Istituzioni di Logica Matematica

Istituzioni di Logica Matematica
Sezione 31 del Capitolo 5
Alessandro Andretta
Dipartimento di Matematica
Università di Torino
A. Andretta (Torino)
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AA 2013–2014
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La relazione di soddisfazione
Interpretazione di termini in strutture
Fissata una L-struttura A e un’assegnazione g, possiamo associare ad ogni
termine t di L un elemento di kAk, detto l’interpretazione di t in A
mediante g, definito da

A

se t = c,
c
A
t [g] = g(x)
se t = x,

 A A
A
f (u1 [g], . . . , un [g]) se t = f (u1 , . . . , un ).
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La relazione di soddisfazione
Interpretazione di termini in strutture
Lemma
Se g, h : Vbl → kAk sono assegnazioni tali che g V(t) = h V(t),
allora tA [g] = tA [h].
Dimostrazione.
Se t = c con c ∈ Const oppure t = x con x ∈ Vbl, il risultato è
immediato. Supponiamo che t = f (u1 , . . . , un ). Allora
V(t) = V(u1 ) ∪ · · · ∪ V(un ) e quindi, per ipotesi induttiva,
A
uA
m [g] = um [h], per m = 1, . . . , n, quindi
A
A
A
A
A
tA [g] = f A (uA
1 [g], . . . , un [g]) = f (u1 [h], . . . , un [h]) = t [h].
In particolare: se t è chiuso allora possiamo definire tA l’interpretazione di
t in A come tA [g] per una qualunque assegnazione g.
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La relazione di soddisfazione
Interpretazione di termini in strutture
Supponiamo che V(t) ⊆ {x1 , . . . , xn } e che a1 , . . . , an siano elementi di
kAk non necessariamente distinti. Se g e h sono assegnazioni in A tali che
g(xm ) = h(xm ) = am , per 1 ≤ m ≤ n, allora tA [g] = tA [h]. Indicheremo
quest’elemento con
tA [a1 , . . . , an ].
Un modo equivalente per definirlo è considerare l’espansione
hA, a1 , . . . , an i ottenuta aggiungendo ad L nuovi simboli di costante
å1 , . . . ,ån che devono essere interpretati come a1 , . . . , an , — si noti che
gli åm , a differenza degli am , devono essere tutti distinti.
Se s è il termine chiuso t[å1 /x1 , . . . ,ån /xn ] ottenuto sostituendo
å1 , . . . ,ån a x1 , . . . , xn in t, allora l’interpretazione di s in A0 coincide con
tA [a1 , . . . , an ], in simboli
0
sA = tA [a1 , . . . , an ].
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La relazione di soddisfazione
Interpretazione di termini in strutture
Lemma
Se le variabili di t sono tra le x1 , . . . , xn e π : A → B è un morfismo,
allora ∀a1 , . . . , an ∈ kAk π tA [a1 , . . . , an ] = tB [π(a1 ), . . . , π(an )] .
Dimostrazione.
Se ht(t) = 0, allora t = xm oppure t = ck , quindi tA [~a] = am e
B a] = cB .
tB [π(~a)] = π(am ) oppure tA [~a] = cA
k e t [~
k
Se ht(t) > 0, allora t = f j (t1 , . . . , tm ) e
A
π(tA [~a]) = π f A
a], . . . , tA
a]
j t1 [~
m [~
A
= fB
a] , . . . , π tA
a]
j π t1 [~
m [~
B
= fB
a) , . . . , tB
a)
j t1 π(~
m π(~
= tB π(~a)
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(def. morfismo)
(ip. induttiva)
(def. sost.)
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La relazione di soddisfazione
La verità di una formula in una struttura
La verità di una formula in una struttura
Definiamo quando una L-formula ϕ è vera in A secondo
un’assegnazione g, in simboli
A ϕ[g].
per ricorsione sulla complessità di ϕ:
A
A (t1 ≡ t2 )[g] se e solo se tA
1 [g] = t2 [g];
A
A
A (Ri (t1 , . . . , tm ))[g] se e solo se tA
1 [g], . . . , tm [g] ∈ Ri ;
¬ϕ)[g] se e solo se A A (¬
6 ϕ[g];
A (ϕ ∨ ψ)[g] se e solo se A ϕ[g] o A ψ[g];
∃xϕ)[g] se e solo se c’è un a ∈ kAk tale che A ϕ[gx7→a ].
A (∃
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La relazione di soddisfazione
La verità di una formula in una struttura
La verità di una formula in una struttura
Esercizio
Dimostrare che:
1 A (ϕ ∧ ψ)[g] ⇔ (A ϕ[g] ∧ A ψ[g]);
2 A (∀
∀xϕ)[g] ⇔ ∀a ∈ kAk (A ϕ[gx7→a ]);
3
4
5
6
A ¬¬ ϕ[g] ⇔ A ϕ[g];
¬ϕ ∧ ¬ ψ) [g];
A (ϕ ∨ ψ)[g] ⇔ A ¬ (¬
A (ϕ ⇒ ψ)[g] ⇔ (A ϕ[g] ⇒ A ψ[g]);
A (ϕ ⇔ ψ) [g] ⇔ A ψ[g]).
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La relazione di soddisfazione
La verità di una formula in una struttura
La verità di una formula in una struttura
Definizione
Una formula ϕ si dice
soddisfacibile in una struttura A se A ϕ[g] per una qualche
valutazione g;
soddisfacibile se è soddisfacibile in qualche struttura;
vera in una struttura A se A ϕ[g] per ogni valutazione g. In
questo caso scriveremo che A ϕ;
valida o logicamente vera se è vera in ogni struttura.
Una formula che non è soddisfacibile si dice insoddisfacibile o
logicamente falsa.
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La relazione di soddisfazione
La verità di una formula in una struttura
La verità di una formula in una struttura
Lemma
Sia ϕ(x1 , . . . , xn ) una L-formula. Se g, h : Vbl → kAk sono
assegnazioni tali che g {x1 , . . . , xn } = h {x1 , . . . , xn },
A ϕ[g] ⇔ A ϕ[h].
Dimostrazione.
La verifica è per induzione su ht(ϕ). Il caso di ϕ atomica è immediato.
Se ϕ è ¬ ψ oppure ψ ∨ χ, il risultato è banale. Supponiamo quindi ϕ sia
della forma ∃y ψ. Se A ∃y ψ[g], allora c’è un a ∈ kAk tale che
A ψ[gy7→a ]. Per ipotesi induttiva A ψ[gy7→a ] ⇔ A ψ[hy7→a ] e
quindi A ∃y ψ[h].
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La relazione di soddisfazione
La verità di una formula in una struttura
La verità di una formula in una struttura
Per ogni formula ϕ(x1 , . . . , xn ) ed elementi non necessariamente distinti
a1 , . . . , an ∈ kAk poniamo
A ϕ[a1 , . . . , an ]
se e solo se A ϕ[g] per qualche (equivalentemente: per ogni)
assegnazione g tale che g(xm ) = am , (1 ≤ m ≤ n). In particolare, se ϕ
ha una variabile libera x scriveremo
A ϕ[a]
per qualche (equivalentemente: per ogni) assegnazione g tale che
g(x) = a. Se σ è un enunciato, allora le assegnazioni diventano irrilevanti,
per cui poniamo
Aσ
se vale A σ[g] per una (equivalentemente: per tutte) le assegnazioni.
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La relazione di soddisfazione
La verità di una formula in una struttura
La verità di una formula in una struttura
Proposizione
1
Se y ∈
/ {x1 , . . . , xn }, allora
A ∃yϕ[a1 , . . . , an ] ⇔ A ∀yϕ[a1 , . . . , an ] ⇔ A ϕ[a1 , . . . , an ].
2
Se y = xm per qualche 1 ≤ m ≤ n, allora
A ∃xm ϕ [a1 , . . . , an ]
⇔ ∃a ∈ kAk (A ϕ[a1 , . . . , am−1 , a, am+1 , . . . , an ]) ,
A ∀ xm ϕ [a1 , . . . , an ]
⇔ ∀a ∈ kAk (A ϕ[a1 , . . . , am−1 , a, am+1 , . . . , an ]) .
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La relazione di soddisfazione
La verità di una formula in una struttura
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Dimostrazione.
1 Supponiamo che A ∃yϕ[g] per una/ogni assegnazione g tale che
g(xm ) = am (1 ≤ m ≤ n). Allora A ϕ[gy7→a ] per qualche a ∈ kAk. Per
l’ipotesi su y, gy7→a(xi ) = ai e quindi A ϕ[a1 , . . . , an ]. L’implicazione
A ϕ[a1 , . . . , an ] ⇒ A ∃yϕ[a1 , . . . , an ] è analoga, quindi
A ϕ[a1 , . . . , an ] ⇔ A ∃yϕ[a1 , . . . , an ].
Dato che le variabili libere di ¬ϕ sono esattamente le stesse di ϕ,
abbiamo che
A ∀ y ϕ[a1 , . . . , an ] ⇔ A 6 ∃y¬ϕ[a1 , . . . , an ] ⇔
A
6 ¬ ϕ[a1 , . . . , an ] ⇔ A ϕ[a1 , . . . , an ],
La parte 2 è lasciata al lettore.
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La relazione di soddisfazione
La verità di una formula in una struttura
La verità di una formula in una struttura
Definizione
La chiusura universale di una formula ϕ è l’enunciato ∀ v k1 . . . ∀ v kn ϕ
dove {v k1 , . . . , v kn } sono le variabili libere di ϕ, dove hv n | n ∈ ωi è la
lista ufficiale delle variabili.
Una L-struttura A soddisfa una formula (con eventualmente variabili
libere) ϕ se e solo se A soddisfa la sua chiusura universale di ϕ.
Proposizione
Supponiamo che t sia sostituibile in ϕ per la variabile x. Sia g
def
un’assegnazione in una L-struttura A e sia a = tA [g] ∈ A = kAk. Allora
A (ϕ[t/x]) [g]
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⇔
A ϕ[gx7→a ].
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La relazione di soddisfazione
La verità di una formula in una struttura
La verità di una formula in una struttura
Dimostrazione.
Se ϕ è atomica, o ϕ è ¬ ψ, oppure ϕ è ψ ∨ χ, il risultato è banale.
Supponiamo ϕ sia ∃yψ e distinguiamo due casi.
Caso 1: y = x. Allora x non occorre libera in ϕ e quindi ϕ[t/x] è ϕ e g
e gx7→a coincidono sulle variabili libere di ϕ. Segue che
A (ϕ[t/x]) [g] ⇔ A ϕ[g] ⇔ A ϕ[gx7→a ]
Caso 2: y 6= x. Allora ϕ[t/x] è ∃ yψ[t/x] e dato che y non occorre in t,
per ogni b ∈ A si ha
a = tA [g] = tA [gy7→b ].
Quindi A (ϕ[t/x]) [g] ⇔ ∃b ∈ A A (ψ[t/x]) [gy7→b ] ⇔ ∃b ∈ A A ψ[(gy7→b )x7→a ] ⇔ ∃b ∈ A A ψ[(gx7→a )y7→b ] ⇔ A ∃ yψ[gx7→a ] ⇔ A ϕ[gx7→a ].
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La verità di una formula in una struttura
Esempio
La formula ∃ x (ϕ ⇒ ∀ xϕ) è logicamente valida.
Infatti, per ogni struttura A e assegnazione g, se A 2 ∀ xϕ[g], allora c’è
un a ∈ kAk tale che A 2 ϕ[gx7→a ], cioè A (ϕ ⇒ ∀ xϕ) [gx7→a ] in quanto
l’antecedente nell’implicazione è falsa, e quindi A ∃x (ϕ ⇒ ∀xϕ) [g].
Viceversa, se A ∀ xϕ[g], allora A ϕ[g] e quindi A (ϕ ⇒ ∀ xϕ) [g],
da cui A ∃ x (ϕ ⇒ ∀ xϕ) [g].
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La verità di una formula in una struttura
∃-regola
Teorema
Sia A una L-struttura. Supponiamo che ϕ ⇒ ψ sia vera in A e che x
non occorra libera in ψ. Allora ∃xϕ ⇒ ψ è vera in A.
Dimostrazione.
Supponiamo, per assurdo, che A 6 (∃xϕ ⇒ ψ)[g] per qualche
assegnazione g. Allora A ∃xϕ[g] e A 6 ψ[g]. Sia a ∈ kAk tale che
6 ψ[gx7→a ] e
A ϕ[gx7→a ]. Poiché x non occorre libera in ψ, allora A dato che A (ϕ ⇒ ψ)[gx7→a ] per ipotesi, allora A 6 ϕ[gx7→a ]:
assurdo.
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Esempi di formule valide
Tautologie e assiomi di sostituzione
Se ϕ ∈ Fml(L) è una tautologia, allora ϕ è logicamente valida.
Definizione
Una formula della forma ϕ[t/x] ⇒ ∃xϕ si dice assioma di sostituzione.
Verifichiamo che gli assiomi di sostituzione sono validi. Fissiamo una
struttura A ed un’assegnazione g : Vbl → kAk tale che
A (ϕ[t/x])[g].
A ϕ[gx7→a ] dove a = tA [g] e quindi A ∃xϕ[g]. Abbiamo quindi
dimostrato che
A (ϕ[t/x] ⇒ ∃xϕ)[g]
per ogni struttura A e ogni assegnazione g.
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Esempi di formule valide
Assiomi dell’uguaglianza
Un assioma di uguaglianza è una formula della forma
t ≡ t,
s ≡ t ⇒ t ≡ s,
s ≡ t ∧ t ≡ u ⇒ s ≡ u,
s1 ≡ t1 ∧ . . . ∧ sn ≡ tn ⇒ f j (s1 , . . . , sn ) ≡ f j (t1 , . . . , tn ),
s1 ≡ t1 ∧ . . . ∧ sn ≡ tn ∧ Ri (s1 , . . . , sn ) ⇒ Ri (t1 , . . . , tn ).
Gli assiomi di uguaglianza sono validi.
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