un corpo pesante legato ad un estremo di una corda il cui altro estremo si muove lungo una retta fissa situata in quel piano dz = dx a−z 2az − z 2 settembre 1693 Leibniz a − 2az − z 2 x = −a log − 2az − z 2 a−z Catenaria 1690 Jacob Bernoulli determinare la curva lungo la quale si dispone una fune flessibile, soggetta al suo peso, liberamente sospesa tra due punti fissi Acta Eruditorum 1691 CATENARIA Leibniz i Bernoulli Huygens Rettificazione Evoluta Baricentro Quadratura di segmento Raggio di curvatura dy a = dx s ad 2 x = dx 2 + dy 2 dy Superficie e volume del catenoide La sfida di Vincenzo Viviani 4 aprile 1692 Gottfried Wilhelm LEIBNIZ Jacob BERNOULLI L’HÔPITAL– Johann BERNOULLI metodo degli indivisibili: John WALLIS, David GREGORY Guido GRANDI “Compiaciuto a tal punto di questa meravigliosa spirale per le sue proprietà così singolari e stupefacenti che non riesco a smettere di contemplarla, ho pensato che essa avrebbe potuto essere abilmente utilizzata a rappresentare in modo simbolico varie cose.” Jacob Bernoulli Spirale logaritmica 1691 Poiché infatti è sempre simile a sé e, comunque la si evolva o la si illumini con raggi di luce, genera la stessa spirale, la si potrebbe considerare l’emblema della prole simile in tutto e per tutto ai genitori, la figlia del tutto identica alla madre, oppure (se non è proibito il confronto con i misteri dell’eterna verità di fede) come simbolo della trinità, segno tangibile dell’eterna generazione del Figlio, che del Padre è l’Immagine, e da lui proviene come Luce che emana da Luce, ed esiste con la sua stessa essenza. O, se preferisci, poiché la nostra meravigliosa curva nella sua mutazione resta sempre costantemente simile a sé stessa, anche per numero, si potrebbe assumere come emblema di fortezza e costanza nelle avversità, o anche come segno di risurrezione, per un certo numero di volte, della nostra carne, in seguito a varie alterazioni e infine alla morte stessa. Perciò, volendo oggi imitare Archimede, volentieri gradirei che questa spirale fosse incisa sulla mia tomba con l’epigrafe Mutata di numero, risorgerà uguale a se stessa.” Jacob Bernoulli e la Spirale logaritmica Il patto fra i due e le Lectiones di Johann Primo trattato di calcolo differenziale Elastica 1691 Jacob Bernoulli Galilei Discorsi e dimostrazioni 1638 determinare la forma di una trave uniforme ed elastica sotto tensione supponendo che essa sia fissata verticalmente a un estremo e che un peso sia attaccato all’altro estremo in modo da mantenerlo orizzontale Elastica 1694 Jacob Bernoulli dy = x 2 dx a4 − x4 a distanza orizzontale fra i due estremi della trave Elastica 1694 dy = arco x 2 dx a4 − x4 ds = a 2 dx a4 − x4 Isocrona paracentrica Jacob Bernoulli 1697 brachistocrona brachistocrona dx = cicloide k2 a y dy −y brachistocrona Diffusione del calcolo in Francia Circolo di Nicolas Malebranche Guillaume F. de L’Hôpital 1661-1704 Pierre Varignon 1654-1722 Diffusione del calcolo in Italia Cattedra di Matematica all’Università di Padova 1707-1713 Hermann 1716-1719 Nicolaus I Bernoulli Jacob Hermann Diffusione del calcolo in Italia Jacopo Riccati Gabriele Manfredi Guido Grandi 1676-1754 1681-1761 1671-1742 Diffusione del calcolo in Italia Giulio Carlo Fagnani 1682-1766 Ramiro Rampinelli Maria G. Agnesi 1697-1766 1718-1799 Russia S. Pietroburgo Jacob Hermann Leonhard Euler 1707-1783 Daniel Bernoulli 1700-1782 1678-1733 GUILLAUME FRANÇOIS DE L’HÔPITAL (1661-1704), Analyse des infiniment petits (1696) ¾ la principale e più accurata esposizione didattica del calcolo differenziale, ¾ in essa compaiono gli assiomi alla base del calcolo e le regole di differenziazione, ¾ sono sviluppati con molte esemplificazioni i temi della retta tangente, dei massimi e minimi, dei punti di flesso e di cuspide, delle evolute, delle caustiche e degli inviluppi. PIERRE VARIGNON Eclaircissemens sur l’analyse des infiniment petits (1725) LEONHARD EULER: metodo degli zeri assoluti Introductio in analysin infinitorum (1748), Institutiones calculi differentialis (1755) Institutiones calculi integralis (1768-1770) JEAN LE ROND D’ALEMBERT: metodo dei limiti Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers (1751-1780) JOSEPH LOUIS LAGRANGE: algebrizzazione dell’analisi metodo delle funzioni derivate Théorie des fonctions analytiques (1797) Leçons sur le calcul des fonctions (1806) I Fondamenti dell’Analisi infinitesimale Erika Luciano A.L. Cauchy K. Weierstrass B. Riemann Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), Cours d’analyse • critica al ricorso ai “ragionamenti tratti dalla generalità dell'algebra” “Ragionamenti di questo tipo, benché ammessi abbastanza comunemente, soprattutto nel passaggio dalle serie convergenti alle serie divergenti e dalle quantità reali alle espressioni immaginarie, non possono essere considerati, mi sembra, che come delle induzioni adatte a far talvolta presentire la verità, ma che poco si accordano con l'esattezza tanto vantata dalle scienze matematiche. Bisogna inoltre osservare che essi tendono a far attribuire alle formule algebriche un'estensione indefinita, mentre in realtà la maggior parte di queste formule sussiste unicamente sotto certe condizioni e per certi valori delle quantità in esse contenute [...] Così, prima di effettuare la somma di una qualunque serie, ho dovuto esaminare in quali casi le serie possono essere sommate o, in altri termini, quali sono le condizioni della loro convergenza; e, su questo argomento, ho stabilito delle regole generali, che mi sembrano meritare qualche attenzione.” Il concetto di limite 1817, B. Bolzano, Rein analytischer Beweis ... introduce la continuità delle funzioni, la convergenza delle successioni e delle serie, l’estremo superiore. 1821, A.L. Cauchy, Cours d'analyse de l'École Polytechnique. il concetto di limite come base dell'analisi: per mezzo di esso definisce la nozione di infinitesimo, quella di infinito e la continuità di funzione; studio della convergenza di serie e successioni. 1823, A.L. Cauchy, Résumé des leçons sur le calcul infinitesimal la teoria dei limiti è applicata al calcolo infinitesimale: la derivata è definita come limite del rapporto incrementale. A.L. Cauchy, Cours d'analyse “Allorché i valori successivamente assunti da una stessa variabile si avvicinano indefinitamente a un valore fissato, in modo da finire per differirne di tanto poco quanto si vorrà, quest'ultimo è chiamato il limite di tutti gli altri. Così ad esempio un numero irrazionale è il limite delle diverse frazioni che ne forniscono valori sempre più approssimati. In geometria la superficie di un cerchio è il limite verso il quale convergono le superfici dei poligoni inscritti, mentre il numero dei loro lati cresce sempre di più, ecc. Allorché i successivi valori numerici di una stessa variabile decrescono indefinitamente in modo da diventare minori di un numero dato, questa variabile diviene ciò che si chiama un infinitesimo o una quantità infinitesima. Una variabile di questo tipo ha zero come limite.” Karl Weierstrass (1815-1897) • lezioni a Berlino 1859-1894; Introduction à la theorie des fonctions analytiques 1878 • liberare l'analisi da nozioni geometriche, di moto o intuitive; "aritmetizzazione" dell'analisi • concetto di continuità di funzione in termini di disuguaglianze di tipo "epsilon-delta", già avvicinata da Riemann e ispirata alle lezioni di Dirichlet. lim Δt → 0 Δs =4 Δt “comunque si prenda una quantità positiva piccola a piacere ε esiste un'opportuna quantità positiva δ tale che se Δt è minore di δ , allora la differenza fra Δs/Δt e 4 è minore di ε.” Cioè posso rendere l’errore che commetto considerando 4 anziché Δs/Δt piccolo sin che voglio. “Dicesi che col tendere di x verso a, y=f(x) ha per limite A, se fissata una quantità piccola ad arbitrio ε, si può determinare una quantità h tale che per ogni valore di x, che differisca da a meno di h, sia f(x)-A in valore assoluto minore di ε. Dicesi che col crescere indefinitamente di x, y=f(x) ha per limite A, se fissata una quantità piccola ad arbitrio ε, si può determinare un numero N tale che per ogni valore di x>N sia f(x)A<ε in valore assoluto.” S. Pincherle, Saggio di una introduzione alla teoria delle funzioni analitiche secondo i principi del Prof. C. Weierstrass, 1878 “Il conseguimento di studi all'estero avendomi permesso di frequentare nell'anno 1877-78 i corsi d'Analisi dell'Università di Berlino, mi credeva quasi in obbligo di far conoscere almeno in parte ai miei compagni di studio le nuove vedute ed i concetti nuovi che il prof. Weierstrass va introducendo nella scienza e che, mentre vanno diffondendosi in Germania per l'opera dei numerosi suoi discepoli, rimangono ancora quasi sconosciuti agli studenti italiani per la nota avversione di quel maestro per la stampa. Solo mi tratteneva da un tentativo di pubblicazione la difficoltà di una conveniente esposizione di argomenti delicati e per la loro novità soggetti a controversia, e in cui una parola impropriamente adoperata basta a svisare il concetto.” U. Dini (1845-1918), Fondamenti per la teorica delle funzioni delle variabili reali, 1878; Lezioni di analisi infinitesimale, 1880, 1892 (trad. tedesca), 1907-1915 G. Peano (1858-1932), Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, 1884 … deplorevoli malvagità ⎧0 x irrazionale f ( x) = ⎨ ⎩1 x razionale ⎧0 f ( x) = ⎨ ⎩1 / q x irrazionale x = p / q frazione semplificata ⎧sin (1 / x) x ≠ 0 f ( x) = ⎨ x=0 ⎩0 L’integrale di Cauchy Résumé des leçons données à l'École Royale Polytechnique • integrale definito in maniera indipendente dalla derivata, confronto delle due operazioni Per definire l'integrale di una funzione f(x) continua al variare di x nell'intervallo [x0, X] egli considera una partizione P dell'intervallo in elementi x1-x0, x2-x1, ..., X-xn-1, e definisce la somma relativa a P (alla Cauchy), come S=(x1-x0)f(x0)+(x2-x1)f(x1)+…+(X-xn-1)f(xn-1). Infittendo la partizione, gli intervalli diventano molto piccoli, e “il valore di S finirà per essere sensibilmente costante o in altri termini finirà per raggiungere un certo limite che dipenderà unicamente dalla forma della funzione f(x) e dai valori estremi attribuiti alla variabile x. Questo limite è ciò che si chiama integrale definito''. L’integrale di Riemann aspetti ancora non completi nella definizione di Cauchy: • mancanza di una chiara distinzione fra continuità e uniforme continuità; • mancanza di una sistemazione dei numeri reali che rende ambigua l'esistenza del limite delle somme; • la definizione vale solo per funzioni continue o con un numero finito di discontinuità. 1829 J. Dirichlet si pone il problema dell'integrabilità delle funzioni con un numero infinito di punti di discontinuità: l'insieme delle discontinuità ammissibili deve essere tale che la sua chiusura non abbia punti interni. Una nuova definizione di integrale B. Riemann, Ueber die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe, 1854-1867. • per funzioni con un numero infinito di punti di discontinuità ∞ B(nx) f(x) = ∑ 2 , n n =1 dove ⎧x - x B(x) = ⎨ ⎩0 se x ≠ k/2 se x = k/2 funzione discontinua in ogni intervallo, (x) indica l’intero più vicino ad x (x) indica l’intero più vicino ad x discontinua in x = ½, ¼, ¾, 1/6, 3/6, 5/6 .... la serie converge uniformemente Pertanto f è integrabile le funzioni fn(x) sono integrabili L’integrale di Riemann • introduce l'integrale considerando le somme approssimanti dall'alto e dal basso. Problema di caratterizzare le funzioni integrabili. • Condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione limitata f(x) sia integrabile è che per ogni σ>0 e δ>0 esista una partizione dell'intervallo di definizione in un numero finito di intervalli tali che la somma delle lunghezze di quelli nei quali l'oscillazione della funzione supera σ risulti minore di δ . • esempio di funzione integrabile che la soddisfa e possiede un insieme denso di punti di discontinuità. Sviluppi successivi • precisazione di concetti topologici: curve “mostruose” • proprietà della retta che conducono a fondare la teoria degli insiemi e la teoria dei numeri reali (Cantor, Dedekind, Méray, Heine) • costruzione di una teoria della misura rigorosa (Peano, Jordan, Borel, Lebesgue).
