Trigonometria e numeri complessi

CENNI DI TRIGONOMETRIA
E
CENNI SUI NUMERI COMPLESSI
PER L’ELETTROTECNICA
(per classi elettrotecnica e automazione)
Autore Nunzio Siciliano
rev. Nov.2014
Quest'opera è distribuita con Licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate 3.0 Italia.
Cenni di trigonometria e cenni sui numeri complessi per l’elettrotecnica
CAPITOLO 1. Trigonometria e Applicazioni
1. Breve definizioni delle funzioni trigonometriche
Sia dato il cerchio di raggio unitario di figura:
Il segmento OB, essendo il raggio sarà di lunghezza 1. Tale segmento forma con l’asse
orizzontale un angolo α.
I segmenti OC e CB sono definite come segue:
cos Essendo il punto C interno alla circonferenza sarà necessariamente:
OC ≤ 1
CB ≤ 1
Pertanto:
cos α ≤ 1
e
sen α ≤ 1.
Inoltre, per il Teorema di Pitagora, essendo il triangolo OBC un triangolo rettangolo:
OC
CB
OB
Ed essendo OB=1:
OC
CB
1
Ossia:
cos α sen α 1
Al variare dell’angolo α variano le lunghezze dei segmenti OC e CB mentre il raggio OB
sarà sempre unitario, il variare delle lunghezze dei segmenti implica, ovviamente, la
variazione dei valori di cos α e sen α. Si può dunque concludere che per ogni angolo vi sono
due valori di cos α e sen α.
Si definisce, infine, la funzione tangente di un angolo α la seguente espressione:
1
Cenni di trigonometria e cenni sui numeri complessi per l’elettrotecnica
tan
cos
2. Applicazioni delle funzioni trigonometriche per la risoluzione dei triangoli rettangoli.
Una delle applicazioni della trigonometria è la risoluzione dei triangoli rettangoli
Dato il triangolo rettangolo di figura, siano a e b i cateti e c l’ipotenusa:
vale il Teorema di Pitagora:
!
ovvero:
"
c
!
Essendo ϕ l’angolo tra il cateto a e l’ipotenusa c, dalle definizioni delle funzioni
trigonometriche:
a
cosφ c
senφ
tanφ
b
c
b
a
3. Varie relazioni tra funzioni trigonometriche.
•
•
%
%
'
cos & ( %)
'
sen & ( %)
cos 90° ( %
sen 90° ( %
2
Cenni di trigonometria e cenni sui numeri complessi per l’elettrotecnica
CAPITOLO 2. Numeri Complessi
1. Definizioni.
Si definisce Unità Immaginaria j quel numero che elevato al quadrato da il valore −1:
-. (/
o, in modo equivalente:
- √(/ .
Operazioni che non possono essere eseguite nel campo dei numeri reali.
Definita l’unità immaginaria è possibile definire il campo dei numeri immaginari come i
multipli (positivi e negativi) e i sottomultipli (positivi e negativi) dell’unità j.
Allo stesso modo dei numeri reali è possibile rappresentare i numeri immaginari su di una
retta.
Si definisce Numero Complesso una qualsiasi coppia di numeri individuabile su di un piano
cartesiano nel quale su di un asse sono riportati i numeri reali e sull’altro asse i numeri
immaginari. Il piano cartesiano sul quale si rappresentano i numeri complessi è detto piano
di Gauss.
Un numero complesso di indica quindi con la somma a + jb dove a è la parte reale e b la
parte immaginaria. Il segmento che unisce l’origine degli assi con il punto di intersezione
fra a e b rappresenta in numero complesso ed è detto vettore complesso, i vettori complessi
saranno indicati con una lettera sovrastata da una lineetta: 12.
La “lunghezza” del vettore complesso si chiama Modulo l’angolo che forma con l’asse Re
si chiama Fase. Il vettore forma un triangolo rettangolo dove i cateti sono rispettivamente la
parte reale (a) e quella immaginaria (b) mentre l’ipotenusa è il modulo del vettore, in tal
caso è possibile calcolare modulo e fase noti parte reale e parte immaginaria del vettore
complesso:
dato il numero complesso 12 3 45
•
modulo
•
fase
Z
θ
θ
b ;
b
8 9 &a )
;
8 9 &< )
√a
se a : 0
180°
se a > 0
Viceversa noti modulo e fase di un numero complesso è possibile determinarne la parte reale
e la parte immaginaria:
dato il numero complesso12 di modulo Z e fase θ
• parte reale
Re@Z2A Z ∗ cos θ
Im@Z2A Z ∗ senθ
• parte Immaginaria
così che il numero complesso sarà espresso da 12 1EFGH 41GIJH
3
Cenni di trigonometria e cenni sui numeri complessi per l’elettrotecnica
rappresentazione di numeri complessi sul piano di Gauss
2. Rappresentazione dei numeri complessi.
a) Forma Algebrica di un numero complesso
È del tipo 12 3 45 (con a la parte reale e b quella immaginaria)
b) Forma Polare di un numero complesso
È del tipo 12 @1, ∠MA (con Z il modulo e M la fase).
c) Forma esponenziale del numero complesso
È del tipo 12 1N4M (con Z il modulo e M la fase, e = 2,71828 è il numero di Eulero). Si
ricorda che OP
% Q
%
4
Cenni di trigonometria e cenni sui numeri complessi per l’elettrotecnica
2.1.Passaggio da forma Algebrica a forma Polare.
12 3 45
• modulo Z √a
b ;
b
φ
8 9 & )
per a : 0
• fase
a
;
φ
8 9 & ) 180°
per a > 0
<
12
@1, ∠MA
2.2.Passaggio da forma Polare a forma Algebrica.
12 @1, ∠MA
•
•
parte reale
parte Immaginaria
12
Re@Z2A
Im@Z2A
Z ∗ cos φ
Z ∗ senφ
1EFGM 41GIJM
3. Operazioni con i numeri complessi.
3.1.Somma (è da intendersi somma algebrica).
Z2R aR jbR
Z2
a
jb
Z2T
Z2R
Z2
aR
Re@Z2T A
Per cui:
aR
jbR
aR
jbR ∙ a
Ed essendo
j
(1
Per cui:
Re@Z2T A
Z2T
jb
aR
Im@Z2T A
Z2R
Z2
Z2R ∙ Z2
jb
a
3.2.Prodotto.
Z2T
a
aR
a
aR ∙ a
aR ∙ a ( bR ∙ b
a
bR
b
b
jbR
jb
j aR ∙ b
j aR ∙ b
j a ∙ bR
j bR ∙ b
a ∙ bR
Im@Z2T A
a1 ∙ a2 ( b1 ∙ b2
j bR
a1 ∙ b2
a2 ∙ b1
L’operazione si può effettuare anche con la forme polari dei numeri:
Z2R @ZR , ∠φR A
@Z , ∠φ A
Z2
Z2T
Z2R ∙ Z2
Quindi:
•
•
WZ1 , ∠φ1 X ∙ WZ2 , ∠φ2 X
modulo
fase
Z
φ
ZR ∙ Z ;
φR φ
YZ1 ∙ Z2 , ∠ φ1
12[
φ2 Z
METODO
CONSIGLIATO
@1[ , ∠MA
5
Cenni di trigonometria e cenni sui numeri complessi per l’elettrotecnica
3.3.Rapporto.
Z2R
Z2
Si deve effettuare:
aR
a
jbR
jb
Z2R
Z2
Z2T
Si definisce complesso coniugato di un numero complesso quel numero che ha la stessa
parte reale e quella immaginaria cambiata di segno, cioè se: Z2 x jy, il suo complesso
coniugato sarà: Z2 ∗ x ( jy
Se si effettua il prodotto tra un numero complesso ed il suo coniugato si ottiene un numero
reale:
Z2 ∙ Z2 ∗
x ( jy ∙ x ( jy
x
y
Per effettuare il rapporto espresso sopra è necessario determinare il complesso coniugato del
∗
a ( jb e successivamente moltiplicare numeratore e denominatore
denominatore: Z2
∗
della frazione per il complesso coniugato del denominatore: Z2
Il rapporto sarà quindi:
^2 ∗
Z2R Z2R ∙ Z
aR
Z2T
Z2
^2
Z2 ∙ Z
∗
jbR ∙ a2 ( jb2
jb ∙ a2 ( jb2
a
quindi il numero complesso risultante sarà:
Z2T
aR ∙ a ( bR ∙ b
a
b
j
aR ∙ a ( bR ∙ b
aR ∙ b
a
a
Quindi:
•
modulo
•
fase
3.4.Inverso .
Si deve effettuare:
ZT
φ
Z2R
Z2
WZ1 , ∠φ1 X
WZ2 , ∠φ2 X
_
a ∙ bR
a ∙ bR
b
L’operazione si può effettuare anche con la forme polari dei numeri:
Z2R @ZR , ∠φR A
@Z , ∠φ A
Z2
Z2T
j aR ∙ b
b
METODO
CONSIGLIATO
Z1
, ∠ φ1 ( φ2 `
Z2
Z1
;
Z2
φR ( φ
12[
@1[ , ∠MA
Z2R
aR
jbR
1
Z2R
Si può operare come per il rapporto considerando la divisione fra il numero 1+j0 e Z2R .
Tuttavia per questo caso particolare si può dare una semplice regola:
Z2RaR
6
Cenni di trigonometria e cenni sui numeri complessi per l’elettrotecnica
1
Z2R
Z2RaR
aR
oppure, con la forma polare del numero
Z2R
Z2RaR
Quindi:
•
modulo
•
fase
Z
φ
1
Z2R
aR
bR
( j
aR
aR
bR
Metodo consigliato per il
calcolo di impedenze in parallelo
@ZR , ∠φR A
_
1
, ∠ ( φR `
ZR
1
;
Z1
(φR
12
@1, ∠MA
4. Somma Grafica di numeri complessi (da considerarsi somma algebrica).
Z2R 3 j2
Z2
4 ( j5
Z2T Z2R Z2
Z2T Z2R ( Z2
3 j2
4 ( j5
3 j2 ( 4 ( j5
7 ( j3
(1 j7
NOTA IMPORTANTE
Il modulo della somma algebrica di numeri complessi NON È pari alla somma
algebrica dei moduli.
7
Cenni di trigonometria e cenni sui numeri complessi per l’elettrotecnica
5. Angolo di sfasamento fra numeri complessi.
Z2R
Z2
•
•
Fase di
Fase di
Z2R
Z2
φR
φ
@4,47, ∠63,43°A
@6,1, ∠34,99°A
63,43°
34,99°
Lo sfasamento fra i vettori Z2R eZ2 è la differenza fra le fasi:
φ φR ( φ
64,43° ( 34,99° 28,44°
8