INDICE - PROF . Simone Schiavon

INDICE
Unità 8
Il libro
prosegue
nel CD
I NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI, 1
8.1 DALLA FRAZIONE AL NUMERO, 2
Il quoziente è un numero periodico semplice, 2 – Il quoziente è un numero
periodico misto, 3
ESERCIZI da p. 15
8.2 DAL NUMERO ALLA FRAZIONE, 4
Dai numeri decimali alle frazioni generatrici, 4
ESERCIZI da p. 20
8.3 NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI, 6
ESERCIZI da p. 22
8.4 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA, 8
ESERCIZI da p. 23
8.5 PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI, 9
Espressioni con i numeri razionali assoluti, 9
Il cammino della matematica: La nascita dei numeri decimali, 12
SINTESI, 13
AllenaMENTE, 43
MATEMATICA CON IL PC: I numeri razionali assoluti, 44
Unità 9
ESERCIZI da p. 25
per la VERIFICA orale, 11
per PREPARARSI all’esame, 11
CALCOLO MENTALE, 33
AUTOVERIFICA, 34
ESERCIZI per il recupero, 35
ESERCIZI per il potenziamento, 40
Il libro
prosegue
nel CD
LA RADICE QUADRATA, 45
9.1 ESTRAZIONE DI RADICE, 46
ESERCIZI da p. 63
9.2 RADICE QUADRATA, 47
Radici quadrate di quadrati perfetti, 47 – Radici quadrate approssimate, 47
ESERCIZI da p. 66
9.3 PROPRIETÀ DELLA RADICE QUADRATA, 49
Quadrati perfetti, 47 – Prodotto di radici quadrate, 49 –
Quoziente di radici quadrate, 49
ESERCIZI da p. 68
9.4 ALGORITMO DI CALCOLO DELLA RADICE QUADRATA, 52
Radice quadrata di un numero naturale, 52 – Radice quadrata di un numero
decimale, 53 – Radici di frazioni, 54
ESERCIZI da p. 69
9.5 TAVOLE DELLE RADICI, 56
Come si usano le tavole numeriche, 56
ESERCIZI da p. 73
9.6 ESPRESSIONI CON LE RADICI, 58
Radici di espressioni, 58 – Espressioni con radici, 58
ESERCIZI da p. 75
9.7 NUMERI IRRAZIONALI E REALI ASSOLUTI, 59
ESERCIZI da p. 81
Il cammino della matematica: I numeri irrazionali, 61
SINTESI, 62
AllenaMENTE, 89
MATEMATICA CON IL PC: I numeri irrazionali e reali assoluti, 90
per la VERIFICA orale, 60
per PREPARARSI all’esame, 60
CALCOLO MENTALE, 82
AUTOVERIFICA, 83
ESERCIZI per il recupero, 84
ESERCIZI per il potenziamento, 86
IV
Indice
Unità 10
Il libro
prosegue
nel CD
RAPPORTI E PROPORZIONI, 91
10.1 RAPPORTI, 92
Rapporto inverso, 92 – Proprietà fondamentale dei rapporti, 93
ESERCIZI da p. 111
10.2 PROPORZIONI, 94
Proporzioni continue, 95
ESERCIZI da p. 118
10.3 PROPRIETÀ DELLE PROPORZIONI, 96
Proprietà fondamentale, 96 – Proprietà del permutare, 97 – Proprietà
dell’invertire, 98 – Proprietà del comporre, 98 – Proprietà dello scomporre, 99 –
Proprietà del comporre degli antecedenti e dei conseguenti, 100 –
Proprietà dello scomporre degli antecedenti e dei conseguenti, 100
ESERCIZI da p. 121
10.4 RISOLUZIONE DELLE PROPORZIONI, 102
Calcolo di un estremo o di un medio, 102 – Calcolo del medio proporzionale, 103 –
Applicazione della proprietà del comporre, 103 – Applicazione della proprietà
dello scomporre, 104 – Applicazione delle proprietà del permutare e dello
scomporre, 104 – Applicazione delle proprietà del permutare e del comporre, 104
ESERCIZI da p. 126
10.5 PROBLEMI, 105
Calcolo di due numeri conoscendo la loro somma e il loro rapporto, 105 –
Calcolo di due numeri conoscendo la loro differenza e il loro rapporto, 105
Il cammino della matematica: Alle origini del concetto di proporzionalità, 108
SINTESI, 109
AllenaMENTE, 149
MATEMATICA CON IL PC: Rapporti e proporzioni, 150
Unità 11
ESERCIZI da p. 136
per la VERIFICA orale, 107
per PREPARARSI all’esame, 107
CALCOLO MENTALE, 139
AUTOVERIFICA, 140
ESERCIZI per il recupero, 141
ESERCIZI per il potenziamento, 145
Il libro
prosegue
nel CD
LA PROPORZIONALITÀ, 153
11.1 LE GRANDEZZE, 154
Rapporto tra grandezze non omogenee, 154 – Grandezze variabili e grandezze
costanti, 155 – Grandezze dipendenti e grandezze indipendenti, 156
ESERCIZI da p. 182
11.2 GRANDEZZE DIRETTAMENTE PROPORZIONALI, 157
Rappresentazione grafica, 157
ESERCIZI da p. 185
11.3 GRANDEZZE INVERSAMENTE PROPORZIONALI, 159
Rappresentazione grafica, 159
ESERCIZI da p. 190
11.4 PROBLEMI DEL TRE SEMPLICE, 161
Problemi del tre semplice diretto, 161 – Problemi del tre semplice inverso, 162
ESERCIZI da p. 195
11.5 PROBLEMI DEL TRE COMPOSTO, 163
Problemi del tre composto diretto, 163 – Problemi del tre composto inverso, 164
ESERCIZI da p. 200
11.6 PROBLEMI DI RIPARTIZIONE, 166
Catena di rapporti, 166 – Problemi di ripartizione semplice diretta, 167 –
Problemi di ripartizione semplice inversa, 168 – Problemi di ripartizione
composta diretta, 169 – Problemi di ripartizione composta inversa, 170
ESERCIZI da p. 202
Indice
11.7 LA PERCENTUALE, 172
Il tasso percentuale, 172 – La parte percentuale, 173 –
Percentuali e proporzioni, 173
ESERCIZI da p. 207
11.8 CAPITALE E INTERESSE, 176
Interesse per periodi inferiori al mese, 176 – Interesse semplice e composto, 177 –
Interesse e proporzioni, 177
LABORATORIO matematico: Errore percentuale e stima a occhio, 178
Il cammino della matematica: ϕ, il numero d’oro, 179
SINTESI, 180
AllenaMENTE, 229
MATEMATICA CON IL PC: La proporzionalità, 230
Unità 12
ESERCIZI da p. 217
per la VERIFICA orale, 178
per PREPARARSI all’esame, 178
CALCOLO MENTALE, 219
AUTOVERIFICA, 220
ESERCIZI per il recupero, 221
ESERCIZI per il potenziamento, 226
Il libro
prosegue
nel CD
LE BASI DELLA STATISTICA, 231
12.1 L’INDAGINE STATISTICA, 232
Popolazione statistica, 232 – Variabili statistiche, 232
ESERCIZI da p. 246
12.2 LA RACCOLTA DEI DATI, 234
Indagini statistiche totali e campionarie, 234 – La raccolta dei dati, 235
ESERCIZI da p. 247
12.3 L’ELABORAZIONE DEI DATI, 237
Rappresentazione dei dati: tabelle di frequenze e istogrammi, 237
ESERCIZI da p. 248
12.4 MEDIA ARITMETICA, MEDIANA, MODA, 239
Media aritmetica, 239 – Mediana, 240 – Moda, 241 – Riepilogo, 242
Il cammino della matematica: La statistica: una giovanissima
scienza antica, 244
SINTESI, 245
AllenaMENTE, 264
MATEMATICA CON IL PC: Le basi della statistica, 265
Soluzioni, 269
Tavole numeriche, 271
ESERCIZI da p. 251
per la VERIFICA orale, 242
per PREPARARSI all’esame, 243
AUTOVERIFICA, 257
ESERCIZI per il recupero, 259
ESERCIZI per il potenziamento, 262
V
I L
N U M E R O
Unità 8
I NUMERI RAZIONALI
ASSOLUTI
8.1 Dalla frazione
al numero
8.2 Dal numero
alla frazione
8.3 Numeri razionali
assoluti
8.4 Rappresentazione
grafica
8.5 Proprietà
delle operazioni
SAPERE
• avrai acquisito il concetto
di numero razionale assoluto
• conoscerai le proprietà delle
operazioni con i numeri
razionali assoluti
SAPER FARE
• saprai trasformare le frazioni
in numeri decimali e viceversa
• saprai distinguere i numeri
decimali limitati da quelli
illimitati
• saprai distinguere i numeri
periodici semplici da quelli misti
• saprai rappresentare
graficamente i numeri razionali
assoluti
• saprai risolvere espressioni
con i numeri razionali assoluti
• avrai consolidato la tua abilità
nell’operare con i numeri
decimali
2
Unità 8
I numeri razionali assoluti
8.1 DALLA FRAZIONE
Esercizi a
p. 15
AL NUMERO
Per trasformare una frazione in un numero sappiamo che si esegue la divisione tra numeratore e denominatore. Da questa operazione possiamo ottenere tre tipi di quoziente.
• Il quoziente è un numero naturale, se la frazione da trasformare è una frazione
apparente:
Esempio
•
16
= 16 : 8 = 2
8
Esempio mio
Il quoziente è un numero decimale limitato, se la frazione da trasformare è una frazione irriducibile che al denominatore ha soltanto potenze di 2 o di 5 o di entrambi:
Esempi
15
= 15 : 4 = 3, 75
4
4 è una potenza di 2:
22 = 4
14
= 14 : 5 = 2,8
5
Esempio mio
•
Il quoziente è un numero decimale illimitato periodico semplice o misto.
Il quoziente è un numero periodico semplice
Trasformiamo le frazioni
5 60
e
, eseguendo le divisioni fino alla quarta cifra decimale:
3 11
5
3
20
1,6666...
20
20
20
2...
60
11
50
5,4545...
60
50
60
5...
In queste divisioni i resti si ripetono, perciò nella parte decimale del quoziente si ripetono la stessa cifra o lo stesso gruppo di cifre.
I numeri nei quali il numero di cifre della parte decimale è illimitato si chiamano numeri decimali illimitati.
Inoltre, se nella parte decimale si ripete sempre la stessa cifra o lo stesso gruppo di
cifre, il quoziente viene chiamato numero decimale periodico semplice e le cifre che
si ripetono si chiamano periodo. Il periodo si indica sovrapponendo un trattino sulla
cifra o sul gruppo di cifre che si ripetono, o racchiudendolo tra parentesi tonde.
numero periodico semplice
1, 6
periodo
5, 45
IL NUMERO
8.1 Dalla frazione al numero
In generale:
le frazioni irriducibili danno origine a numeri periodici semplici, se il denominatore scomposto in fattori non contiene potenze di 2 né di 5.
Esempio
20
= 20 : 9 = 2, 2
9
9=3
NON contiene potenze
di 2 né di 5
2
numero periodico semplice
Esempio mio
Il quoziente è un numero periodico misto
Trasformiamo la frazione
151
eseguendo la divisione:
110
151 : 110 = 1,3727272...
In questo caso la parte decimale è costituita dalla cifra
3, che non si ripete, e dalle cifre 7 e 2 che si ripetono
e costituiscono il periodo. Il quoziente ottenuto viene
chiamato numero decimale periodico misto.
Le cifre tra la virgola e il periodo formano l’antiperiodo.
numero periodico misto
1, 372
antiperiodo
periodo
In generale:
le frazioni irriducibili danno origine a numeri periodici misti, se il denominatore
scomposto in fattori contiene potenze di 2 o di 5 o di entrambi insieme a potenze
di altri fattori.
Esempio
22
= 22 : 15 = 1, 46
15
15 = 3 ¥ 5
contiene il fattore 3,
diverso da 2 e da 5
numero periodico misto
Esempio mio
Applica
Esegui le divisioni, almeno fino alla quarta cifra decimale.
22 : 9
38 : 30
• Il quoziente è un numero periodico semplice o misto?
• Indica la parte intera, il periodo e l’antiperiodo.
1
Trasforma le frazioni in numeri naturali o decimali e specifica di che tipo di numero si tratta.
2
5
2
1
5
7
3
12
4
9
10
19
6
21
20
31
15
16
16
11
6
3
4
Unità 8
I numeri razionali assoluti
Esercizi a
p. 20
8.2 DAL NUMERO
ALLA FRAZIONE
Dato un numero naturale, decimale limitato o periodico è sempre possibile trovare la
frazione da cui ha avuto origine.
La frazione generatrice di un numero è quella frazione il cui quoziente tra numeratore e denominatore è uguale al numero dato.
Dai numeri decimali alle frazioni generatrici
•
Numeri decimali limitati
La frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione che ha per
numeratore il numero senza la virgola e per denominatore la cifra 1 seguita da tanti 0
quante sono le cifre decimali del numero. Le frazioni così ottenute vengono chiamate frazioni decimali.
Una frazione si dice decimale se il suo denominatore è una potenza di 10, altrimenti si dice ordinaria.
Esempi
5, 4 =
54
10
5, 44 =
544
100
5, 444 =
5444
1000
Esempio mio
•
Numeri periodici semplici
La frazione generatrice di un numero periodico semplice è una frazione che ha
per numeratore la differenza tra il numero senza la virgola e la sua parte intera e per
denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo.
Esempio
numero senza la virgola
5,76 =
due 9 perché le cifre
del periodo sono due
Esempio mio
parte intera
576 - 5 571
=
99
99
IL NUMERO
•
8.2 Dal numero alla frazione
Numeri periodici misti
La frazione generatrice di un numero periodico misto è una frazione che ha per numeratore la differenza tra il numero senza la virgola e tutta la parte che precede il
periodo e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante
sono le cifre dell’antiperiodo.
Esempio
numero senza la virgola
parte del numero che precede il periodo
1325 - 13 1312
1,325 =
=
990
990
656
=
495
due 9 perché le cifre del periodo sono due
656
495
uno 0 perché l’antiperiodo ha una cifra
Esempio mio
Osserva che…
• La frazione generatrice di un numero naturale ha per numeratore il numero stesso e per denominatore 1:
5
5=
1
• Un numero periodico semplice con periodo 9 è uguale al numero naturale immediatamente successivo: 24, 9 = 25
Verifichiamo l’affermazione calcolando la frazione generatrice del numero:
24, 9 =
249 − 24 225
=
= 225 : 9 = 25
9
9
Osserviamo che la frazione generatrice è una frazione apparente che è equivalente al numero naturale immediatamente successivo.
• Un numero periodico misto con periodo 9 è un numero decimale limitato: 2, 39 = 2, 4
Verifichiamolo, calcolando la frazione generatrice del numero:
2, 39 =
239 − 23 216 12
=
=
= 12 : 5 = 2, 4
90
90
5
Applica
1
3
Determina la frazione generatrice di ciascun numero e verifica il risultato.
8
5,4
0,7
1,35
6,182
2 Determina la frazione generatrice di ciascun numero periodico semplice. Verifica ogni volta il risultato.
1, 4
0, 45
3, 097
20, 06
Determina la frazione generatrice di ciascun numero periodico misto. Verifica
ogni volta il risultato.
3
0, 56
0, 895
0, 57
2, 05
5
6
Unità 8
I numeri razionali assoluti
Esercizi a
p. 22
8.3 NUMERI RAZIONALI
ASSOLUTI
Sappiamo che per ogni frazione esistono infinite frazioni equivalenti:
2 4
6
8
10
=
=
=
=
=...
5 10 15 20 25
In generale, si chiama classe un insieme di elementi con una o più proprietà comuni, perciò:
l’insieme di tutte le frazioni equivalenti a una data frazione costituisce una classe di
equivalenza.
Consideriamo per esempio l’insieme A delle frazioni equivalenti a
⎧ 2 4 6 8 10 ⎫
A=⎨ ;
; ;
;
;...⎬
⎩ 5 10 15 20 25 ⎭
2
:
5
Tutte le frazioni appartenenti alla stessa classe di equivalenza corrispondono allo
stesso numero decimale.
Per esempio, le frazioni della classe di equivalenza individuata dall’insieme A corrispondono al numero decimale 0,4. Infatti:
2
= 2 : 5 = 0, 4
5
4
= 4 : 10 = 0, 4
10
6
= 6 : 15 = 0, 4 e così via
15
Si è stabilito perciò di rappresentare la classe di equivalenza con la frazione irridu2
cibile appartenente alla classe, nel nostro esempio , racchiusa tra parentesi quadre
5
e di chiamare la classe con il nome di numero razionale assoluto (termine derivato
dal latino ratio che significa “divisione”):
⎡2⎤
⎢⎣ 5 ⎥⎦
numero razionale assoluto
I numeri razionali assoluti formano un insieme infinito (cioè un insieme costituito
da un infinito numero di elementi), insieme che è stato chiamato Qa (altri lo rappresentano con il simbolo Q+), così definito:
l’insieme dei numeri razionali assoluti (Qa) è l’insieme delle classi di equivalenza
formate da tutte le frazioni equivalenti fra loro.
Dalla precedente definizione segue che:
•
•
le frazioni sono numeri chiamati razionali assoluti;
un numero si dice razionale assoluto quando è possibile scriverlo sotto forma di
frazione.
IL NUMERO
8.3 Numeri razionali assoluti
Di conseguenza i numeri razionali assoluti comprendono:
• i numeri naturali;
• i numeri decimali limitati;
• i numeri decimali illimitati periodici semplici e misti.
Esempio
Sono numeri razionali assoluti: 7
9,2
8, 4
25, 348
8
11
Esempio mio
Quindi possiamo rappresentare l’insieme Qa dei numeri razionali assoluti con il seguente diagramma di Eulero-Venn:
Qa
numeri naturali
numeri decimali
illimitati
periodici misti
numeri decimali
limitati
numeri decimali
illimitati
periodici semplici
Anteprima
• I numeri razionali assoluti (Qa) appartengono all’insieme più ampio dei numeri razionali (rappresentato con il simbolo Q) che incontrerai nello studio dei numeri relativi. L’attributo di assoluti
proviene dal fatto che, a eccezione dello zero, gli altri numeri sono tutti maggiori di zero, al contrario dei numeri relativi che sono sia maggiori sia minori di zero.
Applica
1 Individua tra le seguenti frazioni quelle che corrispondono a numeri naturali, a
numeri decimali limitati e a numeri decimali illimitati periodici semplici e misti.
Esempio
7
= 7 : 4 = 1,75
4
numero decimale limitato
9
= ............ = ............
8
numero ................................................
10
= ............ = ............
2
numero ................................................
16
= ............ = ............
3
numero ................................................
8
= ............ = ............
15
numero ................................................
7
8
I numeri razionali assoluti
Unità 8
Esercizi a
p. 23
8.4 RAPPRESENTAZIONE
GRAFICA
Vediamo ora come si rappresentano graficamente i numeri razionali assoluti. Tracciamo
una semiretta, con origine O, e fissiamo un’unità grafica u, per esempio u = 1 cm.
Per rappresentare le frazioni, individuiamo la loro posizione sulla semiretta in base alla
loro distanza dall’origine. Tale distanza si calcola applicando la frazione all’unità gra1
1
fica stessa. Così la distanza dall’origine della frazione
sarà
dell’unità grafica e
2
2
3
3
corrisponderà a 5 mm. Invece la frazione si troverà alla distanza dall’origine di
2
2
5
di unità grafica e corrisponderà a 15 mm. La frazione si troverà a 25 mm dall’ori2
gine e così via.
u
1
2
1
3
2
5
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
Consideriamo ora le seguenti frazioni:
17
34
51
68
5
10
15
20
Poiché sono equivalenti, esse occupano sulla semiretta la stessa posizione e corrispondono tutte al medesimo numero razionale assoluto: 3,4.
u
17
34
51
68
=
=
=
5
10
15
20
1
2
1
3
2
2
5
2
3 3,4
4
5
6
7
8
9
10
O
Applica
1
Rappresenta sulla semiretta, con unità grafica u = 1 cm, i numeri razionali assoluti:
7
2
9
2
1
O
15
2
2
6, 5
3
9, 2
4
84
10
39
5
5
6
22
4
7
3, 9
8
9
10
11
12
IL NUMERO
8.5 Proprietà delle operazioni
Esercizi a
p. 25
8.5 PROPRIETÀ DELLE
OPERAZIONI
approfondimento nel CD:
Verifica delle proprietà
delle operazioni
I numeri razionali assoluti sono un ampliamento dei numeri naturali. Di conseguenza:
le operazioni con i numeri razionali assoluti godono delle stesse proprietà di cui godono quelle con i numeri naturali.
I numeri razionali assoluti godono di una proprietà in più rispetto ai numeri naturali:
l’insieme Qa dei numeri razionali assoluti è chiuso rispetto alla divisione, cioè la divisione è un’operazione interna ai numeri razionali assoluti.
Dunque l’insieme Qa dei numeri razionali assoluti, oltre a essere chiuso rispetto alle
operazioni di addizione e moltiplicazione, come lo è l’insieme N, lo è anche rispetto
alla divisione e ciò comporta un grande vantaggio: nell’insieme Qa la divisione è
sempre possibile (eccezion fatta quando il divisore è 0), al contrario di quanto succede con i numeri naturali.
Esempio
9 : 5 = senza risultato in N
9 : 5 = 1,8 in Qa
Esempio mio
Osserva che…
• Se il divisore è 0, la divisione è priva di significato, come già abbiamo visto a proposito dei numeri naturali.
Esempio
3
: 0 = il quoziente non esiste
4
• Lo 0 non ha reciproco, infatti le frazioni con denominatore 0 non hanno significato.
Esempio Il reciproco di
0
5
non esiste (infatti
non ha significato).
5
0
Espressioni con i numeri razionali assoluti
Espressioni che contengono solo numeri decimali limitati e numeri naturali
I calcoli risultano più semplici con i numeri decimali, perciò non conviene trasformarli in frazioni.
9
10
Unità 8
I numeri razionali assoluti
Espressioni che contengono numeri decimali limitati, frazioni e numeri naturali
In questo caso conviene trasformare i numeri decimali nelle rispettive frazioni generatrici e poi eseguire i calcoli. Osserva l’esempio.
Esempio guidato
5 ⎛
× ⎜ 2, 4 −
3 ⎝
1⎞
4
⎟⎠ − 1, 5 × =
2
3
1
5
2
5 ⎛ 24 1 ⎞ 15
4
×
=
= ×⎜
− ⎟−
3 ⎝ 10 2 ⎠ 10 5
3
1
1
5 ..........
= ×
− .......... =
3 10
1
5 19
− .......... =
= ×
3 10
2
= .......... − 2 =
7
6
Espressioni che contengono numeri decimali illimitati
Anche in questo caso si trasformano i numeri decimali nelle rispettive frazioni generatrici e poi si eseguono i calcoli. Osserva l’esempio.
(1, 6 + 2, 4 + 0, 5) : 1, 4 =
Esempio guidato
12
⎛ 16 − 1 24
5 ⎞ 14 − 1
=
=⎜
+
+ ⎟:
9
10
9⎠
⎝ 9
5
5
⎛ 15
=⎜
+
⎝ 9
3
=
..........
208
=
45
da qui in poi si
prosegue come
hai sempre fatto
per risolvere
le espressioni
con le frazioni
⎞ ..........
.......... + ..........⎟ :
=
⎠ ..........
+ 108 + 25
×
45
16
5
si trasformano i numeri
decimali in frazioni
×
..........
... .......
=
..........
..........
=
16
= 16 : 5 = 3, 2
5
laboratorio
nel CD
Applica
Per ciascuna delle seguenti operazioni, scrivi quale proprietà è stata applicata.
1
2,5 + 6,5 = 2,5 + 0,5 + 6
proprietà .......................................................
2
8,9 + 15,4 = 15,4 + 8,9
proprietà .......................................................
3
2,3 × (6,8 – 3,2) = 2,3 × 6,8 – 2,3 × 3,2
proprietà .......................................................
4
3,5 : 0,5 = (3,5 × 10) : (0,5 × 10)
proprietà .......................................................
Risolvi le espressioni.
5
4⎞
⎛
⎜⎝ 0,12 + 0, 65 + 0, 35 − ⎟⎠ : (0, 4 + 1 + 0, 2)
5
⎡ 1⎤
⎢⎣ 5 ⎥⎦
6
(1, 36 − 0, 63) : 2, 6
⎡3⎤
⎢⎣ 11⎥⎦
I numeri razionali assoluti
Unità 8
11
per la VERIFICA orale
1
Come sono definite le frazioni decimali?
2
Qual è la differenza tra numeri periodici semplici e misti?
3
Spiega la regola per trasformare i numeri periodici semplici e misti in frazioni.
4
Spiega come stabilire (senza eseguire calcoli) in quale tipo di numero decimale
(limitato, illimitato, periodico semplice o misto) si può trasformare una data frazione irriducibile.
5
Che cosa sono i numeri razionali assoluti?
6
Enuncia le proprietà dei numeri razionali assoluti.
7
Esercitati nel calcolo mentale (esercizi a p. 33).
per PREPARARSI all’esame
1
Qual è la soluzione dell’espressione?
⎧⎡⎛ 12
⎞ 1⎤ 3 ⎫ 3
+ 0,1⎟ × ⎥ × ⎬ : + 3, 5
⎨⎢⎜⎝
⎠ 4⎦ 5⎭ 4
⎩⎣ 5
a
2
4
1
4
b
5,5
c
4
3
d
Data l’unità grafica u = 1 cm, su quale semiretta è corretta la rappresentazione
dei seguenti numeri razionali assoluti?
5
2
5
1,8
1
12
2
10
6,5
37
10
1
1,8
5
2
37
10
5
12
2
1
1,8
5
2
37
10
5
12
6,5
2
1
1,8
5
2
a
6,5
10
O
b
10
O
c
37
10
5
6,5
5
6,5
12
2
10
O
5
2
1 1,8
d
10 12 37
2 10
O
3
Rappresenta graficamente sulla semiretta, con unità grafica u = 2 cm, i numeri:
1
O
6
2
3,5
3
10
7
2
3
0,5
19
4
soluzioni
a
p. 269
12
Il cammino della MATEMATICA
La nascita dei numeri decimali
sequestro
alieno
I numeri decimali nascono nel XVI secolo. Prima di allora non
esistevano e al loro posto si usavano le frazioni.
Il merito maggiore di avere inventato i numeri decimali va al
fiammingo Simon Stevin, conosciuto con il nome di Simone
di Bruges o Stevino.
Stevin nacque a Bruges, in Belgio, nel 1548 e visse nei Paesi
Bassi, dove lavorò come ingegnere idraulico nella progettazione e costruzione di dighe. Morì a L’Aja nel 1620.
Stevin definì le unità decimali partendo da un particolare tipo
di frazione decimale, cioè dalle unità frazionarie decimali:
1
= 0, 1
10
unità decimale del 1° ordine
1
= 0, 01
100
unità decimale del 2° ordine
1
= 0, 001
1000
unità decimale del 3° ordine
e così via.
Bruges, monumento a Stevin.
Dopo avere definito le unità decimali, passò a costruire tutti
gli altri numeri, con il ragionamento seguente.
Poiché
2
1
1
2
, si può scrivere
=
+
= 0, 1 + 0, 1 = 0, 2 .
10 10 10
10
Di conseguenza
Inoltre, poiché
3
4
10
= 1.
= 0, 3 e
= 0, 4 fino a
10
10
10
11 10
1
11
di conseguenza si può scrivere
=
+
= 1 + 0,1 = 1,1 .
10 10 10
10
Nacquero così i numeri decimali, che cambiarono radicalmente il modo di eseguire le operazioni, semplificandolo al massimo.
I numeri decimali come li scriviamo oggi sono il frutto di un lungo percorso.
Infatti, quando Simon Stevin inventò i numeri decimali usava un altro modo per scriverli. Al
posto della virgola numerava le posizioni decimali.
Per esempio il numero che oggi scriviamo così: 34,652, Stevin lo scriveva così:
3 4 50 6 51 5 22 2 53
Molti anni dopo, il matematico inglese John Wallis (1616-1703) introdusse l’uso della virgola,
ma la sua diffusione fu tutt’altro che semplice, tanto che oggi nei paesi anglosassoni, come
la Gran Bretagna, gli Stati Uniti, l’Australia, per separare la parte intera da quella decimale
in realtà viene usato il punto al posto della virgola:
5.3 al posto di 5,3
Negli stessi paesi, la virgola è invece usata per separare l’ordine delle migliaia nella parte intera di un numero:
$ 2,315 al posto di $ 2315 e quindi $ 2,315.88 al posto del nostro $ 2315,88
I numeri razionali assoluti
mappa
interattiva nel CD
Unità 8
SINTESI
TRASFORMAZIONE DELLE FRAZIONI IN NUMERI
NATURALI E DECIMALI
Per trasformare una frazione in un numero naturale o decimale si
esegue la divisione tra numeratore e denominatore.
1. Quoziente = numero naturale se il numeratore è multiplo del
denominatore (frazioni apparenti).
2. Quoziente = numero decimale limitato se la frazione, ridotta
ai minimi termini, ha il denominatore che, scomposto in fattori,
contiene solo i fattori primi 2 o 5 o entrambi.
3. Quoziente = numero decimale illimitato periodico
Possiede un numero illimitato di cifre decimali ed è periodico.
Un numero periodico è un numero decimale illimitato in cui tutte
o alcune cifre che costituiscono la parte decimale del numero si ripetono all’infinito.
La cifra o le cifre che si ripetono si chiamano periodo.
Un numero periodico è semplice quando tutta la parte decimale
è costituita da una o più cifre che si ripetono all’infinito.
4
= 4 : 5 = 0, 8
5
18
=9
2
5
= 2, 5
2
24
= 3, 428571428571...
7
periodo
1, 33333 ... = 1, 3
antiperiodo
Un numero periodico è misto quando la parte decimale è costituita da cifre che non si ripetono (antiperiodo) e da cifre che si ripetono (periodo).
1, 53333 ... = 1, 53
• Quoziente = numero periodico semplice se la frazione, ridotta
ai minimi termini, ha il denominatore che, scomposto in fattori,
non contiene come fattori primi né 2 né 5.
5
= 1, 6
3
numero periodico semplice
• Quoziente = numero periodico misto se la frazione, ridotta ai
minimi termini, ha il denominatore che, scomposto in fattori,
contiene sia i fattori primi 2 o 5 o entrambi, sia altri fattori primi.
periodo
7
= 1, 16
6
numero periodico misto
TRASFORMAZIONE DI NUMERI DECIMALI
IN FRAZIONI
1. Numero decimale limitato
Per trasformare un numero decimale limitato in frazione si scrive
al numeratore il numero senza la virgola e al denominatore la cifra
1 seguita da tanti 0 quante sono le cifre decimali del numero dato.
2. Numero decimale illimitato periodico semplice
Per trasformare un numero periodico semplice in frazione si scrive
al numeratore la differenza tra il numero senza la virgola e la sua
parte intera e al denominatore si scrivono tanti 9 quante sono le
cifre del periodo.
2, 439 =
2439
1000
5, 374 =
5374 - 5 5369
=
999
999
13
14
Unità 8
I numeri razionali assoluti
3. Numero decimale illimitato periodico misto
Per trasformare un numero periodico misto in frazione si scrive al
numeratore la differenza tra il numero senza la virgola e tutta la parte
che precede il periodo e al denominatore si scrivono tanti 9
quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo.
7, 58 =
758 - 75 683
=
90
90
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
Un numero si dice razionale assoluto quando è possibile scriverlo
sotto forma di frazione.
0, 5 =
1
2
L’insieme Qa dei numeri razionali assoluti è l’insieme delle classi
di equivalenza formate da tutte le frazioni equivalenti fra loro.
I numeri razionali assoluti comprendono i numeri naturali, i numeri
decimali limitati e i numeri decimali illimitati periodici semplici e
misti.
Le operazioni con i numeri razionali assoluti godono di tutte le
proprietà che valgono per le operazioni con i numeri naturali.
Sono numeri razionali assoluti:
5
8,2
3, 4
12, 643
Oltre a ciò la divisione è un’operazione interna ai numeri razionali assoluti.
Perciò la divisione fra numeri razionali assoluti è sempre possibile.
5,8 : 2 = 2,9
numero razionale
assoluto
ESERCIZI
8.1 Dalla frazione al numero
15
Faq
nel CD
8.1 DALLA FRAZIONE AL NUMERO
Per verificare la conoscenza della trasformazione di una frazione in un numero
1
Indica se ciascuna delle affermazioni che seguono è vera o falsa e scrivi un esempio per giustificare la risposta.
• Una frazione dà sempre origine a un numero periodico.
Esempio
V
F
X
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
1
= 0, 5 è una frazione generatrice di un numero decimale limitato, non periodico
2
• Una frazione non dà mai origine a un numero periodico.
……………………………………………………………………….......................……………………………….….
• Una frazione può dare origine a un numero periodico.
……………………………………………………………………….......................……………………………….….
• Una frazione apparente non dà mai origine a un numero periodico.
……………………………………………………………………….......................……………………………….….
• Una frazione irriducibile con denominatore 5 dà sempre origine a un numero
decimale limitato.
……………………………………………………………………….......................……………………………….….
• Una frazione irriducibile con denominatore 2 dà sempre origine a un numero
decimale illimitato.
……………………………………………………………………….......................……………………………….….
• Una frazione irriducibile con denominatore 3 può dare origine a un numero
decimale limitato.
……………………………………………………………………….......................……………………………….….
Numeri periodici
Per applicare la conoscenza delle convenzioni sui numeri periodici
2
Scrivi altri tre numeri decimali illimitati periodici semplici: 7 , 4
3
Scrivi altri tre numeri decimali illimitati periodici misti: 9, 37
.....................................................................
.........................................................................
Scrivi i numeri usando le opportune convenzioni di scrittura.
Esempio 2,3444444444 ... = 2 , 34
4
8,9222222222…
15,7777777777…
27,5353535353…
34,8888888888…
3,3333333333…
9,63737373737…
5
42,4242424242…
0,49898989898…
256,0576767676…
0,9999999999…
0,5555555555…
0,354354354354…
Per riprendere e applicare il concetto di approssimazione
Approssima per difetto a meno di 0,1 i seguenti numeri.
6
7
Decimali limitati
6,73 ≈ …....…
0,96 ≈ …....…
Esempio 8,59 ≈ 8,5
4,09 ≈ …....…
0,27 ≈ …....…
7,685 ≈ …....…
26,347 ≈ …....…
Esempi 7, 46 ≈ 7,4
Periodici
8, 56 ≈ …....…
10, 41 ≈ …....…
9, 43 ≈ …....…
6, 7 ≈ …....…
0, 48 ≈ …....…
1, 372 ≈ …....…
9, 84 ≈ 9,8
Teoria
a
p. 2
16
ESERCIZI
UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti
Approssima per eccesso a meno di 0,1 i seguenti numeri.
Esempio 3,72 ≈ 3,8
Decimali limitati
8
7,82 ≈ …....…
5,78 ≈ …....…
8,774 ≈ …....…
0,65 ≈ …....…
0,39 ≈ …....…
Esempi 7, 42 ≈ 7,5
Periodici
9
27,436 ≈ …....…
8, 73 ≈ …....…
7, 45 ≈ …....…
8, 36 ≈ …....…
4, 71 ≈ …....…
5, 1 ≈ …....…
9, 3 ≈ 9,4
0, 8 ≈ …....…
Approssima con la migliore approssimazione, a meno di 0,1, i seguenti numeri.
10
Decimali limitati
Esempi 9,68 ≈ 9,7
9,62 ≈ 9,6 9,65 ≈ 9,7
5,62 ≈ …....…
11
3,98 ≈ …....…
0,85 ≈ …....…
0,19 ≈ …....…
15,236 ≈ …....…
Periodici semplici
Esempi 6, 8 ≈ 6,9
12
6,574 ≈ …....…
(infatti 6, 8 = 6,88888...)
6, 3 ≈ 6,3
≈ …....…
8, 7
≈ …....…
9, 3 ≈ …....…
5, 8
0, 4
≈ …....…
0, 5 ≈ …....…
23, 5 ≈ …....…
4,16 ≈ …....…
2, 72 ≈ …....…
5, 25 ≈ …....…
12, 07 ≈ …....…
1, 503 ≈ …....…
3, 674 ≈ …....…
6, 87 ≈ 6,9
6, 84 ≈ 6,8
Periodici misti
Esempi 2, 438 = 24
4, 62 ≈ …....…
0, 39 ≈ …....…
1, 75 ≈ …....…
16, 319 ≈ …....… 8, 07 ≈ …....…
9, 01 ≈ …....…
Scrivi i numeri periodici fino alla settima cifra decimale, applicando la migliore approssimazione per eccesso o per difetto a seconda dei casi.
Esempio 4,5 = 4, 5555556
13
2, 6
0, 5
12, 27
41, 2
7, 61
1, 36
14
9, 72
2, 346
3,19
11, 427
0, 2163
5, 9
Per consolidare la conoscenza dei numeri decimali, limitati e periodici
15
Classifica ogni numero, mettendo una crocetta nella colonna corretta.
numeri decimali
limitati
periodici
semplici
numeri decimali
periodici
misti
limitati
8,02
14, 247
7, 5
16,4
9,18
3,555558
0,48
0,006
0,195
45, 08
periodici
semplici
periodici
misti
ESERCIZI
8.1 Dalla frazione al numero
Completa le tabelle.
16
5,89
301, 0178
numero periodico
antiperiodo parte intera semplice o misto?
numero
5
parte decimale
89
periodo
–
antiperiodo
–
periodo
7,016
0, 82
parte intera
17
2, 1983
37, 8
72
5
23
4
7
19
8
misto
23, 5 72
4
678
0
1
24
7
0
348
23
56
Trasformazioni da frazione a numero
Per applicare la conoscenza delle regole di trasformazione di una frazione in un numero
18
Scrivi tre frazioni (con tre denominatori diversi) generatrici di numeri naturali.
Esempio
19
Scrivi tre frazioni (con tre denominatori diversi) generatrici di numeri periodici semplici.
Esempio
20
15
3
5
3
Scrivi tre frazioni (con tre denominatori diversi) generatrici di numeri periodici misti.
Esempio
5
6
Trasforma le frazioni in numeri naturali o decimali e scrivi il genere di numero ottenuto.
Esempio
15
= 15 : 7 = 2 , 142857 numero decimale illimitato periodico semplice
7
21
20
7
5
8
3
4
1
3
19
10
22
9
2
16
3
21
5
1
6
5
9
23
1
10
23
6
15
11
18
4
28
7
24
23
23
19
22
52
100
31
15
25
18
25
18
30
4
10
23
30
20
3
14
27
26
25
3
11
24
42
16
180
45
28
21
17
18
ESERCIZI
27
UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti
Nelle seguenti frazioni il denominatore è stato scomposto in fattori primi. Senza fare calcoli, stabilisci che
genere di numero corrisponde a ciascuna frazione.
numero
naturale
numero
decimale limitato
51
2 × 33
Esempio
numero
periodico semplice
numero
periodico misto
X
7
2×5
11
4
2 ×3
19
24 × 53
7
2×5×3
9
5
8
33
4
3×7
8
22
28
Nelle seguenti frazioni numeratore e denominatore sono stati scomposti in fattori primi. Dopo avere ridotto, quando è possibile, le frazioni ai minimi termini (come mostrato nell’esempio) e senza fare ulteriori
calcoli, stabilisci che genere di numero corrisponde a ciascuna frazione.
numero
numero
numero
numero
naturale
decimale limitato
periodico semplice
periodico misto
Esempio
5×3 5
=
2×3 2
7×5
2×5
2 × 11
2×3
35
24 × 53
7×5
5
32 × 5 × 7
24 × 5 × 7
19
3
3 × 52
24
11
23 × 35
35 × 52
X
ESERCIZI
8.1 Dalla frazione al numero
Indica il genere di numero che corrisponde a ciascuna frazione: numero naturale, decimale limitato,
periodico semplice o misto.
8
Esempio
6
4
➞ periodico semplice
3
29
23
2
23
3
23
4
23
5
23
6
23
7
23
8
23
9
23
10
30
7
2
7
3
7
4
7
5
7
6
7
7
7
8
7
9
7
10
31
5
8
1
3
2
5
1
2
4
5
5
3
1
5
12
2
1
6
32
5
6
15
5
1
10
5
8
8
15
12
15
19
7
4
5
13
6
33
9
11
5
9
29
10
12
14
15
6
38
4
100
77
36
15
3
9
34
11
44
23
50
24
30
48
12
27
12
1
17
4
9
18
25
21
14
35
10
9
7
15
1
25
9
4
3
14
31
50
10
27
1
16
5
12
36
80
30
72
5
19
16
81
100
24
15
1
11
28
21
21
28
186
120
37
120
186
81
6
6
81
6
25
24
24
4
4
18
180
29
90
36
14
Completa le frazioni in modo tale che possano essere trasformate in numeri decimali limitati.
38
3
1
7
25
46
91
......
......
......
......
......
......
39
......
......
......
......
......
......
2
6
8
18
42
66
Completa le frazioni in modo tale che possano essere trasformate in numeri periodici semplici.
40
31
1
3
21
33
231
......
......
......
......
......
......
41
......
......
......
......
......
......
3
9
21
6
15
28
Completa le frazioni in modo tale che possano essere trasformate in numeri periodici misti.
42
44
19
6
3
21
30
100
......
......
......
......
......
......
43
......
......
......
......
......
......
15
45
42
210
30
28
Senza eseguire le divisioni, indica quali hanno come risultato un numero periodico, motivando la risposta.
7
è irriducibile e il denominatore, scomposto in fattori primi, contiene il fattore 3.
6
Quindi il risultato è un numero periodico semplice.
Esempio 7 : 6 la frazione
5:8
5:9
7:6
3:5
15 : 4
15 : 6
15 : 9
14 : 9
450 : 160
19
20
Teoria
a
p. 4
ESERCIZI
UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti
8.2 DAL NUMERO ALLA FRAZIONE
Faq
nel CD
Per verificare la conoscenza della trasformazione di un numero nella sua frazione generatrice
45
Completa le frasi.
• La frazione che dà origine a un dato numero decimale si chiama frazione .................................................
• Per trasformare un numero decimale limitato nella sua frazione generatrice, si scrive al numeratore
.................................................. e al denominatore la cifra 1 seguita da tanti ....................................................
quante sono le cifre a destra della virgola.
• Per trasformare un numero periodico semplice nella sua frazione generatrice, si scrive al numeratore la
differenza tra il numero senza la virgola e ……....................……… e al denominatore tanti 9 quante sono
le cifre del ...................................
• Per trasformare un numero periodico misto nella sua frazione generatrice, si scrive al numeratore la
differenza tra il numero senza la virgola e tutta la parte che precede il ............................. , senza la virgola,
e al denominatore tanti 9 quante sono le cifre del ......................................... e tanti 0 quante sono le cifre
dell’ ..............................................
Trasformazioni da numero a frazione
Per applicare la conoscenza delle regole di trasformazione di un numero nella frazione generatrice
Calcola la frazione generatrice di ciascun numero decimale limitato e, quando è possibile, riducila ai minimi termini. Verifica ogni volta il risultato.
412 412
=
Esempio 4,12 =
100 100
103
=
25
1 03
25
verifica del risultato: 103 : 25 = 4,12
46
2,8
4,54
7,8
0,097
8,49
3,98
⎡ 14 227 39 97 849 199 ⎤
⎢⎣ 5 ; 50 ; 5 ; 1000 ; 100 ; 50 ⎥⎦
47
0,8
5,37
1,497
7,7
0,39
0,08
⎡ 4 537 1457 77 39 2 ⎤
⎢⎣ 5 ; 100 ; 1000 ; 10 ; 100 ; 25 ⎥⎦
48
4,57
9,7
0,69
0,004
58,09
4,35
1 5809 87 ⎤
⎡ 457 97 69
⎢⎣ 100 ; 10 ; 100 ; 250 ; 100 ; 20 ⎥⎦
49
120,85
0,625
5,12
2,308
1,006
20,02
⎡ 2417 5 128 577 503 1001⎤
⎢⎣ 20 ; 8 ; 25 ; 250 ; 500 ; 50 ⎥⎦
50
6,75
52,02
0,492
3,625
0,064
9,21
⎡ 27 2601 123 29 8 921 ⎤
⎢⎣ 4 ; 50 ; 250 ; 8 ; 125 ; 100 ⎥⎦
Calcola la frazione generatrice di ciascun numero periodico semplice e, quando è possibile, riducila ai minimi termini. Verifica ogni volta il risultato.
14
Esempio 4,6 =
46 - 4 42
14
=
=
9
3
9
verifica del risultato: 14 : 3 = 4, 6
3
⎡ 23 142 4 38 152 7991⎤
⎢⎣ 9 ; 9 ; 9 ; 99 ; 99 ; 990 ⎥⎦
51
2, 5
15, 7
0, 4
0, 38
1, 53
8, 071
52
5, 2
15, 28
51, 72
3, 332
9, 203
26, 8
53
0, 7
20, 38
0, 08
5, 07
95,12
124, 32
⎡ 7 2018 8 502 3139 12308 ⎤
⎢ 9 ; 99 ; 99 ; 99 ; 33 ; 99 ⎥
⎣
⎦
54
537, 8
48, 5
9, 84
0, 527
2, 805
0, 56
⎡ 4841 437 325 527 2803 56 ⎤
⎢⎣ 9 ; 9 ; 33 ; 999 ; 999 ; 99 ⎥⎦
⎡ 47 1513 569 3329 9194 242 ⎤
⎢⎣ 9 ; 99 ; 11 ; 999 ; 999 ; 9 ⎥⎦
ESERCIZI
8.2 Dal numero alla frazione
Calcola la frazione generatrice di ciascun numero periodico misto e, quando è possibile, riducila ai minimi termini. Verifica ogni volta il risultato.
76
168 - 16 152
Esempio 1,68 =
=
90
90
45
=
76
45
verifica del risultato: 76 : 45 = 1, 68
55
3, 45
0, 76
0, 357
3, 72
14, 537
8, 5374
⎡ 311 23 59 67 7196 76 837 ⎤
⎢ 90 ; 30 ; 165 ; 18 ; 495 ; 9000 ⎥
⎣
⎦
56
0, 428
8, 531
0, 507
0, 245
1, 007
0, 0032
⎡ 193 3839 251 221 907 8 ⎤
⎢⎣ 450 ; 450 ; 495 ; 900 ; 900 ; 2475 ⎥⎦
57
1, 32
16, 48
0, 572
9, 9332
0, 406
18, 08
⎡ 119 742 63 99 233 406 814 ⎤
⎢ 90 ; 45 ; 110 ; 9990 ; 999 ; 45 ⎥
⎣
⎦
58
5, 38
9, 432
0, 541
24, 356
45, 012
6, 405
⎡ 97 8489 268 24 113 7427 1153 ⎤
⎢ 18 ; 900 ; 495 ; 990 ; 165 ; 180 ⎥
⎣
⎦
Calcola la frazione generatrice di ciascun numero periodico semplice e misto e, quando è possibile, riducila ai minimi termini. Verifica ogni volta il risultato.
⎡ 29 58 301 52 457 242 ⎤
⎢⎣ 495 ; 999 ; 33 ; 9 ; 90 ; 42 ⎥⎦
59
0, 058
0, 058
9,12
5, 7
5, 07
5, 37
60
9,12
0, 004
31, 6
0, 07
5, 087
0, 08174
61
2, 43
6, 8
9, 683
3, 33
18, 507
1, 06
⎡ 73 62 6587 10 6163 7 ⎤
⎢⎣ 30 ; 9 ; 990 ; 3 ; 333 ; 6 ⎥⎦
62
7, 58
3, 9
4, 57
0, 82
0, 534
0, 094
⎡ 683 13 151 82 529 47 ⎤
⎢⎣ 90 ; 3 ; 33 ; 99 ; 90 ; 495 ⎥⎦
⎡ 821 1 95 7 1679 8093 ⎤
⎢⎣ 90 ; 225 ; 9 ; 90 ; 300 ; 9900 ⎥⎦
A quale numero naturale o decimale limitato corrisponde ciascuno dei seguenti numeri periodici particolari? Verifica i risultati utilizzando la frazione generatrice.
Esempio 7,49 = 7 , 5
63
3, 9
0, 49
verifica del risultato: la frazione generatrice è
64
[4; 0,5]
18, 09
5, 79
749 - 74 675 15
=
=
= 7, 5
90
90
2
65
[18,1; 5,8]
9, 9
2, 99
[10; 3]
Confronto di numeri decimali e periodici
Per esercitarsi a confrontare numeri decimali limitati e periodici
Inserisci nel quadratino il simbolo <, > o =, rendendo vera la relazione.
66
0, 3
68
0, 275
0, 3
0, 27
0, 45
0, 4
67
1
0, 23
0, 233
69
0, 8
0, 9
0, 879
0, 58
0, 58
5, 2
5, 223
Inserisci tra le coppie di numeri decimali tre opportuni numeri decimali: uno limitato, uno periodico semplice e uno periodico misto.
Esempio 0,2 < 0, 25 < 0, 27 < 0, 28 < 0,3
70
0, 2 < ............ < ............. < ............. < 0, 4
71
5, 28 < ............ < ............. < ............. < 5, 28
72
2, 4 < ............ < ............. < ............. < 2, 5
73
3, 46 < ............ < ............. < ............. < 3, 46
21
22
Teoria
a
p. 6
ESERCIZI
UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti
8.3 NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
Faq
nel CD
Per verificare la conoscenza dei numeri razionali assoluti
74
Rispondi alle domande.
• I numeri naturali possono essere scritti sotto forma di frazione?
In caso affermativo, scrivi un esempio. .....................................................
• I numeri decimali limitati possono essere scritti sotto forma di frazione?
In caso affermativo, scrivi un esempio. .....................................................
• I numeri periodici possono essere scritti sotto forma di frazione?
In caso affermativo, scrivi un esempio. .....................................................
SÌ
NO
SÌ
NO
SÌ
NO
75
Completa le frasi.
• Le frazioni sono numeri chiamati .....................................................................................................................
• I numeri razionali assoluti comprendono i seguenti tipi di numeri: ...................................................................
• Un numero razionale assoluto può essere rappresentato da una frazione irriducibile o dalle infinite altre
frazioni a essa ........................................................................................................................................................
76
Quando un numero si dice razionale assoluto? Scrivi almeno tre esempi di numeri razionali assoluti.
77
Considera il numero razionale:
5 10 15 20 25
; ; ; ; ; ...
7 14 21 28 35
Qual è la frazione che lo rappresenta?
79
{
78
}
Considera il numero razionale:
8 16 24 32
; ; ; ; ...
10 20 30 40
Qual è la frazione che lo rappresenta?
{
}
⎡ 30 ⎤
Qual è il numero razionale che corrisponde alla classe di equivalenza rappresentata da ⎢ ⎥ ?
⎣ 35 ⎦
Per applicare la conoscenza dei numeri razionali assoluti
Per ogni numero razionale assoluto scrivine tre equivalenti.
1
2
81 8,52
7
5
3,7
1
8
0,42
9
11
14,8
34
19
3,893
5
23
0,07
82
0, 64
0, 8
5, 7
84, 3
6, 08
15, 9
83
2, 46
0, 85
2113
,
4, 816
8, 046
56, 4163
80
Esempio
2
4
➞
3
6
Quale dei tre insiemi è un numero razionale? Di quale numero si tratta?
84
A=
85
A=
86
{
{
}
1 1 1 1
; ; ; ; ...
5 6 7 8
B=
}
3 6 9 12
; ; ; ; ...
1 1 1 1
B=
{
{
}
}
7 14 21 28
; ; ; ; ...
1 2 3 4
C=
2 4 6 8
; ; ; ; ...
7 14 21 25
C=
{
{
}
6
9
8
12
5 10 15 20
; ; ; ; ...
5 5 5 5
}
4 8 12 16
; ; ; ; ...
10 20 30 40
2
Scegli tra le frazioni quelle che sono rappresentate dal numero razionale assoluto .
5
5
4
4
2
8
24
20
20
1
6
2
10
5
10
20
60
60
50
5
15
Sottolinea le frazioni che rappresentano lo stesso numero razionale assoluto.
87
1
6
2
6
5
6
10
12
15
18
25
30
88
3
6
4
6
6
2
6
5
12
10
20
18
ESERCIZI
8.4 Rappresentazione grafica
Faq
nel CD
8.4 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
Per consolidare l’abilità di rappresentare graficamente i numeri razionali assoluti
Scrivi sui puntini i numeri razionali assoluti, sotto forma di frazioni, indicati dalle frecce su ciascuna semiretta.
2
10
89
O
O
6
5
......
......
......
2
13
5
......
1
u
22
10
......
1
u
2
5
90
14
10
......
2
3
......
3
......
......
4
......
4
......
5
......
......
6
5
......
7
......
8
9
10
Scrivi sui puntini quali frazioni irriducibili sono rappresentate dalle lettere.
O
A
B
u
C
1
D
E
2
F
G
3
4H
I
5
91
A=
4 2
=
10 5
B = ……....…
C =……....…
D=
15 3
=
10 2
E = ……....…
92
F = ……....…
G = ……....…
H = ……....…
I = ……....…
L = ……....…
O
A
u
B
93
A=
94
95
O
1
C
D
2 1
=
6 3
E
F
G
H
I
9 3
=
6 2
L
M
B = ……....…
C=
E = ……....…
F = ……....…
G = ……....…
H = ……....…
I = ……....…
L = ……....…
M = ……....…
N = ……....…
u
A
B
C
D
E
F
G
A = ……....…
B = ……....…
C = ……....…
D = ……....…
97
E = ……....…
F = ……....…
G = ……....…
H = ……....…
98
Rappresenta graficamente i numeri sulla semiretta.
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5,5
1
P
D = ……....…
96
O
N
P = ……....…
H
I
I = ……....…
L
23
Teoria
a
p. 8
24
ESERCIZI
UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti
Rappresenta ciascuna serie di numeri su carta millimetrata, utilizzando ogni volta una nuova semiretta. Scegli opportunamente l’unità grafica.
99
5,5
5,8
6
2
2,2
2,5
10
10,5
7,4
9,2
100
6,9
4,5
11
3,7
12,5
13,1
8,8
15
7,2
2,4
101
7,5
12
13,5
9
8
4,5
5,5
9,5
2
2,5
102
1
6,5
7,8
7
3
3,2
4,5
9
8,4
9,7
103
1
3
3,5
6
6,5
1,5
0,5
2,5
4,5
9,5
104
1
4,5
4,8
5
1,2
1,5
9
9,5
6,4
8,2
105
1
4
2
3
2
15
4
7
2
7,5
1
3
2
5,8
107
1
108
3,8
109
6
5
3
5
2
110
4,8
8
5
7
111
2,4
7
9
5
7
5
9
2
11
5
11
2
21
2
9
4
1
2
11
2
3
10
19
5
4
10
3,5
106
3
4
1
5
1
2
7
5
112
4
9
1
113
0,5
9
9
3
2
1,9
8
5
1
5
1
10
7
2
11
10
5,8
0,7
1,4
6
7,9
6,2
0,7
29
10
560
100
24
5
5
9
2
2,5
6,5
5,3
7,3
0,8
3,5
18
10
670
100
420
100
21
7
6,7
30
10
380
100
1,7
3
0, 2
1, 5
0, 06
2
5
16
10
0, 2
1, 4
0, 34
4
6
4
5
3
6
5
Scrivi il numero giusto al posto dei puntini. Poi rappresenta graficamente la frazione.
Esempio 2 +
114
......
3
3 13
=
5 5
=4
0
0
115
1+
5 ......
=
8 8
0
116
7+
1 ......
=
2 2
0
117
3+
2 ......
=
3 3
0
1
6
0
118
......
6
=2+
1
1
2
2
13
5
3
4
5
1
1
2
3
1
2
1
4
3
2
5
6
3
7
4
2
8
5
3
8,2
1
6
68
50
ESERCIZI
8.5 Proprietà delle operazioni
8.5 PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI
Faq
nel CD
Addizioni e sottrazioni
Per riprendere e consolidare la conoscenza delle proprietà dell’addizione e della sottrazione
119
L’addizione con i numeri razionali assoluti gode delle stesse proprietà che valgono per i numeri naturali?
Quali sono?
120
Enuncia la proprietà commutativa dell’addizione. Fai un esempio relativo a numeri razionali assoluti scritti
in forma frazionaria.
121
Enuncia la proprietà associativa dell’addizione. Fai un esempio relativo a numeri razionali assoluti scritti
in forma frazionaria.
122
Enuncia la proprietà dissociativa dell’addizione. Fai un esempio relativo a numeri razionali assoluti scritti
in forma frazionaria.
123
Rispondi alle domande.
• Qual è l’elemento neutro dell’addizione? Fai un esempio, usando numeri razionali assoluti scritti in forma
frazionaria.
• L’addizione è un’operazione interna ai numeri razionali assoluti? Perché?
• La sottrazione di numeri razionali assoluti gode della proprietà commutativa? Fai un esempio.
• La sottrazione di numeri razionali assoluti possiede l’elemento neutro? Perché?
• La sottrazione è un’operazione interna ai numeri razionali assoluti? Fai un esempio.
• Come si chiama la proprietà della sottrazione con i numeri razionali assoluti? Enunciala e fai un esempio.
Per applicare la conoscenza delle proprietà dell’addizione e della sottrazione
2 5
+ la proprietà commutativa.
3 2
124
Applica all’addizione
125
Applica all’addizione
Esempio
126
127
4 7 4 6 1
+ = + +
5 3 5 3 3
Applica all’addizione
Esempio
4 7
+ la proprietà dissociativa, in modo diverso dall’esempio.
5 3
4 1 2
+ +
la proprietà associativa, in modo diverso dall’esempio.
5 3 15
4 1 2 4 7
+ + = +
5 3 15 5 15
Applica alla sottrazione
Esempio
4 1 7
− =
la proprietà invariantiva, in modo diverso dall’esempio.
5 3 15
4 1 1 7 1
− + = +
5 3 3 15 3
10 5 55
2
− =
la proprietà invariantiva, sottraendo a entrambi i termini la frazione .
3 7 21
3
Poi verifica la validità della proprietà.
128
Applica alla sottrazione
129
Scrivi i risultati senza eseguire i calcoli.
9 2 2
+ −
5 3 3
5 11 11
− +
7 27 27
34 34 12
−
+
9
9 19
16 1 16
+ −
3 7 3
25
Teoria
a
p. 9
26
ESERCIZI
UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti
Moltiplicazioni
Per riprendere la conoscenza delle proprietà della moltiplicazione
130
Rispondi alle domande.
• La moltiplicazione con i numeri razionali assoluti gode delle stesse proprietà che valgono per i numeri
naturali? Quali sono?
• Qual è l’elemento neutro della moltiplicazione dei numeri razionali assoluti?
• La moltiplicazione è un’operazione interna ai numeri razionali assoluti? Perché?
131
Enuncia la proprietà commutativa della moltiplicazione. Fai un esempio relativo a numeri razionali assoluti scritti in forma frazionaria.
132
Enuncia la proprietà associativa della moltiplicazione. Fai un esempio relativo a numeri razionali assoluti
scritti in forma frazionaria.
133
Enuncia la proprietà dissociativa della moltiplicazione. Fai un esempio relativo a numeri razionali assoluti
scritti in forma frazionaria.
134
Enuncia la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla differenza. Fai un esempio relativo a numeri razionali assoluti scritti in forma frazionaria.
Per applicare la conoscenza delle proprietà della moltiplicazione
135
136
Applica alla moltiplicazione
2 4
×
la proprietà commutativa.
7 15
4 7
Applica alla moltiplicazione × la proprietà dissociativa, in
5 3
modo diverso dall’esempio.
3 1 2
× ×
la proprietà associativa,
5 3 15
in modo diverso dall’esempio.
137
Applica alla moltiplicazione
138
Applica a ciascuna moltiplicazione la proprietà distributiva.
Esempio
4
5
Esempio
4 7 ⎛ 12 2 ⎞ 7
× =⎜ ¥ ⎟ ¥
5 3 ⎝ 10 3 ⎠ 3
Esempio
3 1 2 3 2
× × = ¥
5 3 15 5 45
⎛ 1 5⎞ 4 1 4 5
×⎜ + ⎟ = ¥ + ¥
⎝ 3 7⎠ 5 3 5 7
9 ⎛ 24 5 ⎞
×
−
4 ⎝ 7 8⎠
⎛ 1 + 3⎞ × 5
⎝ 4 7⎠ 9
⎛ 5 − 3⎞ × 1
⎝ 6 4⎠ 7
9 ⎛1 2 7⎞
× + +
16 ⎝ 3 5 15 ⎠
Divisioni
Per riprendere la conoscenza delle proprietà della divisione
139
Completa le frasi.
• La divisione è un’operazione interna ai numeri
.................................... ,
ma non è interna ai numeri
....................................
• Se il divisore è diverso da 0, la divisione è sempre possibile con i numeri .................................... , invece
non sempre è possibile con i numeri ......................................
140
Rispondi alle domande.
• Qual è il vantaggio nell’usare i numeri razionali assoluti invece che i numeri naturali nelle divisioni?
• Usando solo numeri naturali sono sempre possibili le 4 operazioni fondamentali? Quali non sono sempre possibili?
• Usando i numeri razionali assoluti sono sempre possibili le 4 operazioni fondamentali? Quali non sono
sempre possibili?
ESERCIZI
8.5 Proprietà delle operazioni
141
Fai un esempio per spiegare ciascuna frase.
• La divisione è un’operazione interna ai numeri razionali assoluti.
• La divisione non è un’operazione interna ai numeri naturali.
142
Completa le frasi, che si riferiscono alla divisione tra numeri razionali assoluti.
• Quando il divisore è 0 la divisione ....................................
• Quando dividendo e divisore sono uguali a 0, il quoziente è ....................................
• Quando il dividendo è uguale a 0, il quoziente è ....................................
• Quando il dividendo è diverso da 0 e il divisore è uguale a 1, il quoziente è ....................... .............
• Quando dividendo e divisore sono uguali, ma diversi da 0, il quoziente è uguale a .......................
Potenze
Per riprendere e consolidare la conoscenza delle proprietà delle potenze
Scrivi i risultati delle operazioni sotto forma di potenza.
143
144
2,34 × 2,33 = .............................
19,252 × 19,25 × 19,256 = .............................
0,85 × 0,8 = .............................
8,23 × 8,24 × 8,2 = .............................
6, 35 × 6, 32 = .............................
4,183 × 4,18 = .............................
3,46 : 3,43 = .............................
0,565 : 0,56 = .............................
9,714 : 9,714 = .............................
8,43 : 8,43 = .............................
1, 46 : 1, 42 = .............................
0, 575 : 0, 574 = .............................
Eleva a potenza i seguenti numeri periodici.
145
0, 73
0, 35
0, 022
146
0, 022
1, 33
1, 64
147
9, 50
1, 052
0, 273
1 ⎤
⎡ 343 1
⎢⎣ 729 ; 243 ; 2025 ⎥⎦
3
3
⎛ 1 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 1 25
= 4, 629
⎟ =⎜ ⎟ =
9 ⎠ ⎝ 3⎠
27
3
Esempio 1,6 = ⎜
⎝
⎡ 4 64 625 ⎤
⎢⎣ 9801 ; 27 ; 81 ⎥⎦
⎡ 361 125 ⎤
⎢⎣1; 324 ; 5832 ⎥⎦
Espressioni con numeri decimali limitati
Per consolidare l’abilità di calcolo con i numeri razionali assoluti
Esegui le operazioni in due modi: con i numeri decimali e poi con le frazioni, infine confronta
i risultati.
Esempio
3,6 + 0,8 ➞ 3,6 + 0,8 = 4,4
3,6 + 0,8 =
36 8 36 + 8 44
+ =
=
= 4, 4
10 10
10
10
148
5,8 + 16,3
0,45 + 1,9
15,03 + 6,59
0,09 + 24,8
149
7,9 − 2,4
19,2 − 8,7
2,24 − 0,36
1,45 − 0,08
150
2,5 × 3,5
4,8 × 0,9
2,25 × 3,1
0,08 × 0,56
151
9,4 : 0,5
12,8 : 0,05
7,31 : 0,2
0,9 : 1,5
27
28
ESERCIZI
UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti
Per sviluppare l’abilità di calcolo con i numeri razionali assoluti
Calcola il valore delle espressioni.
152
Esercizio guidato
4,5 − 0,9 × 2,2 + 8,2 × 0,3 − 1,6 + 0,7 − 3,08 =
= 4,5 − ............... + ............. − 1,6 + 0,7 − 3,08 = 1
153
0, 4 + 0, 5 × 0, 8 + 3, 8 + 4, 2 : 0, 6 − 2, 6
[9]
154
0, 9 + 8,1: 0, 9 − 0, 44 : 11
, − 8, 5 + 1
[2]
155
(2, 3 + 1, 4) × 5, 2 − (7, 32 − 5, 4) × 9, 5
[1]
156
(1, 5 + 0, 25 + 1, 375) : 3,125
[1]
157
0, 5 × [0, 5 × (7, 5 − 0, 5) − 0, 5] − 0, 5
[1]
158
(0, 85 − 0,15) : 0,5 + (2, 3 − 1, 4) : 1,5
[2]
159
(3,7 + 2,4) × 3,4 − (5,32 − 3,2) × 5,45 − 9,186
[0]
esercizio
guidato
nel CD
{7, 92 + 0, 2 × 3 × 10 × ⎡⎣(4, 9 + 7,5 : 5) − 2,51⎤⎦} × 0, 2
161 3,1 + {⎡⎣1, 2 + 1, 5 : (1 − 0, 5 + 0, 5 ) + 1, 6 ⎤⎦ : 0, 35 + 2} × 0, 3
5
160
2
3
2
2
2
2
162
(4 + 8, 2 × 0, 5 − 6,1)2 × [(2, 8 + 3, 6 − 2,1) × (5 − 3, 2) + 4] − 6, 96
163
{6 + 0, 3 × 200 × ⎡⎣(3, 8 + 8, 6 × 5) − 12, 44⎤⎦} : 3
4
[6]
[9,7]
[40]
2
[26,3]
Espressioni con frazioni e numeri decimali limitati
Per consolidare l’abilità di calcolo con i numeri razionali assoluti
Calcola il valore delle espressioni.
164
7
2
+ 1, 25 − 0, 75 − + 0, 6 + 0, 4
6
3
165
2 5 8
11
+ + + 1, 4 −
+ 1, 7 − 0, 35 − 1, 6 + 0, 6
3 12 15
30
166
(7, 8 − 3 × 0, 5) × + ⎛⎝ − 0, 5⎞⎠ × ⎛⎝0,1 + − 0, 6⎞⎠ +
2 2
4
4
167
⎛0, 75 − 1 − 0, 625⎞ × 3, 6 + 0, 35 + 0, 3125 × (1, 7 − 0,1) − 0, 5 × 2
⎝
⎠
12
168
0, 5 +
169
4 1 ⎡
1
1
1
× × ⎢(2 + 0, 5) − ⎛1 + ⎞ ⎤⎥ : + (5 + 2, 75) : 6, 2 + × 4 + 2, 75
⎝ 2 ⎠ ⎦ 20
3 4 ⎣
12
170
⎡⎛ 2 + 8 − 14 × 2, 5 + 0, 25⎞ × ⎛ 2 − 26 ⎞ +
⎢⎣⎝ 3
⎠ ⎝ 15 ⎠
5
171
⎡⎛1 + 15 × 14 − 2 × 0,125⎞ : 1 − 17 × 0, 5⎤ : ⎡⎛6, 5 − 2, 5 × 1 + 1 × 1, 5⎞ : 2⎤ + 4
⎥⎦ ⎢⎣⎝
⎢⎣⎝ 14 5 3
⎠ 3
⎠ ⎥⎦ 5
15 9
1
7
[2]
3
esercizio
guidato
nel CD
[3]
1
2
5
23 1
− (1 − 0, 75) × 0, 5 + 5 × ⎛3 − ⎞ × ⎛7 − ⎞ + − 27, 5 + 1125
,
⎝ 3⎠ ⎝
3
8⎠ 3
8⎤ ⎛ 3
: + 0, 25 − 1, 4⎞ − 4 × 0, 5
⎠
9 ⎥⎦ ⎝ 2
⎡ 83 ⎤
⎢⎣ 20 ⎥⎦
[0]
⎡5⎤
⎢⎣ 2 ⎥⎦
[11]
[2]
⎡9⎤
⎢⎣ 5 ⎥⎦
ESERCIZI
8.5 Proprietà delle operazioni
172
1 ⎡⎛
5 1
5
7
+ 1, 2 : 6 + × ⎞ × ⎛1, 25 + 0, 8 × ⎞ − 1, 5 × 0, 2⎥⎤ × ⎡⎢⎛1, 75 − ⎞ :
2 ⎣⎢⎝
7 5⎠ ⎝
8⎠
15 ⎠
⎦ ⎣⎝
3
5 2
− 0, 025
: 0, 88 − (0, 4 − 0, 3) × ⎛ × ⎞ ⎤⎥ +
⎝ 4 12 ⎠ ⎦ 32
29
[1]
173
⎤
6 ⎡ ⎛ 1⎞
2
2
+ 0, 2⎥ + 0, 9 − ⎢⎡3 × (1 − 0, 5) + ⎤⎥
− ⎢3 × 1 −
⎝
⎠
5 ⎣
2
5⎦
⎣
⎦
174
⎛0, 25 + 2 + 2⎞ + ⎡0, 5 + 3 − ⎛0, 2 +
⎝
3 ⎠ ⎢⎣
4 ⎝
175
⎡⎛0, 75 − 2 ⎞ × 4, 5 + 0, 625⎤ : ⎡⎛2, 5 − 7⎞ × 0, 75 + 0, 875⎤
⎢⎣⎝
⎥⎦ ⎢⎣⎝
⎥⎦
3⎠
3⎠
176
⎡(2, 5 − 0, 4) × 5 − (0, 75 + 0, 2)⎤ : ⎡(1, 25 + 1, 5) × 2 − (1, 5 − 1, 25) ×
⎢⎣
⎥⎦ ⎢⎣
7
11
177
[(2, 25 − 1, 4) : 2, 5 + (3, 21 − 2,16) : 0, 3] : [(1, 3 − 0, 7) ×11, 6]
[4]
178
23
⎡(0, 4 − 0, 32) × 7 + ⎛ 5 − 115
, ⎞ : 1, 5⎥⎤ : 2 − ⎛ − 0, 88⎞ : 3
⎠
⎝ 20
⎠
2 ⎝2
⎣⎢
⎦
⎡ 1⎤
⎢⎣ 2 ⎥⎦
179
⎡⎛ 8 + 0, 3 − 1⎞ × 0, 5 + ⎛0, 43 + 6 − 9 ⎞ × 0, 3⎤ : 0, 49
⎝
4⎠
5 20 ⎠
⎣⎢⎝ 25
⎦⎥
180
2
(0, 5 − 0, 2)2 : ⎛⎝ − 0, 6⎞⎠ − (3 + 0, 25)
181
⎡0, 375 − ⎛ 13 − 0, 75⎞ ⎤ : (0, 25)2 + 4
⎝ 12
⎠ ⎦⎥
9
⎣⎢
⎡ 10 ⎤
⎢⎣ 9 ⎥⎦
182
⎧⎡
2⎫
7 1
⎛ 3
⎞⎤
0, 2 × 3 + ⎨⎢0, 375 + 2, 5 − 1, 4 + ⎜ + 0, 05⎟ ⎥ × 0, 8 − ⎬ × 2 : −
⎝ 40
⎠⎦
5⎭
5 2
⎩⎣
⎡ 19 ⎤
⎢⎣ 14 ⎥⎦
183
⎧⎡
3⎫ ⎛
52 ⎤
10 ⎞ 2
⎛ 5⎞ 2
2
3
⎨⎢(1 + 5 : 100) × ⎜⎝ 2 − ⎟⎠ + 2 : 10 × ⎥ × (3 − 0, 5) − 5 : 1000 + 0, 75 : ⎬ : ⎜⎝1, 5 × 6 + ⎟⎠ +
3
5⎭
22 ⎦
11 3
⎩⎣
184
10 9
5 2
2
2 4 2
× + 0, 2 + ⎡⎢⎛ − 0, 25⎞ : + ⎛ − ⎞ × (2 + 1, 75)⎤⎥ × 0, 8 × −
⎝
⎠
⎝
⎠
11 7
7 5
3 5 3
⎣ 3
⎦
185
5
1
3
39
1
+ 4 − − 1, 25 − ⎡⎢ + 1, 4 − (2, 005 − 1)⎥⎤ + −
6
3
⎣4
⎦ 5 200
2
[0]
1⎞ ⎤
1
+ 0, 6 − − 2,15
⎥
⎠
4
2 ⎦
⎡5⎤
⎢⎣ 3 ⎥⎦
[1]
2⎤
3 ⎥⎦
⎡ 33 ⎤
⎢⎣ 20 ⎥⎦
⎡ 11 ⎤
⎢⎣ 10 ⎥⎦
2
[17]
3
{
[1]
}
{
[0]
}
⎧⎡⎛ 32 1 1
⎞ ⎛
×
+ − 0, 42 ⎟ × ⎜ 22 −
186 ⎨⎢⎜
⎠ ⎝
⎩⎣⎝ 4 30 6
[4]
3
⎤ ⎡⎛ 2 1 23 ⎞ 22 ⎤⎫ 22
3⎞ ⎛
1 1
⎞
0
05
2
5
1
8
+
×
+
,
×
,
,
−
⎟ ⎜
⎟⎠
⎥ : ⎢⎜⎝ 2, 5 × 100 + 25 ⎟⎠ × 5 ⎥⎬ − 53
7⎠ ⎝
32 6
⎦⎭
⎦ ⎣
1 8 ⎧⎛ 1⎞ ⎡⎛ 1
32 1
41 1 3
⎛
⎞ 3⎤ ⎫
187
: +⎨
+ ⎢ − 0,125⎞ × (0, 5 + 22 ) + ⎜1, 25 − 4 × − 0, 875⎟ : ⎥ × 4⎬ × ⎛1 − × ⎞ +
⎝
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
8 7 ⎩2 ⎣ 6
2 3
2⎦ ⎭
7 6⎠ 8
3
188
2
⎡ 12 ⎤
⎢⎣ 25 ⎥⎦
⎡ 1⎤
⎢⎣ 2 ⎥⎦
2
2
⎧⎪⎡⎛ 44
5
⎛
⎞
⎞ ⎤ 5 ⎫⎪
⎨⎢⎜⎝ × 1, 25 − 0, 5⎟⎠ × (3 − 0, 6) − (4 − 0, 25) × ⎜⎝ 0, 64 × − 0, 4⎟⎠ ⎥ × ⎬ :
6
⎥⎦ 7 ⎪⎭
⎪⎩⎢⎣ 60
16 15 ⎞ ⎛
5⎞ 5 ⎤ 8 7
⎡
⎛
× ⎟ + ⎜ 2, 6 − ⎟ × ⎥ + ×
: ⎢1, 5 × ⎜1, 5 −
⎝
45 8 ⎠ ⎝
2 ⎠ 2 ⎦ 14 8
⎣
⎡3⎤
⎢⎣ 4 ⎥⎦
30
ESERCIZI
189
1+
UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti
⎧8
1
1
7
: 0, 01 × ⎨ × 0, 9 + ⎡⎢0, 22 : (0, 52 × 23 ) + (0, 92 − 0, 23 × 80) × ⎤⎥ × 10 + ⎛ ⎞
⎝ 10 ⎠
10
5⎦
⎣
⎩5
2
⎫
⎬ + 2, 3
⎭
[28]
2
2
⎫ ⎛ 14 ⎞ 2 2
2⎤
3⎪
⎪⎧⎡⎛ 3
⎞
⎨⎢⎜⎝ + 0, 5⎟⎠ − (0, 5 − 0, 25) ⎥ : (1 + 0, 5) ⎬ : ⎜⎝ 2 − ⎟⎠ +
9
3
⎥⎦
⎩⎪⎢⎣ 4
⎭⎪
190
1⎞ 5 ⎤ ⎛
1⎞
⎡
⎛2
⎢(2 − 0, 5) + ⎜⎝ 3 + 0, 25 − 12 ⎟⎠ : 12 ⎥ + ⎜⎝1, 5 − 3 ⎟⎠
⎣
⎦
⎡5⎤
⎢⎣ 14 ⎥⎦
⎛1, 25 +
⎝
3 ⎞ 47 1 ⎛ 5
1
: + × − 0, 25 − ⎞
⎠
⎝
7 14 2 9
18 ⎠
191
19
1
11
+ (6 + 1, 75) : (2 + 4, 2) + + 1, 75 − ⎛3 + ⎞
⎝
3
3
3⎠
⎡5⎤
⎢⎣ 24 ⎥⎦
4
3
3
2
⎡
2
2 ⎛
1
1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎛ 4 ⎞
⎢(2 + 0, 5) × + (3 + 0, 2) : ⎜⎝1 − ⎟⎠ + ⎜ ⎟ : ⎜⎝ ⎟⎠ ⎥ × ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ 2 ⎥⎦ ⎝ 21⎠
4
5
⎢⎣
192
32
2⎞ ⎡ ⎛
3 ⎞ ⎛ 1⎞
3⎞ ⎛
⎤
⎛
⎜⎝ 2, 5 − ⎟⎠ × ⎜⎝1, 2 − ⎟⎠ − ⎢3 − ⎜⎝ 0, 5 + ⎟⎠ × ⎜⎝1 − ⎟⎠ − 0, 75⎥ : 2, 75 +
55
3 ⎣
4
3
4
⎦
[1]
Espressioni con numeri periodici
Per consolidare l’abilità di calcolo con i numeri razionali assoluti
Calcola il valore delle espressioni.
193
Esercizio guidato
14, 6 − 0, 87 − 5, 08 =
=
esercizio
guidato
nel CD
146 − 14 87 − 8 508 − 50
−
−
=
9
90
..........
44
132
..........
=
− .......... −
=
9
90
3
=
.......... − 79 − 458
90
=
783 87
=
90 10
⎡7⎤
⎢⎣ 9 ⎥⎦
194
1, 4 + 2, 6 − 1, 5 − 1, 7
195
2, 4 + 3, 4 − 0, 3 − 0, 1
196
0, 76 + 0, 526 + 0, 6 − 1, 41
⎡ 122 ⎤
⎢⎣ 263 ⎥⎦
197
0, 094 + 1, 86 + 2 − 1, 45
⎡ 857 ⎤
⎢⎣ 225 ⎥⎦
198
0, 8 × 3 × 0, 38
199
0, 57 : 115
, + 0, 5
[1]
200
0, 42 : 0, 95 − 0, 1
⎡3⎤
⎢⎣ 9 ⎥⎦
201
2, 8 : 19, 6 × 3, 27
⎡ 481 ⎤
⎢⎣ 999 ⎥⎦
⎡ 49 ⎤
⎢⎣ 9 ⎥⎦
⎡ 1036 ⎤
⎢⎣ 999 ⎥⎦
ESERCIZI
8.5 Proprietà delle operazioni
31
202
0, 5 × 2, 6 − 0,16 + 0, 583 × 0, 6 − 0, 5
203
(0, 3 − 0, 083) × 3
⎡3⎤
⎢⎣ 4 ⎥⎦
204
, ) × 1, 5
(0, 7 + 116
⎡ 35 ⎤
⎢⎣ 12 ⎥⎦
205
(0, 3 − 0, 2083) × 0, 8
⎡ 1⎤
⎢⎣ 10 ⎥⎦
206
(2, 6 × 0, 2 + 1, 63) × 0,5
⎡ 13 ⎤
⎢⎣ 12 ⎥⎦
207
,
(6, 21− 5, 4) : 115
208
0,16 + (0, 5972 − 0, 416) : (1 − 0, 4583) + 0, 26 × 1, 875
209
2 + (1, 6 + 0, 5) + (116
, + 0, 5) + 1, 8 × (1, 1 + 5, 5)
210
0, 2 + (0,1 + 1, 8 − 1, 5) × 1, 3 + 1 − (1 − 0, 3 − 0, 5) × 2 + 3 × (0, 6 − 0, 5 + 0,16)
⎡⎣2, 5⎤⎦
211
2 + 0, 5 × ⎡⎣(0, 75 : 0, 5) × (0, 5 + 0, 5 + 0, 27) − 2, 75⎤⎦ × 14, 4 + 1, 9
[4,35]
212
[(1, 6
213
1 + 0, 5 × [(1, 6 − 1, 25) : 0, 625 + (1 + 4, 5 × 0, 1) : 4, 5]
214
, )
(3 − 0, 2)2 : (2 + 2, 6) + (1 + 0, 5)2 × (3 − 1, 6) − (1 − 0, 6) : (2 − 116
215
2, 6 + (3, 6 − 1) : [(8, 3 + 5) : 10] − 1, 3 × 0, 5
216
0,13 × [1, 25 : (0, 75 + 116
, − 1, 6) + (2, 75 − 2, 3) : (0, 75 + 2, 6 − 3)]
217
3
2, 3 : 0, 53 : 0, 752 + 0, 32 : ⎡⎣(0, 6 − 0, 25) : (1 − 0,16) − 0,162 : (1 − 0, 5) ⎤⎦ − 0, 3 − (1 − 0, 5)
218
1, 5 + 2, 25 : 3 + 0,125 : ⎡⎣ 1, 7 + 0,13 − 1, 83 : 0, 46 + 0, 5⎤⎦ : 0, 5 − 0, 5
[1]
⎡2⎤
⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎡⎣17, 83⎤⎦
2
2
2
[1]
× 0, 5 × 0, 82 × 1, 52 − 0, 75) : 6, 25 − 0, 04] : 0, 4 − 0, 4
2
{
2
[4,2]
[4]
2
{(
[1,5]
2
2
[0]
2
)
}
}
⎡4⎤
⎢⎣ 5 ⎥⎦
[0,1]
[2,5]
2
219
2
0,15 × ⎛ ⎞ + 0, 6 × 2, 25 − 0, 46 − 0,1
⎝ 3⎠
220
⎛1, 4 − 2 ⎞ × 0, 5 + 2
⎝
3⎠
⎡ 43 ⎤
⎢⎣ 18 ⎥⎦
221
⎛3, 8 − 5 ⎞ × 0, 7 + 3
⎝
3⎠
⎡ 41⎤
⎢⎣ 9 ⎥⎦
222
⎛ 2 ⎞ + 0, 6 + 0, 83 × 2, 4 2 − 1, 5
(
)
⎝ 3⎠
[6]
223
0, 85 :
11 1
1
+ − 0, 76 : 1, 53 −
30 3
6
[2]
224
8 − 0, 6 ×
225
1 1
1 5
5
4
8
0, 2 + ⎛0, 75 − ⎞ : − ⎛0, 6 − ⎞ : − 0, 8 + × ⎛1 + ⎞ − ⎛1 + ⎞
⎝
2⎠ 4 ⎝
2⎠ 6
5 ⎝ 7 ⎠ ⎝ 7⎠
226
1
1
5
0,16 + ⎛4, 75 − ⎞ : 0, 5 + ⎛0, 75 + 0, 3 + ⎞ × ⎛1 + ⎞ − 11
⎝
⎝
2⎠
5⎠ ⎝ 3⎠
[1]
2
3
21
+ 0,1 − 11
, × + 2,1 − 3, 5
20
11
⎡9⎤
⎢⎣ 2 ⎥⎦
⎡2⎤
⎢⎣ 9 ⎥⎦
[1]
32
ESERCIZI
UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti
2
227
17
3
7
0, 725 + ⎛ + 1, 875 + + 0, 3125 − 1, 3625⎞ : ⎛5 − ⎞ − 1, 3
⎝ 20
⎠ ⎝ 2⎠
5
⎡ 29 ⎤
⎢⎣ 72 ⎥⎦
228
[(1− 0, 8) : 0, 07 + 2] × 37 + 4, 8 × ⎛⎝ 58 − 41⎞⎠
⎡ 49 ⎤
⎢⎣ 5 ⎥⎦
229
⎫ 13 7
⎧⎡
8
⎤
2, 5 + 0, 6 × ⎨⎢0, 75 × − (1 + 0, 2) × (1 − 0,16)⎥ + 0,13⎬ −
×
5
⎦
⎩⎣
⎭ 63 2
230
⎧⎪⎡ 52 14 ⎛ 3 ⎞ 2
⎫⎪ ⎛ 1
⎤
⎞ 11
× − ⎜ ⎟ : 2, 25⎥ : 0,13 + 0, 75⎬ : ⎜1 + : 0, 6⎟ +
⎨⎢
⎝
⎝
⎠ 4
⎠
105
13
4
2
⎥⎦
⎪⎩⎢⎣
⎪⎭
231
3
⎫ ⎡5
1 ⎧⎡ 1 1 ⎛ 3
⎛ 1⎞
⎞⎤ 1
+ ⎨⎢ + : ⎜ × 0, 1 + 0, 3⎟ ⎥ × + 1 + 0, 6⎬ : ⎢ × 2 × ⎜ ⎟ − 0, 375 : 0, 625 +
⎝ 2⎠
⎠⎦ 7
4 ⎩⎣ 2 3 ⎝ 2
⎭ ⎢⎣ 2
[2]
⎡ 123 ⎤
⎢⎣ 28 ⎥⎦
1⎤
⎥ × 1,125
8 ⎥⎦
2
2
3 ⎧
1 ⎡
1
⎛ 1⎞ 1 1
⎤⎫
232 1, 8 − × ⎨0, 6 + × ⎢ 0, 83 + 0, 5 × 4 + 0, 3⎥⎬ × (3 − 2, 25) : 3, 5 + ⎜ ⎟ + : − 0, 5
⎝ 2⎠ 2 3
2 ⎩
4 ⎣
2
⎦⎭
(
)
1 ⎛
1⎞
⎡
× (2, 3 − 1) +
233 1 + (3 − 1, 5) + 0, 6 + : 0, 3 + 0, 25 −
⎢⎣
⎝
4
2⎠
2
[14]
⎡ 26 ⎤
⎢⎣ 9 ⎥⎦
2
1 ⎤ ⎛ 13 ⎞ 3
× 1−
+ ×4
3 ⎥⎦ ⎝ 15 ⎠ 4
[4]
⎡⎛ 2 + 0, 5⎞ : (1 − 0, 4) + 3 × 0, 25 − 3, 3 × ⎛2 − 39 ⎞ + 3 ⎤ : ⎡5 + 0, 3 : 1 − 0,16 − ⎛ 1⎞ : ⎛3 − 53 ⎞ ⎤ + 2
(
) ⎝ ⎠ ⎝
⎢⎣⎝ 5
⎠
⎝ 20 ⎠ 4 ⎥⎦ ⎣⎢
3
18 ⎠ ⎥⎦ 3
2
234
⎫ 2
⎧1 ⎡
7⎞
⎤
⎛5
0, 4 × ⎨ × ⎢1, 25 : ⎜ + 0, 25 − ⎟ : 0, 416⎥ × 7, 5⎬ ×
⎝2
8⎠
⎦
⎭ 5
⎩2 ⎣
235
⎧⎛ 9 3
11
4 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎤⎫ ⎛ 4 ⎞
⎞ ⎡⎛
0, 46 + ⎨⎜ + : 2 − × 2 + 0,125⎟ : ⎢⎜1, 25 + ⎟ : ⎜ 2 + ⎟ ⎥⎬ × ⎜1 + ⎟
⎠ ⎣⎝
16
7 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎦⎭ ⎝ 5 ⎠
⎩⎝ 8 4
236
237
(3, 27 + 2, 2 − 4, 3) : 0, 7
⎡9⎤
⎢⎣ 10 ⎥⎦
⎡9⎤
⎢⎣ 2 ⎥⎦
4, 2 × 3 − 2, 05 × 6
(9, 4 × 0, 6 − 0, 38 × 4,5) × 1,5 + 1, 25
(0, 61 + 0, 416 + 0, 2916) × 0, 96
⎛0, 2 × 2, 3 + 3 ⎞ : 1, 06
⎝
5⎠
238
1
: 0, 2 − 2, 2 : 3, 6
3
239
[3]
⎡ 45 ⎤
⎢⎣ 8 ⎥⎦
⎡ 15 ⎤
⎢⎣ 16 ⎥⎦
(0, 8 : 0, 48 + 0, 36) : 4
[1]
5 33
0, 8 × −
× 0, 45
2 10
⎡
⎤
(0, 8 − 0, 34) : 0, 7 − ⎢1 − 0, 2 − ⎛⎝ 31⎞⎠ ⎥
⎣
⎦
240
1
[(3, 5 − 1) × 0, 4 + (1 + 0, 2)] ×
3
2
241
(2 − 1, 2) : 0, 7 + (2, 3 − 1) : 0, 8
⎡ ⎛ 1⎞
10 ⎤
2
⎢2 × ⎝ 2 ⎠ − (0,1) × 3 ⎥ : 0, 7
⎣
⎦
2
⎡4⎤
⎢⎣ 33 ⎥⎦
⎡ 40 ⎤
⎢⎣ 9 ⎥⎦
ESERCIZI
Calcolo mentale
calcolo mentale
Trasforma mentalmente le frazioni in numeri decimali.
Esempio
6
= 0 , 06
100
242
1
10
4
10
18
10
1
100
4
100
46
100
272
100
243
1
1000
8
1000
39
1000
226
1000
1712
1000
1000
1000
540
1000
244
100
1000
8
10
920
100
21
10
43
10
37
100
971
1000
Trasforma mentalmente i numeri decimali in frazioni.
Esempio 4,56 =
456
1 00
245
2,76
7,8
0,6
0,03
4,006
0,082
246
5,3
18,4
7,41
34,19
5,712
0,8
247
16,9
0,3
1,48
0,09
0,115
7,0
Calcola a mente i quozienti, approssimando a meno di un’unità.
Esempio 48 : 10 ª 5
248
79 : 10
92 : 10
512 : 10
789 : 10
249
219 : 10
5719 : 10
8452 : 10
10 239 : 10
250
98 : 100
121 : 100
292 : 100
1240 : 100
251
2780 : 100
9761 : 100
18 345: 100
27 654 : 100
252
2349 : 1000
6978 : 1000
59 499 : 1000
59 599 : 1000
253
51 : 2
83 : 2
401 : 2
425 : 2
254
97 : 3
100 : 3
1000 : 3
6010 : 3
33
34
AUTOVERIFICA
autoverifica
interattiva
nel CD
1
Qual è la frazione generatrice di un numero periodico misto?
a una frazione apparente
b una frazione irriducibile il cui denominatore, scomposto in fattori, contiene solo i fattori primi 2 o 5 o
entrambi
c una frazione irriducibile il cui denominatore, scomposto in fattori, non contiene come fattori primi né
2 né 5
d una frazione irriducibile il cui denominatore, scomposto in fattori, contiene i fattori primi 2 o 5 o entrambi, insieme ad altri fattori
2
Osserva la rappresentazione grafica:
A
1
2
O
Quale numero è rappresentato dal punto A?
a 5
3
4
5
soluzioni
a
p. 269
6
b
1
3
Qual è il numero la cui frazione generatrice è
a 0,19
c
0, 21
b 0,21
d
0, 21
c
19
?
90
1
5
d 0,3
7
78
9
c
86
10
b
86
9
d
25
3
8
457
100
c
457 − 45
99
b
457 − 4
90
d
457 − 45
90
L’insieme dei numeri razionali assoluti gode di
una proprietà che non vale per l’insieme dei numeri naturali. Quale?
a la sottrazione gode della proprietà commutativa
b l’addizione gode della proprietà invariantiva
c la divisione è un’operazione interna all’insieme
d la moltiplicazione non è un’operazione interna all’insieme
a 3,84
c 2,2
b 4
d
11
5
Qual è il risultato dell’espressione?
2, 6 + 4, 85 − (2, 7 + 0, 2)
a 4,55
Qual è la frazione generatrice del numero 4, 57?
a
4 ⎛
1
× 0, 4 + 0, 2 × ⎞
⎝
5
2⎠
3, 6 +
Qual è la frazione generatrice del numero 8, 6 ?
a
Qual è il risultato dell’espressione?
b
9
4
6
4, 6
d 4,6
Qual è il risultato dell’espressione?
0, 4 + 1, 58 −
a 2,7
b
10
c
2, 7
25 ⎛
4
2
× 3, 2 − 0, 2 × ⎞ + 5, 6 : − 12
57 ⎝
5⎠
5
27
c
9
d
27
90
Qual è il risultato dell’espressione?
⎧
3 ⎞ ⎤⎫
⎡
⎛
⎨1, 2 + 0,17 : ⎢0, 7 − 1, 05 : ⎜⎝ 0, 5 + 1, 6 × ⎟⎠ ⎥⎬ : 0, 88
4
⎣
⎦⎭
⎩
5
a 2, 5
c
2
b
2, 55
d 2,55
ESERCIZI per il recupero
esercizi interattivi
per il recupero
nel CD
Numeri periodici
Per recuperare la conoscenza del concetto di numero periodico
Completa la tabella.
1
numero periodico
semplice o misto?
periodo
antiperiodo
misto
2
7
4, 72
32, 4312
5, 34
57, 8
14, 63
0, 52
8, 92
27, 237
24, 823
Scrivi i quozienti sotto forma di numeri decimali limitati o illimitati e indica le loro caratteristiche.
2
8 : 16 = ..........
numero decimale limitato
numero decimale illimitato
numero periodico semplice
periodo: ............................................................
numero periodico misto
periodo: ............................................................
antiperiodo: .....................................................
3
7 : 3 = ..........
numero decimale limitato
numero decimale illimitato
numero periodico semplice
periodo: ............................................................
numero periodico misto
periodo: ............................................................
antiperiodo: .....................................................
4
5 : 6 = ..........
numero decimale limitato
numero decimale illimitato
numero periodico semplice
periodo: ............................................................
numero periodico misto
periodo: ............................................................
antiperiodo: .....................................................
5
8 : 9 = ..........
numero decimale limitato
numero decimale illimitato
numero periodico semplice
periodo: ............................................................
numero periodico misto
periodo: ............................................................
antiperiodo: .....................................................
Confronta i numeri delle seguenti coppie e scrivi sui puntini il simbolo <, > o =.
Esempi 2, 8 < 3, 5
9, 4 > 8, 6
6
5,3
..........
5, 3
0, 7
..........
0,7
7
7,34
..........
7, 3
5,41
..........
5, 4
8
0,52
..........
0, 52
3, 8
..........
3,18
9
4, 75 .......... 4, 7
0,192
..........
0,19
10
5,82
..........
5, 8
8,15
..........
8, 1
Per recuperare la conoscenza del concetto di numero razionale
11
Completa le frasi.
• L’insieme costituito da tutte le frazioni equivalenti tra loro costituisce …….………….………….………….……….
• L’insieme delle classi di equivalenza formate da tutte le frazioni equivalenti fra loro è l’insieme dei numeri …….………….………….………….……….
• L’insieme dei numeri razionali assoluti è rappresentato dal simbolo …….………….………….………....….……….
35
36
ESERCIZI per il recupero
12
UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti
In base ai denominatori delle seguenti frazioni irriducibili, stabilisci se corrispondono a numeri decimali limitati o periodici semplici o misti.
7
è un numero decimale limitato perché 20 = 22 ¥ 5 (non ci sono altri fattori oltre 2 e 5)
20
8
è un numero periodico semplice perché 9 = 32 (mancano i fattori 2 e 5)
9
4
è un numero periodico misto perché 15 = 5 × 3 (ci sono ANCHE fattori diversi da 2 e 5)
15
Esempio
11
10
1
3
5
6
5
9
3
5
1
12
7
2
4
7
2
35
13
50
10
27
5
14
Dalla frazione al numero
Per recuperare il collegamento tra frazioni e numeri decimali
13
Completa le frasi.
• La frazione generatrice di un numero naturale è una frazione …….………….………….………….……….
• La scomposizione in fattori del denominatore della frazione generatrice di un numero decimale limitato
dà luogo esclusivamente a potenze di .......... o di ..........
• La scomposizione in fattori del denominatore della frazione generatrice di un numero periodico semplice
non dà luogo a potenze di .......... o di ..........
• La scomposizione in fattori del denominatore della frazione generatrice di un numero periodico misto
dà luogo ad altre potenze oltre a quelle di .......... e di ..........
14
Rappresenta ognuno dei seguenti numeri naturali sotto forma di tre frazioni diverse.
9=
..........
7=
..........
..........
..........
=
..........
=
..........
..........
..........
=
..........
=
..........
..........
..........
15 =
..........
21 =
..........
..........
..........
=
..........
=
..........
..........
..........
=
..........
=
..........
Esempio 6 =
..........
18 60 30
=
=
3 10
5
..........
Trasforma le frazioni in numeri decimali.
Esempi
327
= 327 : 100 = 3, 27
100
18
= 1 8 : 5 = 3, 6
5
15
1
10
5
10
15
10
16
29
10
1
100
8
100
17
3
100
57
100
315
100
18
181
100
1
1000
27
1000
19
7
1000
29
1000
2753
1000
20
39
10
2
10
415
1000
21
137
1000
2821
1000
11
1000
22
10
10
100
100
1000
1000
23
10
100
58
10
84520
10000
24
834
100
64
100
937
10
25
24
5
37
6
52
9
26
41
25
7
32
12
11
27
240
275
3
15
7
50
28
19
5
19
9
45
6
29
25
6
16
7
7
16
30
3
4
7
5
4
7
31
8
3
8
9
7
18
32
11
15
22
45
19
25
ESERCIZI per il recupero
UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti
Dal numero alla frazione
Per recuperare il collegamento tra numeri decimali e frazioni
Trasforma i numeri in frazioni irriducibili.
Esempio 7,02 =
⎡ 1 76 21 543 ⎤
⎢⎣ 20 ; 125 ; 250 ; 10 ⎥⎦
702 351
=
100 50
33
0,05
6,008 0,084 54,3
34
6,46
7,16
8,7
⎡ 323 179 87 109 ⎤
; ;
1,09 ⎢ ;
⎣ 50 25 10 10 ⎥⎦
35
3,52
0,95
0,012 0,6
36
16,5
0,75
2,19
⎡ 33 3 219 7 ⎤
;
0,056 ⎢ ; ;
⎣ 2 4 100 125 ⎥⎦
37
3,5
41,8
1,48
⎡ 7 209 37 1099 ⎤
; ;
43,96 ⎢ ;
⎣ 2 5 25 25 ⎥⎦
38
7,512 0,9
2,4
⎡ 939 9 12 886 ⎤
35,44 ⎢ ; ; ; ⎥
⎣ 125 10 5 25 ⎦
39
16,5
9,6
15,8
0,2
40
9,84
0,07
0,328 7,1
⎡ 246 7 41 71 ⎤
⎢⎣ 25 ; 100 ; 125 ; 10 ⎥⎦
41
6,14
12,04
0,5
8,40
42
3,88
8,9
2,25
0,70
⎡ 97 89 9 7 ⎤
⎢⎣ 25 ; 10 ; 4 ; 10 ⎥⎦
43
0,04
1,2
5,008 0,095
44
5,25
0,092
43,2
⎡
⎤
;
; ⎥
1,060 ⎢ ;
4
250
5
50
⎣
⎦
45
3,05
48,525 0,14
5,5
8, 31 3, 38
⎡
⎤
0, 03 ⎢ 9 ; 99 ; 99 ; 33 ⎥
⎦
⎣
Esempio 1,3 =
21 23 216 53
⎡ 88 19 3 3 ⎤
⎢⎣ 25 ; 20 ; 250 ; 5 ⎥⎦
⎡ 33 48 79 1 ⎤
⎢⎣ 2 ; 5 ; 5 ; 5 ⎥⎦
⎡ 307 301 1 42 ⎤
⎢⎣ 50 ; 25 ; 2 ; 5 ⎥⎦
⎡ 1 6 626 19 ⎤
⎢⎣ 25 ; 5 ; 125 ; 200 ⎥⎦
⎡ 61 1941 7 11⎤
⎢⎣ 20 ; 40 ; 50 ; 2 ⎥⎦
13 - 1 12 4
= =
9
9 3
46
1, 4
4, 5
0, 8
8, 8
⎡ 13 41 8 80 ⎤
⎢⎣ 9 ; 9 ; 9 ; 9 ⎥⎦
47
2, 4
48
7, 3
0, 65
0,18
3, 6
⎡ 22 65 2 11⎤
⎢⎣ 3 ; 99 ; 11 ; 3 ⎥⎦
49
⎡ 47 707 15 15 ⎤
;
;
15, 6 21, 42 0,135 0, 405 ⎢ ;
⎣ 3 33 111 37 ⎥⎦
50
3, 48
0, 57
3, 051
4,15
⎡ 157 26 1007 187 ⎤
⎢⎣ 45 ; 45 ; 330 ; 45 ⎥⎦
51
0, 843
0, 08
0, 01
8, 46
⎡ 167 4 1 127 ⎤
⎢⎣ 198 ; 45 ; 90 ; 15 ⎦⎥
52
0, 05
0, 86
23, 456
0, 76
⎡ 1 39 11 611 23 ⎤
⎢ 18 ; 45 ; 495 ; 30 ⎥
⎣
⎦
22 823 335
Esempio 2,15 =
1
215 - 21 194 97
=
=
90
90 45
Scrivi le potenze di numeri decimali sotto forma di potenze delle frazioni generatrici, riducile ai
minimi termini e calcola le potenze.
53
4,82
0,0027
0,942
2
194,60
2
54
0,34
20,52
0,73
0,045
2
⎛ 46 - 4 ⎞ ⎛ 42 ⎞ ⎛ 14 ⎞ 196
Esempio 4,6 = ⎜
=
=
=
⎝ 9 ⎟⎠ ⎜⎝ 9 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠
9
2
⎡ 25 529 1000 729 ⎤
⎢⎣ 81 ; 81 ; 729 ; 1331⎥⎦
55
0, 52
2, 52
1, 13
0, 813
56
8, 10
2, 34
34,151
0, 35
57
0, 022
0, 052
0, 034
0, 096
⎡ 1
⎤
1
1
1
⎢ 2025 ; 324 ; 810 000 ; 1000 000 ⎥
⎣
⎦
58
8, 420
7, 531
0, 312
1, 052
⎡ 113 196 361 ⎤
⎢⎣1; 15 ; 2025 ; 324 ⎥⎦
⎡ 2401 1127 1 ⎤
⎢⎣1; 81 ; 33 ; 243 ⎥⎦
37
38
ESERCIZI per il recupero
UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti
Rappresentazione grafica dei numeri razionali assoluti
Per recuperare la capacità di rappresentare graficamente le frazioni sulla semiretta dei numeri razionali assoluti
Rappresenta graficamente le frazioni.
59
Esercizio guidato
Rappresenta le frazioni
3 7 12
con unità grafica u = 10 mm.
, e
5 5 5
Ragionamento
L’unità grafica è lunga 10 mm, perciò
calcoliamo:
3
di 10 mm = 6 mm
5
A partire dall’origine O, contiamo 6 mm
3
e segniamo il punto che rappresenta .
5
Operiamo in modo analogo per rappre7
sentare .
5
7
di 10 mm = ........... mm
5
A partire dall’origine O, conta 14 mm e
7
segna il punto che rappresenta .
5
3
5
O
u = 10 mm
O
u = 10 mm
12
Per rappresentare la frazione
calco5
liamo:
12
di 10 mm = .......... mm
5
Perciò a partire dall’origine O, conta
............. mm e segna il punto che rap12
presenta .
5
O
u = 10 mm
60
Rappresenta la frazione
16
con unità grafica u = 10 mm.
5
61
Rappresenta la frazione
9
con unità grafica u = 10 mm.
2
62
Rappresenta la frazione
15
con unità grafica u = 10 mm.
2
63
Rappresenta la frazione
11
con unità grafica u = 10 mm.
10
64
Rappresenta la frazione
7
con unità grafica u = 20 mm.
4
65
Rappresenta la frazione
18
con unità grafica u = 20 mm.
5
ESERCIZI per il recupero
UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti
Espressioni con numeri decimali limitati e con frazioni
Per recuperare l’abilità di calcolo con i numeri razionali assoluti
Calcola il valore delle espressioni.
66
altri esercizi
guidati
nel CD
Esercizio guidato
21,68 + 0,4 × (0,25 + 0,6 : 2) − 3,2 × 4 =
= 21,68 + 0,4 × (0,25 + .......... ) − 3,2 × 4 =
= 21,68 + 0,4 × .......... − 3,2 × 4 =
= 21,68 + .......... − .......... = 9,1
67
4,5 − 1,4 + 4,8 × 5 − 3,9
68
(5,9 × 0,5 − 2,7 + 3,5) : (3,57 + 1,43) × 0,4
69
(5,6 + 0,1 − 3,4) × 0,8 − (2,56 − 2,1 + 0,23 × 2) × 2
70
[(7,9 − 4,3 + 6,35) + 9,5 : 0,1] − 10,99 × 5
[50]
71
[(3,5 + 0,2 − 3,7) × 4,58] + (3,8 − 2,3) × 0,2
[0,3]
72
{4,3 + [(6,25 − 0,01 × 25) + 2,9] : 0,5 − 12,1} − 2,4 × 3,5 + 0,4
73
Esercizio guidato
{[(34 × 0,2 − 18,6 : 3) − 3] × [2,25 − 0,52]2 + 2,8} : 0,7 − 14 =
[23,2]
[0,3]
[0]
[2]
= {[(.......... × 0,2 − 18,6 : 3) − 3] × [2,25 − .......... ]2 + 2,8} : 0,7 − 14 =
= {[(.......... − .......... ) − 3] × [.......... ]2 + 2,8} : 0,7 − 14 =
= {[.......... − 3] × .......... + 2,8} : 0,7 − 14 =
= {.......... × .......... } : 0,7 − 14 =
= {.......... } : 0,7 − 14 =
= .......... − 14 = 30
74
Esercizio guidato
2, 4 −
12
1
2 4
3
+ 1, 5 × − × 3, 5 + − 0, 6 =
4
3 5
2
3
=
24 1 15 2 4
3
− +
× − × .......... + − ........... =
105 4 102 3 5
2
=
3
12 1
− + .......... − .......... + − .......... =
5 4
2
=
.......... − .......... + 20 − 56 + .......... − 12
200
=
..........
20
=
5
4
75
3
3 7
4
45
+ 0, 25 − × − 0, 5 + × 4, 5 −
2
11 12
3
11
76
⎛ 5 − 1 + 0,15 − 0, 025⎞ × 9
⎝ 12 12
⎠ 16
⎡ 33 ⎤
⎢⎣ 128 ⎥⎦
77
4
⎞ 105 ⎤
⎡⎛
⎢⎣⎝0, 28 + 15 − 0, 2⎠ × 16 ⎥⎦ − 0, 4
⎡ 15 ⎤
⎢⎣ 8 ⎥⎦
[3]
39
40
ESERCIZI per il potenziamento
esercizi interattivi
per il potenziamento
nel CD
Trasformazioni da frazione a numero e da numero a frazione
Per potenziare la conoscenza del concetto di numero razionale assoluto
Trasforma i numeri in frazioni irriducibili.
1
7,488
5, 3
8, 93
7, 571
⎡ 936 16 295 3748 ⎤
⎢⎣ 125 ; 3 ; 33 ; 495 ⎥⎦
2
1,093
1, 093
1, 093
0,825
⎡ 1093 364 1083 33 ⎤
⎢⎣ 1000 ; 333 ; 990 ; 40 ⎥⎦
3
Risolvi l’espressione.
[(9, 5 − 0, 8 × 7,1) × 4 + 0, 3 × 2,1 + 0, 02] : 0, 9
Ora, trasforma l’espressione sostituendo i numeri decimali con le frazioni, poi risolvila. Infine trasforma la
[17,7; sì]
frazione ottenuta in numero decimale. È lo stesso risultato che hai già calcolato all’inizio?
Esegui le operazioni con le frazioni, poi trasforma le frazioni in numeri decimali, e ripeti l’operazione. Infine confronta i risultati.
4
8
8 3
+
5 4
5
9 6
−
10 25
6
19 7
×
20 2
7
9 2
:
2 5
Nelle frazioni, alcuni termini sono stati sostituiti dalle rispettive scomposizioni in fattori primi. Stabilisci a
quale tipo di numero dà origine ciascuna frazione, senza eseguire i calcoli (ricordati però di ridurre le frazioni ai minimi termini).
numero decimale
numero decimale
numero decimale
limitato
periodico semplice
periodico misto
128
4
2 × 53
1
32 × 54
24 × 5
26 × 3
274
11 × 2 × 5
32 × 2
32 × 54
126
7 × 32 × 23
2×3
2 ×3×5
3
2×3×5×7
22 × 3 × 7
24 × 32 × 132
32 × 53 × 132
5 × 114
52 × 11
ESERCIZI per il potenziamento
UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti
Rappresentazione grafica dei numeri razionali assoluti
Per potenziare la capacità di rappresentare graficamente le frazioni sulla semiretta dei numeri razionali
assoluti
Rappresenta con unità grafica u = 1 cm le frazioni:
9
11
2
10
19
2
3
10
9
10
27
10
4
5
11
5
19
5
Rappresenta con unità grafica u = 2 cm le frazioni:
5
4
9
4
25
4
6
5
42
5
24
15
30
8
57
12
Proprietà delle operazioni con i numeri razionali assoluti
Per potenziare la conoscenza delle proprietà delle operazioni
11
Alle seguenti operazioni applica la proprietà commutativa nei casi in cui è possibile.
3 2
9 2
9 2
9 2
+
−
×
:
7 7
7 7
7 7
7 7
12
Applica la proprietà distributiva.
2 ⎛1 3 8⎞
5 ⎛ 7 2⎞
× + +
× −
⎝
⎠
3 5 7 21
4 ⎝ 9 7⎠
13
La potenza di un numero decimale è uguale alla stessa potenza della frazione generatrice di quel numero
decimale? Scrivi un esempio.
Espressioni
Per potenziare l’abilità di calcolo con i numeri razionali assoluti
Scrivi sotto forma di espressione, poi risolvi.
14
Il quoziente del quadrato di 0,5 e della differenza tra 4,5 e il prodotto di 50 e 0,01.
[0,0625]
15
Il quadrato della differenza dei quadrati di 0,5 e 0,2.
[0,0441]
Calcola il valore delle espressioni.
⎡ 169 ⎤
⎢⎣ 81 ⎥⎦
16
1, 63 + 0, 87 : 0, 810 − (0, 7 − 0, 4 )3 : (1, 01 − 1)
17
2 + 1, 5 × {[(0, 5 + 0, 3 − 0,16 )2 : (0,16 + 0, 5)2 ] × [(2, 25 − 1, 5) × 0, 5]2 × 1, 3 + (1, 9995 − 0,187)}
[5]
2
⎛ 2 ⎞ + 0, 6 + 0, 83 × 2, 4 2 − 1, 5
18
(
)
⎝ 3⎠
19
2
3 ⎧⎛
1 ⎞ 5 ⎡⎛ 3 2 ⎞ 20 ⎤ ⎡
× ⎨⎜ 0, 6 − ⎟ : + ⎢⎜ − ⎟ × ⎥ : ⎢(1, 5 − 0, 75) ×
4 ⎩⎝
4 ⎠ 6 ⎣⎝ 4 5 ⎠ 7 ⎦ ⎣
2 ⎪⎧
25 ⎡ 4 30 ⎛ 2
20
+ ⎨2, 25 −
×
×
× +
3 ⎩⎪
9 ⎢⎣ 52 8 ⎝ 3
21
[6]
4 ⎤⎫ 7
⎬−
3 ⎥⎦⎭ 8
4
8
⎫⎪ 8
2⎞ ⎤
1
25
×
,
⎬ × − 0, 2
6 ⎠ ⎥⎦
⎭⎪ 15
2
⎡ 1⎤
⎢⎣ 2 ⎥⎦
2⎫ ⎛ 2
⎧⎡ ⎛ 1
3
⎞ 2
⎞⎤
⎨⎢1 − ⎜⎝ + 0, 3⎟⎠ ⎥ : 0, 83 + × (3 − 2, 6) ⎬ : ⎜⎝ − 0, 5⎟⎠ −
2
10
3
5
⎦
⎩⎣
⎭
[1]
[1]
41
42
ESERCIZI per il potenziamento
22
UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti
⎡⎛ 10 ⎞ 2 ⎛ 5 1⎞ ⎤⎫⎪ ⎧⎡
2
⎫
3 ⎧⎪⎡
90 ⎞ ⎤
⎛
+ ⎨ (0, 27 − 0, 2) × 13, 9 − 4, 3 + 1, 4 ⎤ : ⎢⎜ ⎟ × ⎜ − ⎟ ⎥⎬ : ⎨⎢3,14 − ⎜ 2,123 − ⎟ ⎥ : 3, 021⎬
⎦ ⎢⎝ 9 ⎠ ⎝ 18 5 ⎠ ⎥⎪ ⎩⎣
⎝
⎠
10 ⎪⎩⎣
45
⎦
⎭
⎣
⎦⎭
(
)
[1]
3
⎧⎛ 3
2
3 ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎤
3
⎛
⎛2
⎞ ⎡
⎞ ⎤⎫ ⎡ 7
⎞
+ 0, 4⎟ ⎥⎬ × ⎢(1, 5) : (1, 5) : ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⎥ × ⎜ − 0, 5⎟
23 ⎨⎜1 − − 0, 2⎟ × ⎢(2 − 1, 8) × ⎜1 −
⎝
⎝
⎝
⎝
⎠
⎠
⎠
⎠
⎝
⎠
5
10
10 10 ⎥⎦ 3
⎦⎭ ⎢⎣
⎣
⎩
⎡ 11 ⎤
⎢⎣ 12 ⎥⎦
3
⎡
⎤
⎛ 2 3
⎞
4 ⎛ 4⎞
24 ⎢0, 5 + ⎜ 0, 5 + − 0, 5⎟ ⋅ (1, 3 ) : ⎜ ⎟ ⎥ : ⎡⎣( 0, 83 + 0, 25) : 1, 083⎤⎦
⎝
⎠
⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
2
⎢⎣
⎡ 13 ⎤
⎢⎣ 6 ⎥⎦
⎛ 2 + 0,16 − 1⎞ : 2, 3 − 0, 5
(
)
⎝3
2⎠
25
⎛2 + 1⎞ × 1 + 0, 3
(
)
⎝ 4⎠
⎡ 1⎤
⎢⎣ 16 ⎥⎦
⎡⎛ 1
⎤
⎞ 2
2
⎢⎜⎝ 4 + 0, 1⎟⎠ + 11 ⋅ (4, 8 + 0, 7)⎥ : 1, 75
⎣
⎦
26
2⎞ ⎤
11
⎡
⎛
⎢1, 1 + ⎜⎝ 0, 6 − 3 ⎟⎠ ⎥ : (1 − 0,16 ) + 0, 63 ⋅ 5 + 0, 26
⎣
⎦
⎡4⎤
⎢⎣ 27 ⎥⎦
Calcolo letterale
Per sviluppare le abilità nel calcolo letterale
Calcola il valore dell’espressione letterale per i valori assegnati.
2
[(a + b) : a] − 0, 25
27
a = 6 e b = 0,9
28
a = 0, 2 e b = 0, 3
29
a = 0, 4 e b =
[1,0725]
[6]
1
3
⎡ 45 ⎤
⎢⎣ 16 ⎥⎦
Calcola il valore di ciascuna espressione letterale per i valori assegnati.
30
2 × a + (0, 5 + b)
a = 5 e b = 0, 7
[11,2]
31
(b + 9 × a) × (6 × b − a) + (4 + 3 × a)2 − 0,16
a = 2,7 e b = 3,2
[600]
⎧
3 ⎞ ⎤⎫
1
⎡⎛
⎨⎡⎣(a − b − 0, 75) × a⎤⎦ − ⎢⎜⎝ a + b − ⎟⎠ × b ⎥⎬ × 8 × b +
4
2
⎣
⎦⎭
⎩
12
33 [(a + b) : (b − a)] −
14
32
a = 3 e b = 0,5
a = 0, 2 e b = 0, 6
[16]
[1]
razion
Crucinumero
ale
ensiero
AllenaMENTE
1
2
3
6
4
7
43
altri giochi
nel CD
5
8
p
9
10
11
12
13
14
15
Verticali
1. 3,4 × (2,5 + 1,5 × 3) − 4,8
Orizzontali
1. 5,8 + 12,2
3. 24, 5 × 90 + 1
2. (2, 4 + 4, 6 + 0, 8 ) × 111
6. 8, 53 × 15 × (10 − 5 ) + 269
3. 0, 32 × 90
8. 44, 9
4. (5,2)3 + 0,392
9. 24 × (3, 1 + 1, 8 )
5. (0, 3)4 × 81 × 14, 9
2
2
10. 0, 41 + 22 × (3 + 2) + 0, 58
7. 34 × (5, 2 + 3, 4) × 645, 5 : 97 + 1400
12. 95, 8 : 0, 2 + 3, 5
10. 25, 79 × 10
14. 8, 9
11. 53, 99
15. [22 939 + (11 469, 5 + 5734, 75 × 2)] × 102
13. (3 × 2)2 + (5,848 )0
14. 28 : 2,84
Il labirinto del saggio
Scopri una massima di Einstein.
Partendo dal numero 0 in basso a sinistra, arriva al numero 20 in alto a destra, passando una
volta sola su tutte le caselle e seguendo i numeri in ordine crescente.
A
15
5
P
R
N
2, 4
C
1,1
O
0, 5
1
10
L
0
U
5
5
6
5
T
E
U
P
5,01
A
4,59
E
O
5,2
Z
0,5
N
6
I
65
10
U
O
49
7
I
26
2
22
2
L
5,22
5, 2
N
15
1
S
14,5
S
O
10
A
8
20
16
5, 03
1,3
E
19
A
F
3
10
R
5,03
E
M
E
36
2
T
4,6
15
10
N
1
4
10
2
C
2
0,55
M
D
4,06
2,04
È
E
A
A
3,5
S
25
3
36
3
19
2
18
2
Indovinello storico
Risolvi questo indovinello attribuito a Pitagora in risposta a chi gli chiedeva quanti fossero i suoi
alunni. Diceva Pitagora: “In questo momento sono tutti al lavoro: la metà dei miei discepoli
sta studiando geometria, un quarto di loro studia le leggi della natura; un settimo di loro discute di filosofia, tre stanno studiando musica”. Quanti sono in tutto gli alunni di Pitagora?
soluzioni
a
p. 270
44
M A T E M A T I C A
C O N
I L
P C
I NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
Abbiamo già visto nelle Unità 6 e 7 come operare con le frazioni in Excel, quindi non dovresti
avere problemi a svolgere gli esercizi che seguono. In ogni caso, accanto agli esercizi abbiamo
riportato un piccolo promemoria per aiutarti a ricordare.
Esercizi
con carta e penna
con il PC
Trasforma i numeri decimali inseriti nelle tabelle che seguono in frazioni irriducibili. Al posto
delle frazioni improprie scrivi i corrispondenti numeri misti (come mostrato dall’esempio).
Completa a mano le tabelle e poi controlla i
risultati con Excel.
1
Procedura
1 Formatta la colonna B come frazione a 3
cifre (Formato ➞ Celle… ➞ Numero ➞
categoria: Frazione ➞ tipo: Fino a tre
cifre ➞ Ok)
2 Inserisci nella cella B2 la formula per co-
piare il contenuto della cella A2 (= A2) e
poi copia per trascinamento la formula
nelle altre celle da B2 a B23.
2 La procedura è la stessa utilizzata nell’esercizio precedente.
Devi però formattare la colonna A come
numero decimale con 9 cifre dopo la virgola.