Prova Scritta del 21/4/17

Esame di Istituzioni di Matematica 2.
21 Aprile 2017
Appello Straordinario
Svolgere il maggior numero di esercizi possibile
3
1. Data la curva γ(t) = (t2 , t3 − t), per t ∈ [0, 1], calcolarne la lunghezza,
tracciarne un grafico qualitativo, e calcolarne il versore tangente nel punto
relativo al valore t0 = 21 .
2. Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale
y 00 (x) + 2y 0 (x) + y(x) = 25 sen(2x)
3. Sia D = {(x, y) : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4 ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}. Si calcoli
Z Z
1
D (x2
3
+ y2) 2
dxdy .
4. Dato il campo
F (x, y) =
x
y
,
x2 + y 2 x2 + y 2
.
Determinare, motivando la risposta, se esso sia o meno conservativo nel
primo quadrante del piano cartesiano (privato degli assi!). In caso affermativo, calcolarne il potenziale V (x, y) tale che V (1, 0) = 4
Rispondere sinteticamente alle seguenti domande:
a) Dare la definizione di curva semplice, chiusa e regolare. Quali di queste
proprietà sono soddisfatte dalla curva γ dell’esercizio 1. ? Motivare la
risposta.
b) Dare la formula per il calcolo del lavoro svolto da un campo di forze F lungo
la traiettoria γ : [a, b] → R. Come si semplifica questa formula se il campo
F è anche conservativo?