1 Esercizio 1 Disegnare la zona di non cedimento nel piano delle

Comportamento meccanico dei materiali
Unità 3: Criteri di cedimento dei materiali isotropi
Esercizi
Esercizio 1
Disegnare la zona di non cedimento nel piano delle tensioni principali (ipotesi σZ = 0)
per la ghisa grigia EN-GJL350 (UNI EN 1561) per un provino ricavato da getto con
parete spessa 30 mm.
Esercizio 2
Lo stesso provino dell’esercizio 1 ha il seguente uno stato di tensione: σZ = 0 MPa
(tensione principale), σxx = 180 MPa, σyy = 55 MPa, |τxy| = 30 MPa. Riportare il
punto di lavoro sulla zona di non cedimento e valutare, sia graficamente che
analiticamente, il coefficiente di sicurezza. Commentare se il valore del coefficiente
di sicurezza trovato è adeguato rispetto al tipo di materiale scelto per il progetto.
Esercizio 3
Un albero - acciaio da bonifica UNI EN 10083 25CrMo4 - ha sezione circolare piena
di diametro d = 35 mm.
Tracciare, nel piano delle tensioni principali, la zona di non cedimento secondo i
criteri di Tresca e di von Mises (qualitativo).
Per i tre stati di tensione elencati di seguito
i.
σZ = 0 MPa (tensione principale), σxx = 280 MPa, σyy = 280 MPa, |τxy| = 0 MPa;
ii.
σZ = 100 MPa (tensione principale), σxx = 280 MPa, σyy = 280 MPa,
|τxy| = 0 Mpa;
iii. σZ = 0 MPa (tensione principale), σxx = 280 MPa, σyy = 280 MPa,
|τxy| = 40 Mpa.
1.
Calcolare analiticamente la tensione ideale σid, per le due ipotesi di cedimento.
2.
Calcolare i rispettivi coefficienti di sicurezza.
3.
Stimare i coefficienti di sicurezza sui diagrammi tracciati nel punto A. Discutere
eventuali discrepanze con i risultati analitici.
Esercizio 4
I carichi esterni agenti su di un albero (d= 50 mm) generano uno stato di tensione
caratterizzato da una tensione principale nulla, σ2 = 0, e dalle restanti tensioni
principali fra loro proporzionali, σ1 = -2.5·σ3. L’albero è di acciaio da bonifica UNI
EN 10083 34CrNiMo6. Diagrammare la zona di non cedimento per il materiale dato,
ipotesi di Tresca, e stimare graficamente quale è il valore massimo che possono
raggiungere le tensioni σ1 e σ3 affinché il coefficiente di sicurezza S sia pari a 1.5.
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Comportamento meccanico dei materiali
Unità 3: Criteri di cedimento dei materiali isotropi
Esercizi
Esercizio 5
Lo stesso stato di tensione può essere definito in un sistema di riferimento qualsiasi
⎡
⎢ + 350
⎢
[σ] = ⎢ − 300
⎢
6
⎢ 300
⎢+
⎣ 2 3
300
6
850
+
3
400
−
3 2
−
300 ⎤
⎥
2 3⎥
400 ⎥
MPa
−
3 2⎥
650 ⎥
+
⎥
3 ⎦
+
oppure in assi principali
0 ⎤
⎡500 0
⎢
[σ′] = ⎢ 0 200 0 ⎥⎥ MPa
⎢⎣ 0
0 150⎥⎦
1.
Calcolare i 3 invarianti dei due tensori e verificare che gli siano uguali nei due
casi.
2.
Scrivere l’equazione caratteristica.
3.
Verificare che le tensioni principali siano le soluzioni dell’equazione
caratteristica.
4.
Calcolare le tensioni equivalenti secondo il criterio di cedimento per i materiali
fragili e i criteri di cedimento per i materiali duttili.
5.
Calcolare il valore delle tensioni σn e τn sulla superficie di normale
T
n = [1 2 1 2 0 ] a partire dalla terna principale.
6.
Il valore delle tensioni σn,ott e τn,ott sul piano ottaedrico
T
( n ottaedrico = [ ± 1 3 ± 1 3 ± 1 3 ] ).
7.
Verificare che vale:
· σm = Ι1/3 = σn,ott (σm = tensione
idrostatica);
· σid,von Mises = 3/√2·τn,ott
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