Funzioni trigonometriche

5. FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
Dalla geometria: angolo 𝛼 tra due
segmenti con un estremità in comune
Angolo 𝛼 in radianti: 𝛼 = 𝑙 𝑅
Valore dell’angolo indipendente dalla
scelta del raggio 𝑅
Angolo giro = 2𝜋
𝛼
P
𝑙
O
𝛼
𝑅
A
Sono definiti angoli 𝛼 < 0 e 𝛼 > 2𝜋
Corrispondenza con gli angoli misurati in gradi sessagimali
gradi: 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
radianti: 0 𝜋 6 𝜋 4 𝜋 3 𝜋 2 𝜋 3𝜋 2 2𝜋
1
Funzioni seno e coseno dalla
rappresentazione cartesiana del
punto
sin(𝛼) ≔ 𝑦 𝑅
cos(𝛼) ≔ 𝑥 𝑅
−1 ≤ sin(𝛼) ≤ 1
P=(𝑥, 𝑦)
𝑦
𝛼
O
𝑥 𝑅
−1 ≤ cos(𝛼) ≤ 1
(𝑅, 𝛼): coordinate polari del punto P
Dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane: 𝑥 = 𝑅 cos 𝛼, 𝑦 = 𝑅 sin 𝛼
Proprietà fondamentale delle funzioni trigonometriche: cos 𝛼 2 + sin 𝛼 2 = 1
𝑅2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑅2 cos 𝛼 2 + 𝑅2 sin 𝛼 2
Per fissato angolo 𝛼, data una funzione trigonometrica, risulta determinata il
valore assoluto dell’altra, ad esempio
sin 𝛼 = 1 − cos 𝛼 2
Il segno è determinabile secondo il quadrante:
1° quadrante: 0 ≤ 𝛼 < 𝜋 2, sin 𝛼, cos 𝛼 ≥ 0
2° quadrante: 𝜋 2 ≤ 𝛼 < 𝜋, sin 𝛼 ≥ 0, cos 𝛼 ≤ 0
3° quadrante: π ≤ 𝛼 < 3𝜋 2, sin 𝛼, cos 𝛼 ≤ 0
4° quadrante: 3𝜋 2 ≤ 𝛼 < 3𝜋, sin 𝛼 ≤ 0, cos 𝛼 ≥ 0
2
1,25
1
−𝜋
0,75
2
cos 𝛼
sin 𝛼
𝜋
0,5
2
3𝜋
𝜋
2
5𝜋
2𝜋
3𝜋
2
0,25
0
-2
-1
0
-0,25
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
𝛼
-0,5
-0,75
-1
-1,25
Sono ambedue funzioni periodiche con periodo 2𝜋:
∀𝑛 ∈ ℤ:
sin 𝛼 + 𝑛2𝜋 = sin 𝛼
cos 𝛼 + 𝑛2𝜋 = cos 𝛼
3
Simmetria delle funzioni trigonometriche:
1) Riflessione del punto rispetto all’asse
delle ascisse
sin −𝛼 = − sin 𝛼
funzione dispari
rispetto all’argomento
cos −𝛼 = cos 𝛼
funzione pari
rispetto all’argomento
𝛼
−𝛼
2) Riflessione del punto rispetto all’asse
delle ordinate
sin 𝜋 − 𝛼 = sin 𝛼
cos 𝜋 − 𝛼 = − cos 𝛼
𝜋−𝛼
𝛼
3) Rotazione di 𝜋 dell’argomento
sin 𝛼 + 𝜋 = − sin 𝛼
cos 𝛼 + 𝜋 = − cos 𝛼
𝛼+𝜋
𝛼
4
3) Riflessione rispetto alla bisettrice del primo quadrante
𝜋
sin − 𝛼 = cos 𝛼
2
cos
𝜋
− 𝛼 = sin 𝛼
2
𝜋
−𝛼
2
𝛼
5
Valori particolari delle funzioni trigonometriche
𝛼 = 𝜋 6 (30°)
OPP’= triangolo equilatero: 𝑅 = 2𝑦 = 2𝑅 sin 𝜋 6
sin 𝜋 6 = 1 2
cos 𝜋 6 = 1 − cos 𝜋 6 2 = 3 2
P
𝑅
𝛼
O
P’
𝛼 = 𝜋 6 (45°)
OPH= triangolo rettangolo isoscele: 𝑥 = 𝑦 = 𝑅
sin 𝜋 4 = cos 𝜋 4 = 1 2
2
𝑅
𝛼
O
H
𝛼 = 𝜋 3 (60°)
OPP’= triangolo equilatero: 𝑅 = 2𝑥 = 2𝑅 cos 𝜋 3
cos 𝜋 3 = 1 2
sin 𝜋 3 =
1 − sin 𝜋 3
2
P
P
𝑅
= 3 2
𝛼
O
P’
6
Definizione della funzione tangente di un angolo:
∀𝑛 ∈ ℤ, 𝛼 ≠ 2𝑛 + 1 𝜋 2 ,
tan 𝛼 ≔ sin 𝛼 cos 𝛼
Spesso viene indicata con il simbolo tg𝛼
Proprietà di simmetria:
sin −𝛼
−sin 𝛼
tan −𝛼 =
=
= − tan 𝛼
cos −𝛼
cos 𝛼
sin 𝜋 − 𝛼
sin 𝛼
tan 𝜋 − 𝛼 =
=
= − tan 𝛼
cos 𝜋 − 𝛼
−cos 𝛼
sin 𝛼 + 𝜋
−sin 𝛼
tan 𝛼 + 𝜋 =
=
= tan 𝛼
cos 𝛼 + 𝜋
−cos 𝛼
tan
𝜋
2 −𝛼
=
sin
cos
𝜋
2−𝛼
𝜋
2−𝛼
=
cos 𝛼
1
=
sin 𝛼 tan 𝛼
La funzione tangente è periodica con periodo 𝜋!
7
6
tan 𝛼
4
2
𝜋
−
2
-1,6
𝜋
2
0
-1,2
-0,8
-0,4
0
0,4
0,8
1,2
1,6
-2
𝛼
-4
-6
Noto il valore di una delle tre funzioni trigonometriche sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼 in
un dato quadrante, si può calcolare il valore delle altre due. Ad esempio, noto
che 𝑎 = tan 𝛼
𝑎 = sin 𝛼 cos 𝛼
1
cos 𝛼 2 =
1 + 𝑎2
𝑎2 cos 𝛼
2
|cos 𝛼| =
= sin 𝛼
1
1
+ 𝑎2
2
=
= 1 − cos 𝛼
1
1 + tan 𝛼
2
2
8
Esercizio: risolvere l’equazione tan 𝑥 = − 3 e calcolare i corrispondenti valori
delle funzioni seno e coseno
sin 𝑥
−𝜋 2 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 2:
tan 𝑥 =
= − 3 ⇒ sin 𝑥 = − 3 cos 𝑥
cos 𝑥
2
sin 𝑥 = 1 − cos 𝑥 2 = 3 cos 𝑥 2 ⇒ cos 𝑥 2 = 1 4
⇒ cos 𝑥 = 1 2 ⇒ 𝑥 = −𝜋/3
𝑥+𝜋
Periodicità secondo 𝜋:
𝑛 = pari:
𝑥 = − 𝜋 3 + 𝑛𝜋
𝑥 = − 𝜋 3 + 2𝑚𝜋 ∀𝑚 ∈ ℤ
sin 𝑥 = sin − 𝜋 3 = − 3 2
𝑛 = dispari:
∀𝑛 ∈ ℤ
𝑥
cos 𝑥 = 1 2
𝑥 = − 𝜋 3 + (2𝑚 + 1)𝜋 ∀𝑚 ∈ ℤ
sin 𝑥 = sin 2 𝜋 3 = 3 2
cos 𝑥 = cos 2𝜋 3 = − 1 2
9
Addizione e sottrazione negli argomenti delle funzioni trigonometriche, relazione
fondamentale:
cos 𝛼 − 𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽
C
Dimostrazione: per 𝛼 > 𝛽
A:
B:
C:
D:
D
𝑅, 0
𝑅 cos 𝛼 − 𝛽 , 𝑅 sin 𝛼 − 𝛽
𝑅 cos 𝛽 , 𝑅 sin 𝛽
𝑅 cos 𝛼 , 𝑅 sin 𝛼
Distanza tra i punti A e B: 𝑑𝐴𝐵
𝑑𝐴𝐵 2 = 𝑅 cos 𝛼 − 𝛽 − 𝑅 2 + 𝑅 sin 𝛼 − 𝛽
= 𝑅2 2 − 2 cos 𝛼 − 𝛽
𝛽
𝛼
B
𝛼−𝛽 A
𝑅
2
Distanza tra i punti C e D: 𝑑𝐶𝐷
𝑑𝐶𝐷 2 = 𝑅 cos 𝛼 − 𝑅 cos 𝛽 2 + 𝑅 sin 𝛼 − sin 𝛽 2
= 𝑅2 2 − 2 cos 𝛼 cos 𝛽 − 2 sin 𝛼 sin 𝛽
La relazione fondamentale si deduce dall’uguaglianza 𝑑𝐴𝐵 = 𝑑𝐶𝐷 delle due
distanze che sono sottese da uno stesso angolo.
La relazione è valida anche per 𝛼 < 𝛽 poiché, per simmetria:
cos 𝛼 − 𝛽 = cos 𝛽 − 𝛼
10
cos 𝛼 − 𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽
Dalle proprietà di simmetria delle funzioni trigonometriche le altre relazioni per
l’addizione/sottrazione degli argomenti:
cos 𝛼 + 𝛽 = cos 𝛼 − (−𝛽) = cos 𝛼 cos −𝛽 + sin 𝛼 sin −𝛽 =
= cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽
sin 𝛼 + 𝛽 = cos 𝜋 2 − (𝛼 + 𝛽) = cos (𝜋 2 − 𝛼) − 𝛽 =
= cos (𝜋 2 − 𝛼) cos 𝛽 + sin (𝜋 2 − 𝛼) sin 𝛽 =
= sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽
sin 𝛼 − 𝛽 = sin 𝛼 + (−𝛽) = sin 𝛼 cos −𝛽 + cos 𝛼 sin −𝛽 =
= sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽
11
Note le funzioni trigonometriche per alcuni valori dell’angolo, si possono calcolare
le funzioni per altri angoli sfruttando le relazioni si somma/differenza degli
argomenti.
Ad esempio si può raddoppiare l’angolo:
cos 2𝛼 = cos 𝛼 + 𝛼 = cos 𝛼 cos 𝛼 − sin 𝛼 sin 𝛼 = cos 𝛼
= 2 cos 𝛼 2 − 1
2
− sin 𝛼
2
=
sin 2𝛼 = sin 𝛼 + 𝛽 = sin 𝛼 cos 𝛼 + cos 𝛼 sin 𝛼 = 2sin 𝛼 cos 𝛼
o dimezzare l’angolo: 𝛽 ≔ 2𝛼
cos 𝛽 = 2 cos 𝛽 2
2
−1 ⇒
cos 𝛽 2
=
1 + cos 𝛽
2
sin 𝛽
sin 𝛽 = 2 sin 𝛽 2 cos 𝛽 2
⇒ sin 𝛽 2 =
2cos 𝛽 2
2
2
sin
𝛽
1
−
cos
𝛽
1 − cos 𝛽
2
⇒
sin 𝛽 2
=
=
=
4 cos 𝛽 2 2 2 1 + cos 𝛽
2
⇒
sin 𝛽 2
=
1 − cos 𝛽
2
12
Esercizio: calcolare il valore delle funzioni trigonometriche principali per
𝛼 = 𝜋 12 (15°) e β = 5𝜋 12 (75°)
𝛾=𝜋 6
𝛼=𝛾 2
30° : sin 𝛾 = 1 2
1 + cos 𝛾
=
2
cos 𝛼 = cos 𝛾 2 =
sin 𝛼 =
1 − cos 𝛼
sin 𝛼
tan 𝛼 =
=
cos 𝛼
𝜋
𝛽 = −𝛼
2
cos 𝛾 = 3 2
2
=
2− 3
2+ 3
1+ 3 2
=
2
2+ 3
1−
=
4
2+ 3
2
2− 3
2
=2− 3
2− 3
cos 𝛽 = sin 𝛼 =
2
2+ 3
sin 𝛽 = cos 𝛼 =
2
sin 𝛽 cos 𝛼
1
1
tan 𝛽 =
=
=
=
=2+ 3
cos 𝛽 sin 𝛼 tan 𝛼 2 − 3
13
Rielaborando le relazioni per la somma/differenza degli angoli
cos 𝛼 + 𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽
cos 𝛼 − 𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽
sin 𝛼 + 𝛽 = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽
sin 𝛼 − 𝛽 = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽
si ottengono le relazioni per la somma/differenza tra le funzioni trigonometriche
𝑝+𝑞
𝑝−𝑞
𝑝≔𝛼+𝛽
𝑞 ≔𝛼−𝛽 ⇒
𝛼=
𝛽=
2
2
𝑝+𝑞
𝑝−𝑞
cos 𝑝 + cos 𝑞 = cos 𝛼 + 𝛽 + cos 𝛼 − 𝛽 = 2 cos 𝛼 cos 𝛽 = 2 cos
cos
2
2
𝑝+𝑞
𝑝−𝑞
cos 𝑝 − cos 𝑞 = cos 𝛼 + 𝛽 − cos 𝛼 − 𝛽 = −2 sin 𝛼 sin 𝛽 = −2 sin
sin
2
2
𝑝+𝑞
𝑝−𝑞
sin 𝑝 + sin 𝑞 = sin 𝛼 + 𝛽 + sin 𝛼 − 𝛽 = 2 sin 𝛼 cos 𝛽 = 2 sin
cos
2
2
𝑝+𝑞
𝑝−𝑞
sin 𝑝 − sin 𝑞 = sin 𝛼 + 𝛽 − sin 𝛼 − 𝛽 = 2 cos 𝛼 sin 𝛽 = 2 cos
sin
2
2
14