ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE
“Morea Vivarelli” sede Morea – Fabriano
LabTopoMorea
Rilievo classico per INTERSEZIONI
INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
[Problema di Snellius – Pothenot]
Soluzione grafica Metodo di Collins
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Docente: prof. Ing. Fabio Anderlini
INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
[Problema di Snellius – Pothenot]
È una procedura che permette di ottenere le coordinate di un punto P
incognito, riferendolo a tre punti noti A, B, C, e misurando solo angoli (due)
attraverso tre letture al C.O.
LA, LB, LC.
Essa prevede lo stazionamento del goniometro solo sul punto P incognito, dal
quale però, devono essere visibili almeno tre punti A, B, C di coordinate note,
per consentire la misura dei due angoli orizzontali α e β compresi tra le tre
direzioni che escono da P e che passano per A, B, C.
DATI
MISURE
A≡(XA;YA)
B≡(XB;YB)
C≡(XC;YC)
α,β
INCOGNITE P≡(Xp;YP)
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
[Problema di Snellius – Pothenot]
SCHEMA: Per capire dove sta il punto incognito vedere letture C.O.:
- Se LA<LB<LC
il punto incognito P sta alla destra di un Osservatore che da
A guarda verso C.
LB
LC
LA
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
[Problema di Snellius – Pothenot]
SCHEMA: Per capire dove sta il punto incognito vedere letture C.O.:
- Se LA>LB>LC
il punto incognito P sta alla sinistra di un Osservatore che da
A guarda verso C.
LA
LB
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LC
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
[Problema di Snellius – Pothenot]
FASE 01: RAPPRESENTARE GRAFICAMENTE I TRE PUNTI NOTI E COLLERGARLI
IN UN SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO IN SCALA OPPORTUNA.
Nota: in ROSSO gli elementi nuovi inseriti nella fase di lavoro.
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SCALA 1:n
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
[Problema di Snellius – Pothenot]
FASE 02: DISEGNARE IL SEGMENTO CONGIUNGENTE I PUNTI ESTREMI.
Nota: in ROSSO gli elementi nuovi inseriti nella fase di lavoro.
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SCALA 1:n
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
[Problema di Snellius – Pothenot]
FASE 03: DISEGNARE CON UN GONIOMETRO PARTENDO DA AC IN A L’ANGOLO β
(in senso antiorario con α su AC verso «zero») E IN C L’ANGOLO α (in senso orario dallo
«zero» su AC verso valore di α) RIMANGONO INDIVIDUATE LEE DIREZIONI AH E CK.
Nota: in ROSSO gli elementi nuovi inseriti nella fase di lavoro.
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SCALA 1:n
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
[Problema di Snellius – Pothenot]
FASE 04: CONGIUNGERE LE DUE DIREZIONI AH E CK INDIVIDUANDO IL PUNTO R
(Punto di Collins) TRACCIARE I PUNTI MEDI DI AR E CR.
Nota: in ROSSO gli elementi nuovi inseriti nella fase di lavoro.
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SCALA 1:n
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
[Problema di Snellius – Pothenot]
FASE 05_a: TRACCIARE L’ASSE (Perpendicolare per il punto medio) DEL SEGMENTO AR.
Nota: in ROSSO gli elementi nuovi inseriti nella fase di lavoro.
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SCALA 1:n
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
[Problema di Snellius – Pothenot]
FASE 05_b: TRACCIARE L’ASSE (Perpendicolare per il punto medio) DEL SEGMENTO CR.
Nota: in ROSSO gli elementi nuovi inseriti nella fase di lavoro.
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SCALA 1:n
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
[Problema di Snellius – Pothenot]
FASE 06: CONGIUNGERE GLI ASSI (dei segmenti AR e CR) NEL PUNTO O.
Nota: in ROSSO gli elementi nuovi inseriti nella fase di lavoro.
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SCALA 1:n
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
[Problema di Snellius – Pothenot]
FASE 07: TRACCIARE LA CIRCONFERENZA CON CENTRO IN O E RAGGIO R.
R=OR=OA=OC.
Nota: in ROSSO gli elementi nuovi inseriti nella fase di lavoro.
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SCALA 1:n
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
[Problema di Snellius – Pothenot]
FASE 09: TRACCIARE IL SEGMENTO CONGIUNGENTE I PUNTI R E B.
R=OR=OA=OC.
Nota: in ROSSO gli elementi nuovi inseriti nella fase di lavoro.
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SCALA 1:n
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
[Problema di Snellius – Pothenot]
FASE 10: PROLUNGARE IL SEGMENTO RB FINO AD INCONTRARE LA CIRCONFERENZA
NEL PUNTO INCOGNITO CERCATO P.
R=OR=OA=OC.
PUNTO
INCOGNITO
Nota: in ROSSO gli elementi nuovi inseriti nella fase di lavoro.
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SCALA 1:n
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
[Problema di Snellius – Pothenot]
FASE 11: MISURARE GRAFICAMENTE LE COORDINATE DI P (con righello esprimendo
le misure in metri) e moltiplicarle per la scala di rappresentazione grafica n.
XP= XP grafica* n
YP= YP grafica* n
COORDINATE GRAFICHE
PUNTO INCOGNITO P
Nota: in ROSSO gli elementi nuovi inseriti nella fase di lavoro.
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SCALA 1:n
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
[Problema di Snellius – Pothenot]
SOLUZIONE ANALITICA: Dal triangolo ACR (noti AC, RAC=β e ACR=α) calcolare le
coordinate polari di R rispetto al punto noto A (o punto noto C) e poi calcolare le
coordinate totali di R.
Coordinate polari di R rispetto A
AR =
AC
senα
sen (α + β )
θAR =θAC − β
Coordinate parziali di R rispetto A
( XR )A = AR⋅ senθAR
(YR )A = AR⋅ cosθAR
Coordinate totali di R
XR = X A + ( XR )A
YR = YA + (YR )A
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
[Problema di Snellius – Pothenot]
SOLUZIONE ANALITICA: Calcolare l’angolo di direzione θRB=θRP e l’angolo δ=PRA
Azimut
θRA
θ RA = θ AR ± π
Azimut
θRB=θRP
XB − XR
θ RB = θ RP = arctg (
)+K
YB − YR
Angolo δ
δ = θ RB − θ RA
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
[Problema di Snellius – Pothenot]
SOLUZIONE ANALITICA: Nel triangolo APR (noti AR, PRA=δ e APR=α) calcolare le
coordinate polari di P rispetto al punto noto R e poi le coordinate totali di P.
Coordinate polari di P rispetto R
RP =
AR
sen (α + δ )
senα
θ RP = arctg (
XB − XR
)+ K
YB − YR
Coordinate parziali di P rispetto R
( XP )R = RP⋅ senθRP
(YP )R = RP⋅ cosθRP
Coordinate totali di P
XP = XR + ( XP )R
YP = YR + (YP )R
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
[Problema di Snellius – Pothenot]
SOLUZIONE ANALITICA
OSSERVAZIONE: Le coordinate di P possono essere calcolate anche partendo da A
[procurandosi AP e θAP] oppure da C [procurandosi CP e θCP]. Dalla figura:
Coordinate polari di P rispetto A
AR
senδ
senα
θ RP = θ AR + (π − α − δ )
AP=
Coordinate parziali di P rispetto R
( XP )A = AP⋅ senθAP
(YP )A = AP⋅ cosθAP
Coordinate totali di P
XP = X A + ( XP )A
YP = YA + (YP )A
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
SOLUZIONE GRAFICA DI CASSINI (si veda sito
[Problema di Snellius – Pothenot]
labtopomorea)
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
[Problema di Snellius – Pothenot]
SOLUZIONE GRAFICA DI CASSINI (si veda sito
labtopomorea)
OSSERVAZIONE: Quando le due circonferenze sono molto vicine si possono
commettere grandi errori nella determinazione della posizione di P.
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO
CASI DI INDETERMINAZIONE
Quando la somma degli angoli α+β+Ω
è uguale all’angolo piatto 200g (180°)
il problema è indeterminato (ammette
infinite soluzioni
il punto R coincide con
B e i punti ABC stanno su una circonferenza
P può essere qualsiasi punto della stessa
circonferenza)
[Problema di Snellius – Pothenot]
Quando la somma degli angoli
α+β+Ω si discosta di poco (10°-20°)
dall’angolo piatto 200g (180°) allora
il problema è determinato (esiste
soluzione). Tuttavia in questo caso,
piccoli errori nella misura degli
angoli α e β provocano grandi errori
nelle coordinate di P.
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INTERSEZIONE ALL’INDIETRO MULTIPLA
È una procedura iperdeterminata per la quale, oltre ai tre punti noti A, B, C, è
necessario vedere da P un 4° punto D di coordinate note, e misurare l’angolo
corrispondente (γ).
Di fatto essa corrisponde a più intersezioni inverse semplici eseguite con misure, in
parte, diverse, dunque confrontabili e compensabili con i metodi rigorosi delle
osservazioni condizionate. Tuttavia, è anche possibile procedere a compensazioni
empiriche.
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