Programma del Corso. - Dipartimento di Matematica e Informatica

Programma di Analisi Matematica 2
(CdS in Matematica)
Anno Accademico 2016-17
Successioni e Serie di Funzioni.
Convergenza puntuale ed uniforme. Teorema sulla continuità del limite. Teorema dell’inversione dei limiti. Teoremi di
passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Teoremi di Dini sulla convergenza uniforme. Serie di
funzioni: convergenza puntuale, uniforme e totale. Criterio di Weierstrass. Serie di potenze: raggio di convergenza,
intervallo di convergenza. Teorema di Cauchy-Hadamard. Teorema di D’Alembert. Regolarità della somma di una serie
di potenze. Integrazione di una serie di potenze. Serie di MacLaurin. Funzioni periodiche. Funzioni continue a tratti e
regolari a tratti. Sviluppi in serie di Fourier. Formula di Dirichlet. Disuguaglianza di Bessel. Teorema sulla convergenza
puntuale di una serie di Fourier. Somma di serie numeriche. Convergenza totale di una serie di Fourier. Integrazione
termine a termine di una serie di Fourier.
Spazi Metrici e Spazi di Banach.
Spazi metrici. Successioni in uno spazio metrico. Funzioni continue tra spazi metrici. Funzione distanza da un punto e
da un insieme. Teorema di Separazione. Spazi normati. Prodotto scalare e norma indotta. 𝑅𝑛 ed il suo duale. Lo spazio
normato 𝑅𝑛 : disuguaglianze di Young, di Holder e di Minkowski. Gli spazi 𝑙 𝑝 . Spazi di Banach. Spazi di funzioni
continue e funzioni derivabili con derivata continua. Il Teorema delle contrazioni. Spazi metrici compatti . Funzioni
continue su compatti: Teorema di Weierstrass e Teorema di Cantor. Spazi topologici compatti. Caratterizzazione negli
spazi metrici. Criterio compattezza di Ascoli–Arzelà. Aperti connessi e aperti connessi per poligonali di 𝑅𝑛 .
Funzioni di più Variabili.
Teorema dei valori intermedi. Limiti, continuità, derivabilità e differenziabilità e loro legami. Teorema del Differenziale
Totale. Derivate successive. Teorema di Schwartz. Derivate direzionali. Derivata di funzioni composte. Legami tra
gradiente e derivata direzionale. Funzioni con gradiente nullo in aperti connessi. Funzioni omogenee. Funzioni definite
mediante integrali. Formula di Taylor per funzioni di più variabili. Forme quadratiche e loro classificazione. Massimi e
minimi relativi: Condizioni necessarie e sufficienti. Cenni di calcolo differenziale per funzioni di più variabili.
Equazioni Differenziali Ordinarie.
Equazioni differenziali ordinarie di ordine n e sistemi di n equazioni differenziali ordinarie del I ordine. Modello di
Malthus. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del I ordine. Equazioni di Bernoulli. Il
problema di Cauchy. Formulazione integrale di Volterra. Teorema di esistenza ed unicità locale di Cauchy:
dimostrazione con il metodo di approssimazione di Picard. Teorema di esistenza ed unicità locale di Cauchy:
dimostrazione con il Teorema delle Contrazioni. Il Teorema di esistenza ed unicità globale. Prolungabilità delle
soluzioni. Il Teorema di Peano. Studio qualitativo delle soluzioni.
Equazioni Differenziali Lineari.
Equazioni differenziali lineari. Lo spazio delle soluzioni di un’equazione omogenea.. Soluzioni linearmente
indipendenti e wronskiano. Esistenza di n soluzioni linearmente indipendenti. Integrale generale di un’equazione
omogenea. Soluzione generale di un’equazione differenziale lineare non omogenea. Il metodo delle variazioni delle
costanti. Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Equazioni differenziali lineari non omogenee a
coefficienti costanti con termine noto di tipo particolare. Metodo di eliminazione per i Sistemi Lineari di due equazioni
differenziali del I ordine. Equazioni lineari di Eulero. Sistemi Lineari di Equazioni Differenziali. Problema di CauchyDirichlet per l’equazione del calore. Problema di Cauchy per l’equazione delle onde e Formula di D’Alembert.
Problemi ai Limiti.
Problemi ai limiti: autovalori ed autofunzioni.
Testi Consigliati.
1) P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica DUE-Liguori Editore.
2) P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazione di Matematica II Volume: Parte I e Parte II-Liguori Editore.