Le interazioni tra momenti e campi magnetici
Nell’ambito della fisica classica, una piccola spira percorsa da corrente elettrica è dotata di un
momento di dipolo magnetico µ = i S uN.
Anche se consideriamo l’ orbita di un elettrone attorno ad un nucleo, possiamo immaginare che il
sistema acquisti un momento di dipolo magnetico. Impostando il calcolo nell’ipotesi di un’orbita
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circolare, i = - e v / (2 r) ed S = r . Ricordando che L = m r v, il momento di dipolo
magnetico associato diventa µ = - (e/2m) L. La quantità g = -e/2m è detta rapporto
giromagnetico.
L’effetto Zeeman (1896)
Nel caso sia immerso in un campo magnetico B, il dipolo acquista un’energia potenziale legata
all’orientazione del dipolo rispetto al campo, Um = - µ · B = (e/2m) L · B = (e/2m) Lz · B
La trattazione dell’atomo di idrogeno con l’equazione di Schrödinger porta a valori della proiezione
del momento della quantità di moto lungo un generico asse di riferimento quantizzati secondo la
relazione: Lz = ml
dove il numero quantico magnetico ml può assumere valori interi compresi
tra 0 e ± l , numero quantico orbitale.
L’energia potenziale associata al dipolo si può esprimere dunque come Um = ml (e /2m) · B
e risulta anch’essa assumere valori discreti. La quantità e /2m è detta magnetone di Bohr ed il
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suo valore è: µ = e /2m = 9.274 ·10 J/T = 5.788 ·10 eV/T.
La separazione delle righe spettrali osservate nell’ effetto Zeeman è proprio dovuto alla separazione
dei livelli energetici della struttura atomica in campo magnetico, come mostrato in figura.
Le frequenze caratteristiche delle righe dello spettro assumeranno in questo caso tre valori,
1
dove
o
=
o-
(e /4 m)·B ,
2
=
o
,
1
=
o+
(e /4 m)·B
rappresenta la frequenza caratteristica in assenza di campo magnetico.
Lo spin e il momento magnetico intrinseco
Molte delle righe dello spettro di emissione di diversi elementi, tra i quali anche l’idrogeno,
mostrano una struttura fine, sono cioè costituite da due righe la cui differenza di lunghezza d’onda è
una frazione di nm. Ad esempio la prima riga della serie di Balmer dell’idrogeno, la riga L con
= 656.3nm, è costituita in realtà da due righe la cui differenza di lunghezza d’onda è
= 0.14 nm. L’ipotesi dello spin, introdotta da Goudsmit e Uhlenbeck nel 1925, è in grado di
spiegare questo fenomeno.
Ogni elettrone è dotato di uno spin, un momento della quantità di moto intrinseco,
S = [s (s+1)]1/2 dove s = 1/2 la cui proiezione su di un generico asse, in analogia con il
momento della quantità di moto orbitale, si esprime come Sz= ms . I valori possibili di ms sono
ms = ±1/2. Associato allo spin l’elettrone mostra un momento di dipolo magnetico intrinseco che
si esprime come:
µs = - (e/m) S = - g · (e/2m) S
e la sua componente z è µs,z = - (e/m) Sz = ± (e /2m) = ± µ . Si noti che il rapporto
giromagnetico nel caso del moto orbilale è -e/2m, nel caso dello spin è -e/m, cioè esattamente il
doppio, proprietà riassunta dalla costante g=2 . Un elettrone in una struttura atomica mostra dunque
un momento di dipolo magnetico pari a:
µ = - (e/2m) · (L + 2 S )
L’interazione spin-orbita
Il moto di un’elettrone in un orbita attorno al nucleo atomico, è origine di un campo magnetico, così
come avviene in una piccola spira. Il suo valore al centro dell’orbita, si può esprimere come
B = µoe/2rnT dove T rappresenta il periodo caratteristico di rivoluzione dell’orbita e può essere
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espresso come 2 rn/ vn , da cui B = µoe vn /4 rn = (µo/4 ) (e/m) L/ rn .
Lo stesso elettrone, dotato di momento di dipolo magnetico, interagisce con il campo magnetico
prodotto, modificando il suo stato energetico.
Um = - µs · B = (e/m) Sz · B
Il valore del campo magnetico locale può raggiungere anche valori elevati, vicini ad 0.1-1 T,
modificando i livelli energetici a tal punto da giustificare la separazione osservata delle righe
spettrali.
Il momento della quantità di moto (o angolare) totale
Ad ogni elettrone in una struttura atomica è associato un momento angolare L ed uno spin S che
contribuiscono entrambi al momento angolare totale dell’atomo. In particolare gli elementi del
primo gruppo della tabella periodica possiedono un solo elettrone esterno che determina il momento
angolare totale J = L+S del sistema. Anche J è quantizzato allo stesso modo e quindi si esprime
1/2
che assume i valori j = l+s,
in funzione di un numero quantico j come | J | = [j (j+1) ]
l+s-1, ..., |l-s| . La sua componente Jz lungo un’asse di quantizzazione si esprime con Jz = mj
dove mj assume i valori mj = ±j, ±(j-1), ±(j-2), .....
L’interazione tra il momento magnetico collegato a J ed un campo magnetico esterno è
responsabile dell’effetto Zeeman anomalo che mostra la separazione di una riga spettrale in un
numero pari di righe, come ad esempio avviene nel caso delle righe D del sodio a 588.9950 e
589.5924 nm. L’interazione tra il campo magnetico ed il momento di dipolo magnetico diventa in
questo caso
Um = - µ · B = - (e/2m) (L + 2 S ) · B = gL µ mj B
Dove gL è detto fattore g di Landé.
